Come arrotondare il 5 dopo la virgola. Matematica

Compito n. 1. Arrotondamento dei risultati della misurazione

Quando si eseguono misurazioni, è importante seguire alcune regole per arrotondare e registrare i risultati nella documentazione tecnica, poiché se queste regole non vengono seguite, sono possibili errori significativi nell'interpretazione dei risultati della misurazione.

Regole per scrivere i numeri

1. Le cifre significative di un dato numero sono tutte cifre dalla prima a sinistra, che non è uguale a zero, all'ultima a destra. In questo caso gli zeri risultanti dal moltiplicatore di 10 non vengono presi in considerazione.

Esempi.

un numero 12,0ha tre cifre significative.

b) Numero 30ha due cifre significative.

c) Numero 12010 8 ha tre cifre significative.

G) 0,51410 -3 ha tre cifre significative.

D) 0,0056ha due cifre significative.

2. Se è necessario indicare che un numero è esatto, dopo il numero è indicata la parola “esattamente” oppure è stampata in grassetto l'ultima cifra significativa. Ad esempio: 1 kW/h = 3600 J (esattamente) oppure 1 kW/h = 360 0 J .

3. Le registrazioni di numeri approssimativi si distinguono per il numero di cifre significative. Ad esempio, ci sono i numeri 2.4 e 2.40. Scrivere 2,4 significa che solo gli interi e le decime sono corretti; il vero valore del numero potrebbe essere, ad esempio, 2,43 e 2,38. Scrivere 2,40 significa che sono veri anche i centesimi: il vero valore del numero può essere 2,403 e 2,398, ma non 2,41 e non 2,382. Scrivere 382 significa che tutti i numeri sono corretti: se non puoi garantire per l'ultima cifra, allora il numero dovrebbe essere scritto 3.810 2. Se solo le prime due cifre del numero 4720 sono corrette, dovrebbe essere scritto come: 4710 2 o 4.710 3.

4. Il numero per il quale è indicata la deviazione consentita deve avere l'ultima cifra significativa della stessa cifra dell'ultima cifra significativa della deviazione.

Esempi.

a) Corretto: 17,0 + 0,2. Sbagliato: 17 + 0,2O 17,00 + 0,2.

b) Correggere: 12,13+ 0,17. Sbagliato: 12,13+ 0,2.

c) Correggere: 46,40+ 0,15. Sbagliato: 46,4+ 0,15O 46,402+ 0,15.

5. Si consiglia di annotare i valori numerici di una quantità e il suo errore (deviazione) indicando la stessa unità di quantità. Ad esempio: (80.555 + 0,002) kg.

6. A volte è consigliabile scrivere gli intervalli tra i valori numerici delle quantità in forma di testo, quindi la preposizione “da” significa “”, la preposizione “a” – “”, la preposizione “sopra” – “> ”, la preposizione “meno” – “<":

"D assume valori da 60 a 100" significa "60 D100",

"D assume valori maggiori di 120 minori di 150" significa "120<D< 150",

"D assume valori compresi tra 30 e 50" significa "30<D50".

Regole per arrotondare i numeri

1. L'arrotondamento di un numero è la rimozione di cifre significative a destra verso una determinata cifra con una possibile modifica della cifra di questa cifra.

2. Se la prima delle cifre scartate (contando da sinistra a destra) è inferiore a 5, l'ultima cifra salvata non viene modificata.

Esempio: arrotondamento di un numero 12,23fornisce fino a tre cifre significative 12,2.

3. Se la prima delle cifre scartate (contando da sinistra a destra) è uguale a 5, l'ultima cifra salvata viene aumentata di uno.

Esempio: arrotondamento di un numero 0,145fornisce fino a due cifre 0,15.

Nota . Nei casi in cui si debba tener conto del risultato degli arrotondamenti precedenti, procedere come segue.

4. Se la cifra scartata viene ottenuta come risultato dell'arrotondamento per difetto, l'ultima cifra rimanente viene aumentata di uno (con una transizione alle cifre successive, se necessario), altrimenti viceversa. Questo vale sia per le frazioni che per gli interi.

Esempio: arrotondamento di un numero 0,25(ottenuto a seguito del precedente arrotondamento del numero 0,252) dà 0,3.

4. Se la prima delle cifre scartate (contando da sinistra a destra) è superiore a 5, l'ultima cifra salvata viene aumentata di uno.

Esempio: arrotondamento di un numero 0,156dà due cifre significative 0,16.

5. L'arrotondamento viene eseguito immediatamente al numero desiderato di cifre significative e non per fasi.

Esempio: arrotondamento di un numero 565,46fornisce fino a tre cifre significative 565.

6. I numeri interi vengono arrotondati secondo le stesse regole delle frazioni.

Esempio: arrotondamento di un numero 23456dà due cifre significative 2310 3

Il valore numerico del risultato della misurazione deve terminare con una cifra uguale al valore dell'errore.

Esempio:Numero 235,732 + 0,15dovrebbe essere arrotondato a 235,73 + 0,15, ma non fino a quando 235,7 + 0,15.

7. Se la prima delle cifre scartate (contando da sinistra a destra) è inferiore a cinque, le cifre rimanenti non cambiano.

Esempio: 442,749+ 0,4arrotondato per eccesso 442,7+ 0,4.

8. Se la prima cifra da scartare è maggiore o uguale a cinque, l'ultima cifra da conservare viene aumentata di uno.

Esempio: 37,268 + 0,5arrotondato per eccesso 37,3 + 0,5; 37,253 + 0,5 deve essere arrotondatoPrima 37,3 + 0,5.

9. L'arrotondamento deve essere effettuato immediatamente al numero desiderato di cifre significative; l'arrotondamento incrementale può causare errori.

Esempio: arrotondamento graduale del risultato di una misurazione 220,46+ 4dà nella prima fase 220,5+ 4e sul secondo 221+ 4, mentre il risultato dell'arrotondamento corretto è 220+ 4.

10. Se l'errore di uno strumento di misura è indicato solo con una o due cifre significative e il valore dell'errore calcolato è ottenuto con un gran numero di cifre, solo la prima o le prime due cifre significative dovrebbero essere lasciate nel valore finale dello strumento errore calcolato, rispettivamente. Inoltre, se il numero risultante inizia con le cifre 1 o 2, scartare il secondo carattere porta ad un errore molto grande (fino al 3050%), il che è inaccettabile. Se il numero risultante inizia con il numero 3 o più, ad esempio con il numero 9, preservare il secondo carattere, ad es. indicare un errore, ad esempio 0,94 anziché 0,9, è una disinformazione, poiché i dati originali non forniscono tale precisione.

Sulla base di ciò, in pratica è stata stabilita la seguente regola: se il numero risultante inizia con una cifra significativa uguale o maggiore di 3, ne viene mantenuta solo una; se inizia con cifre significative inferiori a 3, cioè dai numeri 1 e 2, in esso vengono memorizzate due cifre significative. In conformità con questa regola, vengono stabiliti i valori standardizzati degli errori degli strumenti di misura: due cifre significative sono indicate nei numeri 1,5 e 2,5%, ma nei numeri 0,5; 4; 6% è indicata una sola cifra significativa.

Esempio:Su un voltmetro di classe di precisione 2,5con limite di misura x A = 300 In una lettura della tensione misurata x = 267,5D. In quale forma il risultato della misurazione deve essere registrato nel rapporto?

È più conveniente calcolare l'errore nel seguente ordine: prima devi trovare l'errore assoluto e poi quello relativo. Errore assoluto  X =  0 X A/100, per l'errore ridotto del voltmetro  0 = 2,5% e i limiti di misurazione (campo di misurazione) del dispositivo X A= 300 V:  X= 2,5300/100 = 7,5 V ~ 8 V; errore relativo  =  X100/X = 7,5100/267,5 = 2,81 % ~ 2,8 % .

Poiché la prima cifra significativa del valore di errore assoluto (7,5 V) è maggiore di tre, questo valore dovrebbe essere arrotondato secondo le consuete regole di arrotondamento a 8 V, ma nel valore di errore relativo (2,81%) la prima cifra significativa è inferiore inferiore a 3, quindi qui nella risposta devono essere mantenute due cifre decimali e deve essere indicato  = 2,8%. Valore ricevuto X= 267,5 V deve essere arrotondato alla stessa cifra decimale del valore dell'errore assoluto arrotondato, cioè fino a intere unità di volt.

Pertanto, la risposta finale dovrebbe essere: "La misurazione è stata effettuata con un errore relativo di = 2,8%. La tensione misurata X= (268+ 8) B".

In questo caso è più chiaro indicare nel modulo i limiti dell'intervallo di incertezza del valore misurato X= (260276) V oppure 260 VX276 V.

Per considerare le peculiarità dell'arrotondamento di un determinato numero, è necessario analizzare esempi specifici e alcune informazioni di base.

Come arrotondare i numeri ai centesimi

• Per arrotondare un numero ai centesimi è necessario lasciare due cifre dopo la virgola; il resto, ovviamente, viene scartato. Se la prima cifra da scartare è 0, 1, 2, 3 o 4, la cifra precedente rimane invariata.
• Se la cifra scartata è 5, 6, 7, 8 o 9, è necessario aumentare di uno la cifra precedente.
• Ad esempio, se dobbiamo arrotondare il numero 75.748, dopo l'arrotondamento otteniamo 75.75. Se abbiamo 19.912, come risultato dell'arrotondamento, o meglio, in assenza della necessità di utilizzarlo, otteniamo 19.91. Nel caso di 19.912 la cifra che segue i centesimi non viene arrotondata, quindi viene semplicemente scartata.
• Se parliamo del numero 18.4893, l'arrotondamento ai centesimi avviene come segue: la prima cifra da scartare è 3, quindi non si verificano modifiche. Risulta 18.48.
• Nel caso di 0,2254 abbiamo la prima cifra, che viene scartata durante l'arrotondamento al centesimo più vicino. Questo è un cinque, che indica che il numero precedente deve essere aumentato di uno. Cioè, otteniamo 0,23.
• Ci sono anche casi in cui l'arrotondamento modifica tutte le cifre di un numero. Ad esempio, per arrotondare il numero 64.9972 al centesimo più vicino, vediamo che il numero 7 arrotonda i precedenti. Otteniamo 65,00.

Come arrotondare i numeri a numeri interi

La situazione è la stessa quando si arrotondano i numeri a numeri interi. Se abbiamo, ad esempio, 25,5, dopo l'arrotondamento otteniamo 26. Nel caso di un numero sufficiente di cifre decimali l'arrotondamento avviene nel modo seguente: dopo aver arrotondato 4.371251 otteniamo 4.

L'arrotondamento ai decimi avviene allo stesso modo dell'arrotondamento ai centesimi. Ad esempio, se dobbiamo arrotondare il numero 45.21618, otteniamo 45.2. Se la seconda cifra dopo la decima è 5 o più, la cifra precedente viene aumentata di uno. Ad esempio, potresti arrotondare 13,6734 per ottenere 13,7.

È importante prestare attenzione al numero che si trova prima di quello troncato. Ad esempio, se abbiamo il numero 1.450, dopo l'arrotondamento otteniamo 1.4. Tuttavia nel caso di 4.851 è consigliabile arrotondare a 4.9, poiché dopo il cinque c'è ancora un'unità.

Supponiamo che tu voglia arrotondare il numero all'intero più vicino perché non ti interessano i valori decimali o esprimere il numero come potenza di 10 per facilitare i calcoli approssimativi. Esistono diversi modi per arrotondare i numeri.

Modifica del numero di cifre decimali senza modificare il valore

Su un foglio

Nel formato numerico integrato

Arrotondare un numero per eccesso

Arrotondare un numero al valore più vicino

Arrotondare un numero alla frazione più vicina

Arrotondamento di un numero a un numero specificato di cifre significative

Le cifre significative sono cifre che influenzano la precisione di un numero.

Gli esempi in questa sezione utilizzano le funzioni GIRARE, ARROTONDARE E FONDO TONDO. Mostrano modi per arrotondare numeri positivi, negativi, numeri interi e frazioni, ma gli esempi forniti coprono solo una piccola parte delle possibili situazioni.

L'elenco seguente contiene le regole generali da considerare quando si arrotondano i numeri al numero specificato di cifre significative. Puoi sperimentare le funzioni di arrotondamento e sostituire i tuoi numeri e parametri per ottenere un numero con il numero desiderato di cifre significative.

I numeri negativi arrotondati vengono prima convertiti in valori assoluti (valori senza segno meno). Dopo l'arrotondamento viene riapplicato il segno meno. Sebbene possa sembrare controintuitivo, questo è il modo in cui viene eseguito l'arrotondamento. Ad esempio, quando si utilizza la funzione FONDO TONDO Arrotondando -889 a due cifre significative, il risultato è -880. Innanzitutto -889 viene convertito in un valore assoluto (889). Questo valore viene quindi arrotondato a due cifre significative (880). Il segno meno viene quindi riapplicato, ottenendo -880.

Se applicata a un numero positivo, la funzione FONDO TONDO viene sempre arrotondato per difetto e quando si utilizza la funzione ARROTONDARE- su.

Funzione GIRARE arrotonda i numeri frazionari come segue: se la parte frazionaria è maggiore o uguale a 0,5, il numero viene arrotondato per eccesso. Se la parte frazionaria è inferiore a 0,5 il numero viene arrotondato per difetto.

Funzione GIRARE arrotonda i numeri interi per eccesso o per difetto in modo simile, utilizzando 5 invece di 0,5 come divisore.

In generale, quando si arrotonda un numero senza parte frazionaria (un numero intero), è necessario sottrarre la lunghezza del numero dal numero richiesto di cifre significative. Ad esempio, per arrotondare 2345678 a 3 cifre significative, utilizzare la funzione FONDO TONDO con parametro -4: =FONDO ROTONDO(2345678,-4). Questo arrotonda il numero a 2340000, dove la parte "234" rappresenta le cifre significative.

Arrotondare un numero a un multiplo specificato

A volte potrebbe essere necessario arrotondare un valore a un multiplo di un determinato numero. Ad esempio, supponiamo che un'azienda spedisca prodotti in scatole da 18. Puoi utilizzare la funzione ARROTONDA per determinare quante scatole saranno necessarie per fornire 204 unità di un articolo. In questo caso la risposta è 12 perché 204 diviso per 18 dà il valore 11,333, che deve essere arrotondato per eccesso. La dodicesima scatola conterrà solo 6 articoli.

Potrebbe anche essere necessario arrotondare un valore negativo a un multiplo di un negativo o una frazione a un multiplo di una frazione. Puoi anche usare la funzione per questo GIRARE.

Durante l'arrotondamento vengono mantenuti solo i segni corretti, il resto viene scartato.

Regola 1: L'arrotondamento si ottiene semplicemente scartando le cifre se la prima cifra da scartare è inferiore a 5.

Regola 2. Se la prima delle cifre scartate è maggiore di 5, l'ultima cifra viene aumentata di uno. L'ultima cifra viene incrementata anche quando la prima cifra da scartare è 5, seguita da una o più cifre diverse da zero. Ad esempio, vari arrotondamenti di 35,856 darebbero 35,86; 35,9; 36.

Regola 3. Se la cifra scartata è 5 e dietro non ci sono cifre significative, l'arrotondamento viene eseguito al numero pari più vicino, ad es. l'ultima cifra memorizzata rimane invariata se è pari e aumenta di uno se è dispari. Ad esempio, 0,435 viene arrotondato a 0,44; Arrotondiamo 0,465 a 0,46.

8. ESEMPIO DI ELABORAZIONE DEI RISULTATI DELLA MISURAZIONE

Determinazione della densità dei solidi. Supponiamo che il solido abbia la forma di un cilindro. Quindi la densità ρ può essere determinata dalla formula:

dove D è il diametro del cilindro, h è la sua altezza, m è la massa.

Si ottengano i seguenti dati come risultato delle misurazioni di m, D e h:

Determiniamo il valore medio di D̃:

Troviamo gli errori delle singole misurazioni e dei loro quadrati

Determiniamo l'errore quadratico medio di una serie di misurazioni:

Impostiamo il valore di affidabilità α = 0,95 e utilizziamo la tabella per trovare il coefficiente di Student t α. n =2,8 (per n = 5). Determiniamo i confini dell'intervallo di confidenza:

Poiché il valore calcolato ΔD = 0,07 mm supera significativamente l'errore micrometrico assoluto di 0,01 mm (la misurazione viene effettuata con un micrometro), il valore risultante può servire come stima del limite dell'intervallo di confidenza:

D = D̃ ± Δ D; D= (12,61±0,07) mm.

Determiniamo il valore di h̃:

Quindi:

Per α = 0,95 e n ​​= 5 coefficiente di Student t α, n = 2,8.

Determinazione dei confini dell'intervallo di confidenza

Poiché il valore ottenuto Δh = 0,11 mm è dello stesso ordine dell'errore del calibro, pari a 0,1 mm (h è misurato con un calibro), i limiti dell'intervallo di confidenza dovrebbero essere determinati dalla formula:

Quindi:

Calcoliamo la densità media ρ:

Troviamo un'espressione per l'errore relativo:

Dove

7. Metrologia GOST 16263-70. Termini e definizioni.

8. GOST 8.207-76 Misurazioni dirette con osservazioni multiple. Metodi per elaborare i risultati delle osservazioni.

9. GOST 11.002-73 (Articolo CMEA 545-77) Regole per valutare l'anomalia dei risultati dell'osservazione.

Carkovskaja Nadezhda Ivanovna

Sakharov Yuri Georgievich

Fisica generale

Linee guida per l'esecuzione del lavoro di laboratorio "Introduzione alla teoria degli errori di misurazione" per studenti di tutte le specialità

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Se la visualizzazione di cifre non necessarie provoca la visualizzazione dei segni ###### o se non è necessaria la precisione microscopica, modificare il formato della cella in modo che vengano visualizzate solo le cifre decimali necessarie.

Oppure, se desideri arrotondare un numero alla cifra maggiore più vicina, ad esempio millesimi, centesimi, decimi o unità, utilizza la funzione nella formula.

Utilizzando un pulsante

Seleziona le celle che desideri formattare.

Sulla scheda casa selezionare squadra Aumenta la profondità di bit O Diminuire la profondità di bit per visualizzare più o meno cifre decimali.

Usando formato numerico integrato

Sulla scheda casa in gruppo Numero Fare clic sulla freccia accanto all'elenco dei formati numerici e selezionare Altri formati numerici.

Nel campo Numero di cifre decimali inserisci il numero di cifre decimali che desideri visualizzare.

Utilizzo di una funzione in una formula

Arrotondare il numero al numero di cifre richiesto utilizzando la funzione ARROTONDA. Questa funzione ne ha solo due discussione(gli argomenti sono dati necessari per eseguire una formula).

Il primo argomento è il numero da arrotondare. Può essere un riferimento di cella o un numero.

Il secondo argomento è il numero di cifre a cui arrotondare il numero.

Diciamo che la cella A1 contiene il numero 823,7825 . Ecco come arrotondare.

Per arrotondare al migliaio più vicino E

• accedere =ARROTONDA(A1,-3), che è uguale 100 0

  Il numero 823.7825 è più vicino a 1000 che a 0 (0 è un multiplo di 1000)

  In questo caso viene utilizzato un numero negativo poiché l'arrotondamento deve avvenire a sinistra della virgola decimale. Lo stesso numero viene utilizzato nelle due formule successive, che arrotondano alle centinaia e alle decine più vicine.

Arrotondare al centinaio più vicino

• accedere =ARROTONDA(A1,-2), che è uguale 800

  Il numero 800 è più vicino a 823.7825 che a 900. Probabilmente adesso ti è tutto chiaro.

Arrotondare al più vicino dozzine

• accedere =ARROTONDA(A1,-1), che è uguale 820

Arrotondare al più vicino unità

• accedere =ARROTONDA(A1,0), che è uguale 824

  Utilizzare lo zero per arrotondare un numero a quello più vicino.

Arrotondare al più vicino decimi

• accedere =ARROTONDA(A1,1), che è uguale 823,8

  In questo caso, utilizzare un numero positivo per arrotondare il numero al numero di cifre richiesto. Lo stesso vale per le due formule successive, che arrotondano ai centesimi e ai millesimi.

Arrotondare al più vicino centesimi

• accedere =ROTONDO(A1,2), che è pari a 823,78

Arrotondare al più vicino millesimi

• accedere =ROTONDO(A1,3), che equivale a 823.783

Arrotondare un numero per eccesso utilizzando la funzione ROUND UP. Funziona esattamente come la funzione ROUND, tranne che arrotonda sempre il numero per eccesso. Ad esempio, se devi arrotondare il numero 3,2 a zero cifre:

=ARROTONDA PER SU(3,2,0), che è pari a 4

Arrotondare un numero per difetto utilizzando la funzione ARROTONDA PER GIÙ. Funziona esattamente come la funzione ROUND, tranne che arrotonda sempre il numero per difetto. Ad esempio, devi arrotondare il numero 3.14159 a tre cifre:

=ROUNDFONDO(3.14159,3), che è pari a 3.141