Logaritmo in base x 1. Formule fondamentali per i logaritmi naturali

log a r b r =log a b O registrare un b= log ar br

Il valore del logaritmo non cambierà se la base del logaritmo e il numero sotto il segno del logaritmo vengono elevati alla stessa potenza.

Sotto il segno del logaritmo possono stare solo i numeri positivi e la base del logaritmo non è uguale a uno.

Esempi.

1) Confronta log 3 9 e log 9 81.

log 3 9=2, poiché 3 2 =9;

log 9 81=2, poiché 9 2 =81.

Quindi log 3 9 = log 9 81.

Notare che la base del secondo logaritmo è uguale al quadrato della base del primo logaritmo: 9=3 2, e il numero sotto il segno del secondo logaritmo è uguale al quadrato del numero sotto il segno del primo logaritmo: 81=9 2. Risulta che sia il numero che la base del primo logaritmo log 3 9 sono stati elevati alla seconda potenza, e il valore del logaritmo non è cambiato da questo:

Successivamente, dall'estrazione della radice N° grado tra UNè l'aumento di un numero UN al grado ( 1/n), quindi dal log 9 81 puoi ottenere log 3 9 prendendo la radice quadrata del numero e la base del logaritmo:

2) Verifica l'uguaglianza: log 4 25=log 0,5 0,2.

Consideriamo il primo logaritmo. Prendendo la radice quadrata della base 4 e da tra 25 ; otteniamo: log 4 25=log 2 5.

Consideriamo il secondo logaritmo. Base logaritmica: 0,5= 1/2. Il numero sotto il segno di questo logaritmo: 0,2= 1/5. Eleviamo ciascuno di questi numeri alla prima potenza meno:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Quindi log 0,5 0,2 = log 2 5. Conclusione: questa uguaglianza è vera.

Risolvi l'equazione:

log 4 x 4 +log 16 81=log 2 (5x+2). Riduciamo i logaritmi da sinistra alla base 2 .

log 2 x 2 +log 2 3=log 2 (5x+2). Prendi la radice quadrata del numero e la base del primo logaritmo. Estrai la radice quarta del numero e la base del secondo logaritmo.

logaritmo 2 (3x2)=logaritmo 2 (5x+2). Converti la somma dei logaritmi nel logaritmo del prodotto.

3x2 =5x+2. Ricevuto dopo il potenziamento.

3x2 -5x-2=0. Risolviamo un'equazione quadratica utilizzando la formula generale per un'equazione quadratica completa:

a=3, b=-5, c=-2.

D=b 2 -4ac=(-5) 2 -4∙3∙(-2)=25+24=49=7 2 >0; 2 radici vere.

Visita medica.

x=2.

log 4 2 4 +log 16 81=log 2 (5∙2+2);

ceppo 2 2 2 +ceppo 2 3=ceppo 2 12;

log 2 (4∙3)=log 2 12;

ceppo 2 12=ceppo 2 12;

registrare un n b=(1/ N)∙ registrare un b

Logaritmo di un numero B basato su UN uguale al prodotto della frazione 1/ N al logaritmo di un numero B basato su UN.

Trovare:1) 21log 8 3+40log 25 2; 2) 30log 32 3∙log 125 2 , se è noto logaritmo 2 3=b,logaritmo 5 2=c.

Soluzione.

Risolvi le equazioni:

1) log2x+log4x+log16x=5,25.

Soluzione.

Riduciamo questi logaritmi in base 2. Applichiamo la formula: registrare un n b=(1/ N)∙ registrare un b

logaritmo 2 x+(½) logaritmo 2 x+(¼) logaritmo 2 x=5,25;

log2x+0,5log2x+0,25log2x=5,25. Ecco termini simili:

(1+0,5+0,25) log2x=5,25;

1,75 log2x=5,25 |:1,75

logaritmo2x=3. Per definizione di logaritmo:

2) 0,5log4 (x-2)+log16 (x-3)=0,25.

Soluzione. Convertiamo il logaritmo in base 16 in base 4.

0,5log4 (x-2)+0,5log4 (x-3)=0,25 |:0,5

logaritmo 4 (x-2)+logaritmo 4 (x-3)=0,5. Convertiamo la somma dei logaritmi nel logaritmo del prodotto.

logaritmo 4 ((x-2)(x-3))=0,5;

logaritmo 4 (x2 -2x-3x+6)=0,5;

log4 (x2 -5x+6)=0,5. Per definizione di logaritmo:

x2 -5x+4=0. Secondo il teorema di Vieta:

x1 =1; x2 =4. Il primo valore di x non funzionerà, poiché per x = 1 i logaritmi di questa uguaglianza non esistono, perché Sotto il segno del logaritmo possono stare solo i numeri positivi.

Controlliamo questa equazione in x=4.

Visita medica.

0,5log4 (4-2)+log16 (4-3)=0,25

0,5log4 2+log16 1=0,25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Logaritmo di un numero B basato su UN uguale al logaritmo del numero B su una nuova base Con, diviso per il logaritmo della vecchia base UN su una nuova base Con.

Esempi:

1) log23=lg3/lg2;

2) log87=ln7/ln8.

Calcolare:

1) ceppo 5 7, se è noto lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

C B / tronco d'albero C UN.

log5 7=log7/log5≈0,8451:0,6990≈1,2090.

Risposta: ceppo5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) registro 5 7 , se è noto ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Soluzione. Applicare la formula: log a b = log C B / tronco d'albero C UN.

log57=ln7/ln5≈1,9459:1,6094≈1,2091.

Risposta: ceppo5 7≈1,209 1≈1,209 .

Trova x:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Usiamo la formula: log C B / tronco d'albero C un = registrare un b . Noi abbiamo:

log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

log3x=log3 (4∙6∙8);

ceppo 3 x=ceppo 3 192;

x=192 .

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

Usiamo la formula: log C B / tronco d'albero C un = registrare un b . Noi abbiamo:

log7x=lg143-lg11-lg13;

log7x=lg143- (lg11+lg13);

log7x=lg143-lg(11∙13);

log7x=lg143-lg143;

x=1.

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\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Spieghiamolo più semplicemente. Ad esempio, \(\log_(2)(8)\) è uguale alla potenza alla quale deve essere elevato \(2\) per ottenere \(8\). Da ciò è chiaro che \(\log_(2)(8)=3\).

Esempi:		\(\log_(5)(25)=2\)		Perché \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		Perché \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		Perché \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argomento e base del logaritmo

Qualsiasi logaritmo ha la seguente “anatomia”:

L'argomento di un logaritmo è solitamente scritto al suo livello e la base è scritta in pedice più vicino al segno del logaritmo. E questa voce si legge così: “logaritmo di venticinque in base cinque”.

Come calcolare il logaritmo?

Per calcolare il logaritmo è necessario rispondere alla domanda: a quale potenza deve essere elevata la base per ottenere l'argomento?

Per esempio, calcolare il logaritmo: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) A quale potenza bisogna elevare \(4\) per ottenere \(16\)? Ovviamente la seconda. Ecco perché:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) A quale potenza deve essere elevato \(\sqrt(5)\) per ottenere \(1\)? Quale potere rende un numero uno? Zero, ovviamente!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) A quale potenza bisogna elevare \(\sqrt(7)\) per ottenere \(\sqrt(7)\)? Innanzitutto qualsiasi numero elevato alla prima potenza è uguale a se stesso.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) A quale potenza bisogna elevare \(3\) per ottenere \(\sqrt(3)\)? Da sappiamo che è una potenza frazionaria, il che significa che la radice quadrata è la potenza di \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Esempio : Calcola il logaritmo \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Soluzione :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Dobbiamo trovare il valore del logaritmo, denotatelo come x. Usiamo ora la definizione di logaritmo: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\quadrato(2))^(x)=8\)		Cosa collega \(4\sqrt(2)\) e \(8\)? Due, perché entrambi i numeri possono essere rappresentati da due: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		A sinistra utilizziamo le proprietà del grado: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) e \((a^(m))^(n)= a^(m\cpunto n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Le basi sono uguali, si passa all’uguaglianza degli indicatori
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \(\frac(2)(5)\)
		La radice risultante è il valore del logaritmo

Risposta : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Perché è stato inventato il logaritmo?

Per capirlo, risolviamo l'equazione: \(3^(x)=9\). Basta abbinare \(x\) per far funzionare l'equazione. Naturalmente, \(x=2\).

Ora risolvi l'equazione: \(3^(x)=8\).A cosa è uguale x? Questo è il punto.

I più furbi diranno: “X è poco meno di due”. Come scrivere esattamente questo numero? Per rispondere a questa domanda fu inventato il logaritmo. Grazie a lui, la risposta qui può essere scritta come \(x=\log_(3)(8)\).

Voglio sottolinearlo \(\log_(3)(8)\), like qualsiasi logaritmo è solo un numero. Sì, sembra insolito, ma è breve. Perché se volessimo scriverlo come decimale, sarebbe così: \(1.892789260714.....\)

Esempio : Risolvi l'equazione \(4^(5x-4)=10\)

Soluzione :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) e \(10\) non possono essere portati sulla stessa base. Ciò significa che non puoi fare a meno di un logaritmo. Usiamo la definizione di logaritmo: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Capovolgiamo l'equazione in modo che X sia a sinistra
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Prima di noi. Spostiamo \(4\) a destra. E non aver paura del logaritmo, trattalo come un numero normale.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Dividi l'equazione per 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Questa è la nostra radice. Sì, sembra insolito, ma non scelgono la risposta.

Risposta : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritmi decimali e naturali

Come affermato nella definizione di logaritmo, la sua base può essere qualsiasi numero positivo tranne uno \((a>0, a\neq1)\). E tra tutte le basi possibili, ce ne sono due che ricorrono così spesso che con esse è stata inventata una breve notazione speciale per i logaritmi:

Logaritmo naturale: un logaritmo la cui base è il numero di Eulero \(e\) (pari a circa \(2,7182818…\)), e il logaritmo è scritto come \(\ln(a)\).

Questo è, \(\ln(a)\) è uguale a \(\log_(e)(a)\)

Logaritmo decimale: un logaritmo la cui base è 10 si scrive \(\lg(a)\).

Questo è, \(\lg(a)\) è uguale a \(\log_(10)(a)\), dove \(a\) è un numero.

Identità logaritmica di base

I logaritmi hanno molte proprietà. Uno di questi è chiamato “Identità logaritmica di base” e assomiglia a questo:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Questa proprietà segue direttamente dalla definizione. Vediamo esattamente come è nata questa formula.

Ricordiamo una breve notazione della definizione di logaritmo:

se \(a^(b)=c\), allora \(\log_(a)(c)=b\)

Cioè, \(b\) è uguale a \(\log_(a)(c)\). Quindi possiamo scrivere \(\log_(a)(c)\) invece di \(b\) nella formula \(a^(b)=c\). Il risultato è \(a^(\log_(a)(c))=c\) - l'identità logaritmica principale.

Puoi trovare altre proprietà dei logaritmi. Con il loro aiuto puoi semplificare e calcolare i valori delle espressioni con logaritmi, difficili da calcolare direttamente.

Esempio : Trova il valore dell'espressione \(36^(\log_(6)(5))\)

Soluzione :

Risposta : \(25\)

Come scrivere un numero come logaritmo?

Come accennato in precedenza, qualsiasi logaritmo è solo un numero. È vero anche il contrario: qualsiasi numero può essere scritto come logaritmo. Ad esempio, sappiamo che \(\log_(2)(4)\) è uguale a due. Quindi invece di due puoi scrivere \(\log_(2)(4)\).

Ma \(\log_(3)(9)\) è anche uguale a \(2\), il che significa che possiamo anche scrivere \(2=\log_(3)(9)\) . Allo stesso modo con \(\log_(5)(25)\), e con \(\log_(9)(81)\), ecc. Cioè, si scopre

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Pertanto, se necessario, possiamo scrivere due come logaritmo con qualsiasi base ovunque (sia in un'equazione, in un'espressione o in una disuguaglianza) - scriviamo semplicemente la base quadrata come argomento.

È lo stesso con la tripla: può essere scritta come \(\log_(2)(8)\), o come \(\log_(3)(27)\), o come \(\log_(4)( 64) \)... Qui scriviamo la base nel cubo come argomento:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

E con quattro:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

E con meno uno:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

E con un terzo:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Qualsiasi numero \(a\) può essere rappresentato come un logaritmo con base \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Esempio : Trova il significato dell'espressione \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Soluzione :

Risposta : \(1\)

Oggi parleremo di formule logaritmiche e daremo indicativo esempi di soluzioni.

Essi stessi implicano schemi di soluzione secondo le proprietà di base dei logaritmi. Prima di applicare le formule dei logaritmi da risolvere, ricordiamoci di tutte le proprietà:

Ora, sulla base di queste formule (proprietà), mostreremo esempi di risoluzione dei logaritmi.

Esempi di risoluzione di logaritmi basati su formule.

Logaritmo un numero positivo b in base a (indicato con log a b) è un esponente al quale a deve essere elevato per ottenere b, con b > 0, a > 0 e 1.

Secondo la definizione, log a b = x, che equivale a a x = b, quindi log a a x = x.

Logaritmi, esempi:

log 2 8 = 3, perché 23 = 8

log 7 49 = 2, perché 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, perché 5 -1 = 1/5

Logaritmo decimale- questo è un logaritmo ordinario, la cui base è 10. È indicato come lg.

log 10 100 = 2, perché 10 2 = 100

Logaritmo naturale- anch'esso un logaritmo ordinario, un logaritmo, ma in base e (e = 2,71828... - un numero irrazionale). Indicato come ln.

È consigliabile memorizzare le formule o le proprietà dei logaritmi, perché ne avremo bisogno in seguito per risolvere logaritmi, equazioni logaritmiche e disequazioni. Esaminiamo nuovamente ciascuna formula con esempi.

• Identità logaritmica di base
  un log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Proprietà della potenza di un numero logaritmico e base del logaritmo

  Esponente del numero logaritmico log a b m = mlog a b

  Esponente della base del logaritmo log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  se m = n, otteniamo log a n b n = log a b

  logaritmo 4 9 = logaritmo 2 2 3 2 = logaritmo 2 3

• Transizione ad una nuova fondazione
  log a b = log c b/log c a,

  se c = b, otteniamo log b b = 1

  quindi log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Come puoi vedere, le formule per i logaritmi non sono così complicate come sembrano. Ora, dopo aver esaminato esempi di risoluzione dei logaritmi, possiamo passare alle equazioni logaritmiche. Considereremo esempi di risoluzione di equazioni logaritmiche in modo più dettagliato nell'articolo: "". Non perdere!

Se hai ancora domande sulla soluzione, scrivile nei commenti all'articolo.

Nota: abbiamo deciso di scegliere una classe diversa di istruzione e di studiare all'estero come opzione.

(dal greco λόγος - "parola", "relazione" e ἀριθμός - "numero") numeri B basato su UN(log α B) è chiamato tale numero C, E B= AC, cioè registra il log α B=C E b=aC sono equivalenti. Il logaritmo ha senso se a > 0, a ≠ 1, b > 0.

In altre parole logaritmo numeri B basato su UN formulato come esponente al quale deve essere elevato un numero UN per ottenere il numero B(il logaritmo esiste solo per i numeri positivi).

Da questa formulazione segue che il calcolo x= log α B, equivale a risolvere l'equazione a x =b.

Per esempio:

log 2 8 = 3 perché 8 = 2 3 .

Sottolineiamo che la formulazione indicata del logaritmo consente di determinarlo immediatamente valore del logaritmo, quando il numero sotto il segno del logaritmo agisce come una certa potenza della base. In effetti, la formulazione del logaritmo permette di giustificare questo se b=un c, quindi il logaritmo del numero B basato su UN equivale Con. È anche chiaro che l'argomento dei logaritmi è strettamente correlato all'argomento potenze di un numero.

Viene chiamato il calcolo del logaritmo logaritmo. Il logaritmo è l'operazione matematica di prendere un logaritmo. Quando si prendono i logaritmi, i prodotti dei fattori vengono trasformati in somme di termini.

Potenziamentoè l'operazione matematica inversa del logaritmo. Durante il potenziamento, una data base viene elevata al grado di espressione su cui viene eseguito il potenziamento. In questo caso, le somme dei termini si trasformano in un prodotto di fattori.

Molto spesso, i logaritmi reali vengono utilizzati con le basi 2 (binario), il numero di Eulero e ≈ 2,718 (logaritmo naturale) e 10 (decimale).

In questa fase è opportuno riflettere campioni logaritmici registro72 , ln √ 5, lg0.0001.

E le voci lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 non hanno senso, poiché nella prima c'è un numero negativo sotto il segno del logaritmo, nella seconda c'è un numero negativo nella base, e nella terza c'è un numero negativo sotto il segno del logaritmo e l'unità alla base.

Condizioni per determinare il logaritmo.

Vale la pena considerare separatamente le condizioni a > 0, a ≠ 1, b > 0. sotto le quali otteniamo definizione di logaritmo. Consideriamo perché sono state adottate queste restrizioni. Un'uguaglianza della forma x = log α ci aiuterà in questo B, chiamata identità logaritmica di base, che segue direttamente dalla definizione di logaritmo data sopra.

Prendiamo la condizione a≠1. Poiché uno a qualsiasi potenza è uguale a uno, allora l'uguaglianza x=log α B può esistere solo quando b=1, ma log 1 1 sarà un numero reale qualsiasi. Per eliminare questa ambiguità, prendiamo a≠1.

Dimostriamo la necessità della condizione a>0. A a=0 secondo la formulazione del logaritmo può esistere solo quando b=0. E di conseguenza allora ceppo 0 0 può essere qualsiasi numero reale diverso da zero, poiché da zero a qualsiasi potenza diversa da zero è zero. Questa ambiguità può essere eliminata dalla condizione a≠0. E quando UN<0 dovremmo rifiutare l’analisi dei valori razionali e irrazionali del logaritmo, poiché un grado con esponente razionale e irrazionale è definito solo per basi non negative. È per questo motivo che viene posta la condizione a>0.

E l'ultima condizione b>0 segue dalla disuguaglianza a>0, poiché x=log α B e il valore del grado con base positiva UN sempre positivo.

Caratteristiche dei logaritmi.

Logaritmi caratterizzato da distintivo caratteristiche, che ha portato al loro uso diffuso per facilitare notevolmente calcoli scrupolosi. Quando ci si sposta “nel mondo dei logaritmi”, la moltiplicazione si trasforma in un'addizione molto più semplice, la divisione si trasforma in sottrazione e l'elevamento a potenza e l'estrazione della radice si trasformano, rispettivamente, in moltiplicazione e divisione per l'esponente.

La formulazione dei logaritmi e una tabella dei loro valori (per le funzioni trigonometriche) fu pubblicata per la prima volta nel 1614 dal matematico scozzese John Napier. Le tavole logaritmiche, ampliate e dettagliate da altri scienziati, furono ampiamente utilizzate nei calcoli scientifici e ingegneristici e rimasero rilevanti fino all'uso di calcolatrici elettroniche e computer.

Quindi abbiamo potenze di due. Se prendi il numero dalla riga inferiore, puoi facilmente trovare la potenza alla quale dovrai alzare due per ottenere questo numero. Ad esempio, per ottenere 16, devi elevare due alla quarta potenza. E per ottenere 64, devi elevare due alla sesta potenza. Questo può essere visto dalla tabella.

E ora, in realtà, la definizione del logaritmo:

Il logaritmo in base a di x è la potenza alla quale deve essere elevato a per ottenere x.

Designazione: log a x = b, dove a è la base, x è l'argomento, b è ciò a cui è effettivamente uguale il logaritmo.

Ad esempio, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (il logaritmo in base 2 di 8 è tre perché 2 3 = 8). Con lo stesso successo log 2 64 = 6, poiché 2 6 = 64.

L'operazione di trovare il logaritmo di un numero in base data si chiama logaritmizzazione. Quindi, aggiungiamo una nuova riga alla nostra tabella:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
logaritmo 2 2 = 1	logaritmo 2 4 = 2	log28 = 3	logaritmo 2 16 = 4	logaritmo 2 32 = 5	logaritmo 2 64 = 6

Sfortunatamente, non tutti i logaritmi si calcolano così facilmente. Ad esempio, prova a trovare log 2 5 . Il numero 5 non è nella tabella, ma la logica suggerisce che il logaritmo si trovi da qualche parte nel segmento. Perché 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Tali numeri sono detti irrazionali: i numeri dopo la virgola possono essere scritti all'infinito e non si ripetono mai. Se il logaritmo risulta irrazionale, è meglio lasciarlo così: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

È importante capire che un logaritmo è un'espressione con due variabili (la base e l'argomento). Inizialmente, molte persone confondono dove sia la base e dove sia l’argomento. Per evitare fastidiosi malintesi basta guardare l'immagine:

Davanti a noi non c'è altro che la definizione di logaritmo. Ricordare: il logaritmo è una potenza, in cui è necessario costruire la base per ottenere un argomento. È la base che viene elevata a potenza: nell'immagine è evidenziata in rosso. Si scopre che la base è sempre in basso! Dico ai miei studenti questa meravigliosa regola già dalla prima lezione e non si crea alcuna confusione.

Abbiamo capito la definizione: non resta che imparare a contare i logaritmi, ad es. sbarazzarsi del segno "log". Per cominciare, notiamo che dalla definizione conseguono due fatti importanti:

1. L'argomento e la base devono essere sempre maggiori di zero. Ciò deriva dalla definizione di grado da parte di un esponente razionale, a cui si riduce la definizione di logaritmo.
2. La base deve essere diversa da uno, poiché uno in ogni grado rimane pur sempre uno. Per questo motivo la domanda “a quale potere bisogna elevare uno per averne due” non ha senso. Non esiste un diploma del genere!

Tali restrizioni sono chiamate intervallo di valori accettabili(ODZ). Risulta che l'ODZ del logaritmo è simile a questo: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Nota che non ci sono restrizioni sul numero b (il valore del logaritmo). Ad esempio, il logaritmo potrebbe essere negativo: log 2 0,5 = −1, perché 0,5 = 2 −1.

Tuttavia, ora consideriamo solo espressioni numeriche, dove non è necessario conoscere il VA del logaritmo. Tutte le restrizioni sono già state prese in considerazione dagli autori dei problemi. Ma quando entrano in gioco le equazioni e le disuguaglianze logaritmiche, i requisiti DL diventeranno obbligatori. Dopotutto, la base e l'argomentazione possono contenere costruzioni molto forti che non corrispondono necessariamente alle restrizioni di cui sopra.

Consideriamo ora lo schema generale per il calcolo dei logaritmi. Si compone di tre fasi:

1. Esprimi la base a e l'argomento x come una potenza con la base minima possibile maggiore di uno. Lungo il percorso, è meglio eliminare i decimali;
2. Risolvi l'equazione per la variabile b: x = a b ;
3. Il numero risultante b sarà la risposta.

È tutto! Se il logaritmo risultasse irrazionale, ciò sarà visibile già nel primo passaggio. Molto importante è il requisito che la base sia maggiore di uno: questo riduce la probabilità di errore e semplifica moltissimo i calcoli. Con le frazioni decimali è lo stesso: se le converti immediatamente in frazioni ordinarie, ci saranno molti meno errori.

Vediamo come funziona questo schema utilizzando esempi specifici:

Compito. Calcola il logaritmo: log 5 25

1. Immaginiamo la base e l'argomento come una potenza di cinque: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Creiamo e risolviamo l'equazione:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Abbiamo ricevuto la risposta: 2.

Compito. Calcola il logaritmo:

Compito. Calcola il logaritmo: log 4 64

1. Immaginiamo la base e l'argomento come una potenza di due: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Creiamo e risolviamo l'equazione:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Abbiamo ricevuto la risposta: 3.

Compito. Calcola il logaritmo: log 16 1

1. Immaginiamo la base e l'argomento come una potenza di due: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Creiamo e risolviamo l'equazione:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Abbiamo ricevuto la risposta: 0.

Compito. Calcola il logaritmo: log 7 14

1. Immaginiamo la base e l'argomento come una potenza di sette: 7 = 7 1 ; 14 non può essere rappresentato come una potenza di sette, poiché 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Dal paragrafo precedente ne consegue che il logaritmo non conta;
3. La risposta è nessun cambiamento: log 7 14.

Una piccola nota sull'ultimo esempio. Come puoi essere sicuro che un numero non sia una potenza esatta di un altro numero? È molto semplice: basta fattorizzarlo in fattori primi. Se l'espansione ha almeno due fattori diversi, il numero non è una potenza esatta.

Compito. Scopri se i numeri sono potenze esatte: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - grado esatto, perché c'è un solo moltiplicatore;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - non è una potenza esatta, poiché ci sono due fattori: 3 e 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - grado esatto;
35 = 7 · 5 - ancora una volta non una potenza esatta;
14 = 7 · 2 - ancora una volta non un grado esatto;

Si noti inoltre che i numeri primi stessi sono sempre potenze esatte di se stessi.

Logaritmo decimale

Alcuni logaritmi sono così comuni che hanno un nome e un simbolo speciali.

Il logaritmo decimale di x è il logaritmo in base 10, cioè La potenza alla quale bisogna elevare il numero 10 per ottenere il numero x. Designazione: lgx.

Ad esempio, log 10 = 1; lg100 = 2; lg 1000 = 3 - ecc.

D'ora in poi, quando in un libro di testo apparirà una frase come "Trova lg 0.01", sappi che non si tratta di un errore di battitura. Questo è un logaritmo decimale. Tuttavia, se non hai familiarità con questa notazione, puoi sempre riscriverla:
logaritmo x = logaritmo 10 x

Tutto ciò che vale per i logaritmi ordinari vale anche per i logaritmi decimali.

Logaritmo naturale

C'è un altro logaritmo che ha una sua designazione. In un certo senso, è ancora più importante del decimale. Stiamo parlando del logaritmo naturale.

Il logaritmo naturale di x è il logaritmo in base e, cioè la potenza alla quale bisogna elevare il numero e per ottenere il numero x. Designazione: ln x .

Molti si chiederanno: qual è il numero e? Questo è un numero irrazionale; il suo valore esatto non può essere trovato e scritto. Darò solo le prime cifre:
e = 2,718281828459...

Non entreremo nei dettagli su cosa sia questo numero e perché è necessario. Ricorda solo che e è la base del logaritmo naturale:
ln x = log e x

Quindi ln e = 1 ; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - ecc. D'altra parte, ln 2 è un numero irrazionale. In generale, il logaritmo naturale di qualsiasi numero razionale è irrazionale. Tranne, ovviamente, uno: ln 1 = 0.

Per i logaritmi naturali valgono tutte le regole valide per i logaritmi ordinari.