rumah » Kapiler, vena dan arteri » Mengapa Anda tidak bisa membaginya dengan nol? Sebuah contoh yang baik. Aturan mengalikan bilangan apa pun dengan nol Apa yang ada dalam matematika tingkat tinggi

Mengapa Anda tidak bisa membaginya dengan nol? Sebuah contoh yang baik. Aturan mengalikan bilangan apa pun dengan nol Apa yang ada dalam matematika tingkat tinggi

Nol sendiri merupakan angka yang sangat menarik. Dengan sendirinya itu berarti kekosongan, kurangnya makna, dan di samping angka lain itu meningkatkan signifikansinya sebanyak 10 kali lipat. Angka apa pun yang dipangkatkan nol selalu menghasilkan 1. Tanda ini digunakan pada peradaban Maya, dan juga melambangkan konsep “awal, sebab”. Bahkan kalender dimulai dengan hari nol. Angka ini juga dikaitkan dengan larangan ketat.

Sejak masa sekolah dasar, kita semua telah dengan jelas mempelajari aturan “Anda tidak dapat membagi dengan nol.” Namun jika di masa kanak-kanak Anda banyak menganut keyakinan dan perkataan orang dewasa jarang menimbulkan keraguan, maka lama kelamaan terkadang Anda masih ingin memahami alasannya, memahami mengapa aturan tertentu ditetapkan.

Mengapa Anda tidak bisa membaginya dengan nol? Saya ingin mendapatkan penjelasan logis yang jelas untuk pertanyaan ini. Di kelas satu, guru tidak bisa melakukan hal ini, karena dalam matematika aturan dijelaskan menggunakan persamaan, dan pada usia itu kami tidak tahu apa itu persamaan. Dan sekarang saatnya untuk mencari tahu dan mendapatkan penjelasan logis yang jelas mengapa Anda tidak bisa membagi dengan nol.

Faktanya adalah bahwa dalam matematika, hanya dua dari empat operasi dasar (+, -, x, /) dengan bilangan yang diakui bebas: perkalian dan penjumlahan. Operasi lainnya dianggap sebagai derivatif. Mari kita lihat contoh sederhana.

Katakan padaku, berapa penghasilanmu jika kamu mengurangi 18 dari 20? Tentu saja, jawabannya langsung muncul di kepala kita: 2. Bagaimana kita sampai pada hasil ini? Pertanyaan ini akan terasa aneh bagi sebagian orang - lagi pula, semuanya jelas bahwa hasilnya akan menjadi 2, seseorang akan menjelaskan bahwa dia mengambil 18 dari 20 kopeck dan mendapat dua kopeck. Logikanya, semua jawaban ini tidak diragukan lagi, namun dari sudut pandang matematis, masalah ini harus diselesaikan secara berbeda. Mari kita ingat sekali lagi bahwa operasi utama dalam matematika adalah perkalian dan penjumlahan, dan oleh karena itu dalam kasus kita jawabannya terletak pada penyelesaian persamaan berikut: x + 18 = 20. Oleh karena itu x = 20 - 18, x = 2 . Tampaknya, mengapa menjelaskan semuanya dengan sangat rinci? Bagaimanapun, semuanya sangat sederhana. Namun, tanpa ini sulit menjelaskan mengapa Anda tidak bisa membagi dengan nol.

Sekarang mari kita lihat apa yang terjadi jika kita ingin membagi 18 dengan nol. Mari kita buat persamaannya lagi: 18:0 = x. Karena operasi pembagian merupakan turunan dari prosedur perkalian, maka dengan mentransformasikan persamaan tersebut kita mendapatkan x * 0 = 18. Di sinilah jalan buntu dimulai. Bilangan apa pun yang menggantikan X jika dikalikan dengan nol akan menghasilkan 0 dan kita tidak akan bisa mendapatkan 18. Sekarang menjadi sangat jelas mengapa Anda tidak bisa membagi dengan nol. Nol itu sendiri dapat dibagi dengan angka berapa pun, tetapi sebaliknya - sayangnya, hal itu tidak mungkin.

Apa yang terjadi jika nol dibagi dengan dirinya sendiri? Hal ini dapat ditulis sebagai berikut: 0: 0 = x, atau x * 0 = 0. Persamaan ini memiliki jumlah solusi yang tak terhingga. Oleh karena itu, hasil akhirnya adalah tak terhingga. Oleh karena itu, operasi dalam kasus ini juga tidak masuk akal.

Pembagian dengan 0 adalah akar dari banyak lelucon matematis imajiner yang dapat digunakan untuk membingungkan orang bodoh mana pun jika diinginkan. Sebagai contoh, perhatikan persamaan: 4*x - 20 = 7*x - 35. Kita ambil 4 dari tanda kurung di sisi kiri dan 7 di sisi kanan. Kita mendapatkan: 4*(x - 5) = 7*(x - 5). Sekarang mari kita kalikan ruas kiri dan kanan persamaan tersebut dengan pecahan 1 / (x - 5). Persamaannya akan berbentuk sebagai berikut: 4*(x - 5)/(x - 5) = 7*(x - 5)/ (x - 5). Mari kita kurangi pecahannya sebesar (x - 5) dan ternyata 4 = 7. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa 2*2 = 7! Tentu saja, kendalanya di sini adalah sama dengan 5 dan tidak mungkin untuk menghilangkan pecahan, karena hal ini menyebabkan pembagian dengan nol. Oleh karena itu, saat mereduksi pecahan, Anda harus selalu memastikan bahwa angka nol tidak masuk ke dalam penyebut secara tidak sengaja, jika tidak, hasilnya tidak akan dapat diprediksi sama sekali.

Angka 0 dapat direpresentasikan sebagai batas tertentu yang memisahkan dunia bilangan real dari bilangan imajiner atau negatif. Karena posisinya yang ambigu, banyak operasi dengan nilai numerik ini tidak mematuhi logika matematika. Ketidakmungkinan membagi dengan nol adalah contoh utama dari hal ini. Dan operasi aritmatika yang diperbolehkan dengan nol dapat dilakukan dengan menggunakan definisi yang diterima secara umum.

Sejarah nol

Nol adalah titik acuan dalam semua sistem bilangan standar. Orang Eropa mulai menggunakan bilangan ini relatif baru, namun orang bijak di India kuno menggunakan angka nol seribu tahun sebelum bilangan kosong digunakan secara rutin oleh ahli matematika Eropa. Bahkan sebelum bangsa India, nol adalah nilai wajib dalam sistem numerik Maya. Orang-orang Amerika ini menggunakan sistem bilangan duodesimal, dan hari pertama setiap bulan dimulai dengan angka nol. Sangat menarik bahwa di antara bangsa Maya, tanda yang menunjukkan “nol” sepenuhnya bertepatan dengan tanda yang menunjukkan “tak terhingga”. Dengan demikian, suku Maya kuno menyimpulkan bahwa besaran-besaran ini identik dan tidak dapat diketahui.

Operasi matematika dengan nol

Operasi matematika standar dengan nol dapat direduksi menjadi beberapa aturan.

Tambahan: jika Anda menambahkan nol ke bilangan sembarang, nilainya tidak akan berubah (0+x=x).

Pengurangan: Saat mengurangkan nol dari bilangan apa pun, nilai pengurangnya tetap tidak berubah (x-0=x).

Perkalian: Bilangan apa pun dikalikan dengan 0 menghasilkan 0 (a*0=0).

Pembagian: Nol dapat dibagi dengan bilangan apa pun yang tidak sama dengan nol. Dalam hal ini, nilai pecahan tersebut adalah 0. Dan pembagian dengan nol dilarang.

Eksponensial. Tindakan ini dapat dilakukan dengan nomor berapa pun. Bilangan sembarang yang dipangkatkan nol akan menghasilkan 1 (x 0 =1).

Nol pangkat apa pun sama dengan 0 (0 a = 0).

Dalam hal ini, kontradiksi segera muncul: ungkapan 0 0 tidak masuk akal.

Paradoks matematika

Banyak orang tahu dari sekolah bahwa pembagian dengan nol adalah hal yang mustahil. Namun karena alasan tertentu, tidak mungkin menjelaskan alasan larangan tersebut. Sebenarnya kenapa rumus membagi dengan nol tidak ada, padahal tindakan lain dengan angka ini cukup masuk akal dan mungkin dilakukan? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh ahli matematika.

Masalahnya adalah operasi aritmatika yang biasa dipelajari anak sekolah di sekolah dasar ternyata tidak sama seperti yang kita kira. Semua operasi bilangan sederhana dapat direduksi menjadi dua: penjumlahan dan perkalian. Tindakan-tindakan ini merupakan inti dari konsep bilangan, dan operasi-operasi lain dibangun berdasarkan penggunaan keduanya.

Penjumlahan dan Perkalian

Mari kita ambil contoh pengurangan standar: 10-2=8. Di sekolah mereka menganggapnya sederhana: jika Anda mengurangi dua dari sepuluh mata pelajaran, tersisa delapan. Namun ahli matematika memandang operasi ini dengan cara yang sangat berbeda. Bagaimanapun, operasi seperti pengurangan tidak ada untuk mereka. Contoh ini dapat ditulis dengan cara lain: x+2=10. Bagi ahli matematika, perbedaan yang tidak diketahui hanyalah angka yang perlu dijumlahkan menjadi dua untuk menghasilkan delapan. Dan tidak diperlukan pengurangan di sini, Anda hanya perlu mencari nilai numerik yang sesuai.

Perkalian dan pembagian diperlakukan sama. Dalam contoh 12:4=3 Anda dapat memahami bahwa kita sedang membicarakan tentang membagi delapan benda menjadi dua tumpukan yang sama besar. Namun kenyataannya, ini hanyalah rumus terbalik untuk menulis 3x4 = 12. Contoh pembagian seperti itu dapat diberikan tanpa henti.

Contoh pembagian dengan 0

Di sinilah menjadi sedikit jelas mengapa Anda tidak bisa membagi dengan nol. Perkalian dan pembagian dengan nol mengikuti aturannya masing-masing. Semua contoh pembagian besaran ini dapat dirumuskan sebagai 6:0 = x. Tapi ini adalah notasi terbalik dari ekspresi 6 * x=0. Namun, seperti yang Anda ketahui, bilangan apa pun yang dikalikan 0 hanya menghasilkan 0. Sifat ini melekat pada konsep nilai nol.

Ternyata tidak ada bilangan yang jika dikalikan dengan 0 memberikan nilai nyata, yaitu soal ini tidak ada penyelesaiannya. Anda tidak perlu takut dengan jawaban ini; ini adalah jawaban alami untuk masalah jenis ini. Hanya saja rekor 6:0 itu tidak masuk akal dan tidak bisa menjelaskan apa pun. Singkatnya, ungkapan ini dapat dijelaskan dengan ungkapan abadi “pembagian dengan nol adalah hal yang mustahil”.

Apakah ada operasi 0:0? Memangnya kalau operasi perkalian dengan 0 itu sah, apakah nol bisa dibagi nol? Bagaimanapun, persamaan dalam bentuk 0x 5=0 cukup sah. Alih-alih angka 5 Anda bisa memasukkan 0, produknya tidak akan berubah.

Memang, 0x0=0. Tapi Anda tetap tidak bisa membaginya dengan 0. Seperti yang dinyatakan, pembagian hanyalah kebalikan dari perkalian. Jadi, jika dalam contoh 0x5=0, Anda perlu menentukan faktor kedua, kita mendapatkan 0x0=5. Atau 10. Atau tak terhingga. Membagi tak terhingga dengan nol - bagaimana Anda menyukainya?

Namun jika ada bilangan yang cocok dengan ekspresi tersebut, maka itu tidak masuk akal; kita tidak dapat memilih satu saja dari bilangan yang jumlahnya tak terhingga. Dan jika demikian, ini berarti ungkapan 0:0 tidak masuk akal. Ternyata nol itu sendiri pun tidak bisa dibagi nol.

Matematika yang lebih tinggi

Pembagian dengan nol membuat pusing matematika sekolah. Analisis matematika yang dipelajari di universitas teknik sedikit memperluas konsep masalah yang tidak ada solusinya. Misalnya, yang baru ditambahkan ke ekspresi 0:0 yang sudah diketahui, yang tidak memiliki solusi dalam kursus matematika sekolah:

tak terhingga dibagi tak terhingga: ?:?;
tak terhingga dikurangi tak terhingga: ???;
satuan yang dipangkatkan hingga tak terhingga: 1 ? ;
tak terhingga dikalikan 0: ?*0;
beberapa lainnya.

Tidak mungkin menyelesaikan ekspresi seperti itu menggunakan metode dasar. Namun matematika tingkat tinggi, berkat kemungkinan tambahan untuk sejumlah contoh serupa, memberikan solusi akhir. Hal ini terutama terlihat ketika mempertimbangkan masalah-masalah dari teori limit.

Membuka Ketidakpastian

Dalam teori limit, nilai 0 diganti dengan variabel bersyarat yang sangat kecil. Dan ekspresi di mana, ketika nilai yang diinginkan disubstitusikan, pembagian dengan nol diperoleh, diubah. Di bawah ini adalah contoh standar perluasan batas menggunakan transformasi aljabar biasa:

Seperti yang dapat Anda lihat dalam contoh, pengurangan pecahan saja akan membawa nilainya ke jawaban yang sepenuhnya rasional.

Saat mempertimbangkan limit fungsi trigonometri, ekspresinya cenderung direduksi hingga limit pertama yang luar biasa. Ketika mempertimbangkan limit yang penyebutnya menjadi 0 ketika suatu limit disubstitusikan, limit luar biasa kedua digunakan.

Metode L'Hopital

Dalam beberapa kasus, limit ekspresi dapat diganti dengan limit turunannya. Guillaume L'Hopital adalah seorang matematikawan Perancis, pendiri sekolah analisis matematika Perancis. Ia membuktikan bahwa limit suatu ekspresi sama dengan limit turunan dari ekspresi tersebut. Dalam notasi matematika, aturannya terlihat seperti ini.

Saat ini metode L'Hopital berhasil digunakan untuk menyelesaikan ketidakpastian bertipe 0:0 atau?:?.

Cara membagi dan mengalikannya dengan 0,1; 0,01; 0,001, dst.?

Tuliskan aturan pembagian dan perkalian.

Untuk mengalikan suatu angka dengan 0,1, Anda hanya perlu memindahkan koma desimalnya.

Misalnya saja 56 , itu menjadi 5,6 .

Untuk membagi dengan angka yang sama, Anda perlu memindahkan koma ke arah yang berlawanan:

Misalnya saja 56 , itu menjadi 560 .

Dengan angka 0,01 semuanya sama, tetapi Anda perlu memindahkannya menjadi 2 digit, bukan satu.

Secara umum, transfer angka nol sebanyak yang Anda perlukan.

Misalnya ada nomor 123456789.

Anda perlu mengalikannya dengan 0,000000001

Ada sembilan angka nol pada angka 0,000000001 (kita juga menghitung angka nol di sebelah kiri koma desimal), artinya kita menggeser angka 123456789 sebanyak 9 digit:

Tadinya 123456789 dan sekarang 0,123456789.

Agar tidak mengalikan, tetapi membagi dengan angka yang sama, kita menggeser ke arah lain:

Tadinya 123456789 dan sekarang 123456789000000000.

Untuk menggeser bilangan bulat dengan cara ini, kita cukup menambahkan angka nol ke dalamnya. Dan dalam pecahan kita memindahkan koma.

Membagi suatu bilangan dengan 0,1 sama dengan mengalikan bilangan tersebut dengan 10

Membagi suatu bilangan dengan 0,01 sama dengan mengalikan bilangan tersebut dengan 100

Membagi dengan 0,001 berarti mengalikan dengan 1000.

Agar lebih mudah mengingatnya, kita membaca bilangan yang perlu kita bagi dari kanan ke kiri, tanpa memperhatikan koma, dan mengalikannya dengan bilangan yang dihasilkan.

Contoh: 50: 0,0001. Ini sama dengan 50 dikalikan (dibaca dari kanan ke kiri tanpa koma - 10000) 10000. Ternyata 500000.

Hal yang sama berlaku untuk perkalian, hanya saja kebalikannya:

400 x 0,01 sama dengan membagi 400 dengan (dibaca dari kanan ke kiri tanpa koma - 100) 100:400:100 = 4.

Bagi yang merasa lebih nyaman memindahkan koma ke kanan saat membagi dan ke kiri saat mengalikan saat mengali dan membagi dengan angka tersebut, Anda bisa melakukan ini.

www.bolshoyvopros.ru

5.5.6. Pembagian dengan desimal

SAYA. Untuk membagi suatu bilangan dengan pecahan desimal, Anda perlu memindahkan koma pada pembagi dan pembagi sebanyak digit ke kanan setelah koma desimal pada pembagi, lalu membaginya dengan bilangan asli.

Primary.

Lakukan pembagian: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

Larutan.

Contoh 1) 16,38: 0,7.

Di pembatas 0,7 ada satu digit setelah koma, jadi mari kita pindahkan koma pada pembagi dan pembagi satu digit ke kanan.

Maka kita perlu membaginya 163,8 pada 7 .

Mari kita lakukan pembagian sesuai aturan pembagian pecahan desimal dengan bilangan asli.

Kita membagi sebagaimana bilangan asli dibagi. Bagaimana cara menghapus nomor tersebut 8 - digit pertama setelah koma desimal (yaitu digit di tempat persepuluhan), jadi segera beri tanda koma pada hasil bagi dan terus membagi.

Jawaban: 23.4.

Contoh 2) 15,6: 0,15.

Kami memindahkan koma di dividen ( 15,6 ) dan pembagi ( 0,15 ) dua digit ke kanan, karena di pembagi 0,15 ada dua digit setelah koma desimal.

Kami ingat bahwa Anda dapat menambahkan angka nol sebanyak yang Anda suka ke pecahan desimal di sebelah kanan, dan ini tidak akan mengubah pecahan desimal.

15,6:0,15=1560:15.

Kami melakukan pembagian bilangan asli.

Jawaban: 104.

Contoh 3) 3,114: 4,5.

Pindahkan koma pada pembagi dan pembagi satu digit ke kanan lalu bagi 31,14 pada 45 menurut aturan membagi pecahan desimal dengan bilangan asli.

3,114:4,5=31,14:45.

Dalam hasil bagi kami memberi koma segera setelah kami menghapus nomornya 1 di tempat kesepuluh. Kemudian kami terus membagi.

Untuk menyelesaikan divisi kami harus menugaskan nol ke nomor tersebut 9 - perbedaan antar angka 414 Dan 405 . (kita tahu bahwa angka nol dapat ditambahkan ke sisi kanan pecahan desimal)

Jawaban: 0,692.

Contoh 4) 53,84: 0,1.

Pindahkan koma pada pembagian dan pembagi ke 1 nomor ke kanan.

Kita mendapatkan: 538,4:1=538,4.

Mari kita menganalisis persamaannya: 53,84:0,1=538,4. Perhatikan koma pada pembagian dalam contoh ini dan koma pada hasil bagi. Kami memperhatikan bahwa koma pada dividen telah dipindahkan ke 1 angka ke kanan, seolah-olah kita sedang mengalikan 53,84 pada 10. (Lihat video “Mengalikan desimal dengan 10, 100, 1000, dst.”) Oleh karena itu aturan membagi desimal dengan 0,1; 0,01; 0,001 dll.

II. Untuk membagi desimal dengan 0,1; 0,01; 0,001, dst., Anda perlu memindahkan koma desimal ke kanan sebanyak 1, 2, 3, dst. (Membagi desimal dengan 0,1, 0,01, 0,001, dst. sama dengan mengalikan desimal tersebut dengan 10, 100, 1000, dst.)

Contoh.

Lakukan pembagian: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

Larutan.

Contoh 1) 617,35: 0,1.

Menurut aturan II pembagian oleh 0,1 setara dengan mengalikan dengan 10 , dan pindahkan koma pada dividen 1 angka ke kanan:

1) 617,35:0,1=6173,5.

Contoh 2) 0,235: 0,01.

Pembagian menurut 0,01 setara dengan mengalikan dengan 100 , artinya kita memindahkan koma pada dividen pada 2 digit ke kanan:

2) 0,235:0,01=23,5.

Contoh 3) 2,7845: 0,001.

Karena pembagian oleh 0,001 setara dengan mengalikan dengan 1000 , lalu pindahkan koma 3 digit ke kanan:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

Contoh 4) 26,397: 0,0001.

Bagilah desimal dengan 0,0001 - sama saja dengan mengalikannya 10000 (pindahkan koma sebanyak 4 digit Kanan). Kita mendapatkan:

www.matematika-repetition.com

Perkalian dan pembagian dengan bilangan berbentuk 10, 100, 0,1, 0,01

Tutorial video ini tersedia dengan berlangganan

Sudah berlangganan? Untuk masuk

Pelajaran ini akan membahas cara melakukan perkalian dan pembagian dengan bilangan berbentuk 10, 100, 0,1, 0,001. Berbagai contoh tentang topik ini juga akan dipecahkan.

Mengalikan angka dengan 10, 100

Latihan. Bagaimana cara mengalikan angka 25,78 dengan 10?

Notasi desimal suatu bilangan merupakan notasi singkat untuk jumlah tersebut. Perlu dijelaskan lebih detail:

Jadi, Anda perlu mengalikan jumlahnya. Untuk melakukannya, Anda cukup mengalikan setiap suku:

Ternyata...

Kita dapat menyimpulkan bahwa mengalikan pecahan desimal dengan 10 sangatlah sederhana: Anda perlu memindahkan koma desimal ke satu posisi kanan.

Latihan. Kalikan 25.486 dengan 100.

Mengalikan dengan 100 sama dengan mengalikan dua kali dengan 10. Dengan kata lain, Anda perlu memindahkan koma desimal ke kanan sebanyak dua kali:

Membagi angka dengan 10, 100

Latihan. Bagilah 25,78 dengan 10.

Seperti pada kasus sebelumnya, Anda perlu menyajikan angka 25,78 sebagai jumlah:

Karena Anda perlu membagi jumlahnya, ini sama dengan membagi setiap suku:

Ternyata untuk membagi dengan 10, kamu perlu memindahkan koma desimal ke posisi kiri satu. Misalnya:

Latihan. Bagilah 124.478 dengan 100.

Membagi 100 sama dengan membagi 10 dua kali, jadi koma desimal digeser ke kiri sebanyak 2 tempat:

Aturan perkalian dan pembagian dengan 10, 100, 1000

Jika pecahan desimal perlu dikalikan dengan 10, 100, 1000, dan seterusnya, Anda perlu memindahkan koma desimal ke kanan sebanyak posisi yang ada pada pengalinya.

Sebaliknya, jika pecahan desimal perlu dibagi 10, 100, 1000, dan seterusnya, Anda perlu memindahkan koma desimal ke kiri sebanyak posisi yang ada pada pengalinya.

Contoh ketika koma perlu dipindahkan, tetapi angkanya sudah tidak ada lagi

Mengalikan dengan 100 berarti memindahkan tempat desimal dua tempat ke kanan.

Setelah digeser, Anda dapat menemukan bahwa tidak ada lagi angka setelah koma, yang berarti bagian pecahannya hilang. Maka tidak perlu koma, bilangannya bilangan bulat.

Anda perlu memindahkan 4 posisi ke kanan. Tapi hanya ada dua digit setelah koma desimal. Perlu diingat bahwa ada notasi yang setara untuk pecahan 56,14.

Sekarang mengalikannya dengan 10.000 itu mudah:

Jika tidak begitu jelas mengapa Anda dapat menambahkan dua angka nol ke pecahan pada contoh sebelumnya, maka video tambahan di tautan dapat membantu dalam hal ini.

Notasi desimal yang setara

Entri 52 berarti sebagai berikut:

Jika kita menempatkan 0 di depan, kita mendapatkan entri 052. Entri-entri ini setara.

Apakah mungkin untuk menempatkan dua angka nol di depan? Ya, entri-entri ini setara.

Sekarang mari kita lihat pecahan desimal:

Jika Anda menetapkan nol, Anda mendapatkan:

Entri-entri ini setara. Demikian pula, Anda dapat menetapkan beberapa angka nol.

Jadi, bilangan apa pun dapat memiliki beberapa angka nol setelah bagian pecahan dan beberapa angka nol sebelum bagian bilangan bulat. Ini akan menjadi entri yang setara dengan nomor yang sama.

Karena terjadi pembagian dengan 100, koma desimal perlu dipindahkan 2 posisi ke kiri. Tidak ada angka tersisa di sebelah kiri koma desimal. Seluruh bagiannya hilang. Notasi ini sering digunakan oleh para programmer. Dalam matematika, jika tidak ada bagian yang utuh, maka angka nol ditempatkan pada tempatnya.

Anda perlu memindahkannya ke kiri sebanyak tiga posisi, tetapi hanya ada dua posisi. Jika Anda menulis beberapa angka nol di depan suatu angka, itu akan menjadi notasi yang setara.

Artinya, saat menggeser ke kiri, jika angkanya habis, Anda harus mengisinya dengan angka nol.

Dalam hal ini, perlu diingat bahwa koma selalu muncul setelah seluruh bagian. Kemudian:

Mengalikan dan membagi dengan 0,1, 0,01, 0,001

Mengalikan dan membagi dengan angka 10, 100, 1000 merupakan cara yang sangat sederhana. Situasinya sama persis dengan angka 0,1, 0,01, 0,001.

Contoh. Kalikan 25,34 dengan 0,1.

Mari kita tulis pecahan desimal 0,1 sebagai pecahan biasa. Namun mengalikan dengan sama saja dengan membagi dengan 10. Oleh karena itu, Anda perlu memindahkan posisi koma desimal 1 ke kiri:

Demikian pula, mengalikan dengan 0,01 berarti membaginya dengan 100:

Contoh. 5.235 dibagi 0,1.

Penyelesaian contoh ini dibuat dengan cara serupa: 0,1 dinyatakan sebagai pecahan biasa, dan membaginya dengan sama dengan mengalikan dengan 10:

Artinya, untuk membagi dengan 0,1, Anda perlu memindahkan koma desimal ke posisi satu kanan, yang setara dengan mengalikan dengan 10.

Aturan perkalian dan pembagian dengan 0,1, 0,01, 0,001

Mengalikan dengan 10 dan membagi dengan 0,1 adalah hal yang sama. Koma harus dipindahkan ke kanan sebanyak 1 posisi.

Membagi dengan 10 dan mengalikannya dengan 0,1 adalah hal yang sama. Koma perlu dipindahkan ke kanan sebanyak 1 posisi:

Contoh Penyelesaian

Kesimpulan

Pada pembelajaran kali ini dipelajari aturan-aturan pembagian dan perkalian dengan 10, 100 dan 1000. Selain itu juga dipelajari aturan-aturan perkalian dan pembagian dengan 0,1, 0,01, 0,001.

Contoh penerapan aturan ini telah ditinjau dan diselesaikan.

Bibliografi

1. Vilenkin N.Ya. Matematika: buku teks. untuk kelas 5. pendidikan umum uchr. edisi ke-17. – M.: Mnemosyne, 2005.

2. Shevkin A.V. Soal kata matematika: 5–6. – M.: Ilexa, 2011.

3. Ershova A.P., Goloborodko V.V. Semua matematika sekolah dalam pekerjaan mandiri dan tes. Matematika 5–6. – M.: Ilexa, 2006.

4. Khlevnyuk N.N., Ivanova M.V.Pembentukan keterampilan komputasi dalam pelajaran matematika. Kelas 5–9. – M.: Ilexa, 2011 .

1. Portal Internet “Festival Ide Pedagogis” (Sumber)

2. Portal internet “Matematika-na.ru” (Sumber)

3. Portal Internet “School.xvatit.com” (Sumber)

Pekerjaan rumah

3. Bandingkan arti dari ungkapan:

Tindakan dengan nol

Angka dalam matematika nol menempati tempat khusus. Faktanya adalah bahwa pada dasarnya itu berarti "tidak ada", "kekosongan", tetapi maknanya sangat sulit untuk ditaksir terlalu tinggi. Untuk melakukan ini, cukup mengingat setidaknya apa sebenarnya yang dimaksud tanda nol dan penghitungan koordinat posisi titik dalam sistem koordinat apa pun dimulai.

Nol banyak digunakan dalam pecahan desimal untuk menentukan nilai tempat “kosong”, baik sebelum maupun sesudah koma desimal. Selain itu, salah satu aturan dasar aritmatika terkait dengannya, yang menyatakan bahwa nol tidak dapat dibagi. Logikanya, sebenarnya, berasal dari esensi angka ini: memang, tidak mungkin membayangkan bahwa suatu nilai yang berbeda darinya (dan nilai itu sendiri juga) akan dibagi menjadi “tidak ada”.

DENGAN nol semua operasi aritmatika dilakukan, dan sebagai “mitra” mereka dapat menggunakan bilangan bulat, pecahan biasa dan desimal, dan semuanya dapat memiliki nilai positif dan negatif. Mari kita berikan contoh penerapannya dan beberapa penjelasannya.

Saat menambahkan nol ke suatu bilangan tertentu (baik bilangan bulat maupun pecahan, baik positif maupun negatif), nilainya tetap sama sekali tidak berubah.

dua puluh empat lebih nol sama dengan dua puluh empat.

Tujuh belas koma tiga perdelapan lebih nol sama dengan tujuh belas koma tiga perdelapan.

Formulir deklarasi pajak Kami sampaikan kepada Anda formulir deklarasi untuk semua jenis pajak dan biaya: 1. Pajak penghasilan. Perhatian, per tanggal 10 Februari 2014, pelaporan pajak penghasilan disampaikan dengan menggunakan contoh deklarasi baru yang telah disetujui berdasarkan Keputusan Menteri Pendapatan No. 872 tanggal 30 Desember 2013.1. 1. SPT pajak untuk […]
Aturan Selisih Jumlah Kuadrat Tujuan: Menyimpulkan rumus untuk mengkuadratkan jumlah dan selisih ekspresi. Hasil yang direncanakan: belajar menggunakan rumus kuadrat jumlah dan kuadrat selisih. Jenis pelajaran: pelajaran presentasi masalah. I. Mengkomunikasikan topik dan tujuan pembelajaran II. Kerjakan topik pelajaran Saat mengalikan [...]
Apa perbedaan antara privatisasi apartemen dengan anak di bawah umur dan privatisasi tanpa anak? Keunikan partisipasi mereka, dokumen Setiap transaksi real estat memerlukan perhatian khusus dari para peserta. Apalagi jika Anda berencana memprivatisasi apartemen dengan anak kecil. Sehingga diakui sah, dan [...]
Besarnya bea negara untuk paspor gaya lama untuk anak di bawah 14 tahun dan di mana membayarnya.Mengajukan permohonan ke lembaga pemerintah untuk menerima layanan apa pun selalu disertai dengan pembayaran bea negara. Untuk mendapatkan paspor asing, Anda juga perlu membayar biaya federal. Berapa ukurannya [...]
Cara mengisi formulir permohonan penggantian paspor pada usia 45 tahun Paspor orang Rusia harus diganti setelah mencapai usia 20 atau 45 tahun. Untuk menerima layanan publik, Anda harus mengajukan permohonan dalam formulir yang telah ditetapkan, melampirkan dokumen yang diperlukan dan membayar negara […]
Bagaimana dan di mana meresmikan akta hibah untuk suatu bagian dalam suatu apartemen Banyak warga dihadapkan pada prosedur hukum seperti menyumbangkan real estat yang dimiliki bersama. Ada cukup banyak informasi tentang cara membuat akta hibah bagian apartemen dengan benar, dan itu tidak selalu dapat diandalkan. Sebelum kamu memulai, [...]

Bahkan di sekolah, para guru mencoba menerapkan aturan paling sederhana di kepala kita: “Angka apa pun yang dikalikan nol sama dengan nol!”,- namun masih banyak kontroversi yang terus bermunculan seputar dirinya. Beberapa orang hanya mengingat aturannya dan tidak memikirkan pertanyaan “mengapa?” “Tidak bisa dan itu saja, karena di sekolah mereka bilang begitu, aturannya adalah aturannya!” Seseorang dapat mengisi setengah buku catatan dengan rumus, membuktikan aturan ini atau, sebaliknya, ketidaklogisannya.

Dalam kontak dengan

Siapa yang benar pada akhirnya?

Selama perselisihan ini, kedua orang dengan sudut pandang yang berlawanan memandang satu sama lain seperti seekor domba jantan dan membuktikan dengan sekuat tenaga bahwa mereka benar. Meskipun jika Anda melihatnya dari samping, Anda tidak dapat melihat hanya satu, tetapi dua ekor domba jantan, yang saling bertumpu pada tanduknya. Satu-satunya perbedaan di antara mereka adalah bahwa yang satu berpendidikan sedikit lebih rendah dibandingkan yang lain.

Paling sering, mereka yang menganggap aturan ini salah mencoba menggunakan logika seperti ini:

Saya memiliki dua buah apel di meja saya, jika saya menaruh nol buah apel di atasnya, yaitu saya tidak menaruh satu buah apel pun, maka kedua buah apel saya tidak akan hilang! Aturannya tidak masuk akal!

Memang apel tidak akan hilang kemana-mana, tapi bukan karena aturannya tidak logis, tapi karena persamaan yang digunakan di sini sedikit berbeda: 2 + 0 = 2. Jadi mari kita segera membuang kesimpulan ini - ini tidak logis, meskipun memiliki tujuan sebaliknya. - untuk memanggil logika.

Apa itu perkalian

Awalnya aturan perkalian didefinisikan hanya untuk bilangan asli: perkalian adalah suatu bilangan yang dijumlahkan beberapa kali, yang berarti bilangan tersebut adalah bilangan asli. Jadi, bilangan apa pun yang dikalikan dapat direduksi menjadi persamaan ini:

25×3 = 75
25 + 25 + 25 = 75
25×3 = 25 + 25 + 25

Dari persamaan ini berikut ini perkalian itu adalah penjumlahan yang disederhanakan.

Apa itu nol

Setiap orang tahu sejak masa kanak-kanak: nol adalah kekosongan, meskipun kekosongan ini memiliki sebutan, namun tidak membawa apa-apa. Ilmuwan Timur kuno berpikir secara berbeda - mereka mendekati masalah ini secara filosofis dan menarik beberapa persamaan antara kekosongan dan ketidakterbatasan dan melihat makna yang dalam dalam angka ini. Lagi pula, nol, yang berarti kekosongan, berdiri di samping bilangan asli apa pun, mengalikannya sepuluh kali lipat. Oleh karena itu semua kontroversi mengenai perkalian - bilangan ini mengandung begitu banyak ketidakkonsistenan sehingga sulit untuk tidak menjadi bingung. Selain itu, nol selalu digunakan untuk mendefinisikan angka kosong dalam pecahan desimal, hal ini dilakukan sebelum dan sesudah koma desimal.

Mungkinkah mengalikan dengan kekosongan?

Anda dapat mengalikannya dengan nol, tetapi tidak ada gunanya, karena, apa pun kata orang, meskipun mengalikan bilangan negatif, Anda tetap akan mendapatkan nol. Cukup mengingat aturan sederhana ini dan jangan pernah menanyakan pertanyaan ini lagi. Faktanya, semuanya lebih sederhana daripada yang terlihat pada pandangan pertama. Tidak ada makna dan rahasia tersembunyi, seperti yang diyakini para ilmuwan kuno. Di bawah ini kami akan memberikan penjelasan paling logis bahwa perkalian ini tidak ada gunanya, karena ketika suatu bilangan dikalikan dengan bilangan tersebut, Anda akan tetap mendapatkan hasil yang sama yaitu nol.

Kembali ke awal, argumen tentang dua apel, 2 kali 0 terlihat seperti ini:

Jika kamu makan dua apel sebanyak lima kali, maka kamu makan 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 apel
Jika kamu makan dua buah apel sebanyak tiga kali, maka kamu makan 2×3 = 2+2+2 = 6 buah apel
Jika Anda makan dua apel nol kali, maka tidak ada yang dimakan - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

Lagi pula, makan apel 0 kali berarti tidak makan satu pun. Ini akan terlihat jelas bahkan oleh anak terkecil sekalipun. Suka atau tidak, hasilnya akan 0, dua atau tiga bisa diganti dengan angka berapa pun dan hasilnya akan sama persis. Dan sederhananya nol bukanlah apa-apa, dan kapan kamu punya tidak ada apa-apa, maka berapa kali pun kamu mengalikannya, hasilnya tetap sama akan menjadi nol. Tidak ada yang namanya keajaiban, dan tidak ada yang bisa menghasilkan sebuah apel, bahkan jika Anda mengalikan 0 dengan satu juta. Ini adalah penjelasan paling sederhana, paling mudah dipahami dan logis tentang aturan perkalian dengan nol. Bagi seseorang yang jauh dari semua rumus dan matematika, penjelasan seperti itu akan cukup untuk mengatasi disonansi di kepala dan segala sesuatunya berjalan pada tempatnya.

Divisi

Dari semua hal di atas, aturan penting lainnya berikut ini:

Anda tidak dapat membaginya dengan nol!

Aturan ini juga terus-menerus tertanam di kepala kita sejak masa kanak-kanak. Kami hanya tahu bahwa tidak mungkin melakukan segala sesuatu tanpa memenuhi kepala kami dengan informasi yang tidak perlu. Jika tiba-tiba Anda ditanya mengapa dilarang membagi dengan nol, maka sebagian besar akan bingung dan tidak bisa menjawab dengan jelas pertanyaan paling sederhana dari kurikulum sekolah, karena tidak banyak perselisihan dan kontradiksi seputar aturan ini.

Semua orang hanya menghafalkan aturan tersebut dan tidak membaginya dengan nol, tidak curiga bahwa jawabannya tersembunyi di permukaan. Penjumlahan, perkalian, pembagian dan pengurangan tidak sama; dari semua yang di atas, hanya perkalian dan penjumlahan yang sah, dan semua manipulasi angka lainnya dibuat darinya. Artinya notasi 10:2 merupakan singkatan dari persamaan 2*x=10. Artinya notasi 10:0 sama dengan singkatan 0*x=10. Ternyata pembagian dengan nol merupakan tugas yang harus diselesaikan. temukan angka, kalikan dengan 0, Anda mendapatkan 10 Dan kita telah mengetahui bahwa angka tersebut tidak ada, yang berarti persamaan ini tidak memiliki solusi, dan secara apriori salah.

Biarkan aku memberitahu Anda,

Agar tidak membagi dengan 0!

Potong 1 sesuai keinginan, memanjang,

Hanya saja, jangan membaginya dengan 0!

Contoh perhitungan

TAMBAHAN

Saat menambahkan nol ke suatu bilangan tertentu (baik bilangan bulat maupun pecahan, baik positif maupun negatif), nilainya tetap sama sekali tidak berubah.

Contoh 1

dua puluh empat lebih nol sama dengan dua puluh empat.

Contoh 2

Tujuh belas koma tiga perdelapan lebih nol sama dengan tujuh belas koma tiga perdelapan.

PERKALIAN

Saat mengalikan bilangan apa pun (bilangan bulat, pecahan, positif atau negatif) dengan nol ternyata nol.

Contoh 1

Lima ratus delapan puluh enam kali nol sama nol.

Contoh 2

Nol dikalikan seratus tiga puluh lima koma enam tujuh sama dengan nol.

Contoh 3

Nol kalikan dengan nol sama nol.

DIVISI

Aturan untuk membagi bilangan satu sama lain jika salah satunya adalah nol berbeda-beda bergantung pada peran apa yang dimainkan oleh nol itu sendiri: pembagi atau pembagi?

Dalam kasus di mana nol mewakili dividen, hasilnya selalu sama, berapapun nilai pembaginya.

Contoh 1

Nol dibagi dua ratus enam puluh lima sama nol.

Contoh 2

Nol dibagi tujuh belas lima ratus sembilan puluh enam sama dengan nol.

= 0

Membagi nol ke nol Menurut aturan matematika, hal itu tidak mungkin. Artinya ketika melakukan prosedur seperti itu, hasil bagi tidak pasti. Jadi, secara teori, angka tersebut dapat mewakili angka berapa pun.

0: 0 = 8 karena 8 × 0 = 0

Dalam matematika ada masalah seperti pembagian nol dengan nol, tidak masuk akal, karena hasilnya adalah himpunan tak terhingga. Namun pernyataan ini benar jika tidak ada data tambahan yang dapat mempengaruhi hasil akhir.

Ini, jika ada, harus terdiri dari indikasi tingkat perubahan besaran dividen dan pembagi, dan bahkan sebelum saat keduanya berubah menjadi nol. Jika ini didefinisikan, maka ekspresi seperti nol dibagi dengan nol, dalam sebagian besar kasus, beberapa makna dapat diberikan.

Pelajaran ini akan membahas cara melakukan perkalian dan pembagian dengan bilangan berbentuk 10, 100, 0,1, 0,001. Berbagai contoh tentang topik ini juga akan dipecahkan.

Latihan. Bagaimana cara mengalikan angka 25,78 dengan 10?

Notasi desimal suatu bilangan merupakan notasi singkat untuk jumlah tersebut. Perlu dijelaskan lebih detail:

Jadi, Anda perlu mengalikan jumlahnya. Untuk melakukannya, Anda cukup mengalikan setiap suku:

Ternyata...

Kita dapat menyimpulkan bahwa mengalikan pecahan desimal dengan 10 sangatlah sederhana: Anda perlu memindahkan koma desimal ke satu posisi kanan.

Latihan. Kalikan 25.486 dengan 100.

Mengalikan dengan 100 sama dengan mengalikan dua kali dengan 10. Dengan kata lain, Anda perlu memindahkan koma desimal ke kanan sebanyak dua kali:

Latihan. Bagilah 25,78 dengan 10.

Seperti pada kasus sebelumnya, Anda perlu menyajikan angka 25,78 sebagai jumlah:

Karena Anda perlu membagi jumlahnya, ini sama dengan membagi setiap suku:

Ternyata untuk membagi dengan 10, kamu perlu memindahkan koma desimal ke posisi kiri satu. Misalnya:

Latihan. Bagilah 124.478 dengan 100.

Membagi dengan 100 sama dengan membagi 10 dua kali, sehingga koma desimal berpindah ke kiri 2 tempat:

Jika pecahan desimal perlu dikalikan dengan 10, 100, 1000, dan seterusnya, Anda perlu memindahkan koma desimal ke kanan sebanyak posisi yang ada pada pengalinya.

Sebaliknya, jika pecahan desimal perlu dibagi 10, 100, 1000, dan seterusnya, Anda perlu memindahkan koma desimal ke kiri sebanyak posisi yang ada pada pengalinya.

Contoh 1

Mengalikan dengan 100 berarti memindahkan tempat desimal dua tempat ke kanan.

Setelah digeser, Anda dapat menemukan bahwa tidak ada lagi angka setelah koma, yang berarti bagian pecahannya hilang. Maka tidak perlu koma, bilangannya bilangan bulat.

Contoh 2

Anda perlu memindahkan 4 posisi ke kanan. Tapi hanya ada dua digit setelah koma desimal. Perlu diingat bahwa ada notasi yang setara untuk pecahan 56,14.

Sekarang mengalikannya dengan 10.000 itu mudah:

Jika tidak begitu jelas mengapa Anda dapat menambahkan dua angka nol ke pecahan pada contoh sebelumnya, maka video tambahan di tautan dapat membantu dalam hal ini.

Notasi desimal yang setara

Entri 52 berarti sebagai berikut:

Jika kita menempatkan 0 di depan, kita mendapatkan entri 052. Entri-entri ini setara.

Apakah mungkin untuk menempatkan dua angka nol di depan? Ya, entri-entri ini setara.

Sekarang mari kita lihat pecahan desimal:

Jika Anda menetapkan nol, Anda mendapatkan:

Entri-entri ini setara. Demikian pula, Anda dapat menetapkan beberapa angka nol.

Jadi, bilangan apa pun dapat memiliki beberapa angka nol setelah bagian pecahan dan beberapa angka nol sebelum bagian bilangan bulat. Ini akan menjadi entri yang setara dengan nomor yang sama.

Contoh 3

Contoh 4

Anda perlu memindahkannya ke kiri sebanyak tiga posisi, tetapi hanya ada dua posisi. Jika Anda menulis beberapa angka nol di depan suatu angka, itu akan menjadi notasi yang setara.

Artinya, saat menggeser ke kiri, jika angkanya habis, Anda harus mengisinya dengan angka nol.

Contoh 5

Dalam hal ini, perlu diingat bahwa koma selalu muncul setelah seluruh bagian. Kemudian:

Mengalikan dan membagi dengan angka 10, 100, 1000 merupakan cara yang sangat sederhana. Situasinya sama persis dengan angka 0,1, 0,01, 0,001.

Contoh. Kalikan 25,34 dengan 0,1.

Mari kita tulis pecahan desimal 0,1 sebagai pecahan biasa. Namun mengalikan dengan sama saja dengan membagi dengan 10. Oleh karena itu, Anda perlu memindahkan posisi koma desimal 1 ke kiri:

Demikian pula, mengalikan dengan 0,01 berarti membaginya dengan 100:

Contoh. 5.235 dibagi 0,1.

Penyelesaian contoh ini dibuat dengan cara serupa: 0,1 dinyatakan sebagai pecahan biasa, dan membaginya dengan sama dengan mengalikan dengan 10:

Artinya, untuk membagi dengan 0,1, Anda perlu memindahkan koma desimal ke posisi satu kanan, yang setara dengan mengalikan dengan 10.

Mengalikan dengan 10 dan membagi dengan 0,1 adalah hal yang sama. Koma harus dipindahkan ke kanan sebanyak 1 posisi.

Membagi dengan 10 dan mengalikannya dengan 0,1 adalah hal yang sama. Koma perlu dipindahkan ke kanan sebanyak 1 posisi:

Jenis