Что такое инерция? Значение слова "инерция". Инерция твердого тела

Силы инерции и основной закон механики

Берников Василий Русланович,

инженер.

Предисловие

Внутренние силы в ряде случаев являются причиной появления внешних сил, приложенных к системе , , , . Силы инерции всегда являются внешними по отношению к любой движущейся системе материальных тел , , , . Силы инерции действуют также как и силы взаимодействия, они вполне реальны, могут совершать работу, сообщать ускорение , , , . При большом количестве теоретических предпосылок в механике о возможности использования сил инерции в качестве поступательной при создании конструкций не приводили к положительному результату. Можно отметить только некоторые широко известные конструкции с небольшой эффективностью использования сил инерции: инерцоид Толчина , вихревой жидкостный движитель Фролова , движитель Торнсона . Медленное развитие инерционных движителей объясняется отсутствием фундаментального теоретического обоснования наблюдаемого эффекта. На основании обычных классических представлений физической механики в данной работе создана теоретическая база использования сил инерции в качестве поступательной.

§1. Основной закон механики и его следствия.

Рассмотрим законы преобразования сил и ускорений в различных системах отсчёта. Выберем произвольно неподвижную инерциальную систему отсчёта и условимся движение относительно неё считать абсолютным. В такой системе отсчёта основным уравнением движения материальной точки является уравнение, выражающее второй закон Ньютона.

mw абс = F , (1.1)

где F – сила взаимодействия тел.

Тело, покоящееся в движущейся системе отсчёта, увлекается последней в её движении относительно неподвижной системы отсчёта. Такое движение называется переносным. Движение тела относительно системы отсчёта называется относительным. Абсолютное движение тела складывается из его относительного и переносного движений. В неинерциальных системах отсчёта (системы отсчёта, движущиеся с ускорением) закон преобразования ускорений для поступательного движения имеет следующий вид

w абс = w отн + w пер. (1.2)

Учитывая (1.1) для сил запишем уравнение относительного движения для материальной точки в движущейся с поступательным ускорением системе отсчёта

mw отн = F - mw пер, (1.3)

где mw пер - это поступательная сила инерции, возникающая не из-за взаимодействия тел, а из-за ускоренного движения системы отсчёта. Движение тел под действием сил инерции аналогично движению во внешних силовых полях [ 2,с.359] . Импульс центра масс системы [ 3, с.198] может быть изменён путём изменения внутреннего вращательного импульса или внутреннего поступательного импульса. Силы инерции всегда являются внешними [ 2,с.359] по отношению к любой движущейся системе материальных тел.

Допустим теперь, что система отсчёта движется совершенно произвольно относительно неподвижной системы отсчёта. Это движение можно разделить на два: поступательное движение со скоростью v о, равной скорости движения начала координат, и вращательное движение вокруг мгновенной оси, проходящей через это начало. Угловую скорость этого вращения обозначим w , а расстояние от начала координат движущейся системы отсчёта до движущейся точки в ней через r . Кроме того, движущаяся точка имеет относительно движущейся системы отсчёта скорость v отн. Тогда для абсолютного ускорения [ 2,с.362] известно соотношение

w абс = w отн - 2[ v отн w ] + (d v о /dt) - w 2 r ^ + [ (dw / dt)r ] ,. (1.4)

где r ^ - компонента радиуса-вектора r , перпендикулярная к мгновенной оси вращения. Перенесём относительное ускорение в левую часть, а абсолютное в правую часть и всё умножим на массу тела, получим основное уравнение сил относительного движения [ 2,с.364] материальной точки в произвольно движущейся системе отсчёта

mw отн = mw абс + 2m[ v отн w ] - m(d v о /dt) + mw 2 r ^ – m[ (dw / dt)r ] . (1.5)

Или соответственно

mw отн = F + F к + F п + F ц + F ф, (1.6)

где: F – сила взаимодействия тел; F к – кориолисова сила инерции; F п – поступательная сила инерции; F ц – центробежная сила инерции; F ф – фазовая сила инерции.

Направление силы взаимодействия тел F совпадает с направлением ускорения тела. Кориолисова сила инерции F к направлена согласно векторному произведению радиальной и угловой скорости, то есть перпендикулярно обоим векторам. Поступательная сила инерции F п направлена противоположно ускорению тела. Центробежная сила инерции F ц направлена по радиусу от центра вращения тела. Фазовая сила инерции F ф направлена противоположно векторному произведению углового ускорения и радиуса от центра вращения перпендикулярно этим векторам.

Таким образом, достаточно знать величину и направление действия сил инерции и взаимодействия, чтобы определить траекторию движения тела относительно любой системы отсчёта.

Кроме сил инерции и взаимодействия тел существуют силы переменной массы, являющиеся следствием действия сил инерции. Рассмотрим второй закон Ньютона в дифференциальной форме [ 2, с.77]

dP /dt = ∑F , (1.7)

где: P – импульс системы тел; ∑F – сумма внешних сил.

Известно, что импульс системы тел в общем случае зависит от времени и, соответственно, равен

P (t) = m(t)v (t), (1.8)

где: m(t) – масса системы тел; v (t) – скорость системы тел.

Так как скорость - это производная по времени координат системы, то

v (t) = dr (t)/dt, (1.9)

где r – радиус-вектор.

В дальнейшем будем подразумевать зависимость от времени: массы, скорости и радиуса-вектора. Подставим (1.9) и (1.8) в (1.7) получим

d(m (dr /dt))/dt = ∑F . (1.10)

Внесём массу m под знак дифференциала [ 1,с.295] , тогда

d [ (d(mr )/dt) – r (dm/dt) ] /dt = ∑F .

Производная разности равна разности производных

d [ (d(mr )/dt) ] dt – d [ r (dm/dt) ] /dt =∑F .

Проведём подробное дифференцирование каждого слагаемого по правилам дифференцирования произведений

m(d 2 r /dt 2) + (dm/dt)(dr /dt) + (dm/dt)(dr /dt) +

+ r (d 2 m/dt 2) – r (d 2 m/dt 2) - (dm/dt)(dr /dt) = ∑F . (1.11)

Приведём подобные члены и запишем уравнение (1.11) в следующем виде

m(d 2 r /dt 2) = ∑F - (dm/dt)(dr /dt). (1.12)

В правой части уравнения (1.12) сумма всех внешних сил. Последнее слагаемое называется силой переменной массы, то есть

F пм = - (dm/dt)(dr /dt). (1.13)

Таким образом, к внешним силам добавляется ещё одна внешняя сила - сила переменной массы. Выражение в первой скобке правой части уравнения (1.13) - это скорость изменения массы, а выражение во второй скобке - это скорость отделения (присоединения) частиц. Таким образом, эта сила действует при изменении массы (реактивная сила) [ 2, с.120] системы тел с отделением (присоединением) частиц с соответствующей скоростью относительно этой системы тел. Уравнение (1.12) - это уравнение Мещерского [ 2, с.120] , знак минус указывает на то, что уравнение выведено в предположении действия внутренних сил (отделение частиц). Так как уравнение (1.12) выведено в предположении изменения импульса системы тел под воздействием внутренних сил, порождающих внешние, точным математическим методом, поэтому при его выводе в выражении (1.11) появились ещё две силы , которые не участвуют в изменении импульса системы тел, так как они при приведении подобных членов сокращаются. Перепишем уравнение (1.11), учитывая уравнение (1.13), не сокращая подобные члены, следующим образом

m(d 2 r /dt 2) + r (d 2 m/dt 2) +(dm/dt)(dr /dt) = ∑F + F пм + r (d 2 m/dt 2) +(dm/dt)(dr /dt). (1.14)

Обозначим предпоследний член выражения (1.14) через F m , а последний через F д, тогда

m(d 2 r /dt 2) + r (d 2 m/dt 2) + (dm/dt)(dr /dt) = ∑F + F пм + F m + F д. (1.15)

Так как сила F m не участвует в изменении импульса, то её можно записать отдельным уравнением

F m = r (d 2 m/dt 2). (1.16)

Рассмотрим физический смысл уравнения (1.16), для этого перепишем его в следующем виде

r = F m /(d 2 m/dt 2). (1.17)

Отношение силы к ускоренному росту массы в определённом объёме является величиной постоянной или пространство, занимаемое определённым количеством вида вещества, характеризуется минимальным объёмом. Сила F m статическая и выполняет функцию давления.

Сила F д также не участвует в изменении импульса системы тел, поэтому запишем её отдельным уравнением и рассмотрим её физический смысл

F д = (dm/dt)(dr /dt). (1.18)

Сила F д - это сила давления, оказываемая веществом, находящимся в жидком или газообразном состоянии на окружающее пространство. Характеризуется количеством, массой и скоростью частиц, обеспечивающих давление в определённом направлении. Следует отметить, что сила давления F д совпадает с силой переменной массы F пм и их разграничение произведено только для определения характера действия в различных условиях. Таким образом, уравнение (1.15) полностью описывает состояние вещества. То есть, рассматривая уравнение (1.15), можно заключить, что вещество характеризуется массой как мерой инертности, минимальным пространством, которое может занимать данное количество вещества без изменения его свойств и давлением, оказываемым веществом в жидком и газообразном состоянии на окружающее пространство.

§2. Характеристика действия сил инерции и переменной массы.

Поступательное ускоренное движение тела происходит под действием силы по второму закону Ньютона. То есть изменение величины скорости тела происходит при наличии ускорения и силы, вызвавшей это ускорение.

Использование центробежной силы инерции для поступательного движения возможно только при увеличении линейной скорости источников этих сил , так как при ускоренном движении системы силы инерции источников в направлении увеличения скорости системы уменьшаются вплоть до полного исчезновения. Кроме того, поле сил инерции должно быть неоднородным и иметь максимальное значение в части системы по направлению поступательного движения.

Рассмотрим движение тела (рис.2.1) массой m по окружности радиусом R.

Рис. 2.1.

Центробежная сила F ц, с которой тело давит на окружность, определяется формулой

F ц = m ω 2 R . (2.1)

Используя известное соотношение ω = v /R, где v линейная скорость тела перпендикулярная радиусу R, запишем формулу (2.1) в следующем виде

F ц = m v 2 / R . (2.2)

Центробежная сила действует в направлении радиуса R . Теперь мгновенно разорвём окружность, по которой движется тело. Опыт показывает, что тело полетит по касательной в направлении линейной скорости v , а не в направлении действия центробежной силы. То есть при отсутствии опоры, центробежная сила мгновенно исчезает.

Пусть тело массой m движется по элементу полуокружности (рис.2.2) радиусом R, причём полуокружность движется с ускорением w П перпендикулярно диаметру.

Рис. 2.2.

При равномерном движении тела (линейная скорость не меняется по величине), и ускоренном полуокружности, опора в виде полуокружности мгновенно исчезает и центробежная сила будет равна нулю. Если тело движется с положительным линейным ускорением, то оно будет догонять полуокружность и, центробежная сила будет действовать. Найдём линейное ускорение w тела, при котором центробежная сила действует, то есть давит на полуокружность. Для этого время, затраченное телом на путь по касательной до пересечения со штриховой линией параллельной диаметру и проведённой через точку В (рис.2.2), должно быть меньше или равно времени, которое затратит полуокружность в направлении перпендикулярном диаметру. Пусть начальные скорости тела и полуокружности равны нулю и затраченное время одинаково, тогда путь S АС, пройденный телом

S АС = w t 2 /2, (2.3)

а путь, пройденный полуокружностью S АВ будет

S АВ = w П t 2 /2. (2.4)

Разделим уравнение (2.3) на (2.4) получим

S АС / S АВ = w / w П.

Тогда ускорение тела w с учётом очевидного соотношения S АС / S АВ = 1/ cosΨ

w = w П /cosΨ, (2.5)

где 0 £ Ψ £ π/2.

Таким образом, проекция ускорения тела в элементе окружности на данное направление (рис.2.2) должна быть всегда больше или равна ускорению системы н том же направлении для поддержания в действии центробежной силы. То есть центробежная сила выступает в качестве поступательной движущей силы только при наличии положительного ускорения, изменяющей величину линейной скорости тела в системе

Аналогично получается соотношение для второй четверти полуокружности (рис.2.3).

Рис. 2.3.

Только путь, проходимый телом по касательной будет начинаться из точки на движущейся с ускорением полуокружности до пересечения со штриховой линией параллельной диаметру и, проходящей через точку А начального положения полуокружности. Угол в этом случае определяется интервалом π/2 ³ Ψ ³ 0.

Для системы, тело в которой движется равномерно или с замедлением по окружности, центробежная сила не вызовет поступательного ускоренного движения системы, так как линейное ускорение тела будет равно нулю или тело будет отставать от ускоренного движения системы.

Если тело вращается с угловой скоростью ω и одновременно приближается к центру окружности со скоростью v , тогда возникает кориолисова сила

F к = 2m [v ω ]. (2.6)

Типичный элемент траектория показана на рис.2.4.

Рис. 2.4.

Все формулы (2.3),(2.4),(2.5) и выводы для поддержания в действии центробежной силы циркулирующей среды будут верны и для кориолисовой силы, так как при ускоренном движении системы тело, движущееся с положительным линейным ускорением, будет успевать за ускорением системы и, соответственно, двигаться по криволинейной траектории, а не по касательной прямой, когда кориолисова сила отсутствует. Кривую надо разделить на две половины. В первой половине кривой (рис.4) угол меняется от начальной точки до нижней в интервале -π/2 £ Ψ £ π/2, а во второй половине от нижней точки до центра окружности π/2 ³ Ψ ³ 0. Аналогично, при вращении тела и одновременном удалении (рис.2.5) его от центра, кориолисова сила действует как поступательная при положительном ускорении величины линейной скорости тела.

Рис. 2.5.

Интервал углов в первой половине от центра окружности до нижней точки 0 £ Ψ £ π/2, а во второй половине от нижней точки до конечной π/2 ³ Ψ ³ -π/2.

Рассмотрим поступательную силу инерции F п (рис.2.6), которая определяется по формуле

F п = -m w, (2.7)

где w – ускорение тела.

Рис. 2.6.

При положительном ускорении тела она действует против движения, а при отрицательном ускорении (замедлении) она действует по направлению движения тела. При воздействии элемента ускорения или замедления (рис.2.6) на систему, с которой связаны элементы, ускорение тела элемента по модулю, очевидно, должно быть больше модуля ускорения системы, вызванной поступательной силой инерции тела. То есть поступательная сила инерции выступает в качестве движущей при наличии положительного или отрицательного ускорения.

Фазовая сила инерции F ф (сила инерции, вызванная неравномерностью вращения) определяется формулой

F ф = -m [(dω /dt)R ]. (2.8)

Пусть радиус R перпендикулярен вектору угловой скорости ω , тогда в скалярном виде формула (2.8) приобретает вид

F ф = -m (dω/dt)R. (2.9)

При положительном угловом ускорении тела (рис.1.7) она действует против движения, а при отрицательном угловом ускорении (замедлении) она действует по направлению движения тела.

Рис. 2.7.

Используя известное соотношение ω = v /R, где v линейная скорость тела перпендикулярная радиусу R, запишем формулу (2.9) в следующем виде

F ф = -m (dv/dt). (2.10)

Так как dv/dt =w , где w – линейное ускорение тела, то уравнение (2.10) приобретает вид

F ф = -m w (2.11)

Таким образом, формула (2.11) аналогична формуле (2.7) для поступательной силы инерции, только ускорение w надо разложить на параллельную α II и перпендикулярную α ┴ составляющие (рис.2.8) по отношению к диаметру элемента полуокружности.

Рис. 2.8.

Очевидно, перпендикулярная составляющая ускорения w ┴ создаёт вращающий момент, так как в верхней части полуокружности она направлена влево, а в нижней части вправо. Параллельная составляющая ускорения w II создаёт поступательную силу инерции F фII , так как она направлена в верхней и нижней части полуокружности в одну сторону, совпадающую с направлением w II .

F фII = -m w II . (2.12)

Используя соотношение w II = w cosΨ, получим

F фII = -m w cosΨ, (2.13)

где угол Ψ находится в интервале -π/2 £ Ψ £ π/2.

Таким образом, получена формула (2.13) расчёта элемента фазовой силы инерции для поступательного движения. То есть фазовая сила инерции выступает в качестве движущей при наличии положительного или отрицательного линейного ускорения.

Итак, выделено четыре элемента поступательной силы инерции: центробежный, кориолисовый, поступательный, фазовый. Соединяя отдельные элементы определённым образом, можно соэдавать системы поступательной движущей силы инерции .

Рассмотрим силу переменной массы, определяемой формулой

F пм = - (dm/dt)(dr /dt). (2.14)

Так как скорость отсоединения (присоединения) частиц относительно системы тел равна

u =dr /dt, (2.15)

тогда уравнение (2.14) запишем так

F пм = -u (dm/dt). (2.16)

В уравнении (2.16) сила переменной массы ─ это значение силы, производимое отделяющейся частицей во время изменения её скорости от нуля до u или значение, производимое присоединяющейся частицей во время изменения её скорости от u до нуля. Таким образом, сила переменной массы действует в момент ускорения или замедления частиц, то есть она является поступательной силой инерции, но рассчитываемой по другим параметрам. С учётом выше написанного возникает необходимость уточнения вывода формулы Циолковского . Уравнение (1.12) перепишем в скалярном виде и положим ∑F = 0, тогда

m(d 2 r/dt 2) = - (dm/dt)(dr/dt). (2.17)

Так как ускорение системы

d 2 r/dt 2 = dv/dt,

где v – скорость системы, тогда уравнение (2.17) с учётом уравнения (2.15) будет

m(dv/dt) = - (dm/dt)u. (2.18)

Умножим уравнение (2.17) на dt получим

mdv = -udm, (2.19)

то есть, зная максимальную скорость u = u O отделения частиц, которую считаем постоянной, можно по соотношению начальной m O и конечной масс m определить конечную скорость системы v

v = -u O ∫ dm /m = u O ln(m O /m). (2.20)

m O /m = е v/uo . (2.21)

Уравнение (2.21) - это уравнение Циолковского.

§3. Контур циркулирующей среды центробежной силы инерции.

Рассмотрим циркуляцию среды по тору (рис. 3.1) со средним радиусом R, двигающейся с угловой скоростью ωотносительно центраО. Модульцентробежной силы, действующий на точечный элемент потока массой ∆m,будет равен

∆ F= ∆m ω 2 R.

В любом сечении кольца для одинаковых элементов центробежная сила будет по величине одинакова и направлена по радиусу от центра, растягивая кольцо. От направления вращения центробежная сила не зависит.

Рис. 3.1.

Теперь произведём расчёт суммарной центробежной силы , действующей перпендикулярно диаметру верхней полуокружности (рис.3.2). Очевидно, что в направлении из середины диаметра перпендикулярная проекция силы будет максимальна, плавно спадая к краям полуокружности, из-за симметричности кривой относительно средней линии. Кроме того, равнодействующая проекций центробежных сил, действующих параллельно диаметру, будет равна нулю, так как они равны и противоположно направлены.

Рис. 3.2.

Запишем элементарную функцию центробежной силы, действующей на точечный отрезок массой ∆ m и длиной ∆ ℓ:

∆ F= ∆ m ω 2 R. (3.1)

Масса точечного элемента равна плотности потока, умноженной на его объём

∆ m=ρ ∆ V. (3.2)

Длина половины тора по средней линии

где π – число пи.

Объём половины тора

V = π 2 Rr 2 = πR π r 2 = ℓ π r 2 ,

где r – радиус трубки тора.

Для элементарного объёма запишем

∆ V = ∆ ℓ π r 2 .

Известно, что для окружности

∆ ℓ= R∆ Ψ,

∆ V = π r 2 R∆ Ψ. (3.3)

Подставим выражение (3.3) в (3.2) получим:

∆ m=ρ π r 2 R∆ Ψ. (3.4)

Теперь подставим (3.4) в (3.1), тогда

∆ F= ρ π r 2 ω 2 R 2 ∆ Ψ.

Центробежная сила, действующая в перпендикулярном направлении (рис.2)

∆ F ┴ = ∆ Fcos((π/2)- Ψ).

Известно, чтоcos((π/2)- Ψ)=sin Ψ, тогда

∆ F ┴ = ∆ F sin Ψ.

Подставим значение для ∆ F получим

∆ F ┴ = ρ π r 2 ω 2 R 2 sin Ψ ∆ Ψ.

Найдём суммарную центробежную силу, действующую в перпендикулярном направлении в интервале от 0 до Ψ

F ┴ = ∫ ρ π r 2 ω 2 R 2 sin ΨdΨ.

Проинтегрируем это выражение, тогда получим

F ┴ = - ρ π r 2 ω 2 R 2 cosΨ│. (3.5)

Положим, что ускорение w циркулирующей среды в десять раз больше ускорения системы w с, то есть

В этом случае, согласно формуле (2.5) получим

Вычислим угол действия сил инерции в радианах

Ψ ≈ 0,467 π,

что соответствует углу в 84 градуса.

Таким образом, угловой интервал действия сил инерции составляет

0 £ Ψ £ 84° в левой половине контура и симметрично 96°£ Ψ £ 180° в правой половине контура. То есть интервал отсутствия действующих сил инерции во всём контуре составляет около 6,7% (реально, ускорение циркулирующей среды значительно больше ускорения системы, поэтому интервал отсутствия действующих сил инерции будет менее 1% и его можно не учитывать). Для определения суммарной центробежной силы, в этих интервалах углов, достаточно подставить первый интервал в формулу (3.5) и, вследствие симметрии, умножить на 2 получим

F ┴ = - 2ρ π r 2 ω 2 R 2 cosΨ│. (3.6)

После несложных вычислений получаем

F ┴ = 1,8 ρ π r 2 ω 2 R 2 .

Известно, что угловая скорость

F ┴ = 1,8 ρ π r 2 v 2 .

Так как циркулирующая среда должна двигаться с ускорением, чтобы действовала сила инерции, поэтому выразим линейную скорость через ускорение, полагая начальную скорость равной нулю

F ┴ = 1,8 ρ π r 2 (w t) 2 . (3.8)

Среднее значение за время действия положительного ускорения, которое считаем постоянным, будет

F ┴СР = ((1,8ρ π r 2 w 2)/t) ∫t 2 dt.

После вычислений получаем

F ┴СР = 0,6ρ π r 2 w 2 t 2 . (3.9).

Таким образом, был выделен контур циркулирующей среды, из которых можно составить замкнутую цепь и просуммировать их центробежные силы.

Составим замкнутую цепь из четырёх контуров разных сечений (рис.3.3): два верхних контура радиусом R. сечением S и два нижних контура радиусом R 1 сечением S 1 , пренебрегая краевыми эффектами при переходе циркулирующей среды с одного сечения на другое. Пусть S < S 1 и радиус

R 1 < R. Плотность циркулирующей среды одинакова. Тогда согласно уравнению неразрывности отношение скоростей потока в разных сечениях обратно пропорционально их сечениям, то есть

v/v 1 = S 1 /S = r 1 2 /r 2 , (3.10)

где r 1 и r радиусы потока циркулирующей среды соответствующего сечения.

Кроме того, запишем очевидное отношение для скоростей и ускорений

v/v 1 = w / w 1 . (3.11)

Найдём ускорение среды нижнего контура, используя для вычислений уравнение (3.10) и (3.11)

w 1 = w r 2 / r 1 2 . (3.12)

Теперь, согласно уравнению (3.9), определим центробежную силу для нижнего контура, учитывая уравнение (3.12) и после вычислений получим

F ┴СР1 = 0,6 ρ π r 1 2 w 1 2 = 0,6ρ π r 2 w 2 t 2 (r 2 / r 1 2) = F ┴СР (r 2 / r 1 2) (3.13)

При сравнении выражения для центробежной силы верхнего контура (3.9) и нижнего контура (3.13) вытекает, что они отличаются на величину (r 2 / r 1 2).

То есть при r < r 1 центробежная сила верхнего контура больше, чем нижнего.

Рис. 3.3.

Равнодействующая центробежных сил, действующая на два контура в верхней полуплоскости (граница верхней и нижней полуплоскости показана тонкой линией) противоположно направлена равнодействующей центробежных сил, действующей на два контура в нижней полуплоскости. Очевидно, что суммарная F Ц центробежная сила будет действовать в направлении,как показано на рисунке 3.3, примем это направление за положительное. Вычислим суммарную F Ц центробежную силу

F Ц = 2 F ┴СР - 2F ┴СР1 = 1,2ρ π r 2 w 2 t 2 (1- (r 2 / r 1 2)) (3.14)

Как видим, суммарная центробежная сила зависит от плотности потока, сечений противоположных контуров и ускорения потока. От радиуса контуров суммарная центробежная сила не зависит. Для системы, циркулирующая среда в которой движется равномерно или с замедлением по окружности, центробежная сила не вызовет поступательного ускоренного движения системы.

Таким образом, был выделен базисный контур циркулирующей среды, показана возможность использования контуров циркулирующей среды разных сечений для суммирования центробежной силы в определённом направлении и изменения общего импульса замкнутой системы тел под действием внешних сил инерции, вызванных внутренними силами.

Пусть r = 0,025м; r 1 = 0,05м; ρ = 1000 кг/м 3 ; w = 5м/с 2 , t = 1с, тогда за время действия положительного ускорения среднее значение суммарной центробежной силы F Ц.≈ 44Н.

§4. Контур циркулирующей среды кориолисовой силы инерции.

Известно, что кориолисова сила инерции возникает при вращении тела массой m по окружности и одновременном радиальном перемещении его, причём она перпендикулярна угловой скорости ω и скорости радиального перемещения v . Направление кориолисовой силы F совпадает с направлением векторного произведения в формуле F = 2m[v w ].

Рис. 4.1.

На рис.4.1 показано направление кориолисовой силы при вращении тела по окружности против часовой стрелки и радиальном перемещении его к центру окружности за первый полупериод,. а на рис.4.2 показано направление кориолисовой силы при вращении тела по окружности также против часовой стрелке и радиальном перемещение его от центра окружности за второй полупериод.

Рис. 4.2.

Совместим левую часть движения тела на рис.4.1 и правую часть на рис.4.2. тогда получим на рис. 4.3 вариант траектории движения тела за период.

Рис. 4.3.

Рассмотрим движение циркулирующей среды (жидкости) по трубам изогнутым соответственно траектории. Кориолисовы силы левой и правой кривой действуют в секторе 180 градусов в радиальном направлении при движении от точки В к точке О влево и вправо соответственно относительно оси Х. Составляющие кориолисовой силы левой и правой кривой F| | параллельные прямой АС компенсируют друг друга, так как одинаковы, противоположно направлены и симметричны относительно оси Х. Симметричные составляющие кориолисовой силы левой и правой кривой F^ перпендикулярные прямой АС складываются, так как направлены в одну сторону.

Вычислим величину кориолисовой силы, действующей по оси Х на левой половине траектории. Так как составление уравнения траектории представляет сложную задачу, то решение по нахождению кориолисовой силы ищем приближённым методом. Пусть v - это скорость жидкости постоянная по всей траектории. Радиальную скорость v р и линейную скорость вращения v л, согласно теореме параллелограмма скоростей, выразим (рис.3) через скорость v и угол α

v р = v cosα, v л = v sinα.

Траектория движения (рис.4.3) построена с учётом того, что в точке В радиальная скорость v р равна нулю, а линейная v л равна v. В центре окружности О, радиусом Rо, радиальная скорость v р равна v, а линейная v л равна нулю, причём касательная траектории в центре окружности перпендикулярна касательной траектории в начале (точка В). Радиус монотонно уменьшается от Rо до нуля. Угол α меняется от 90° в точке В до 0° в центре окружности. Тогда, из графических построений, выбираем длину траектории 1/4 длины окружности радиусом R 0 . Теперь можно вычислить массу жидкости, используя формулу объёма тора. То есть масса циркулирующей среды будет равна 1/4 массы тора со средним радиусом R 0 и внутренним радиусом трубы r

m = ρπ 2 r 2 R 0 /2, (4.1)

где ρ – плотность жидкости.

Модуль проекции кориолисовой силы в каждой точке траектории на ось Х находим по формуле

F^ = 2m v р ср ω ср cos b , (4.2)

где v р ср – среднее значение радиальной скорости; ω ср – среднее значение угловой скорости; b – угол между кориолисовой силой F и осью Х (-90° £ b £ 90° ).

Для технических расчётов можно не учитывать интервал отсутствия действия сил инерции, так как ускорение циркулирующей среды значительно больше ускорения системы. То есть выбираем интервал углов между кориолисовой силой F и осью Х (-90° £ b £ 90° ). Угол α меняется от 90° в точке В до 0° в центре окружности, тогда среднее значение радиальной скорости

v р ср = 1 / (0 - π/2) ∫ v cos α dα = 2 v / π. (4.3)

Среднее значение угловой скорости будет равно

ω ср = (1/ ((v π /2Rо) - v Rо))) ∫ ω dω = (v /2Rо) ((π /2.) +1). (4.4)

Нижний предел угловой скорости интеграла в формуле (4.4) определяем в начальной точке В. Он, очевидно, равен v /Rо. Верхнее значение интеграла определяем как предел отношения

ℓim (v л /R) = ℓim (v sinα /R), (4.5)

v л ® 0 α ® 0

R ® 0 R ® 0

где R – текущий радиус.

Воспользуемся известным методом [ 7, с.410] отыскания пределов для функций нескольких переменных: функция vsinα /R в точке (R= 0, α = 0) на любой прямой R = kα , проходящей через начало координат имеет предел. В данном случае предел не существует, но существует предел для определённой прямой. Найдём коэффициент к в уравнении прямой, проходящей через начало координат.

При α = 0 ® R= 0, при α = π /2 ® R= Rо (рис.3), отсюда к = 2Rо/π , тогда формула (5) преобразуется к виду, включающем первый замечательный предел

ℓim (v π sinα /2Rо α) = (v π/2Rо) ℓim sinα/α = v π/2Rо. (4.6)

α ® 0 α ® 0

Теперь подставим полученное значение из формул (4.1), (4.3) и (4.4) в (4.2) получим

F^ = ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1) cos b .

Найдём сумму проекций кориолисовой силы в интервале (-90° £ b £ 90° ) для левой кривой.

90°

F^ = ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1) ∫ cos b db = 2 ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1).

90°

Окончательно сумма проекций кориолисовой силы для левой и правой кривой

∑F^ = 4ρ r 2 v 2 ((π /2.) +1). (4.7)

Согласно соотношению (3.7), уравнение (4.7) перепишем в виде

∑F^ = 4ρ r 2 (w t) 2 ((π /2.) +1). (4.8)

Вычислим среднее значение кориолисовой силы по времени, считая ускорение постоянным

Fк = ∑F^ ср = 4ρ r 2 w 2 ((π /2.) +1) / t) ∫t 2 dt.

После вычислений получаем

Fк ≈ 1,3ρ r 2 w 2 ((π /2.) +1)t 2 . (4.9)

Пусть r = 0,02м; w = 5м/с 2 ; ρ = 1000кг/м 3 ; t = 1c, тогда суммарная средняя кориолисова сила инерции за время действия положительного ускорения циркулирующей среды будет Fк ≈ 33Н.

В центре окружности в траектории имеется перегиб (рис.4.3), который можно интерпретировать, для упрощения расчётов, как полуокружность с малым радиусом. Для наглядности разделим траекторию на две половины и вставим в нижнюю часть полуокружность, а в верхнюю часть прямую, как показано на рис.4.4 и направим циркулирующую среду по трубе радиусом r, изогнутой по форме траектории.

Рис. 4.4.

В формуле (3.5) положим угол Ψ = 180° , тогда суммарная центробежная сила Fц, действующая в перпендикулярном направлении для контура циркулирующей среды

Fц = 2 ρπ r 2 v 2 . (4.10)

Таким образом, центробежная сила не зависит от радиуса R, а зависит только от угла интегрирования (см. формулу (3.5)) при постоянной плотности потока ρ, радиуса r и скорости циркулирующей среды v в каждой точке траектории. Так как радиус R может быть любым, то можно заключить, что для любой выпуклой кривой с краями перпендикулярными прямой АОБ (рис.3.2) центробежная сила будет определяться выражением (4.10). Следует отметить, как следствие, что каждый край выпуклой кривой может быть перпендикулярен своей прямой, которые параллельны и не лежат на одной линии.

Сумма проекций центробежных сил (рис.4), действующих против направления оси Х, возникающих в полуокружности и двух половинках выпуклой кривой (прямая не вносит вклад в центробежную силу) над ломаной линией и проекций, действующих по оси Х, возникающих в двух выпуклых кривых под ломаной линией компенсируются, так как они одинаковы и направлены в противоположные стороны. Таким образом. центробежная сила не вносит вклад в поступательное движение.

§5. Твёрдотельные вращательные системы. Центробежные силы инерции.

1. Вектор собственной угловой скорости стержней перпендикулярен вектору угловой скорости центра масс стержня и радиусу общей оси вращения стержней.

Энергия поступательного движения может переходить в энергию вращательного движения и наоборот . Рассмотрим пару противоположных стержней длиной ℓ с точечными грузами одинаковой массы на концах, равномерно вращающихся вокруг собственного центра масс и вокруг общего центра О радиусом R с угловой скоростью ω (рис. 5.1): полуоборот стержня за один оборот вокруг общей оси. Пусть R ³ ℓ/2. Для полного описания процесса достаточно рассмотреть вращение в интервале углов 0 £ α £ π/2. Расставим силы, действующие параллельно оси Х, проходящей через общий центр О и положение стержней под углом α = 45 градусов, в плоскости оси Х и общей оси вращения, как показано на рисунке 5.1.

Рис. 5.1.

Угол α связан с частотой ω и временем t соотношением

α = ωt/2, (5.1.1)

так как полуоборот стержня происходит за один оборот вокруг общей оси. Очевидно, что центробежные силы инерции удалённых грузов от центра будут больше, чем ближних. Проекции центробежных сил инерции на ось Х будут

Fц1 = mω 2 (R - (ℓ/2) cos α) sin 2α (5.1.2)

Fц2 = mω 2 (R + (ℓ/2) cos α) sin 2α (5.1.3)

Fц3 = - mω 2 (R + (ℓ/2) sin α) sin 2α (5.1.4)

Fц4 = - mω 2 (R - (ℓ/2) sin α) sin 2α (5.1.5)

Запишем разностную центробежную силу инерции, действующую на удалённые грузы. Разностная центробежная сила инерции на второй груз

Fц2-1 = mω 2 ℓ cosα sin2α. (5.1.6)

Разностная центробежная сила инерции на третий груз

Fц3-4 = - mω 2 ℓ sinα sin2α. (5.1.7)

Среднее значение разностных центробежных сил инерции за полуоборот будет

Fср ц2-1 = (1/(π/2))∫mω 2 ℓ cosα sin2αdα = 4mω 2 ℓ/3 π » 0,4mω 2 ℓ, (5.1.8)

Fср ц3-4 = (1/(π/2))∫mω 2 ℓ sinα sin2αdα = -4mω 2 ℓ/3 π » -0,4mω 2 ℓ. (5.1.9)

Получили две противоположные и равные по модулю центробежные силы инерции, которые являются внешними. Поэтому их можно представить в виде двух одинаковых бесконечно удалённых тел (не входящих в систему), одновременно взаимодействующих с системой: к первому телу второй груз подтягивает систему, а от второго тела третий груз отталкивает систему.

Среднее значение силы принудительного воздействия на систему за полуоборот по оси Х равно сумме сил подтягивания Fср ц2-1 и отталкивания Fср ц3-4 от внешних тел

Fп = | Fср ц2-1 | + | Fср ц3-4 | = 0,8 mω 2 ℓ. (5.1.10)

Для устранения вращающего момента системы из двух стержней в вертикальной плоскости (рис.5.2) необходимо применить ещё пару противоположных стержней, вращающихся синхронно в одной плоскости в противоположную сторону.

Рис. 5.2.

Для устранения вращающего момента системы по общей оси с центром О применяем такую же пару из четырёх стержней, но вращающихся в противоположную сторону относительно общей оси (рис.5.3).

Рис. 5.3.

Окончательно, для системы из четырёх пар вращающихся стержней (рис.5.3) сила тяги будет

Fт = 4Fп = 3,2mω 2 ℓ . (5.1.11)

Пусть m = 0,1кг; ω =2 πf, где f = 10об/с; ℓ = 0,5м, тогда Fт ≈ 632Н.

2. Вектор собственной угловой скорости стержней перпендикулярен вектору угловой скорости центра масс стержня и параллелен радиусу общей оси вращения стержней.

Рассмотрим пару противоположных перпендикулярных друг другу стержней длиной ℓ с точечными грузами одинаковой массы на концах, равномерно вращающихся вокруг собственного центра масс и вокруг общего центра О радиусом R с угловой скоростью ω (рис. 5.4): полуоборот стержня за один оборот вокруг общей оси.

Рис. 5.4.

Для вычисления выбираем только m1 и m2, так как для m3 и m4 решение аналогичное. Определим угловые скорости грузов относительно общего центра О. Модули проекций линейной скорости грузов относительно собственного центра масс параллельно плоскости вращения относительно общего центра О будут (рис.5.5)

v1 = v2 = (ωℓ/4) sin (Ψ/2), (5.2.1)

где Ψ = ωt.

Выделим по модулю проекции касательной этих скоростей перпендикулярных радиусам r1 и r2 соответственно относительно центра О получим

v1R = v2R = (ω ℓ/4) sin ( Ψ/2) cos b , (5.2.2)

cos b = R /r1 = R /r2 =R/ Ö (R 2 +(ℓ 2 /4) cos 2 ( Ψ/2)), (5.2.3)

R – расстояние от центра О до центра масс грузов, r1, r2 – расстояние от грузов до центра О, причём r1 = r2.

Рис. 5.5.

Модули линейной скорости грузов относительно общего центра О без учёта их линейной скорости относительно собственного центра масс будут

vR1 = ω r1, (5.2.4)

vR2 = ω r2. (5.2.5)

Найдём суммарную угловую скорость каждого груза относительно общей оси вращения, учитывая, что линейные скорости противоположно направлены у первого груза и одинаково у второго, тогда

ω 1 = (vR1 - v1R)/r1 = ω [ 1– (ℓR sin (Ψ/2))/4(R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)) ] , (5.2.6)

ω 2 = (vR2 + v2R)/r2 = ω [ 1+ (ℓR ] . (5.2.7)

Соответственно центробежные силы составят

F 1 = mω 1 2 r1

F 2 = mω 2 2 r2

Или подробно

F 1 = mω 2 [ (1– (ℓR sin(Ψ/2))/4(R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)), (5.2.8)

F 2 = mω 2 [ (1+ (ℓR sin(Ψ/2))/4(R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (R 2 +(ℓ 2 /4)cos 2 (Ψ/2)). (5.2.9)

Рассмотрим вариант, когда ℓ= 4R. В этом случае, при Ψ=180° угловая частота первого груза ω 1 = 0 и она не меняет направление, у второго груза ω 2 = 2ω (рис.5.6).

Рис. 5.6.

Перейдём к определению центробежных сил в направлении оси Х при ℓ= 4R

F 1 = mω 2 R [ (1+ 4cos 2 (Ψ/2)– sin(Ψ/2))/(1+4cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (1 + 4cos 2 (Ψ/2)), (5.2.10)

F 2 = mω 2 R [ (1+ 4cos 2 (Ψ/2)+ sin(Ψ/2))/(1+4cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (1 + 4cos 2 (Ψ/2)). (5.2.11)

Следует отметить, что с ростом угла Ψ от 0 до 180 ° в точке Ψ = b = 60 ° проекция центробежной силы F 2 меняет знак с отрицательного на положительный.

Сначала, сложим средние значения проекции на ось Х центробежной силы первого груза и среднее значение проекции второго в интервале угла

0 £ Ψ£ 60 ° , учитывая знаки, так как они противоположно направлены

F СР 1-2 = (1/(π /3))∫ (F 1 sin(b + Ψ) - F 2 sin(b - Ψ))dΨ ≈ 0,6mω 2 R, (5.2.12)

где b = arccos (1/ Ö (1 +4 cos 2 (Ψ/2))) определяется из формулы (5.2.3).

Центробежная сила F СР 1-2 в формуле (5.2.12) положительна, то есть направлена по оси Х. Теперь сложим одинаково направленные среднее значение проекции на ось Х центробежной силы первого груза и среднее значение проекции второго в интервале угла 60 ° £ Ψ£ 180 °

F СР 1+2 = (1/(π-(π/3)))∫(F 1 sin(Ψ + b )+ F 2 sin(Ψ- b ))dΨ ≈ 1,8mω 2 R, (5.2.13)

Среднее значение в интервале 0 ° £ Ψ£ 180 ° , очевидно, будет

F СР = (F СР 1-2 + 2F СР 1+2)/3 ≈ 1,4 mω 2 R. (5.2.14)

Для m3 и m4 среднее значение проекции на ось Х центробежной силы будет таким же, но действующей в противоположную сторону.

F Т = 4 F СР = 5,6mω 2 R. (5.2.15)

Пусть m = 0,1кг; ω =2 πf, где f = 10об/с; ℓ= 4R , где R = 0,1м, тогда F Т ≈ 220Н.

3. Вектор собственной угловой скорости стержней параллелен и одинаково направлен с вектором угловой скорости центра масс стержня, вращающегося относительно общей оси.

Рассмотрим пару противоположных, лежащих водной плоскости, стержней длиной ℓ с точечными грузами одинаковой массы на концах, равномерно вращающихся вокруг собственного центра масс и вокруг общего центра О радиусом R с угловой скоростью ω (рис. 5.7): полуоборот стержня за один оборот вокруг общей оси.

Рис. 5.7.

Аналогично предыдущему случаю для вычисления выбираем только m1 и m2, так как для m3 и m4 решение аналогичное. Приблизительную оценку действующих сил инерции произведём при ℓ = 2R с использованием средних значений угловой скорости относительно центра О, а также средних значений расстояния от грузов до центра О. Очевидно, угловая скорость первого груза в начале будет 1,5ω второго груза 0,5ω , а через полуоборот у обоих ω. Расстояние от первого груза до центра О в начале 2R от второго груза 0, а через полуоборот от каждого R Ö 2.

Рис. 5.8.

Причём в интервале 0 ° £ Ψ£ 36 ° (рис. 5.8) центробежные силы складываются в направлении оси Х, в интервале 36 ° £ Ψ£ 72 ° (рис. 5.8, рис. 5.9) из силы первого тела вычитается сила второго и их разность действует по оси Х, в интервале 72 ° £ Ψ£ 90 ° (рис. 5.9) силы складываются и действуют противоположно оси Х.

Рис. 5.9.

Определим средние значения угловой скорости и радиусов грузов за полуоборот.

Средняя угловая скорость первого груза

ω СР 1 = (ω + 0,5ω + ω)/2 = 1,25ω. (5.3.1)

Средняя угловая скорость второго груза

ω СР 2 = (ω - 0,5ω + ω)/2 = 0,75ω. (5.3.2)

Средний радиус первого груза

R СР 1 = (2R + R Ö 2)/2 = R (2 + Ö 2)/2. (5.3.3)

Средний радиус второго груза

R СР 2 =(0 + R Ö 2)/2 = (R Ö 2)/2. (5.3.4)

Проекция центробежной силы, действующей на первый груз в направлении оси Х, будет

F 1 = mω 2 СР 1 R СР 1 cos(Ψ /2)sin2Ψ » 2,67mω 2 R cos(Ψ /2)sin2Ψ. (5.3.5)

Проекция центробежной силы, действующей на второй груз в направлении оси Х, будет

F 2 = mω 2 СР 2 R СР 2 sin(Ψ /2)sin2Ψ » 0,4mω 2 R sin(Ψ /2)sin2Ψ. (5.3.6)

° £ Ψ£ 36 ° составит

0,2 π

F СР 1 + 2 = (1/0,2 π) ∫ (F 1 + F 2)dΨ » 1,47mω 2 R. (5.3.7)

Среднее значение разности проекций центробежных сил первого и второго грузов в интервале 36 ° £ Ψ£ 72 ° составит

0,4 π

F СР 1 - 2 = (1/0,2 π) ∫(F 1 - F 2) dΨ » 1,95mω 2 R. (5.3.8)

0,2 π

Среднее значение суммы проекций центробежных сил первого и второго грузов в интервале 72 ° £ Ψ£ 90 ° составит

0,5 π

F СР- (1 + 2) = - (1/0,1 π) ∫(F 1 + F 2)dΨ » -3,72mω 2 R. (5.3.9)

0,4 π

Среднее значение суммы проекций центробежных сил первого и второго грузов в интервале 0 ° £ Ψ£ 90 ° составит

F СР = (2F СР 1 + 2 + 2F СР 1 – 2 + F СР- (1 + 2))/5 » 0,62mω 2 R. (5.3.10)

Аналогично вычисляется сумма проекций центробежных сил для третьего и четвёртого грузов.

Для устранения вращающего момента необходимо применить ещё одну пару стержней, но вращающихся в противоположную сторону относительно собственного центра масс и относительно общей оси вращения, тогда окончательно сила тяги будет

F Т = 4F СР = 2,48mω 2 R. (5 .3.11)

Пусть m = 0,1кг; ω =2 πf, где f = 10об/с; R = 0,25м, тогда F Т ≈ 245Н.

§6. Фазовая сила инерции.

Для реализации фазовой силы инерции в качестве поступательной используем двухкривошипный шарнирный четырёхзвенник, чтобы преобразовать равномерное вращение двигателя в неравномерное вращение грузов по определённому режиму с оптимизацией характера движения грузов для эффективного использования сил инерции, а соответствующим выбором взаимного расположения грузов, компенсировать обратный импульс

Шарнирный четырёхзвенник будет двухкривошипным, если межцентровое расстояние АГ (Рис.6.1) будет меньше длины любого подвижного звена, а сумма межцентрового расстояния и длины наибольшего из подвижных звеньев будет меньше суммы длин двух других звеньев.

Рис. 6.1.

Звено ВГ (рычаг), на котором закреплён груз массой m, является ведомым кривошипом на неподвижном валу Г, а звено АБ ведущим. Звено А – это вал двигателя. Звено БВ является шатуном. Соотношение длин шатуна и ведущего кривошипа выбирается таким, чтобы при достижении грузом крайней точки Д был прямой угол между шатуном и ведущим кривошипом, что обеспечивает максимальный КПД. Тогда при равномерном вращении вала двигателя А с ведущим кривошипом АБ с угловой скоростью w шатун БВ передает движение ведомому кривошипу ВГ, замедляя его. Таким образом, груз замедляется от точки Е до точки Д по верхней полуокружности. В этом случае сила инерции действует по направлению движения груза. Рассмотрим движение груза в противоположной полуокружности (Рис. 6.2), где шатун, выпрямляясь, ускоряет груз.

Рис. 6.2.

В этом случае сила инерции действует против направления движения груза, совпадая с направлением силы инерции в первой полуокружности. Объединённая схема движителя показана на рисунке 6.3.

Рис. 6.3.

Ведущие кривошипы АБ и А¢ Б¢ жёстко соединены по прямой на валу двигателя, а ведомые кривошипы (рычаги) независимо друг от друга вращаются на неподвижном валу. Продольные составляющие сил инерции в направлении от точки Е до точки Д верхнего груза и нижнего складываются, обеспечивая поступательное движение. Обратный импульс отсутствует, так как грузы вращаются в одном направлении и, в среднем, симметрично противоположно расположены.

Проведём оценку действующей фазовой силы инерции.

Пусть АБ = БВ = r, ГВ = R.

Предположим, что в крайнем правом положении угол Ψ между радиусом R и средней линией ДЕ равен 0° (Рис.6.4) и

r + r – АГ = R, (6 .1)

а также в крайнем левом положении при Ψ =180° (Рис.6.5) угол

Ð АБВ = 90° . (6 .2)

Тогда, исходя из этих условий, легко определить, что предположения выполняются при следующих значениях

r = 2R/(2+Ö 2), (6 .3)

АГ = (3 - 2Ö 2)R. (6 .4)

Теперь определим угловые скорости в крайнем правом и левом положениях. Очевидно, в правом положении угловые скорости АГ и ГВ совпадают и равны w .

Рис. 6.4.

В левом положении угловая скорость w ГВ будет, очевидно, равна

w ГВ = (180° /225° )w . (6 .5)

Приращение угловой скорости ∆w за время ∆t = 225° /w = 5π/4w составит

∆w = w ГВ - w = - 0,2w . (6 .6)

Пусть угловое ускорение будет равнозамедленное, тогда

dω/dt = ∆w /∆t = - 0,16w 2 / π. (6 .7)

Воспользуемся формулой фазовой силы инерции (2.8) в скалярном виде

F ф = -m [(dω/dt)R] = 0,16mw 2 R/ π. (6.8)

Рис. 6.5.

Проекция фазовой силы инерции в направлении ЕД будет

F фЕД = 0,16mw 2 RsinΨ/π. (6.9)

Среднее значение проекции фазовой силы инерции за полупериод

F СР = 0,16mω 2 R/ π 2) ∫ sinΨdΨ = 0,32mω 2 R/ π 2 . (6.10)

Для двух грузов (рис.6.3) сила удваивается. Для устранения вращающего момента необходимо применить ещё одну пару грузов, но вращающихся в противоположную сторону. Окончательно, сила тяги для четырёх грузов составит

F Т = 4F СР = 1,28mω 2 R/ π 2 . (6.11)

Пусть m = 0,1кг; ω =2 πf, где f = 10об/с; R = 0,5м, тогда F Т = 25,6Н.

§7. Гироскоп. Кориолисова и центробежная сила инерции.

Рассмотрим колебательное движение груза массойm по полуокружности (рис.7.1) радиусом R с линейной скоростью v.Центробежная сила инерцииFц, действующая на груз массой mбудет равна m v 2 /R, направлена по радиусу от центра О. Проекция центробежной силы на ось Х будет равна

F ц׀׀ = (m v 2 /R) sin α. (7.1)

Груз должен двигаться с ускорением w по окружности, чтобы центробежная сила была действующей для поступательного движения системы, а так как v = wt, тогда

F ц׀׀ = (m w 2 t 2 /R) sin α, (7.2)

где t – время.

Рис. 7.1.

Из-за инертности груза на краях полуокружности появляется обратный импульс, который препятствует поступательному движению системы в направлении оси Х.

Известно, что при воздействии силы, изменяющей направление оси гироскопа, он прецессирует под воздействием кориолисовой силы, причём это движение безинерционно. То есть при мгновенном приложении силы, изменяющей направление оси вращения, гироскоп мгновенно начинает прецессировать и так же мгновенно останавливается при исчезновении этой силы . Вместо груза применяем гироскоп, вращающийся с угловой скоростьюω. Теперь приложим силу F перпендикулярно к оси вращения гироскопа (рис.7.2) и будем воздействовать на ось так, чтобы держатель с гироскопом совершал безинерционное колебательное движение (прецессировал) в определённом секторе (в оптимальном случае с конечным значением α = 180°). Мгновенная остановка прецессии держателя с гироскопом и возобновление её в обратную сторону происходит, когда направление силы F меняется на противоположное. Таким образом, происходит колебательное безинерционное движение держателя с гироскопом, что исключает обратный импульс, препятствующий поступательному движению по оси Х.

Рис. 7.2.

Угловая скорость прецессии

dα /dt = M / I Z ω, (7.3)

где: М – момент силы; I Z – момент инерции гироскопа; ω – угловая скорость гироскопа.

Момент силы (подразумевается, что ℓ перпендикулярно F)

М = ℓ F, (7.4)

где: ℓ – расстояние от точки приложения силы F до центра инерции гироскопа; F – сила, приложенная к оси гироскопа.

Подставим (7.4) в (7.3) получим

dα /dt = ℓ F / I Z ω, (7.5)

В правой части формулы (7.5) составляющие ℓ , I Z , ω считаем постоянными, а сила F, в зависимости от времени t, пусть меняется по кусочно-линейному закону (рис.7.3).

Рис. 7.3.

Известно, что линейная скорость связана с угловой скоростью следующим соотношением

v = R (dα /dt). (7.6)

Дифференцируя по времени формулу (7.6) получим ускорение

w = R (d 2 α /dt 2). (7.7)

Подставим формулу (7.5) в формулу (7.7) получим

w = (R ℓ / I Z ω ) (dF/dt) . (7.8)

Таким образом, ускорение зависит от скорости изменения силы F, что делает центробежную силу действующей для поступательного движения системы.

Следует отметить, что при большой угловой скорости ω и dα /dt << ω , возникающий гироскопический момент уравновешивает момент силы F, поэтому движения в направлении воздействия этой силы не происходит .

Для компенсации перпендикулярной проекции центробежной силы Fц ┴ применяем второй такой же гироскоп, совершающий колебательное движение синхронно в противофазе с первым гироскопом (рис.7.4). Проекция центробежной силы Fц ┴ у второго гироскопа будет направлена встречно проекции у первого. Очевидно, что перпендикулярные составляющие Fц ┴ скомпенсируются, а параллельные Fц׀׀ сложатся.

Рис. 7.4.

Если сектор колебаний гироскопов будет не более полуокружности, то не будет возникать противоположная центробежная сила, уменьшающая центробежную силу в направлении оси Х.

Для устранения вращающего момента устройства, возникающего из-за принудительного вращения оси гироскопов, необходимо установить ещё одну пару таких же гироскопов, оси которых вращаются в противоположную сторону. Секторы колебательного движения держателей с гироскопами в паре, оси гироскопов которых вращаются в одну сторону, должны быть симметрично направлены в одну сторону с секторами держателей с гироскопами, оси гироскопов которых вращаются в другую сторону (рис.7.5).

Рис. 7.5.

Вычислим среднее значение проекции Fц׀׀ центробежной силы для одного гироскопа (рис.7.2) на держателе, колеблющегося в секторе полуокружности от 0 до π и обозначим это значение через Fп

Fп = (1/ π) ∫ (m w 2 t 2 / R) sin α dα = 2m w 2 t 2 / Rπ. (7.9)

Для четырёх гироскопов на держателях среднее значение поступательной силы Fп за каждый полупериод будет:

Fп = 8m w 2 t 2 / Rπ. (7.10)

Пусть масса держателя намного меньше массы гироскопа, а масса гироскопа m = 1кг. Ускорение w = 5м/с 2 , причём ускорение гироскопа на порядок больше ускорения системы, тогда можно не учитывать небольшой интервал отсутствия действия центробежной силы в центре. Время нарастания скорости t = 1с. Радиус (длина) держателя R = 0,5м. Тогда по формуле (7.10) поступательная сила будет Fп = 8∙ 1∙ 5 2 ∙1 2 /0,5 π ≈ 127Н.

Литература

1. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 14-е изд., – М.: ООО «Большая медведица», АПП «Джангар», 2001, 864с.

2. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т.1. Механика. 5-е изд., стереот. – М.: ФИЗМАТЛИТ., 2010, 560с.

3. Шипов Г.И. Теория физического вакуума. Теория эксперименты и технологии. 2-е изд., – М.:Наука, 1996, 456с.

4.Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков: Учебное пособие. 4-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2009, 576с.

5.Справочник по физике для инженеров и студентов вузов / Б.М.Яворский, А.А.Детлаф, А.К.Лебедев. – 8-е изд.,перераб. и испр. – М.: ООО «Издательство Оникс», «Издательство «Мир и Образование», 2008, 1056с.

6.Хайкин С.Э. Физические основы механики, 2-е изд., испр. и доп. Учебное пособие. Главная редакция физико-математической литературы. М.: Наука, 1971, 752с.

7.Зорич В.А. Математический анализ. Часть 1. Изд. 2-е, испр. и доп. М.: ФАЗИС, 1997, 554с.

8.Александров Н.В. и Яшкин А.Я. Курс общей физики. Механика. Учеб. пособие для студентов заочников физ.-мат. фак. пед. ин-тов. М., «Просвещение», 1978, 416с.

9. Геронимус Я. Л. Теоретическая механика (очерки об основных положениях): Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973г., 512с.

10.Курс теоретической механики: учебник / А.А.Яблонский, В.М.Никифорова. – 15-е изд., стер. – М.: КНОРУС, 2010, 608с.

11.Турышев М.В., О движении замкнутых систем, или при каких условиях не выполняется закон сохранения импульса, «Естественные и технические науки», №3(29), 2007, ISSN 1684-2626.

12. Айзерман М.А. Классическая механика: Учебное пособие. – 2-е изд., перераб. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980, 368с.

13. Яворский В.М., Пинский А.А. Основы физики: Учебн. В 2 т. Т.1. Механика, Молекулярная физика. Электродинамика / Под ред. Ю.И.Дика. – 5-е изд., стереот. – М.: ФИЗМАТЛИТ. 2003. – 576с.

14. Киттель Ч., Найт В., Рудерман М. Механика: Учебное руководство: Пер. с англ./Под ред. А.И.Шальникова и А.С.Ахматова. – 3-е изд., испр. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1983. – (Берклеевский курс физики, Том 1). – 448с.

15.Толчин В. Н., Инерцоид, Силы инерции как источник поступательного движения. Пермь. Пермское книжное издательство, 1977, 99с.

16.Фролов А.В. Вихревой движитель, «Новая энергетика», №3 (18), 2004, ISSN 1684-7288.

17.Берников В.Р. Некоторые следствия из основного закона механики, «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», №5 (71), 2012, ISSN 1991-3087.

18.Берников В.Р. Силы инерции и ускорение, «Научная перспектива», №4, 2012, ISSN 2077-3153.

19.Берников В.Р. Силы инерции и их применение, «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», №11 (65), 2011, ISSN 1991-3087.

Они используются в литературе, хотя и не получили пока повсеместного распространения. В дальнейшем мы будем придерживаться данной терминологии, как позволяющей сделать изложение более сжатым и ясным.

Эйлерова сила инерции в общем случае складывается из нескольких составляющих различного происхождения, которым также присвоены специальные наименования («переносная», «кориолисова» и др.). Более детально об этом говорится в соответствующем разделе ниже.

В других языках используемые названия сил инерции более явно указывают на их особые свойства: в немецком нем. Scheinkräfte («мнимая», «кажущаяся», «видимая», «ложная», «фиктивная» сила), в английском англ. pseudo force («псевдосила») или англ. fictitious force («фиктивная сила»). Реже в английском используются названия «сила д’Аламбера » (англ. d’Alembert force ) и «инерционная сила» (англ. inertial force ). В литературе, издаваемой на русском языке, по отношению к эйлеровой и даламберовой силам также используют аналогичные характеристики, называя эти силы «фиктивными» , «кажущимися» , «воображаемыми» или «псевдосилами»

Одновременно с этим в литературе иногда подчёркивают реальность сил инерции , противопоставляя значение данного термина значению термина фиктивность . При этом, однако, различные авторы вкладывают в эти слова различный смысл, и силы инерции оказываются реальными или фиктивными не в силу отличий в понимании их основных свойств, а в зависимости от избранных определений. Такое употребление терминологии некоторые авторы считают неудачным и рекомендуют просто избегать его в учебном процессе .

Хотя дискуссия по поводу терминологии ещё не закончена, имеющиеся разногласия не влияют на математическую формулировку уравнений движения с участием сил инерции и не приводят к возникновению каких-либо недоразумений при использовании уравнений на практике.

Силы в классической механике

Действительно, физическая величина, называемая силой, вводится в рассмотрение вторым законом Ньютона, при этом сам закон формулируется только для инерциальных систем отсчёта . Соответственно, понятие силы оказывается определённым только для таких систем отсчёта .

Уравнение второго закона Ньютона, связывающее ускорение a → {\displaystyle {\vec {a}}} и m {\displaystyle m} массу материальной точки с действующей на неё силой F → {\displaystyle {\vec {F}}} , записывается в виде

a → = F → m . {\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}}.}

Из уравнения непосредственно следует, что причиной ускорения тел являются только силы, и наоборот: действие на тело не скомпенсированных сил обязательно вызывает его ускорение.

Третий закон Ньютона дополняет и развивает сказанное о силах во втором законе.

Никакие другие силы в классической механике в рассмотрение не вводятся и не используются . Возможность существования сил, возникших самостоятельно, без взаимодействующих тел, механикой не допускается .

Хотя в наименованиях эйлеровых и даламберовых сил инерции содержится слово сила , эти физические величины силами в смысле, принятом в механике, не являются .

Ньютоновы силы инерции

Некоторые авторы используют термин «сила инерции» для обозначения силы-противодействия из третьего закона Ньютона . Понятие было введено Ньютоном в его «Математических началах натуральной философии» : «Врождённая сила материи есть присущая ей способность сопротивления, по которой всякое отдельно взятое тело, поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает своё состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. От инерции материи происходит, что всякое тело лишь с трудом выводится из своего покоя или движения. Поэтому врожденная сила могла бы быть весьма вразумительно названа силою инерции. Эта сила проявляется телом единственно лишь, когда другая сила, к нему приложенная, производит изменение в его состоянии. Проявление этой силы может быть рассматриваемо двояко - и как сопротивление, и как напор.», а собственно термин «сила инерции» был, по словам Эйлера , впервые употреблён в этом значении Кеплером ( , со ссылкой на Е. Л. Николаи).

Для обозначения этой силы-противодействия некоторые авторы предлагают использовать термин «ньютонова сила инерции» во избежание путаницы с фиктивными силами, применяемыми при вычислениях в неинерциальных системах отсчёта и при использовании принципа д’Аламбера.

Отголоском ньютоновского выбора слова «сопротивление» для описания инерции является также представление о некоей силе, якобы реализующей это свойство в форме сопротивления изменениям параметров движения. В связи с этим Максвелл заметил, что с таким же успехом можно было бы сказать, что кофе сопротивляется тому, чтобы стать сладким, так как сладким он становится не сам по себе, а лишь после добавления сахара .

Существование инерциальных систем отсчёта

Ньютон исходил из предположения, что инерциальные системы отсчёта существуют и среди этих систем существует наиболее предпочтительная (сам Ньютон связывал её с эфиром, заполняющим всё пространство). Дальнейшее развитие физики показало, что такой системы нет, но это привело к необходимости выйти за пределы классической физики.

Движение в инерциальной СО

Выполнив тривиальную математическую операцию в выражении третьего закона Ньютона (5) и перенеся член из правой части в левую, получаем безупречную математически запись:

F 1 → + F 2 → = 0 {\displaystyle {\vec {F_{1}}}+{\vec {F_{2}}}=0} (6)

С физической точки зрения, сложение векторов сил имеет своим результатом получение равнодействующей силы.

В таком случае, прочтённое с точки зрения второго закона Ньютона выражение (6) означает, с одной стороны, что равнодействующая сил равна нулю и, следовательно, система из этих двух тел не двигается ускоренно. С другой стороны, здесь не высказаны никакие запреты на ускоренное движение самих тел.

Дело в том, что понятие о равнодействующей возникает лишь в случае оценки совместного действия нескольких сил на одно и то же тело. В данном же случае, хотя силы равны по модулю и противоположны по направлению, но приложены к разным телам и потому, касательно каждого из рассматриваемых тел по отдельности, не уравновешивают друг друга, поскольку на каждое из взаимодействующих тел действует лишь одна из них. Равенство (6) не указывает на взаимную нейтрализацию их действия для каждого из тел, оно говорит о системе в целом.

Повсеместно используется запись уравнения, выражающего второй закон Ньютона в инерциальной системе отсчёта:

F r → = m a r → {\displaystyle {\vec {F_{r}}}=m{\vec {a_{r}}}} (7)

Если есть результирующая всех реальных сил, действующих на тело, то это выражение, представляющее собой каноническую запись Второго закона, является просто утверждением, что получаемое телом ускорение пропорционально этой силе и массе тела. Оба выражения, стоящие в каждой части этого равенства, относятся к одному и тому же телу.

Но выражение (7) может быть, подобно (6), переписано в виде:

F r → − m a r → = 0 {\displaystyle {\vec {F_{r}}}-m{\vec {a_{r}}}=0} (8)

Для постороннего наблюдателя, находящегося в инерциальной системе и анализирующего ускорение тела, на основании сказанного выше такая запись имеет физический смысл только в том случае, если члены в левой части равенства относятся к силам, возникающим одновременно, но относящимся к разным телам. И в (8) второй член слева представляет собой такую же по величине силу, но направленную в противоположную сторону и приложенную к другому телу, а именно силу , то есть

F i 1 → = − m a r → {\displaystyle {\vec {F_{i_{1}}}}=-m{\vec {a_{r}}}} (9)

В случае, когда оказывается целесообразным разделение взаимодействующих тел на ускоряемое и ускоряющее и, чтобы отличить действующие тогда на основании Третьего закона силы, те из них, которые действуют со стороны ускоряемого тела на ускоряющее, называют силами инерции F → i 1 {\displaystyle {\vec {F}}_{i_{1}}} или «ньютоновыми силами инерции» , что соответствует записи выражения (5) для Третьего закона в новых обозначениях:

F r → = − F i 1 → {\displaystyle {\vec {F_{r}}}=-{\vec {F_{i_{1}}}}} (10)

Существенно, что сила действия ускоряющего тела на ускоряемое и сила инерции имеют одно и то же происхождение и, если массы взаимодействующих тел близки друг другу настолько, что и получаемые ими ускорения сравнимы по величине, то введение особого наименования «сила инерции» является лишь следствием достигнутой договорённости. Оно так же условно, как и само деление сил на действие и противодействие.

Иначе обстоит дело, когда массы взаимодействующих тел несравнимы между собой (человек и твёрдый пол, отталкиваясь от которого, он идёт). В этом случае деление тел на ускоряющие и ускоряемые становится вполне отчётливым, а ускоряющее тело может рассматриваться как механическая связь , ускоряющая тело, но не ускоряемая сама по себе.

В инерциальной системе отсчёта сила инерции приложена не к ускоряемому телу, а к связи.

Эйлеровы силы инерции

Движение в неинерциальной СО

Дважды продифференцировав по времени обе части равенства r = R + r ′ {\displaystyle r=R+r{^{\prime }}} , получаем:

A r → = a R → + a r ′ → {\displaystyle {\vec {a_{r}}}={\vec {a_{R}}}+{\vec {a_{r^{\prime }}}}} (11), где:

a r → = r ¨ {\displaystyle {\vec {a_{r}}}={\ddot {r}}} есть ускорение тела в инерциальной СО, далее называемое абсолютным ускорением. a R → = R ¨ {\displaystyle {\vec {a_{R}}}={\ddot {R}}} есть ускорение неинерциальной СО в инерциальной СО, далее называемое переносным ускорением. a r ′ → = r ¨ ′ {\displaystyle {\vec {a_{r^{\prime }}}}={\ddot {r}}{^{\prime }}} есть ускорение тела в неинерциальной СО, далее называемое относительным ускорением.

Существенно, что это ускорение зависит не только от действующей на тело силы, но и от ускорения системы отсчёта, в которой это тело движется, и потому при произвольном выборе этой СО может иметь соответственно произвольное значение.

Умножим обе части уравнения (11) на массу тела m {\displaystyle m} и получим:

M a r → = m a R → + m a r ′ → {\displaystyle m{\vec {a_{r}}}=m{\vec {a_{R}}}+m{\vec {a_{r^{\prime }}}}} (12)

В соответствии со вторым законом Ньютона, сформулированным для инерциальных систем, член слева является результатом умножения массы на вектор, определяемый в инерциальной системе, и потому с ним можно связать реальную силу:

M a r → = F r → {\displaystyle m{\vec {a_{r}}}={\vec {F_{r}}}} . Это сила, действующая на тело в первой (инерциальной) СО, которая будет здесь названа «абсолютной силой». Она продолжает действовать на тело с неизменными направлением и величиной в любой системе координат.

Следующая сила, определяемая как:

M a R → = F R → {\displaystyle m{\vec {a_{R}}}={\vec {F_{R}}}} (13)

по принятым для наименования происходящих движений правилам должна быть названа «переносной».

Важно, что ускорение a R → {\displaystyle {\vec {a_{R}}}} в общем случае никакого отношения к изучаемому телу не имеет, поскольку вызвано теми силами, которые действуют лишь на тело, выбранное в качестве неинерциальной системы отсчёта. Но масса, входящая в выражение, есть масса изучаемого тела. Ввиду искусственности введения такой силы её нужно считать фиктивной силой.

Перенося выражения для абсолютной и переносной силы в левую часть равенства:

M a r → − m a R → = m a r ′ → {\displaystyle m{\vec {a_{r}}}-m{\vec {a_{R}}}=m{\vec {a_{r^{\prime }}}}} (14)

и применяя введённые обозначения, получаем:

F r → − F R → = m a r ′ → {\displaystyle {\vec {F_{r}}}-{\vec {F_{R}}}=m{\vec {a_{r^{\prime }}}}} (15)

Отсюда видно, что вследствие ускорения в новой системе отсчёта на тело действует не полная сила , но лишь её часть F ′ → {\displaystyle {\vec {F^{\prime }}}} , оставшаяся после вычитания из неё переносной силы F R → {\displaystyle {\vec {F_{R}}}} так, что:

F ′ → = m a r ′ → {\displaystyle {\vec {F^{\prime }}}=m{\vec {a_{r^{\prime }}}}} (16)

тогда из (15) получаем:

F r → − F R → = F ′ → {\displaystyle {\vec {F_{r}}}-{\vec {F_{R}}}={\vec {F^{\prime }}}} (17)

по принятым для наименования происходящих движений эта сила должна быть названа «относительной». Именно эта сила вызывает движение тела в неинерциальной системе координат.

Полученный результат в разнице между «абсолютной» и «относительной» силами объясняется тем, что в неинерциальной системе, кроме силы F → r {\displaystyle {\vec {F}}_{r}} , на тело дополнительно подействовала некая сила F → i 2 {\displaystyle {\vec {F}}_{i_{2}}} таким образом, что:

F r → + F i 2 → = F ′ → {\displaystyle {\vec {F_{r}}}+{\vec {F_{i_{2}}}}={\vec {F^{\prime }}}} (18)

Эта сила представляет собой силу инерции, применительно к движению тел в неинерциальных СО. Она никак не связана с действием реальных сил на тело.

Тогда из (17) и (18) получаем:

F i 2 → = − F R → {\displaystyle {\vec {F_{i_{2}}}}=-{\vec {F_{R}}}} (19)

То есть сила инерции в неинерциальной СО равна по величине и противоположна по направлению силе, вызывающей ускоренное движение этой системы. Она приложена к ускоряемому телу.

Сила эта не является по своему происхождению результатом действия окружающих тел и полей, и возникает исключительно за счёт ускоренного движения второй системы отсчёта относительно первой.

Все входящие в выражение (18) величины могут быть независимым друг от друга образом измерены, и поэтому поставленный здесь знак равенства означает не что иное, как признание возможности распространения ньютоновской аксиоматики при учёте таких «фиктивных сил» (сил инерции) и на движение в неинерциальных системах отсчёта, и потому требует экспериментального подтверждения. В рамках классической физики это действительно и подтверждается.

Различие между силами F i 1 → {\displaystyle {\vec {F_{i_{1}}}}} и состоит лишь в том, что вторая наблюдается при ускоренном движении тела в неинерциальной системе координат, а первая соответствует его неподвижности в этой системе. Поскольку неподвижность есть лишь предельный случай движения с малой скоростью, принципиальной разницы между этими фиктивными силами инерции нет.

Пример 2

Пусть вторая СО движется с постоянной скоростью или просто неподвижна в инерциальной СО. Тогда a R → = 0 {\displaystyle {\vec {a_{R}}}=0} и сила инерции отсутствует. Движущееся тело испытывает ускорение, вызываемое действующими на него реальными силами.

Пример 3

Пусть вторая СО движется с ускорением a R → = a r → {\displaystyle {\vec {a_{R}}}={\vec {a_{r}}}} , то есть эта СО фактически совмещена с движущимся телом. Тогда в этой, неинерциальной, СО тело неподвижно вследствие того, что действующая на него сила полностью скомпенсирована силой инерции:

F i 2 → = − F r → = F i 1 → {\displaystyle {\vec {F_{i_{2}}}}=-{\vec {F_{r}}}={\vec {F_{i_{1}}}}}

Пример 4

Пассажир едет в легковом автомобиле с постоянной скоростью. Пассажир - тело, автомобиль - его система отсчёта (пока инерциальная), то есть F r → = 0 {\displaystyle {\vec {F_{r}}}=0} .

Автомобиль начинает тормозить и превращается для пассажира во вторую рассмотренную выше неинерциальную систему, к которой навстречу её движению приложена сила торможения F R → {\displaystyle {\vec {F_{R}}}} . В этой неинерциальной системе отсчёта возникает сила инерции, приложенная к пассажиру и направленная противоположно по отношению к ускорению автомобиля (то есть по его скорости): F i 2 → {\displaystyle {\vec {F_{i_{2}}}}} . Сила инерции стремится вызвать в данной системе отсчёта движение тела пассажира по направлению к ветровому стеклу .

Однако движению пассажира препятствует ремень безопасности : под действием тела пассажира ремень растягивается и с соответствующей силой воздействует на пассажира. Эта реакция ремня уравновешивает силу инерции и пассажир в системе отсчёта, связанной с автомобилем, ускорения не испытывает, оставаясь неподвижным относительно автомобиля в процессе всего торможения.

С точки зрения наблюдателя, находящегося в произвольной инерциальной системе отсчёта (например, связанной с дорогой), пассажир теряет скорость в результате действия на него силы со стороны ремня. Благодаря этой силе возникает ускорение (отрицательное) пассажира, её работа вызывает уменьшение кинетической энергии пассажира. Ясно при этом, что никаких сил инерции в инерциальной системе отсчёта не возникает, и они для описания движения пассажира не привлекаются.

Примеры использования

В некоторых случаях при расчётах удобно использовать неинерциальную систему отсчёта, например:

• движение подвижных деталей автомобиля удобно описывать в системе координат, связанных с автомобилем. В случае ускорения автомобиля эта система становится неинерциальной;
• движение тела по круговой траектории иногда удобно описывать в системе координат, связанной с этим телом. Такая система координат неинерциальна из-за центростремительного ускорения .

В неинерциальных системах отсчёта стандартные формулировки законов Ньютона неприменимы. Так при ускорении автомобиля, в системе координат, связанной с корпусом автомобиля, незакреплённые предметы внутри получают ускорение в отсутствие какой-либо силы, прикладываемой непосредственно к ним; а при движении тела по орбите, в связанной с телом неинерциальной системе координат тело покоится, хотя на него действует ничем не сбалансированная сила гравитации, выступавшая в качестве центростремительной в той инерциальной системе координат, в которой наблюдалось вращение по орбите.

Для восстановления возможности применения в этих случаях привычных формулировок законов Ньютона и связанных с ними уравнений движения для каждого рассматриваемого тела оказывается удобно ввести фиктивную силу - силу инерции - пропорциональную массе этого тела и величине ускорения системы координат, и противонаправленную вектору этого ускорения.

С использованием этой фиктивной силы появляется возможность краткого описания реально наблюдаемых эффектов: «почему при разгоне автомобиля пассажира прижимает к спинке сиденья?» - «на тело пассажира действует сила инерции». В инерциальной системе координат, связанной с дорогой, сила инерции для объяснения происходящего не требуется: тело пассажира в ней ускоряется (вместе с автомобилем), и это ускорение производит сила, с которой сиденье действует на пассажира .

Сила инерции на поверхности Земли

Пусть F 1 → {\displaystyle {\vec {F_{1}}}} есть сумма всех сил, действующих на тело в неподвижной (первой) системе координат, которая вызывает его ускорение . Эта сумма находится путём измерения ускорения тела в этой системе, если известна его масса.

Аналогично, F 2 → {\displaystyle {\vec {F_{2}}}} есть сумма сил, измеренная в неинерциальной системе координат (второй), вызывающая ускорение a 2 → {\displaystyle {\vec {a_{2}}}} , в общем случае отличающаяся от a 1 → {\displaystyle {\vec {a_{1}}}} вследствие ускоренного движения второй СО относительно первой.

Тогда сила инерции в неинерциальной системе координат будет определяться разницей:

F i 2 → = F 2 → − F 1 → {\displaystyle {\vec {F_{i_{2}}}}={\vec {F_{2}}}-{\vec {F_{1}}}} (19)

F i 2 → = m (a 2 → − a 1 →) {\displaystyle {\vec {F_{i_{2}}}}=m({\vec {a_{2}}}-{\vec {a_{1}}})} (20)

В частности, если тело покоится в неинерциальной системе, то есть a 2 → = 0 {\displaystyle {\vec {a_{2}}}=0} , то

F i 2 → = − F 1 → {\displaystyle {\vec {F_{i_{2}}}}=-{\vec {F_{1}}}} (21) .

Движение тела по произвольной траектории в неинерциальной СО

Положение материального тела в условно неподвижной и инерциальной системе задаётся здесь вектором r → {\displaystyle {\vec {r}}} , а в неинерциальной системе - вектором r ′ → {\displaystyle {\vec {r^{\prime }}}} . Расстояние между началами координат определяется вектором R → {\displaystyle {\vec {R}}} . Угловая скорость вращения системы задаётся вектором ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} , направление которого устанавливается по оси вращения по правилу правого винта . Линейная скорость тела по отношению к вращающейся СО задаётся вектором v → {\displaystyle {\vec {v}}} .

В данном случае ускорение, в соответствии с (11), будет равно сумме :

A r → = d 2 R → d t 2 + d ω → d t × r ′ → + 2 ω → × v → + ω → × [ ω → × r ′ → ] , (22) {\displaystyle {\vec {a_{r}}}={\frac {d^{2}{\vec {R}}}{dt^{2}}}+{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r"}}+{2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}}+{\vec {\omega }}\times \left[{\vec {\omega }}\times {\vec {r"}}\right],\qquad (22)}

• первый член - переносное ускорение второй системы относительно первой;

• второй член - ускорение, возникающее из-за неравномерности вращения системы вокруг своей оси;

Работа сил инерции

В классической физике силы инерции встречаются в двух различных ситуациях в зависимости от системы отсчёта, в которой производится наблюдение . Это - сила, приложенная к связи при наблюдении в инерциальной СО, или сила, приложенная к рассматриваемому телу, при наблюдении в неинерциальной системе отсчёта. Обе эти силы могут совершать работу. Исключением является сила Кориолиса, которая работы не совершает, поскольку всегда направлена перпендикулярно вектору скорости. В то же время сила Кориолиса может изменить траекторию движения тела и, тем самым, способствовать совершению работы другими силами (такими, как сила трения). Примером этому может служить эффект Бэра .

Кроме того, в некоторых случаях бывает целесообразно разделить действующую силу Кориолиса на две составляющие, каждая из которых совершает работу. Суммарная работа, производимая этими составляющими, равна нулю, но такое представление может оказаться полезным при анализе процессов перераспределения энергии в рассматриваемой системе .

При теоретическом рассмотрении, когда искусственно сводят динамическую задачу движения к задаче статики, вводят третий вид сил, называемый силами Даламбера, которые работы не совершают ввиду неподвижности тел, на которые эти силы действуют.

Пусть на материальную точку М действует некоторая система сил .

Среди сил могут быть активные силы и реакции связей.

На основании аксиомы независимости действия сил точка М под действием этих сил получит такое же ускорение, как если бы на нее действовала, лишь одна сила, равная геометрической сумме заданных сил,

где а - ускорение точки М ; m - масса точки М F Σ ; - равнодействующая системы сил.

Перенесем вектор, стоящий в левой части уравнения, в правую часть. После этого получим сумму векторов, равную нулю,

Введем обозначение, тогда приведенное уравнение можно представить в виде:

Таким образом, все силы, включая силу , должны уравновешиваться, так как силы и F Σ равны между собой и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Сила , равная произведению массы точки на ее ускорение, но направленная в сторону, противоположную ускорению, называется силой инерции.

Из последнего уравнения следует, что в каждый данный момент времени силы, приложенные к материальной точке, уравновешиваются силами инерции. Приведенный вывод называют началом Д"Аламбера. Он может быть применен не только к материальной точке, но и к твердому телу или к системе тел. В последнем случае он формулируется следующим образом: если ко всем действующим силам, приложенным к движущемуся телу или системе тел, приложить силы инерции, то полученную систему сил можно рассматривать как находящуюся в равновесии.

Следует подчеркнуть, что силы инерции действительно существуют, но приложены не к движущемуся телу, а к тем телам, которые вызывают ускоренное движение.

Применение начала Д"Аламбера позволяет при решении динамических задач использовать уравнения равновесия. Такой прием решения задач динамики носит название метода кинетостатики .

Рассмотрим, как определяется сила инерции материальной точки в различных случаях ее движения.

1. Точка М массой m движется прямолинейно с ускорением (рис. а, б).

При прямолинейном движении направление ускорения совпадает с траекторией. Сила инерции направлена в сторону, противоположную ускорению, и численное значение ее определяется по формуле:

При ускоренном движении (рис. а) направления ускорения и скорости совпадают и сила инерции направлена в сторону, противоположную движению. При замедленном движении (рис. б), когда ускорение направлено в сторону, обратную скорости, сила инерции действует по направлению движения.

2. Точка М движется криволинейно и неравномерно (рис. в).

При этом, как известно из предыдущего, ее ускорение может быть разложено на нормальную а n и касательную a t составляющие. Аналогично сила инерции точки также складывается из двух составляющих: нормальной и касательной.

Нормальная составляющая силы инерции равна произведению массы точки на нормальное ускорение и направлена противоположно этому ускорению:

Касательная составляющая силы инерции равна произведению массы точки на касательное ускорение и направлена противоположно этому ускорению:

Очевидно, что полная сила инерции точки М равна геометрической сумме нормальной и касательной составляющих, т. е.

Учитывая, что касательная и нормальная составляющие взаимно перпендикулярны, полная сила инерции:

3.3 Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении

Определим работу для случая, когда действующая сила постоянна по величине и направлению, а точка ее приложения перемещается по прямолинейной траектории. Рассмотрим материальную точку С, к которой приложена постоянная по значению и направлению сила F.

За некоторый промежуток времени t точка С переместилась в положение С 1 по прямолинейной траектории на расстояние s .

Работа A постоянной силы F при прямолинейном движении точки ее приложения равна произведению модуля силы F на расстояние s и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения, т. е.

Угол α между направлением силы и направлением движения может меняться в пределах от 0 до 180°. При α < 90° работа положительна, при α> 90° - отрицательна, при α = 90° A = 0 (работа равна нулю).

Если cила составляет с направлением движения острый угол, она называется движущей силой, ее работа всегда положительна. Если угол между направлениями силы и перемещения тупой, сила оказывает сопротивление движению, совершает отрицательную работу и носит название силы сопротивления. Примерами сил сопротивления могут служить силы резания, трения, сопротивления воздуха и другие, которые всегда направлены в сторону, противоположную движению.

Когдаα = 0, т. е. когда направление силы совпадает с направлением скорости, A = Fs , так как cos α = 1. Произведение F cos α есть проекция силы F на направление движения материальной точки. Следовательно, работу силы можно определить как произведение перемещения s и проекции силы F на направление движения точки.

За единицу работы в Международной системе единиц (СИ) принят джоуль (Дж), равный работе силы в один ньютон (Н) на совпадающем с ней по направлению движения длиной в один метр (м): . Применяется также более крупная единица работы - килоджоуль (кДж), 1 кДж = 1000 Дж = 10 3 Дж. В технической системе (МКГСС) за единицу работы принят килограмм-сила метр (кгс м).

Инертность - способность сохранять свое состояние неизмен­ным, это внутреннее свойство всех материальных тел.

Сила инерции - сила, возникающая при разгоне или торможе­нии тела (материальной точки) и направленная в обратную сторо­ну от ускорения. Силу инерции можно измерить, она приложена к «связям» - телам, связанным с разгоняющимся или тормозящимся телом.

Рассчитано, что сила инерции равна

F ин = | m*a|

Таким образом, силы, действующие на материальные точки m 1 и m 2 (рис. 14.1), при разгоне платформы соответственно равны

F ин1 = m 1 *a ; F ин2 = m 2 *a

Разгоняющееся тело (плат­форма с массой т (рис. 14.1)) силу инерции не воспринимает, иначе разгон платформы вооб­ще был бы невозможен.

При вращательном движении (криволинейном) возникающее ускорение принято представлять в виде двух составляющих: нормального а п и касательного а t (рис. 14.2).

Поэтому при рассмотрении кри­волинейного движения могут воз­никнуть две составляющие силы инерции: нормальная и касательная

a = a t + a n ;

При равномерном движении по дуге всегда возникает нормаль­ное ускорение, касательное ускорение равно нулю, поэтому действует только нормальная составляющая силы инерции, направленная по радиусу из центра дуги (рис. 14.3).

Принцип кинетостатики (принцип Даламбера)

Принцип кинетостатики используют для упрощения решения ряда технических задач.

Реально силы инерции приложены к телам, связанным с разго­няющимся телом (к связям).

Даламбер предложил условно прикладывать силу инерции к ак­тивно разгоняющемуся телу. Тогда система сил, приложенных к ма­териальной точке, становится уравновешенной, и можно при реше­нии задач динамики использовать уравнения статики.

Принцип Даламбера:

Материальная точка под действием активных сил, реакций связей и условно приложенной силы инерции находится в равновесии;

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Теоретическая механика

Теоретическая механика.. лекция.. тема основные понятия и аксиомы статики..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Задачи теоретической механики
Теоретическая механика - наука о механическом движении материальных твердых тел и их взаимодействии. Механическое дви­жение понимается как перемещение тела в пространстве и во време­ни по от

Третья аксиома
Не нарушая механического состояния тела, можно добавить или убрать уравновешенную систему сил (принцип отбрасывания систе­мы сил, эквивалентной нулю) (рис. 1.3). Р,=Р2 Р,=Р.

Следствие из второй и третьей аксиом
Силу, действующую на твер­дое тело, можно перемещать вдоль линии ее действия (рис. 1.6).

Связи и реакции связей
Все законы и теоремы статики справедливы для свободного твердого тела. Все тела делятся на свободные и связанные. Свободные тела - тела, перемещение которых не ограничено.

Жесткий стержень
На схемах стержни изображают толсто сплошной линией (рис. 1.9). Стержень може

Неподвижный шарнир
Точка крепления пере­мещаться не может. Стер­жень может свободно повора­чиваться вокруг оси шарни­ра. Реакция такой опоры про­ходит через ось шарнира, но

Плоская система сходящихся сил
Система сил, линии действия которых пе­ресекаются в одной точке, называется сходя­щейся (рис. 2.1).

Равнодействующая сходящихся сил
Равнодействующую двух пересекающихся сил можно опреде­лить с помощью параллелограмма или треугольника сил (4-я ак­сиома) (вис. 2.2).

Условие равновесия плоской системы сходящихся сил
При равновесии системы сил равнодействующая должна быть равна нулю, следовательно, при геометрическом построении конец последнего вектора должен совпасть с началом первого. Если

Решение задач на равновесие геометрическим способом
Геометрическим способом удобно пользоваться, если в системе три силы. При решении задач на равновесие тело считать абсолютно твердым (отвердевшим). Порядок решения задач:

Решение
1. Усилия, возникающие в стержнях крепления, по величине равны силам, с которыми стержни поддерживают груз (5-я аксиома статики) (рис. 2.5а). Определяем возможные направления реакций связе

Проекция силы на ось
Проекция силы на ось определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора (рис. 3.1).

Сил аналитическим способом
Величина равнодействующей равна векторной (геометрической) сумме векторов системы сил. Определяем равнодействующую геоме­трическим способом. Выберем систему координат, определим про­екции всех зада

Сходящихся сил в аналитической форме
Исходя из того, что равнодействующая равна нулю, получим: Усл

Пара сил, момент пары сил
Парой сил называется система двух сил, равных по модулю, параллельных и направлен­ных в разные стороны. Рассмотрим систему сил (Р; Б"), образую­щих пару.

Момент силы относительно точки
Сила, не проходящая через точку крепления тела, вызывает вра­щение тела относительно точки, поэтому действие такой силы на тело оценивается моментом. Момент силы отн

Теорема Пуансо о параллельном переносе сил
Силу можно перенести параллельно линии ее действия, при этом нужно добавить пару сил с моментом, равным произведению модуля силы на расстояние, на которое перенесена сила.

Расположенных сил
Линии действия произвольной системы сил не пересекаются в одной точке, поэтому для оценки состояния тела такую систему следует упростить. Для этого все силы системы переносят в одну произ­вольно вы

Влияние точки приведения
Точка приведения выбрана произвольно. При изменении поло­жения точки приведения величина главного вектора не изменится. Величина главного момента при переносе точки приведения из­менится,

Плоской системы сил
1. При равновесии главный вектор системы равен нулю. Аналитическое определение главного вектора приводит к выводу:

Виды нагрузок
По способу приложения нагрузки делятся на сосредоточенные и распределенные. Если реально передача нагрузки происходит на пренебрежимо малой площадке (в точке), нагрузку называют сосре­доточенной

Момент силы относительно оси
Момент силы относительно оси равен моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью (рис. 7.1 а). MOO

Вектор в пространстве
В пространстве вектор силы проецируется на три взаимно пер­пендикулярные оси координат. Проекции вектора образуют ребра прямоугольного параллелепипеда, век­тор силы совпадает с диагональю (рис. 7.2

Пространственная сходящаяся система сил
Пространственная сходящаяся система сил - система сил, не лежащих в одной плоскости, линии действия которых пересе­каются в одной точке. Равнодействующую пространственной системы си

Приведение произвольной пространственной системы сил к центру О
Дана пространственная система сил (рис. 7.5а). Приведем ее к центру О. Силы необходимо параллельно перемещать, при этом образует­ся система пар сил. Момент каждой из этих пар равен

Центр тяжести однородных плоских тел
(плоских фигур) Очень часто приходится определять центр тяжести различных плоских тел и геометрических плоских фигур сложной формы. Для плоских тел можно записать: V =

Определение координат центра тяжести плоских фигур
Примечание. Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии. Центр тяжести стержня находится на середине высоты. Поло­жения центров тяжести простых геометрических фигур могут

Кинематика точки
Иметь представление о пространстве, времени, траектории, пути, скорости и ускорении.Знать способы задания движения точки (естественный и координатный). Знать обозначения, едини

Пройденный путь
Путь измеряется вдоль траектории в направлении движения. Обозначение - S, единицы измерения - метры. Уравнение движения точки: Уравнение, определяющ

Скорость движения
Векторная величина, характеризующая в данный момент бы­строту и направление движения по траектории, называется скоро­стью. Скорость - вектор, в любой момент направленный по к

Ускорение точки
Векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и направлению, называется ускорением точки. Скорость точки при перемещении из точки М1

Равномерное движение
Равномерное движение - это движение с постоянной скоро­стью: v = const. Для прямолинейного равномерного движения (рис. 10.1 а)

Равнопеременное движение
Равнопеременное движение - это движение с постоянным ка­сательным ускорением: at = const. Для прямолинейного равнопеременного движения

Поступательное движение
Поступательным называют такое движение твердого тела, при котором всякая прямая линия на теле при движении остается парал­лельной своему начальному положению (рис. 11.1, 11.2). При

Вращательное движение
При вращательном движении все точки тела описывают окруж­ности вокруг общей неподвижной оси. Неподвижная ось, вокруг которой вращаются все точки тела, называется осью вращения.

Частные случаи вращательного движения
Равномерное вращение (угловая скорость постоянна): ω =const Уравнение (закон) равномерного вращения в данном случае име­ет вид:

Скорости и ускорения точек вращающегося тела
Тело вращается вокруг точки О. Определим параметры дви­жения точки A , расположенной на расстоянии RA от оси вращения (рис. 11.6, 11.7). Путь

Решение
1. Участок 1 - неравномерное ускоренное движение, ω = φ’ ; ε = ω’ 2. Участок 2 - скорость постоянна - движение равномерное, . ω = const 3.

Основные определения
Сложным движением считают движение, которое можно разло­жить на несколько простых. Простыми движениями считают посту­пательное и вращательное. Для рассмотрения сложного движения точ

Плоскопараллельное движение твердого тела
Плоскопараллельным, или плоским, называется такое движение твердого тела, при котором все точки тела перемещаются парал­лельно некоторой неподвижной в рассматриваемой системе отсчета

Поступа­тельное и вращательное
Плоскопараллельное движение раскладывают на два движения: поступательное вместе с некоторым полюсом и вращательное от­носительно этого полюса. Разложение используют для опред

Центра скоростей
Скорость любой точки тела можно определять с помощью мгновенного центра скоростей. При этом сложное движение пред­ставляют в виде цепи вращений вокруг разных центров. Задача

Аксиомы динамики
Законы динамики обобщают результаты многочисленных опытов и наблюдений. Законы динамики, которые принято рассматривать как аксиомы, были сформулированы Ньютоном, но первый и четвертый законы были и

Понятие о трении. Виды трения
Трение - сопротивление, возникающее при движении одного шероховатого тела по поверхности другого. При скольжении тел воз­никает трение скольжения, при качении - трение качения. Природа сопро

Трение качения
Сопротивление при качении связано с взаимной деформацией грунта и колеса и значительно меньше трения скольжения. Обычно считают грунт мягче колеса, тогда в основном дефор­мируется грунт, и

Свободная и несвободная точки
Материальная точка, движение которой в пространстве не огра­ничено какими-нибудь связями, называется свободной. Задачи реша­ются с помощью основного закона динамики. Материальные то

Решение
Активные силы: движущая сила, сила трения, сила тяжести. Ре­акция в опоре R. Прикладываем силу инерции в обратную от ускоре­ния сторону. По принципу Даламбера, система сил, действующих на платформу

Работа равнодействующей силы
Под действием системы сил точка массой т перемещается из положения М1 в положение M 2 (рис. 15.7). В случае движения под действием системы сил пользуютс

Мощность
Для характеристики работоспособности и быстроты соверше­ния работы введено понятие мощности. Мощность - работа, выполненная в единицу времени:

Мощность при вращении
Рис. 16.2 Тело движется по дуге радиуса из точки М1 в точку М2 М1М2 = φr Работа силы

Коэффициент полезного действия
Каждая машина и механизм, совершая работу, тратит часть энергии на преодоление вредных сопротивлений. Таким образом, машина (механизм) кроме полезной работы совершает еще и дополнитель

Теорема об изменении количества движения
Количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на ее скорость mv. Вектор количества движения совпадает по

Теорема об изменении кинетической энергии
Энергией называется способность тела совершать механиче­скую работу. Существуют две формы механической энергии: потенциальная энергия, или энергия положения, и кинетическая энергия,

Основы динамики системы материальных точек
Совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия, называется механической системой. Любое материальное тело в механике рассматривается как механическая

Основное уравнение динамики вращающегося тела
Пусть твердое тело под действием внешних сил вращается во­круг оси Оz с угловой скоростью

Напряжения
Метод сечений позволяет определить величину внутреннего си­лового фактора в сечении, но не дает возможности установить за­кон распределения внутренних сил по сечению. Для оценки прочно­сти н

Внутренние силовые факторы, напряжения. Построение эпюр
Иметь представление о продольных силах, о нормальных на­пряжениях в поперечных сечениях. Знать правила построения эпюр продольных сил и нормальных напряжений, закон распределения

Продольных сил
Рассмотрим брус, нагруженный внешними силами вдоль оси. Брус закреплен в стене (закрепление «заделка») (рис. 20.2а). Делим брус на участки нагружения. Участком нагружения с

Геометрические характеристики плоских сечений
Иметь представление о физическом смысле и порядке опре­деления осевых, центробежных и полярных моментов инерции, о главных центральных осях и главных центральных моментах инерции.

Статический момент площади сечения
Рассмотрим произвольное сечение (рис. 25.1). Если разбить сечение на бесконечно малые площадки dA и умножить каждую площадку на расстояние до оси координат и проинтегрировать получе

Центробежный момент инерции
Центробежным моментом инерции сечения называется взятая ковсей площади сумма произведений элементарных площадок на обе координаты:

Осевые моменты инерции
Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой реи, лежащей в этой же плоскости, называется взятая по всей пло­щади сумма произведений элементарных площадок на квадрат их расстояния

Полярный момент инерции сечения
Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей площади сумма произве­дений элементарных площадок на квадрат их расстояния до этой точки:

Моменты инерции простейших сечений
Осевые моменты инерции прямоугольника (рис. 25.2) Представим прямо

Полярный момент инерции круга
Для круга вначале вычисляют поляр­ный момент инерции, затем - осевые. Представим круг в виде совокупности бесконечно тонких колец (рис. 25.3).

Деформации при кручении
Кручение круглого бруса происходит при нагружении его па­рами сил с моментами в плоскостях, перпендикулярных продольной оси. При этом образующие бруса искривляются и разворачиваются на угол γ,

Гипотезы при кручении
1. Выполняется гипотеза плоских сечений: поперечное сечение бруса, плоское и перпен- дикулярное продольной оси, после деформацииостается плоским и перпендикулярным продольной оси.

Внутренние силовые факторы при кручении
Кручением называется нагружение, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор - крутящий момент. Внешними нагрузками также являются две про

Эпюры крутящих моментов
Крутящие моменты могут меняться вдоль оси бруса. После определения величин моментов по сечениям строим график-эпюру крутящих моментов вдоль оси бруса.

Напряжения при кручении
Проводим на поверхности бру­са сетку из продольных и попе­речных линий и рассмотрим рису­нок, образовавшийся на поверхно­сти после Рис. 27.1а деформации (рис. 27.1а). Поп

Максимальные напряжения при кручении
Из формулы для определения напряжений и эпюры распределе­ния касательных напряжений при кручении видно, что максималь­ные напряжения возникают на поверхности. Определим максимальное напряж

Виды расчетов на прочность
Существует два вида расчета на прочность 1. Проектировочный расчет - определяется диаметр бруса (вала) в опасном сечении:

Расчет на жесткость
При расчете на жесткость определяется деформация и сравни­вается с допускаемой. Рассмотрим деформацию круглого бруса над действием внешней пары сил с моментом т (рис. 27.4).

Основные определения
Изгибом называется такой вид нагружения, при котором в по­перечном сечении бруса возникает внутренний силовой фактор -изгибающий момент. Брус, работающий на

Внутренние силовые факторы при изгибе
Пример 1.Рассмотрим балку, на которую действует пара сил с моментом т и внешняя сила F (рис. 29.3а). Для определения вну­тренних силовых факторов пользуемся методом с

Изгибающих моментов
Поперечная сила в сече­нии считается положитель­ной, если она стремится раз­вернуть се

Дифференциальные зависимости при прямом поперечном изгибе
Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов су­щественно упрощается при использовании дифференциальных зави­симостей между изгибающим моментом, поперечной силой и интен­сивностью равномерн

Методом сечения Полученное выражение можно обобщить
Поперечная сила в рассматриваемом сечении равна алгебраической сумме всех сил, действующих на балку до рассматриваемого сечения: Q = ΣFi Поскольку речь идет

Напряжения
Рассмотрим изгиб балки, защемленной справа и нагруженной сосредоточенной силой F (рис. 33.1).

Напряженное состояние в точке
Напряженное состояние в точке характеризуется нормальны­ми и касательными напряжениями, возникающими на всех площад­ках (сечениях), проходящих через данную точку. Обычно достаточ­но определить напр

Понятие о сложном деформированном состоянии
Совокупность деформаций, возникающих по различным напра­влениям и в различных плоскостях, проходящих через точку, опре­деляют деформированное состояние в этой точке. Сложное деформи

Расчет круглого бруса на изгиб с кручением
В случае расчета круглого бруса при действии изгиба и кру­чения (рис. 34.3) необходимо учитывать нормальные и касательные напряжения, т. к. максимальные значения напряжений в обоих слу­чаях возника

Понятие об устойчивом и неустойчивом равновесии
Относительно короткие и массивные стержни рассчитывают на сжатие, т.к. они выходят из строя в результате разрушения или остаточных деформаций. Длинные стержни небольшого поперечного сечения под дей

Расчет на устойчивость
Расчет на устойчивость заключается в определении допускае­мой сжимающей силы и в сравнении с ней силы действующей:

Расчет по формуле Эйлера
Задачу определения критической силы математиче­ски решил Л. Эйлер в 1744 г. Для шарнирно закрепленного с обеих сторон стержня (рис. 36.2) формула Эйлера имеет вид

Критические напряжения
Критическое напряжение - напряжение сжатия, соответству­ющее критической силе. Напряжение от сжимающей силы определяется по формуле

Пределы применимости формулы Эйлера
Формула Эйлера выполняется только в пределах упругих де­формаций. Таким образом, критическое напряжение должно быть меньше предела упругости материала. Пред

Инерциальные и неинерциальные системы отсчета

Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Относительно всех инерциальных систем данное тело движется с одинаковым ускорением $w$. Любая неинерциальная система отсчета движется относительно инерциальных систем с некоторым ускорением, поэтому ускорение тела в неинерциальной системе отсчета $w"$ будет отлично от $w$. Обозначим разность ускорений тела и инерциальной и неинерциальной системах символом $a$:

Для поступательно движущейся неинерциальной системы $a$ одинаково для всех точек пространства $a=const$ и представляет собой ускорение неинерциальной системы отсчета.

Для вращающейся неинерциальной системы $a$ в разных точках пространства будет различным ($a=a(r")$, где $r"$ - радиус-вектор, определяющий положение точки относительно неинерциальной системы отсчета).

Пусть результирующая всех сил, обусловленных действием на данное тело со стороны других тел, равна $F$. Тогда согласно второму закону Ньютона ускорение тела относительно любой инерциальной системы отсчета равно:

Ускорение же тела относительно некоторой неинерциальной системы можно представить в виде:

Отсюда следует, что даже при $F=0$ тело будет двигаться по отношению к неинерциальной системе отсчета с ускорением $-a$, т. е. так, как если бы на него действовала сила, равная $-ma$.

Сказанное означает, что при описании движения в неинерциальных системах отсчета можно пользоваться уравнениями Ньютона, если наряду с силами, обусловленными воздействием тел друг на друга, учитывать так называемые силы инерции $F_{in} $, которые следует полагать равными произведению массы тела на взятую с обратным знаком разность его ускорений по отношению к инерциальной и неинерциальной системам отсчета:

Соответственно уравнение второго закона Ньютона в неинерциальной системе отсчета будет иметь вид:

Поясним наше утверждение следующим примером. Рассмотрим тележку с укрепленным на ней кронштейном, к которому подвешен на нити шарик.

Рисунок 1.

Пока тележка покоится или движется без ускорения, нить расположена вертикально и сила тяжести $P$ уравновешивается реакцией нити $F_{r} $. Теперь приведем тележку в поступательное движение и ускорением $a$. Нить отклонится от вертикали на такой угол, чтобы результирующая сил $P$ и $F_{r} $, сообщала шарику ускорение, равное $a$. Относительно системы отсчета, связанной с тележкой, шарик покоится, несмотря на то, что результирующая сил $P$ и $F_{r} $ отлична от нуля. Отсутствие ускорения шарика по отношению к этой системе отсчета можно формально объяснить тем, что, кроме сил $P$ и $F_{r} $, равных, в сумме $ma$, на шарик действует еще и сила инерции $F_{in} =-ma$.

Силы инерции и их свойства

Введение сил инерции дает возможность описывать движение тел в любых (как инерциальных, так и неинерциальных) системах отсчета с помощью одних я тех же уравнений движения.

Замечание 1

Следует отчетливо понимать, что силы инерции нельзя ставить в один ряд с такими силами, как упругие, гравитационные силы и силы трения, т. е. силами, обусловленными воздействием на тело со стороны других, тел. Силы инерции обусловлены свойствами той системы отсчета, в которой рассматриваются механические явления. В этом смысле их можно назвать фиктивными силами.

Введение в рассмотрение сил инерции не является принципиально необходимым. В принципе любое движение можно всегда рассмотреть по отношению к инерциальной системе отсчета. Однако, практически часто представляет интерес как раз движение тел по отношению к неинерциальным системам отсчета, например, по отношению к земной поверхности.

Использование сил инерции даёт возможность решить соответствующую задачу непосредственно по отношению к такой системе отсчета, что часто оказывается значительно проще, чем рассмотрение движения в инерциальной системе.

Характерным свойством сил инерции является их пропорциональность массе тела. Благодаря этому свойству силы инерции оказываются аналогичными силам тяготения. Представим себе, что мы находимся в удаленной от всех внешних тел закрытой кабине, которая движется с ускорением g в направлении, которое мы назовем «верхом».

Рисунок 2.

Тогда все тела, находящиеся внутри кабины, будут вести себя так, как если бы на них действовала сила инерции $F_{in} =-ma$. В частности, пружина, к концу которой подвешено тело массы $m$, растянется так, чтобы упругая сила уравновесила силу инерции $-mg$. Однако такие же явлений наблюдались бы и в том случае, если бы кабина была неподвижной и находилась вблизи поверхности Земли. Не имея возможности «выглянуть» за пределы кабины, никакими опытами, проводимыми внутри кабины, мы не смогли бы установить чем обусловлена сила $-mg$ - ускоренным движением кабины или действием гравитационного поля Земли. На этом основании говорят об эквивалентности сил инерции и тяготения. Эта эквивалентность лежит в основе общей теории относительности Эйнштейна.

Пример 1

Тело свободно падает с высоты $200$ м на Землю. Определить отклонение тела к востоку под влиянием кориолисовой силы инерции, вызванной вращением Земли. Широта места падения $60^\circ$.

Дано: $h=200$м, $\varphi =60$?.

Найти: $l-$?

Решение: В земной системе отсчета на свободно падающее тело действует кориолисова сила инерции:

\, \]

где $\omega =\frac{2\pi }{T} =7,29\cdot 10^{-6} $рад/с -- угловая скорость вращения Земли, а $v_{r} $- скорость движения тела относительно Земли.

Кориолисова сила инерции во много раз меньше силы тяготения тела к Земле. Поэтому в первом приближении при определении $F_{k} $можно считать, что скорость $v_{r} $ направлена вдоль радиуса Земли и численно равна:

где $t$$ $- продолжительность падения.

Рисунок 3.

Из рисунка видно направление действия силы, тогда:

Так как $a_{k} =\frac{dv}{dt} =\frac{d^{2} l}{dt^{2} } $,

где $v$ - численное значение составляющей скорости тела, касательной к поверхности Земли, $l$ - смещение свободно падающего тела к востоку, то:

$v=\omega gt^{2} \cos \varphi +C_{1} $ и $l=\frac{1}{3} \omega gt^{3} \cos \varphi +C_{1} t+C_{2} $.

В начале падения тела $t=0,v=0,l=0$, поэтому постоянные интегрирования равны нулю и тогда имеем:

Продолжительность свободного падения тела с высоты $h$:

так что искомое отклонение тела к востоку:

$l=\frac{2}{3} \omega h\sqrt{\frac{2h}{g} } \cos \varphi =0,3\cdot 10^{-2} $м.

Ответ: $l=0,3\cdot 10^{-2} $м.