Quantità fisiche. Unità di misura Le principali quantità fisiche del sistema internazionale di unità sono

Nome dell'unità

Designazione

Quantità misurata

internazionale

Chilogrammo

Intensità della corrente elettrica

Temperatura termodinamica*

neo

Quantità di sostanza

Il potere della luce

Nome dell'unità

Designazione

Quantità misurata

internazionale

La Conferenza Generale sui Pesi e le Misure (GCPM) nel 1954 definì sei unità fondamentali di quantità fisiche da utilizzare nelle relazioni internazionali: metro, chilogrammo, secondo, ampere, Kelvin e candela. L'XI Conferenza Generale sui Pesi e le Misure nel 1960 approvò il Sistema Internazionale di Unità, denominato SI (dalle lettere iniziali del nome francese Systeme International d" Unites), in russo - SI. Negli anni successivi, la Conferenza Generale adottò un numero di aggiunte e cambiamenti, che nel sistema divennero sette unità di base, unità aggiuntive e derivate di grandezza fisica (vedi Appendice 19), e svilupparono anche le seguenti definizioni di unità di base:

unità di lunghezza - metro- la lunghezza del percorso che la luce compie nel vuoto in 1/299792458 di secondo;

unità di massa - chilogrammo- massa pari alla massa del prototipo internazionale del chilogrammo;

unità di tempo - secondo- durata di 9192631770 periodi di radiazione, che corrisponde alla transizione tra due livelli iperfini dello stato fondamentale dell'atomo di cesio-133 in assenza di disturbi provenienti da campi esterni;

unità di corrente elettrica - ampere- l'intensità di una corrente costante che, attraversando due conduttori paralleli di lunghezza infinita e sezione circolare trascurabile, posti a una distanza di 1 m l'uno dall'altro nel vuoto, creerebbe una forza tra questi conduttori pari a 2 10 -7 Η per ogni metro di lunghezza;

unità di temperatura termodinamica - Kelvin- 1/273,16 parte della temperatura termodinamica del punto triplo dello iodio. È consentito anche l'uso della scala Celsius;

unità di quantità di sostanza- neo- la quantità di sostanza del sistema contenente tanti elementi strutturali quanti sono gli atomi contenuti in un nuclide di carbonio-12 del peso di 0,012 kg;

unità di intensità luminosa - candela- l'intensità della luce in una data direzione di una sorgente che emette radiazione monocromatica con una frequenza di 540 · 10 12 Hz, la cui intensità energetica in questa direzione è 1/683 W/sr. Le definizioni fornite sono piuttosto complesse e richiedono un livello sufficiente di

conoscenze, soprattutto in fisica. Ma danno un'idea dell'origine naturale e naturale delle unità accettate, e la loro interpretazione è diventata più complicata con lo sviluppo della scienza e grazie a nuovi elevati risultati nella fisica teorica e pratica, nella meccanica, nella matematica e in altri campi fondamentali della conoscenza. Ciò ha permesso, da un lato, di presentare le unità di base come affidabili e precise e, dall'altro, come spiegabili e, per così dire, comprensibili per tutti i paesi del mondo, che è la condizione principale per il sistema di unità per diventare internazionali.

Eliminare la scelta arbitraria di unità di quantità fisiche, garantire un'espressione uniforme e un'adeguata comprensione della qualità dei parametri, delle caratteristiche e delle proprietà di vari oggetti, processi, stati, ad es. al fine di garantire le condizioni per l'uniformità delle misurazioni, le unità di quantità fisiche devono essere generalmente accettate e generalmente accettate. Questi requisiti sono pienamente soddisfatti dal Sistema Internazionale di Unità di Misura Fisica (SI), che è la forma moderna di presentazione e sviluppo del sistema metrico di misure.

I vantaggi del sistema SI sono:

• ? universalità, che implica la copertura di tutti i settori della scienza, della tecnologia e della produzione; tutte le unità derivate sono formate secondo un'unica regola. Ciò rende possibile la creazione di nuove unità derivate man mano che la scienza e la tecnologia si sviluppano;
• ? coerenza, che permette di semplificare al minimo le formule di calcolo eliminando i fattori di conversione (quando il fattore numerico è pari a 1). Ad esempio, la velocità di movimento dei corpi può essere espressa dalla relazione V = = L/t, Dove l- lunghezza del percorso in metri; T- tempo di movimento in secondi. Sostituendo le dimensioni delle quantità indicate nella formula si ottiene V== 1m/s;
• ? unificazione delle unità di tutte le aree di misurazione, intesa come portare le unità all'uniformità sulla base di una riduzione razionale del numero delle loro varietà.

In base alla loro dipendenza condizionale da altre quantità, le unità sono divise in fondamentali (quantità fisiche indipendenti situate nel sistema di unità di base) e derivati ​​(dipendenti condizionatamente dalle quantità di base).

Ci sono sette unità primarie e due supplementari nel sistema SI. Le unità complementari vengono utilizzate per formare unità derivate in base a determinate condizioni associate agli angoli piani e solidi.

Le unità principali e aggiuntive del Sistema Internazionale sono riportate nella Tabella. 1.1.

Tabella 1.1

Unità del Sistema Internazionale (SI).

Fine

Le decisioni della Conferenza Generale sui Pesi e le Misure stabiliscono le seguenti definizioni unità di base:

U metro - la lunghezza del percorso percorso dalla luce nel vuoto in 1/299792458 di secondo;

• ? chilogrammo: un'unità di massa pari alla massa del prototipo internazionale del chilogrammo;
• ? un secondo è pari a 9.192.631.770 periodi di radiazione corrispondenti alla transizione tra due livelli iperfini dello stato fondamentale dell'atomo di cesio-133;
• ? Un ampere è uguale alla forza di una corrente costante che, passando attraverso due normali conduttori paralleli di lunghezza infinita e area di sezione trasversale circolare trascurabilmente piccola, situati nel vuoto a una distanza di 1 m l'uno dall'altro, provoca una forza di interazione tra i conduttori pari a 2 10 7 N per ogni metro di lunghezza ;
• ? kelvin - un'unità di temperatura termodinamica pari a 1/273,16 della temperatura termodinamica del punto triplo dell'acqua;
• ? candela è uguale all'intensità luminosa in una data direzione di una sorgente che emette radiazione monocromatica con una frequenza di 540 10 12 Hz, la cui intensità di energia luminosa in questa direzione è 1/683 W/sr;
• ? neo - la quantità di sostanza in un sistema contenente tanti elementi strutturali quanti sono gli atomi contenuti nel carbonio-12 del peso di 0,012 kg.

Unità aggiuntive- Queste sono unità di angoli piani e solidi (radianti e steradianti). Non sono compresi tra i principali per difficoltà di interpretazione delle dimensioni delle quantità legate alla rotazione.

Non possono essere classificati come derivati, poiché non dipendono dalle quantità di base. Queste unità sono indipendenti dalla dimensione dell'unità di lunghezza.

Radiante- un'unità di angolo piano uguale all'angolo tra due raggi di un cerchio, la lunghezza dell'arco tra il quale è uguale al raggio. In gradi, 1 rad = 57° 17"45".

Steradiante - un'unità pari all'angolo solido con vertice al centro della sfera, ritagliando sulla superficie della sfera un'area pari all'area di un quadrato con lato pari al raggio della sfera.

Unità derivate Le unità SI sono formate da unità di base e aggiuntive basate su equazioni tra quantità fisiche. Le unità SI derivate con nomi speciali sono riportate nella tabella. 1.2.

Tabella 1.2

Unità SI derivate con nomi speciali

Fine

Per evitare di ottenere valori troppo grandi o piccoli delle grandezze fisiche, il SI stabilisce l'uso di multipli e sottomultipli decimali delle unità SI, che sono formati utilizzando moltiplicatori e contengono prefissi corrispondenti ai moltiplicatori (Tabella 1.3).

Tabella 1.3

Moltiplicatori di unità e prefissi

I nomi delle unità multiple e sottomultiple delle quantità fisiche formate in questo modo sono scritti insieme al nome dell'unità SI principale o derivata, ad esempio chilometro - km, megawatt - MW, micrometro - micrometro, millivolt - mV, ecc. Due o più prefissi non possono essere utilizzati.

Sotto quantità fisica comprendere le caratteristiche degli oggetti fisici o dei fenomeni del mondo materiale, comuni in senso qualitativo per molti oggetti o fenomeni, ma individuali per ciascuno di essi in senso quantitativo. Ad esempio, la massa è una quantità fisica. È una caratteristica generale degli oggetti fisici in senso qualitativo, ma in senso quantitativo ha il suo significato individuale per diversi oggetti.

Sotto Senso quantità fisica comprendere la sua valutazione, espressa dal prodotto di un numero astratto per l'unità accettata per una determinata quantità fisica. Ad esempio, nell'espressione per la pressione atmosferica R= 95,2 kPa, 95,2 è un numero astratto che rappresenta il valore numerico della pressione dell'aria, kPa è l'unità di pressione adottata in questo caso.

Sotto unità di grandezza fisica comprendere una quantità fisica di dimensioni fisse e presa come base per la valutazione quantitativa di quantità fisiche specifiche. Ad esempio, come unità di lunghezza vengono utilizzati metri, centimetri, ecc.

Una delle caratteristiche più importanti di una grandezza fisica è la sua dimensione. Dimensione di una grandezza fisica riflette il rapporto di una determinata quantità con le quantità accettate come base nel sistema quantitativo considerato.

Il sistema di quantità, determinato dal Sistema internazionale di unità SI e adottato in Russia, contiene sette quantità di sistema principali presentate nella Tabella 1.1.

Esistono due unità SI aggiuntive: radianti e steradianti, le cui caratteristiche sono presentate nella Tabella 1.2.

Dalle unità SI di base e aggiuntive si formano 18 unità SI derivate, alle quali vengono assegnati nomi speciali e obbligatori. Sedici unità prendono il nome da scienziati, le restanti due sono lux e lumen (vedi Tabella 1.3).

Nomi speciali di unità possono essere usati nella formazione di altre unità derivate. Le unità derivate che non hanno un nome speciale obbligatorio sono: area, volume, velocità, accelerazione, densità, impulso, momento di forza, ecc.

Insieme alle unità SI, è consentito utilizzare multipli decimali e sottomultipli delle stesse. La Tabella 1.4 presenta i nomi e le designazioni dei prefissi di tali unità e i loro moltiplicatori. Tali prefissi sono chiamati prefissi SI.

La scelta dell'una o dell'altra unità multipla o sottomultipla decimale è determinata principalmente dalla comodità del suo utilizzo nella pratica. In linea di principio, le unità multiple e sottomultiple vengono scelte in modo tale che i valori numerici delle quantità siano compresi tra 0,1 e 1000. Ad esempio, invece di 4.000.000 Pa, è meglio usare 4 MPa.

Tabella 1.1. Unità SI di base

* Oltre alla temperatura Kelvin (denominazione T) è anche possibile utilizzare la temperatura Celsius (designazione T), definito dall'espressione T = T– 273,15 K. La temperatura Kelvin è espressa in Kelvin, mentre la temperatura Celsius è espressa in gradi Celsius (°C). L'intervallo o la differenza di temperatura Kelvin è espresso solo in Kelvin. L'intervallo o la differenza di temperatura Celsius può essere espresso sia in Kelvin che in gradi Celsius.

Tabella 1.2

Unità SI aggiuntive

Tabella 1.3

Unità SI derivate con nomi speciali

Tabella 1.4

Nomi e designazioni dei prefissi SI per la formazione di multipli e sottomultipli decimali e loro divisori

* I prefissi “hecto”, “deca”, “deci” e “santi” possono essere utilizzati solo per unità ampiamente utilizzate, ad esempio: decimetro, centimetro, decilitro, ettolitro.

OPERAZIONI MATEMATICHE CON I NUMERI APPROSSIMATIVI

Come risultato delle misurazioni, così come durante molte operazioni matematiche, si ottengono valori approssimativi delle quantità desiderate. Pertanto, è necessario considerare una serie di regole per i calcoli con valori approssimativi. Queste regole consentono di ridurre la quantità di lavoro computazionale ed eliminare ulteriori errori. I valori approssimativi hanno quantità come , logaritmi, ecc., varie costanti fisiche e risultati di misurazione.

Come sai, qualsiasi numero viene scritto utilizzando i numeri: 1, 2, ..., 9, 0; in questo caso, le cifre significative sono considerate 1, 2, ..., 9. Lo zero può essere una cifra significativa se si trova al centro o alla fine del numero, oppure una cifra insignificante se si trova nella frazione decimale sul lato sinistro e indica solo il rango delle cifre rimanenti.

Quando si scrive un numero approssimativo è bene tenere presente che i numeri che lo compongono possono essere veri, dubbi o errati. Numero VERO, se l'errore assoluto di un numero è inferiore a un'unità di cifra di questa cifra (a sinistra di essa tutte le cifre saranno corrette). Dubbioso nomina il numero a destra del numero corretto e i numeri a destra di quello dubbio infedele. I numeri errati devono essere scartati non solo nel risultato, ma anche nei dati di origine. Non è necessario arrotondare il numero. Quando l'errore di un numero non viene indicato, si deve assumere che il suo errore assoluto sia pari alla metà della cifra unitaria dell'ultima cifra. La cifra della cifra più significativa dell'errore indica la cifra della cifra dubbia nel numero. Solo le cifre corrette e dubbie possono essere utilizzate come cifre significative, ma se l'errore del numero non è indicato, tutte le cifre sono significative.

Dovrebbe essere applicata la seguente regola di base per scrivere numeri approssimativi (secondo ST SEV 543-77): un numero approssimativo dovrebbe essere scritto con un numero di cifre significative tale da garantire la precisione dell'ultima cifra significativa del numero, ad esempio :

1) scrivere il numero 4,6 significa che solo i numeri interi e decimi sono corretti (il vero valore del numero può essere 4,64; 4,62; 4,56);

2) scrivere il numero 4,60 significa che anche i centesimi del numero sono corretti (il vero valore del numero può essere 4,604; 4,602; 4,596);

3) scrivere il numero 493 significa che tutte e tre le cifre sono corrette; se non puoi garantire per l'ultima cifra 3, questo numero dovrebbe essere scritto così: 4.9 10 2;

4) esprimendo la densità del mercurio 13,6 g/cm 3 in unità SI (kg/m 3), si dovrebbe scrivere 13,6 10 3 kg/m 3 e non si può scrivere 13600 kg/m 3, il che significherebbe che sono cinque cifre significative corretto , mentre il numero originale fornisce solo tre cifre significative valide.

I risultati degli esperimenti sono registrati solo in cifre significative. Una virgola viene posizionata immediatamente dopo una cifra diversa da zero e il numero viene moltiplicato per dieci alla potenza appropriata. Gli zeri all'inizio o alla fine di un numero solitamente non vengono scritti. Ad esempio, i numeri 0.00435 e 234000 sono scritti come 4.35·10 -3 e 2.34·10 5 . Questa notazione semplifica i calcoli, soprattutto nel caso di formule convenienti per i logaritmi.

L'arrotondamento di un numero (secondo ST SEV 543-77) è la rimozione delle cifre significative a destra su una determinata cifra con una possibile modifica della cifra di questa cifra.

L'arrotondamento non modifica l'ultima cifra memorizzata se:

1) la prima cifra da scartare, contando da sinistra a destra, è inferiore a 5;

2) la prima cifra scartata, pari a 5, è stata ottenuta in seguito al precedente arrotondamento per eccesso.

Durante l'arrotondamento l'ultima cifra memorizzata viene aumentata di uno se

1) la prima cifra da scartare è maggiore di 5;

2) la prima cifra scartata, contando da sinistra a destra, è pari a 5 (in assenza di precedenti arrotondamenti o in presenza di un precedente arrotondamento per difetto).

L'arrotondamento dovrebbe essere effettuato immediatamente al numero desiderato di cifre significative, anziché per fasi, il che può portare a errori.

CARATTERISTICHE GENERALI E CLASSIFICAZIONE DEGLI ESPERIMENTI SCIENTIFICI

Ogni esperimento è una combinazione di tre componenti: il fenomeno in studio (processo, oggetto), condizioni e mezzi per condurre l'esperimento. L'esperimento si svolge in più fasi:

1) studio sostanziale del processo in studio e sua descrizione matematica sulla base delle informazioni disponibili a priori, analisi e determinazione delle condizioni e dei mezzi per condurre l'esperimento;

2) creazione di condizioni per condurre l'esperimento e funzionamento dell'oggetto studiato nella modalità desiderata, garantendone l'osservazione più efficace;

3) raccolta, registrazione ed elaborazione matematica dei dati sperimentali, presentazione dei risultati dell'elaborazione nella forma richiesta;

5) utilizzo dei risultati sperimentali, ad esempio correzione di un modello fisico di un fenomeno o oggetto, utilizzo del modello per la previsione, il controllo o l'ottimizzazione, ecc.

A seconda del tipo di oggetto (fenomeno) in studio, si distinguono diverse classi di esperimenti: fisico, ingegneristico, medico, biologico, economico, sociologico, ecc. Le questioni più sviluppate sono le questioni generali della conduzione di esperimenti fisici e ingegneristici in cui la natura o vengono studiati oggetti fisici artificiali (dispositivi) e i processi che si verificano in essi. Quando li conducono, il ricercatore può ripetere ripetutamente misurazioni di quantità fisiche in condizioni simili, impostare i valori desiderati delle variabili di input, modificarli su ampia scala, correggere o eliminare l'influenza di quei fattori, la cui dipendenza non è attualmente in fase di studio.

Gli esperimenti possono essere classificati secondo i seguenti criteri:

1) il grado di vicinanza dell'oggetto utilizzato nell'esperimento all'oggetto in relazione al quale si prevede di ottenere nuove informazioni (scala reale, banco o sito di prova, modello, esperimenti computazionali);

2) obiettivi – ricerca, test (controllo), gestione (ottimizzazione, messa a punto);

3) il grado di influenza sulle condizioni sperimentali (esperimenti passivi e attivi);

4) il grado di partecipazione umana (esperimenti che utilizzano mezzi automatici, automatizzati e non automatizzati per condurre un esperimento).

Il risultato di un esperimento in senso lato è una comprensione teorica dei dati sperimentali e l'istituzione di leggi e relazioni di causa-effetto che consentono di prevedere il corso dei fenomeni di interesse per il ricercatore e di selezionare le condizioni in cui esso è possibile raggiungere il percorso richiesto o più favorevole. In un senso più stretto, il risultato di un esperimento è spesso inteso come un modello matematico che stabilisce connessioni formali, funzionali o probabilistiche tra varie variabili, processi o fenomeni.

INFORMAZIONI GENERALI SUGLI STRUMENTI SPERIMENTALI

Le informazioni iniziali per la costruzione di un modello matematico del fenomeno in studio sono ottenute utilizzando mezzi sperimentali, che sono un insieme di strumenti di misura di vario tipo (dispositivi di misurazione, convertitori e accessori), canali di trasmissione delle informazioni e dispositivi ausiliari per garantire le condizioni per la conduzione l'esperimento. A seconda degli obiettivi dell'esperimento, a volte viene fatta una distinzione tra sistemi di informazione di misurazione (ricerca), controllo di misurazione (monitoraggio, test) e sistemi di controllo di misurazione (controllo, ottimizzazione), che differiscono sia nella composizione dell'attrezzatura che nella complessità di elaborazione dei dati sperimentali. La composizione degli strumenti di misura è in gran parte determinata dal modello matematico dell'oggetto descritto.

A causa della crescente complessità della ricerca sperimentale, i moderni sistemi di misurazione includono strumenti informatici di varie classi (computer, microcalcolatori programmabili). Questi strumenti svolgono sia i compiti di raccolta ed elaborazione matematica delle informazioni sperimentali, sia i compiti di controllo dell'avanzamento dell'esperimento e di automatizzazione del funzionamento del sistema di misurazione. L'efficacia dell'utilizzo di strumenti informatici durante la conduzione di esperimenti si manifesta nelle seguenti aree principali:

1) ridurre i tempi di preparazione e conduzione di un esperimento come risultato dell'accelerazione della raccolta e dell'elaborazione delle informazioni;

2) aumentare l'accuratezza e l'affidabilità dei risultati sperimentali basati sull'uso di algoritmi più complessi ed efficienti per l'elaborazione dei segnali di misurazione, aumentando il volume dei dati sperimentali utilizzati;

3) riduzione del numero dei ricercatori e nascita della possibilità di creare sistemi automatici;

4) rafforzare il controllo sull'avanzamento dell'esperimento e aumentare le possibilità di ottimizzazione.

Pertanto, i mezzi moderni per condurre esperimenti sono, di regola, sistemi di misurazione e calcolo (MCS) o complessi dotati di strumenti informatici avanzati. Nel giustificare la struttura e la composizione delle strutture di detenzione temporanea, è necessario risolvere i seguenti compiti principali:

1) determinare la composizione dell'hardware IVS (strumenti di misura, apparecchiature ausiliarie);

2) selezionare la tipologia di computer compreso nell'IVS;

3) stabilire canali di comunicazione tra il computer, i dispositivi inclusi nell'hardware dell'IVS e il consumatore delle informazioni;

4) sviluppare il software IVS.

2. PIANIFICAZIONE DELL'ESPERIMENTO ED ELABORAZIONE STATISTICA DEI DATI SPERIMENTALI

CONCETTI FONDAMENTALI E DEFINIZIONI

La maggior parte degli studi vengono condotti per stabilire relazioni sperimentalmente funzionali o statistiche tra diverse quantità o per risolvere problemi estremi. Il metodo classico per impostare un esperimento prevede di fissare tutti i fattori variabili a livelli accettati, tranne uno, i cui valori cambiano in un certo modo nell'area della sua definizione. Questo metodo costituisce la base di un esperimento a un fattore (tale esperimento viene spesso chiamato passivo). In un esperimento a un fattore, variando un fattore e stabilizzando tutti gli altri a livelli selezionati, si trova la dipendenza del valore in studio da un solo fattore. Eseguendo un gran numero di esperimenti a fattore singolo durante lo studio di un sistema multifattoriale, si ottengono dipendenze dalla frequenza, presentate in molti grafici di natura illustrativa. Le dipendenze parziali trovate in questo modo non possono essere combinate in una sola grande. Nel caso di un esperimento a un fattore (passivo), i metodi statistici vengono utilizzati dopo la fine degli esperimenti, quando i dati sono già stati ottenuti.

L'uso di un esperimento a fattore singolo per uno studio completo di un processo multifattoriale richiede un numero molto elevato di esperimenti. In alcuni casi, la loro implementazione richiede un tempo significativo, durante il quale l’influenza di fattori incontrollati sui risultati sperimentali può cambiare in modo significativo. Per questo motivo i dati di un gran numero di esperimenti non sono comparabili. Ne consegue che i risultati degli esperimenti a fattore singolo ottenuti nello studio dei sistemi multifattoriali sono spesso di scarsa utilità per l'uso pratico. Inoltre, quando si risolvono problemi estremi, i dati di un numero significativo di esperimenti risultano non necessari, poiché sono stati ottenuti per una regione lontana dall'ottimale. Per studiare i sistemi multifattoriali, il più appropriato è l'uso di metodi statistici di pianificazione degli esperimenti.

La pianificazione sperimentale è intesa come il processo di determinazione del numero e delle condizioni per condurre esperimenti necessari e sufficienti per risolvere un dato problema con la precisione richiesta.

La pianificazione sperimentale è una branca della statistica matematica. Copre i metodi statistici per la progettazione sperimentale. Questi metodi consentono in molti casi di ottenere modelli di processi multifattoriali con un numero minimo di esperimenti.

L'efficacia dell'utilizzo di metodi statistici di pianificazione sperimentale nello studio dei processi tecnologici è spiegata dal fatto che molte caratteristiche importanti di questi processi sono variabili casuali, le cui distribuzioni seguono da vicino la legge normale.

Caratteristiche caratteristiche del processo di pianificazione sperimentale sono il desiderio di ridurre al minimo il numero di esperimenti; variazione simultanea di tutti i fattori studiati secondo regole speciali - algoritmi; l’uso di apparati matematici che formalizzano molte delle azioni del ricercatore; scegliendo una strategia che ti consenta di prendere decisioni informate dopo ogni serie di esperimenti.

Quando si pianifica un esperimento, i metodi statistici vengono utilizzati in tutte le fasi dello studio e, prima di tutto, prima di impostare gli esperimenti, sviluppando il disegno sperimentale, nonché durante l'esperimento, durante l'elaborazione dei risultati e dopo l'esperimento, prendendo decisioni su ulteriori azioni. Un tale esperimento si chiama attivo e presume pianificazione dell'esperimento .

I principali vantaggi di un esperimento attivo sono legati al fatto che permette:

1) ridurre al minimo il numero totale di esperimenti;

2) scegliere procedure chiare e logicamente valide che vengono eseguite in modo coerente dallo sperimentatore durante la conduzione dello studio;

3) utilizzare un apparato matematico che formalizzi molte delle azioni dello sperimentatore;

4) variare simultaneamente tutte le variabili e utilizzare in modo ottimale lo spazio dei fattori;

5) organizzare l'esperimento in modo tale che molte delle premesse iniziali dell'analisi di regressione siano soddisfatte;

6) ottenere modelli matematici che abbiano proprietà migliori in un certo senso rispetto ai modelli costruiti da esperimenti passivi;

7) randomizzare le condizioni sperimentali, ovvero trasformare numerosi fattori interferenti in variabili casuali;

8) valutare l'elemento di incertezza associato all'esperimento, che consente di confrontare i risultati ottenuti da diversi ricercatori.

Molto spesso, viene impostato un esperimento attivo per risolvere uno dei due problemi principali. Il primo problema si chiama estremo. Consiste nel trovare le condizioni di processo che garantiscano l'ottenimento del valore ottimale del parametro selezionato. Un segno di problemi estremi è la necessità di cercare l'estremo di qualche funzione (*illustrare con un grafico*). Vengono chiamati gli esperimenti eseguiti per risolvere problemi di ottimizzazione estremo .

Il secondo problema si chiama interpolazione. Consiste nel costruire una formula di interpolazione per prevedere i valori del parametro studiato, che dipende da una serie di fattori.

Per risolvere un problema estremale o di interpolazione è necessario disporre di un modello matematico dell'oggetto in studio. Un modello dell'oggetto viene ottenuto utilizzando i risultati sperimentali.

Quando si studia un processo multifattoriale, l'impostazione di tutti gli esperimenti possibili per ottenere un modello matematico è associata all'enorme complessità dell'esperimento, poiché il numero di tutti gli esperimenti possibili è molto ampio. Il compito della pianificazione di un esperimento è stabilire il numero minimo richiesto di esperimenti e le condizioni per la loro condotta, selezionare i metodi per l'elaborazione matematica dei risultati e prendere decisioni.

PRINCIPALI FASI E MODALITÀ DI ELABORAZIONE STATISTICA DEI DATI SPERIMENTALI

2. Elaborazione di un piano sperimentale, in particolare, determinazione dei valori delle variabili indipendenti, selezione dei segnali di prova, stima del volume delle osservazioni. Giustificazione preliminare e selezione di metodi e algoritmi per l'elaborazione statistica dei dati sperimentali.

3. Condurre ricerche sperimentali dirette, raccogliere dati sperimentali, registrarli e inserirli in un computer.

4. Elaborazione statistica preliminare dei dati, intesa, innanzitutto, a verificare l'adempimento dei prerequisiti alla base del metodo statistico selezionato per costruire un modello stocastico dell'oggetto della ricerca e, se necessario, a correggere il modello a priori e modificare il modello decisione sulla scelta dell'algoritmo di elaborazione.

5. Elaborazione di un piano dettagliato per ulteriori analisi statistiche dei dati sperimentali.

6. Elaborazione statistica dei dati sperimentali (elaborazione secondaria, completa, finale), finalizzata alla costruzione di un modello dell'oggetto della ricerca, e analisi statistica della sua qualità. A volte nella stessa fase vengono risolti anche i problemi relativi all'utilizzo del modello costruito, ad esempio: i parametri dell'oggetto vengono ottimizzati.

7. Interpretazione formale, logica e significativa dei risultati degli esperimenti, decisione di continuare o completare l'esperimento, riassumendo i risultati dello studio.

L'elaborazione statistica dei dati sperimentali può essere effettuata in due modalità principali.

Nella prima modalità, l'intera quantità di dati sperimentali viene prima raccolta e registrata, e solo successivamente viene elaborata. Questo tipo di elaborazione è chiamata elaborazione off-line, elaborazione a posteriori ed elaborazione dei dati basata su un campione di un volume completo (fisso). Il vantaggio di questa modalità di elaborazione è la possibilità di utilizzare l'intero arsenale di metodi statistici per l'analisi dei dati e, di conseguenza, l'estrazione più completa di informazioni sperimentali da essi. Tuttavia, l’efficienza di tale elaborazione potrebbe non soddisfare il consumatore; inoltre, controllare l’avanzamento dell’esperimento è quasi impossibile.

Nella seconda modalità, le osservazioni vengono elaborate parallelamente alla loro ricezione. Questo tipo di trattamento è denominato trattamento on-line, trattamento dei dati basato su un campione di volume crescente ed trattamento dei dati sequenziale. In questa modalità diventa possibile analizzare espressamente i risultati di un esperimento e controllarne tempestivamente l'andamento.

INFORMAZIONI GENERALI SUI METODI STATISTICI DI BASE

Quando si risolvono i problemi di elaborazione dei dati sperimentali, vengono utilizzati metodi basati su due componenti principali dell'apparato di statistica matematica: la teoria della stima statistica dei parametri sconosciuti utilizzata nella descrizione del modello sperimentale e la teoria della verifica di ipotesi statistiche sui parametri o la natura del modello analizzato.

1. Analisi delle correlazioni. La sua essenza è determinare il grado di probabilità di una relazione (solitamente lineare) tra due o più variabili casuali. Queste variabili casuali possono essere variabili di input indipendenti. Questo insieme può includere anche la variabile (dipendente) risultante. In quest'ultimo caso, l'analisi di correlazione consente di selezionare fattori o regressori (in un modello di regressione) che hanno l'impatto più significativo sulla caratteristica risultante. I valori selezionati vengono utilizzati per ulteriori analisi, in particolare quando si esegue l'analisi di regressione. L'analisi delle correlazioni consente di rilevare relazioni causa-effetto tra variabili precedentemente sconosciute. Va tenuto presente che la presenza di una correlazione tra variabili è solo una condizione necessaria, ma non sufficiente per la presenza di relazioni causali.

L'analisi di correlazione viene utilizzata nella fase di elaborazione preliminare dei dati sperimentali.

2. Analisi della varianza. Questo metodo è destinato all'elaborazione di dati sperimentali che dipendono da fattori qualitativi e alla valutazione dell'importanza dell'influenza di questi fattori sui risultati delle osservazioni.

La sua essenza consiste nel decomporre la varianza della variabile risultante in componenti indipendenti, ciascuna delle quali caratterizza l'influenza di un particolare fattore su questa variabile. Il confronto di questi componenti ci consente di valutare l'importanza dell'influenza dei fattori.

3. Analisi di regressione. I metodi di analisi di regressione consentono di stabilire la struttura e i parametri di un modello che collega le variabili quantitative risultanti e fattoriali e di valutare il grado di coerenza con i dati sperimentali. Questo tipo di analisi statistica permette di risolvere il problema principale dell'esperimento se le variabili osservate e risultanti sono quantitative, e in questo senso è fondamentale quando si elaborano questo tipo di dati sperimentali.

4. Analisi fattoriale. La sua essenza sta nel fatto che i fattori “esterni” utilizzati nel modello e che sono fortemente interconnessi devono essere sostituiti da altri “fattori interni” più piccoli, difficili o impossibili da misurare, ma che determinano il comportamento dei fattori “esterni” e quindi il comportamento della variabile risultante. L'analisi fattoriale consente di avanzare ipotesi sulla struttura della relazione tra variabili senza specificare in anticipo questa struttura e senza avere alcuna informazione preliminare al riguardo. Questa struttura è determinata dai risultati delle osservazioni. le ipotesi risultanti possono essere testate in ulteriori esperimenti.Il compito dell'analisi fattoriale è trovare una struttura semplice che rifletta e riproduca in modo abbastanza accurato le dipendenze reali ed esistenti.

4. PRINCIPALI COMPITI DI PRE-ELABORAZIONE DEI DATI SPERIMENTALI

L'obiettivo finale dell'elaborazione preliminare dei dati sperimentali è quello di avanzare ipotesi sulla classe e la struttura del modello matematico del fenomeno in studio, determinare la composizione e il volume delle misurazioni aggiuntive e selezionare possibili metodi per la successiva elaborazione statistica. Per fare ciò è necessario risolvere alcuni problemi particolari, tra i quali si possono distinguere i seguenti:

1. Analisi, rifiuto e ripristino di misurazioni anomale (errate) o mancanti, poiché le informazioni sperimentali sono solitamente di qualità eterogenea.

2. Verifica sperimentale delle leggi di distribuzione dei dati ottenuti, valutazione dei parametri e delle caratteristiche numeriche delle variabili o dei processi casuali osservati. La scelta dei metodi per le successive elaborazioni volte a costruire e verificare l'adeguatezza di un modello matematico per il fenomeno oggetto di studio dipende in modo significativo dalla legge di distribuzione delle quantità osservate.

3. Compressione e raggruppamento delle informazioni iniziali con un grande volume di dati sperimentali. In questo caso, è necessario tenere conto delle caratteristiche delle loro leggi di distribuzione, identificate nella fase precedente di elaborazione.

4. Combinazione di più gruppi di misurazioni, eventualmente ottenute in tempi diversi o in condizioni diverse, per un'elaborazione congiunta.

5. Individuazione di relazioni statistiche e influenza reciproca di vari fattori misurati e variabili risultanti, misurazioni successive delle stesse quantità. Risolvere questo problema consente di selezionare quelle variabili che hanno il maggiore impatto sulla caratteristica risultante. I fattori selezionati vengono utilizzati per ulteriori elaborazioni, in particolare utilizzando metodi di analisi di regressione. L'analisi delle correlazioni consente di avanzare ipotesi sulla struttura della relazione tra variabili e, in ultima analisi, sulla struttura del modello del fenomeno.

La pre-elaborazione è caratterizzata da una soluzione iterativa dei problemi principali, quando ritornano ripetutamente alla soluzione di un particolare problema dopo aver ottenuto i risultati nella fase successiva di elaborazione.

1. CLASSIFICAZIONE DEGLI ERRORI DI MISURA.

Sotto misurazione comprendere come trovare sperimentalmente il valore di una grandezza fisica utilizzando mezzi tecnici speciali. Le misurazioni possono essere simili Dritto, quando il valore desiderato viene trovato direttamente dai dati sperimentali, e indiretto, quando la quantità desiderata viene determinata sulla base di un rapporto noto tra tale quantità e le quantità sottoposte a misurazioni dirette. Viene chiamato il valore di una quantità trovata mediante misurazione risultato della misurazione .

L'imperfezione degli strumenti di misura e dei sensi umani, e spesso la natura del valore misurato stesso, portano al fatto che in qualsiasi misurazione i risultati sono ottenuti con una certa precisione, cioè l'esperimento non fornisce il vero valore del misurato valore, ma solo il suo valore approssimativo. Sotto valore reale di una grandezza fisica ne comprendiamo il valore, riscontrato sperimentalmente e talmente vicino al valore vero da poterlo invece utilizzare per un dato scopo.

L'accuratezza di una misurazione è determinata dalla vicinanza del suo risultato al valore reale della quantità misurata. L'accuratezza dello strumento è determinata dal grado di approssimazione delle sue letture al valore reale della quantità desiderata e l'accuratezza del metodo è determinata dal fenomeno fisico su cui si basa.

Errori (errori) misurazioni caratterizzato dalla deviazione dei risultati della misurazione dal valore reale del valore misurato. L'errore di misurazione, come il valore reale della quantità misurata, è solitamente sconosciuto. Pertanto, uno dei compiti principali dell'elaborazione statistica dei risultati sperimentali è stimare il valore reale della quantità misurata dai dati sperimentali ottenuti. In altre parole, dopo aver misurato ripetutamente la quantità desiderata e ottenuto una serie di risultati, ciascuno dei quali contiene qualche errore sconosciuto, il compito è calcolare il valore approssimativo della quantità desiderata con il minor errore possibile.

Gli errori di misurazione si dividono in maleducato errori (mancati), sistematico E casuale .

Errori grossolani. Gli errori grossolani derivano dalla violazione delle condizioni di misurazione di base o da una svista da parte dello sperimentatore. Se viene rilevato un errore grave, il risultato della misurazione deve essere immediatamente scartato e la misurazione ripetuta. Un segno esterno di un risultato contenente un errore grossolano è la sua netta differenza di grandezza rispetto agli altri risultati. Questa è la base per alcuni criteri per escludere errori grossolani in base alla loro entità (sarà discusso più avanti), tuttavia, il modo più affidabile ed efficace per rifiutare risultati errati è rifiutarli direttamente durante il processo di misurazione stesso.

Errori sistematici. Sistematico è un errore che rimane costante o cambia naturalmente con misurazioni ripetute della stessa quantità. Gli errori sistematici compaiono a causa di un'errata regolazione degli strumenti, dell'imprecisione del metodo di misurazione, di qualche omissione da parte dello sperimentatore o dell'uso di dati imprecisi per i calcoli.

Errori sistematici si verificano anche quando si eseguono misurazioni complesse. Lo sperimentatore potrebbe non esserne consapevole, sebbene possano essere molto grandi. Pertanto, in questi casi è necessario analizzare attentamente la metodologia di misurazione. Tali errori possono essere rilevati, in particolare, misurando la quantità desiderata con un altro metodo. La coincidenza dei risultati delle misurazioni con entrambi i metodi serve come una certa garanzia dell'assenza di errori sistematici.

Quando si effettuano misurazioni, è necessario fare ogni sforzo per eliminare gli errori sistematici, poiché possono essere così grandi da distorcere notevolmente i risultati. Gli errori individuati vengono eliminati introducendo modifiche.

Errori casuali. Un errore casuale è una componente dell'errore di misurazione che cambia in modo casuale, cioè è l'errore di misurazione che rimane dopo aver eliminato tutti gli errori sistematici e grossolani identificati. Gli errori casuali sono causati da un gran numero di fattori sia oggettivi che soggettivi che non possono essere isolati e presi in considerazione separatamente. Poiché le ragioni che portano ad errori casuali non sono le stesse in ogni esperimento e non possono essere prese in considerazione, tali errori non possono essere esclusi; si può solo stimare la loro importanza. Utilizzando i metodi della teoria della probabilità, è possibile tenere conto della loro influenza sulla valutazione del valore reale della quantità misurata con un errore significativamente inferiore rispetto agli errori delle singole misurazioni.

Pertanto, quando l'errore casuale è maggiore dell'errore del dispositivo di misurazione, è necessario ripetere più volte la stessa misurazione per ridurne il valore. Ciò permette di minimizzare l'errore casuale e renderlo paragonabile all'errore strumentale. Se l'errore casuale è inferiore all'errore dello strumento, non ha senso ridurlo.

Inoltre, gli errori sono suddivisi in assoluto , parente E strumentale. Un errore assoluto è un errore espresso in unità del valore misurato. L'errore relativo è il rapporto tra l'errore assoluto e il valore reale della quantità misurata. La componente dell'errore di misura, che dipende dall'errore degli strumenti di misura utilizzati, è chiamata errore di misura strumentale.

2. ERRORI NELLE MISURE DIRETTE DI UGUALE PRECISIONE. LEGGE DI DISTRIBUZIONE NORMALE.

Misurazioni dirette– si tratta di misurazioni quando il valore della grandezza studiata si ricava direttamente dai dati sperimentali, ad esempio, rilevando le letture da un dispositivo che misura il valore della grandezza desiderata. Per trovare l'errore casuale, la misurazione deve essere eseguita più volte. I risultati di tali misurazioni hanno valori di errore simili e vengono chiamati altrettanto accurato .

Diamo il risultato N misure di quantità X effettuate con la stessa accuratezza si sono ottenuti una serie di valori: X 1 , X 2 , …, X N. Come mostrato nella teoria degli errori, è il più vicino al valore reale X 0 valore misurato XÈ significato aritmetico

La media aritmetica viene considerata solo come il valore più probabile del valore misurato. I risultati delle singole misurazioni generalmente differiscono dal valore reale X 0 . In questo caso, l'errore assoluto io-la misura è

D xio" = X 0 – xio 4

e può assumere con uguale probabilità sia valori positivi che negativi. Riassumendo tutti gli errori, otteniamo

,

. (2.2)

In questa espressione, il secondo termine a destra sta per grande Nè uguale a zero, poiché ad ogni errore positivo può essere associato un errore uguale negativo. Poi X 0 =. Con un numero limitato di misurazioni ci sarà solo un'uguaglianza approssimativa X 0 . Pertanto, può essere definito un valore reale.

In tutti i casi pratici il valore X 0 è sconosciuto e c'è solo una certa probabilità che lo sia X 0 si trova in un intervallo vicino ed è necessario determinare questo intervallo corrispondente a questa probabilità. D viene utilizzato come stima dell'errore assoluto di una singola misurazione x io = – x io .

Determina la precisione di una determinata misurazione.

Per un numero di misurazioni, viene determinato l'errore medio aritmetico

.

Definisce i limiti entro i quali si trova più della metà delle dimensioni. Quindi, X 0 con una probabilità abbastanza alta rientra nell'intervallo da –h a +h. Risultati della misurazione della quantità X quindi scritto nella forma:

Grandezza X quanto più piccolo è l'intervallo in cui viene misurato il valore reale, tanto più accuratamente viene misurato X 0 .

Errore assoluto dei risultati della misurazione D X di per sé non determina la precisione delle misurazioni. Supponiamo, ad esempio, che la precisione di un amperometro sia 0,1 UN. Le misurazioni della corrente sono state effettuate in due circuiti elettrici. Sono stati ottenuti i seguenti valori: 320,1 UN e 0.20.1 UN. L'esempio mostra che sebbene l'errore di misurazione assoluto sia lo stesso, la precisione della misurazione è diversa. Nel primo caso le misurazioni sono abbastanza precise, ma nel secondo consentono di giudicare solo l'ordine di grandezza. Pertanto, quando si valuta la qualità di una misurazione, è necessario confrontare l'errore con il valore misurato, il che dà un'idea più chiara dell'accuratezza delle misurazioni. A questo scopo viene introdotto il concetto errore relativo

D X=D X /. (2.3)

L'errore relativo è solitamente espresso in percentuale.

Poiché nella maggior parte dei casi le quantità misurate hanno dimensioni, gli errori assoluti sono dimensionali e gli errori relativi sono adimensionali. Pertanto, utilizzando quest'ultimo, è possibile confrontare l'accuratezza delle misurazioni di quantità diverse. Infine, l'esperimento deve essere progettato in modo tale che l'errore relativo rimanga costante su tutto l'intervallo di misurazione.

Va notato che con misurazioni corrette ed eseguite con attenzione, l'errore aritmetico medio del risultato è vicino all'errore del dispositivo misurato.

Se le misurazioni della quantità desiderata X effettuato più volte, quindi la frequenza con cui si verifica un particolare valore X io può essere presentato sotto forma di un grafico che assomiglia a una curva a gradini - un istogramma (vedi Fig. 1), dove A– numero di campioni; D x io = X io – x io +1 (io varia da – N a + N). Con un aumento del numero di misurazioni e una diminuzione dell'intervallo D x io l'istogramma si trasforma in una curva continua che caratterizza la densità della distribuzione di probabilità del valore x io sarà nell'intervallo D x io .

Sotto distribuzione di una variabile casuale comprendere l'insieme di tutti i possibili valori di una variabile casuale e le loro probabilità corrispondenti. Legge di distribuzione di una variabile casuale chiamare qualsiasi corrispondenza di una variabile casuale ai possibili valori delle loro probabilità. La forma più generale della legge di distribuzione è la funzione di distribuzione R (X).

Quindi la funzione R (X) =R" (X) – densità di probabilità o funzione di distribuzione differenziale. Un grafico di una funzione di densità di probabilità è chiamato curva di distribuzione.

Funzione R (X) è caratterizzato dal fatto che l'opera R (X)dx esiste la probabilità che nell'intervallo appaia un valore separato, selezionato casualmente della quantità misurata ( X ,X + dx).

Nel caso generale, questa probabilità può essere determinata da varie leggi di distribuzione (normale (gaussiana), Poisson, Bernoulli, binomiale, binomiale negativa, geometrica, ipergeometrica, discreta uniforme, esponenziale negativa). Tuttavia, molto spesso la probabilità che si verifichi il valore x io nell'intervallo ( X ,X + dx) negli esperimenti fisici sono descritti da una legge di distribuzione normale - legge di Gauss (vedi Fig. 2):

, (2.4)

dove s 2 è la varianza della popolazione. Popolazione generale nominare l'intero insieme di possibili valori di misurazione x io o possibili valori di errore D x io .

L'uso diffuso della legge di Gauss nella teoria degli errori è spiegato dai seguenti motivi:

1) errori di uguale valore assoluto si verificano altrettanto spesso con un gran numero di misurazioni;

2) gli errori piccoli in valore assoluto sono più comuni di quelli grandi, ovvero maggiore è il valore assoluto di un errore, minore è la probabilità che si verifichi;

3) gli errori di misura assumono una serie continua di valori.

Tuttavia, queste condizioni non sono mai rigorosamente soddisfatte. Ma gli esperimenti hanno confermato che nella regione in cui gli errori non sono molto grandi, la legge della distribuzione normale concorda bene con i dati sperimentali. Usando la legge normale, puoi trovare la probabilità che si verifichi un errore in un particolare valore.

La distribuzione gaussiana è caratterizzata da due parametri: il valore medio della variabile casuale e la varianza s2. Il valore medio è determinato dall'ascissa ( X=) asse di simmetria della curva di distribuzione, e la dispersione mostra quanto velocemente diminuisce la probabilità di un errore all'aumentare del suo valore assoluto. La curva ha un massimo A X=. Pertanto il valore medio è il valore più probabile della quantità X. La dispersione è determinata dalla metà larghezza della curva di distribuzione, cioè dalla distanza dall'asse di simmetria ai punti di flesso della curva. È il quadrato medio della deviazione dei risultati delle singole misurazioni dalla loro media aritmetica sull'intera distribuzione. Se, quando si misura una quantità fisica, si ottengono solo valori costanti X=, allora s 2 = 0. Ma se i valori della variabile casuale X assume valori diversi da , allora la sua varianza non è zero ed è positiva. La dispersione serve quindi come misura della fluttuazione dei valori di una variabile casuale.

La misura della dispersione dei risultati delle singole misurazioni dal valore medio deve essere espressa nelle stesse unità dei valori della quantità misurata. A questo proposito, la quantità

chiamato errore quadratico medio .

È la caratteristica più importante dei risultati della misurazione e rimane costante quando le condizioni sperimentali rimangono invariate.

Il valore di questo valore determina la forma della curva di distribuzione.

Poiché quando s cambia, l'area sotto la curva, rimanendo costante (pari all'unità), cambia forma, quindi con una diminuzione di s, la curva di distribuzione si allunga verso l'alto vicino al massimo in X=, e comprimendolo in direzione orizzontale.

All'aumentare di s, il valore della funzione R (X io) diminuisce e la curva di distribuzione si allunga lungo l'asse X(vedi Fig. 2).

Per la legge della distribuzione normale, l'errore quadratico medio di una singola misurazione

, (2.5)

e l'errore quadratico medio del valore medio

. (2.6)

L'errore quadratico medio caratterizza gli errori di misurazione in modo più accurato dell'errore medio aritmetico, poiché è ottenuto in modo abbastanza rigoroso dalla legge di distribuzione dei valori di errore casuale. Inoltre, la sua connessione diretta con la dispersione, il cui calcolo è facilitato da una serie di teoremi, rende l'errore quadratico medio un parametro molto conveniente.

Insieme all'errore dimensionale s, usano anche l'errore relativo adimensionale d s = s/, che, come d X, espresso come frazioni di unità o come percentuale. Il risultato finale della misurazione è scritto come:

Tuttavia, in pratica è impossibile effettuare troppe misurazioni, quindi non è possibile costruire una distribuzione normale per determinare con precisione il valore reale X 0 . In questo caso si può considerare una buona approssimazione al valore reale e una stima abbastanza accurata dell'errore di misurazione è la varianza campionaria, che deriva dalla legge della distribuzione normale, ma si riferisce a un numero finito di misurazioni. Questo nome per la quantità è spiegato dal fatto che proviene dall'intero insieme di valori X io, cioè solo un numero finito di valori viene selezionato (misurato) dalla popolazione generale X io(pari N), chiamato campionamento. Il campione è caratterizzato da una media campionaria e da una varianza campionaria.

Quindi l'errore quadratico medio campionario di una singola misurazione (o standard empirico)

, (2.8)

e l'errore quadratico medio campione di un numero di misurazioni

. (2.9)

Dall'espressione (2.9) è chiaro che aumentando il numero di misurazioni, l'errore quadratico medio può essere ridotto quanto desiderato. A N> 10, una variazione notevole del valore si ottiene solo con un numero di misurazioni molto significativo, quindi un ulteriore aumento del numero di misurazioni non è appropriato. Inoltre, è impossibile eliminare completamente gli errori sistematici e, con un errore sistematico più piccolo, non ha senso nemmeno un ulteriore aumento del numero di esperimenti.

Pertanto, il problema di trovare il valore approssimativo di una quantità fisica e il suo errore è stato risolto. Ora è necessario determinare l'affidabilità del valore reale trovato. L'affidabilità delle misurazioni è intesa come la probabilità che il valore vero rientri in un dato intervallo di confidenza. Intervallo (– e,+ e) in cui si trova il valore vero con una data probabilità X 0 viene chiamato intervallo di confidenza. Supponiamo che la probabilità di un risultato di misurazione sia diversa X dal valore vero X 0 di un importo maggiore di e è uguale a 1 – a, cioè

P(–e<X 0 <+ e) = 1 – a. (2.10)

Nella teoria degli errori, e è solitamente intesa come la quantità . Ecco perché

P (– <X 0 <+ ) = Ф(T), (2.11)

dove Ô( T) – integrale di probabilità (o funzione di Laplace), nonché funzione di distribuzione normale:

, (2.12) dove .

Pertanto, per caratterizzare il valore reale, è necessario conoscere sia l'incertezza che l'affidabilità. Se l'intervallo di confidenza aumenta, la confidenza aumenta rispetto al valore vero X 0 rientra in questo intervallo. Per le misurazioni critiche è necessario un elevato grado di affidabilità. Ciò significa che in questo caso è necessario selezionare un intervallo di confidenza ampio o effettuare misurazioni con maggiore precisione (cioè ridurre il valore), cosa che può essere fatta, ad esempio, ripetendo le misurazioni più volte.

Sotto probabilità di confidenza si riferisce alla probabilità che il valore reale del valore misurato rientri in un dato intervallo di confidenza. L'intervallo di confidenza caratterizza l'accuratezza della misurazione di un dato campione e la probabilità di confidenza caratterizza l'affidabilità della misurazione.

Nella stragrande maggioranza dei problemi sperimentali, il livello di confidenza è 0.90.95 e non è richiesta un'affidabilità maggiore. Cosi quando T= 1 secondo le formule (2.10 –2.12) 1 – a= Ф( T) = 0,683, cioè più del 68% delle misurazioni si trovano nell'intervallo (–,+). A T= 2 1 – a= 0,955, e a T= 3 parametro 1 – a= 0,997. Quest'ultimo significa che quasi tutti i valori misurati si trovano nell'intervallo (–,+). Da questo esempio è chiaro che l'intervallo contiene effettivamente la maggior parte dei valori misurati, cioè il parametro a può servire come una buona caratteristica della precisione della misurazione.

Fino ad ora si presumeva che il numero di dimensioni, sebbene finito, fosse piuttosto elevato. In realtà, il numero di dimensioni è quasi sempre piccolo. Inoltre, sia nella tecnologia che nella ricerca scientifica, vengono spesso utilizzati i risultati di due o tre misurazioni. In questa situazione le quantità, nella migliore delle ipotesi, possono solo determinare l’ordine di grandezza della dispersione. Esiste un metodo corretto per determinare la probabilità di trovare il valore desiderato in un dato intervallo di confidenza, basato sull'utilizzo della distribuzione di Student (proposta nel 1908 dal matematico inglese W. S. Gosset). Indichiamo con l'intervallo di cui la media aritmetica può deviare dal valore vero X 0, cioè D X = X 0 –. In altre parole, vogliamo determinare il valore

.

Dove S nè determinato dalla formula (2.8). Questo valore obbedisce alla distribuzione di Student. La distribuzione di Student è caratterizzata dal fatto di non dipendere dai parametri X 0 e s della popolazione normale e consente un numero limitato di misurazioni ( N < 20) оценить погрешность DX = ­­– X io da una data probabilità di confidenza ao da un dato valore D X trovare l'attendibilità delle misurazioni. Questa distribuzione dipende solo dalla variabile T ae numero di gradi di libertà l = N – 1.

La distribuzione Studenti è valida per N 2 e simmetrico circa T a = 0 (vedi Fig. 3). Con un numero crescente di misurazioni T a -la distribuzione tende alla distribuzione normale (infatti, quando N > 20).

La probabilità di confidenza per un dato errore nel risultato della misurazione si ottiene dall'espressione

P (–<X 0 <+) = 1 – a. (2.14)

In questo caso, il valore T a è simile al coefficiente T nella formula (2.11). Misurare T si chiama a Coefficiente dello studente, i suoi valori sono riportati nelle tabelle di riferimento. Utilizzando le relazioni (2.14) e i dati di riferimento, è possibile risolvere il problema inverso: da una data affidabilità a, determinare l'errore ammissibile del risultato della misurazione.

La distribuzione di Student ci consente anche di stabilirlo con una probabilità quanto più vicina possibile all'affidabilità, con un valore sufficientemente grande N la media aritmetica differirà dal valore reale quanto desiderato X 0 .

Si è assunto che la legge di distribuzione dell'errore casuale sia nota. Tuttavia, spesso per risolvere problemi pratici non è necessario conoscere la legge di distribuzione; è sufficiente studiare alcune caratteristiche numeriche di una variabile casuale, ad esempio il valore medio e la varianza. In questo caso, il calcolo della dispersione permette di stimare la probabilità di confidenza anche nel caso in cui la legge di distribuzione dell'errore sia sconosciuta o differisca da quella normale.

Nel caso in cui venga effettuata una sola misurazione, l'accuratezza della misurazione di una grandezza fisica (se effettuata con attenzione) è caratterizzata dall'accuratezza del dispositivo di misurazione.

3. ERRORI DI MISURAZIONI INDIRETTE

Spesso, quando si conduce un esperimento, si verifica una situazione in cui le quantità desiderate E (X io) non possono essere determinate direttamente, ma le quantità possono essere misurate X io .

Ad esempio, per misurare la densità r, molto spesso viene misurata la massa M e volume V e il valore della densità viene calcolato utilizzando la formula r= M /V .

Le quantità X io contengono, come al solito, errori casuali, cioè rispettano i valori xio" = x io D x io. Come prima, ci crediamo x io distribuiti secondo la legge normale.

1. Lascia E = F (X) è una funzione di una variabile. In questo caso, l'errore assoluto

. (3.1)

Errore relativo del risultato delle misurazioni indirette

. (3.2)

2. Lascia E = F (X , A) è una funzione di due variabili. Poi l'errore assoluto

, (3.3)

e l'errore relativo sarà

. (3.4)

3. Lascia E = F (X , A , z, ...) è una funzione di più variabili. Quindi l'errore assoluto per analogia

(3.5)

e relativo errore

dove , e sono determinati secondo la formula (2.9).

La tabella 2 fornisce le formule per determinare gli errori delle misurazioni indirette per alcune formule utilizzate di frequente.

Tavolo 2

Funzione tu	Errore assoluto D tu	Errore relativo d tu
es
ln X
peccato X
cos X
tg X
ctg X
X sì
xy
X /sì

4. VERIFICA DELLA NORMALITÀ DELLA DISTRIBUZIONE

Tutte le stime di confidenza di cui sopra sia dei valori medi che delle varianze si basano sull'ipotesi di normalità della legge di distribuzione degli errori di misurazione casuali e pertanto possono essere utilizzate solo finché i risultati sperimentali non contraddicono questa ipotesi.

Se i risultati di un esperimento sollevano dubbi sulla normalità della legge di distribuzione, per risolvere la questione dell'idoneità o inidoneità della legge di distribuzione normale, è necessario effettuare un numero sufficientemente elevato di misurazioni e applicare uno dei metodi descritti sotto.

Controllo mediante deviazione media assoluta (MAD). La tecnica può essere utilizzata per campioni non molto grandi ( N < 120). Для этого вычисляется САО по формуле:

. (4.1)

Per un campione con legge di distribuzione approssimativamente normale, deve essere valida la seguente espressione:

. (4.2)

Se questa disuguaglianza (4.2) è soddisfatta, allora l'ipotesi di distribuzione normale è confermata.

Verifica basata su criteri di conformità c 2 (“chi quadrato”) o test della bontà di adattamento di Pearson. Il criterio si basa sul confronto delle frequenze empiriche con quelle teoriche che ci si possono aspettare accettando l'ipotesi di una distribuzione normale. I risultati della misurazione, dopo aver eliminato gli errori grossolani e sistematici, vengono raggruppati in intervalli in modo che questi intervalli coprano l'intero asse e in modo che la quantità di dati in ciascun intervallo sia sufficientemente grande (almeno cinque). Per ogni intervallo ( x io –1 ,x io) contare il numero T io i risultati della misurazione rientrano in questo intervallo. Quindi calcola la probabilità di rientrare in questo intervallo secondo la normale legge di distribuzione della probabilità R io :

, (4.3)

, (4.4)

Dove l– numero di tutti gli intervalli, N– numero di tutti i risultati di misurazione ( N = T 1 +T 2 +…+t l).

Se l'importo calcolato utilizzando questa formula (4.4) risulta essere maggiore del valore tabellare critico c 2, determinato ad un certo livello di confidenza R e numero di gradi di libertà K = l– 3, quindi con affidabilità R possiamo supporre che la distribuzione di probabilità degli errori casuali nella serie di misurazioni in esame differisca da quella normale. Altrimenti non ci sono motivi sufficienti per una simile conclusione.

Controllo tramite indicatori di asimmetria e curtosi. Questo metodo fornisce una stima approssimativa. Indicatori di asimmetria UN ed eccesso E sono determinati dalle seguenti formule:

, (4.5)

. (4.6)

Se la distribuzione è normale, entrambi questi indicatori dovrebbero essere piccoli. La piccolezza di queste caratteristiche viene solitamente giudicata rispetto ai loro errori quadratici medi. I coefficienti di confronto vengono calcolati di conseguenza:

, (4.7)

. (4.8)

5. METODI PER ELIMINARE ERRORI GRAVE

Quando si riceve un risultato di misurazione che si discosta nettamente da tutti gli altri risultati, sorge il sospetto che sia stato commesso un errore grossolano. In questo caso è necessario verificare immediatamente se le condizioni fondamentali di misurazione sono state violate. Se tale controllo non è stato effettuato in tempo, la questione dell'opportunità di rifiutare valori nettamente diversi viene risolta confrontandolo con altri risultati di misurazione. In questo caso si applicano criteri diversi a seconda che l'errore quadratico medio s sia noto o meno io misurazioni (si presuppone che tutte le misurazioni siano effettuate con la stessa precisione e indipendentemente l'una dall'altra).

Metodo di eliminazione con noto S io . Innanzitutto, viene determinato il coefficiente T secondo la formula

, (5.1)

Dove X* – valore anomalo (errore presunto). Il valore è determinato dalla formula (2.1) senza tenere conto dell'errore previsto X *.

Successivamente viene fissato il livello di significatività a, al quale vengono esclusi gli errori la cui probabilità di accadimento è inferiore al valore a. Solitamente viene utilizzato uno dei tre livelli di significatività: livello 5% (sono esclusi gli errori la cui probabilità di accadimento è inferiore a 0,05); Livello 1% (rispettivamente inferiore a 0,01) e livello 0,1% (rispettivamente inferiore a 0,001).

Al livello di significatività selezionato, un valore risalta X* è considerato un errore grossolano ed è escluso dall'ulteriore elaborazione dei risultati della misurazione se per il coefficiente corrispondente T, calcolato secondo la formula (5.1), la condizione è soddisfatta: 1 – Ф( T) < a.

Metodo di eliminazione per sconosciuto S io .

Se l'errore quadratico medio di una singola misurazione s ioè sconosciuto in anticipo, quindi viene stimato approssimativamente dai risultati della misurazione utilizzando la formula (2.8). Successivamente, viene applicato lo stesso algoritmo utilizzato per i s noti io con la sola differenza che nella formula (5.1) invece che s io valore utilizzato S n, calcolato secondo la formula (2.8).

Regola dei tre sigma.

Poiché la scelta dell'affidabilità di una stima di confidenza consente una certa arbitrarietà, nel processo di elaborazione dei risultati sperimentali, si è diffusa la regola dei tre sigma: la deviazione del valore reale del valore misurato non supera il valore medio aritmetico del risultati della misurazione e non supera tre volte l'errore quadratico medio di questo valore.

Pertanto, la regola dei tre sigma rappresenta una stima di confidenza nel caso di un valore noto s

o valutazione della fiducia

nel caso di valore sconosciuto s.

La prima di queste stime ha un'affidabilità di 2Ф(3) = 0,9973, indipendentemente dal numero di misurazioni.

L'affidabilità della seconda stima dipende in modo significativo dal numero di misurazioni N .

Dipendenza dall'affidabilità R sul numero di misurazioni N per stimare l'errore lordo nel caso di valore sconosciuto s è indicato in

Tabella 4

6. PRESENTAZIONE DEI RISULTATI DELLA MISURAZIONE

I risultati della misurazione possono essere presentati sotto forma di grafici e tabelle. L'ultimo metodo è il più semplice. In alcuni casi i risultati della ricerca possono essere presentati solo sotto forma di tabella. Ma la tabella non dà un'idea chiara della dipendenza di una quantità fisica da un'altra, quindi in molti casi viene costruito un grafico. Può essere utilizzato per trovare rapidamente la dipendenza di una grandezza da un'altra, cioè dai dati misurati si trova una formula analitica che mette in relazione le quantità X E A. Tali formule sono chiamate empiriche. Precisione della ricerca delle funzioni A (X) secondo il grafico è determinata dalla correttezza del grafico. Di conseguenza, quando non è richiesta una grande precisione, i grafici sono più convenienti delle tabelle: occupano meno spazio, sono più veloci nell'effettuare le letture e durante la loro costruzione vengono livellati i valori anomali nel corso della funzione dovuti a errori casuali di misurazione. . Se è richiesta una precisione particolarmente elevata, è preferibile presentare i risultati sperimentali sotto forma di tabelle e i valori intermedi vengono trovati utilizzando formule di interpolazione.

L'elaborazione matematica dei risultati della misurazione da parte dello sperimentatore non si pone il compito di rivelare la vera natura della relazione funzionale tra le variabili, ma consente solo di descrivere i risultati dell'esperimento utilizzando la formula più semplice, che consente di utilizzare l'interpolazione e applicare metodi di analisi matematica ai dati osservati.

Metodo grafico. Molto spesso, per costruire grafici viene utilizzato un sistema di coordinate rettangolari. Per facilitare la costruzione, puoi utilizzare la carta millimetrata. In questo caso, la lettura della distanza sui grafici dovrebbe essere effettuata solo mediante divisioni su carta e non utilizzando un righello, poiché la lunghezza delle divisioni può essere diversa verticalmente e orizzontalmente. Per prima cosa è necessario selezionare scale ragionevoli lungo gli assi in modo che la precisione della misurazione corrisponda alla precisione della lettura sul grafico e che il grafico non venga allungato o compresso lungo uno degli assi, poiché ciò porta ad un aumento dell'errore di lettura.

Successivamente, sul grafico vengono tracciati i punti che rappresentano i risultati della misurazione. Per evidenziare risultati diversi, questi vengono tracciati con icone diverse: cerchi, triangoli, croci, ecc. Poiché nella maggior parte dei casi gli errori nei valori della funzione sono maggiori degli errori nell'argomento, viene tracciato solo l'errore della funzione la forma di un segmento di lunghezza pari al doppio dell'errore su una data scala. In questo caso il punto sperimentale si trova al centro di questo segmento, che è delimitato alle due estremità da trattini. Successivamente, viene disegnata una curva uniforme in modo che passi il più vicino possibile a tutti i punti sperimentali e che su entrambi i lati della curva si trovi approssimativamente lo stesso numero di punti. La curva dovrebbe (di solito) rientrare negli errori di misurazione. Quanto più piccoli sono questi errori, tanto meglio la curva coincide con i punti sperimentali. È importante notare che è meglio tracciare una curva uniforme al di fuori dei limiti di errore piuttosto che consentire un'interruzione della curva in prossimità di un singolo punto. Se uno o più punti si trovano lontano dalla curva, ciò spesso indica un errore grossolano nel calcolo o nella misurazione. Le curve sui grafici sono spesso costruite utilizzando modelli.

Non dovresti prendere troppi punti quando costruisci un grafico di dipendenza regolare, e solo per le curve con massimi e minimi è necessario tracciare i punti più spesso nella regione degli estremi.

Quando si costruiscono grafici, viene spesso utilizzata una tecnica chiamata metodo di allineamento o metodo delle stringhe allungate. Si basa sulla selezione geometrica di una linea retta “ad occhio”.

Se questa tecnica fallisce, in molti casi la trasformazione di una curva in una linea retta si ottiene utilizzando una delle scale o griglie funzionali. Le più comunemente usate sono le griglie logaritmiche o semi-logaritmiche. Questa tecnica è utile anche nei casi in cui è necessario allungare o comprimere qualsiasi tratto della curva. Pertanto, la scala logaritmica è conveniente da utilizzare per rappresentare la quantità studiata, che varia di diversi ordini di grandezza entro i limiti delle misurazioni. Questo metodo è consigliato per trovare valori approssimativi dei coefficienti in formule empiriche o per misurazioni con scarsa precisione dei dati. Quando si utilizza una griglia logaritmica, una linea retta rappresenta una dipendenza di tipo , mentre quando si utilizza una griglia semilogaritmica, una dipendenza di tipo . Coefficiente IN 0 può essere zero in alcuni casi. Tuttavia, quando si utilizza una scala lineare, tutti i valori sul grafico vengono misurati con la stessa precisione assoluta, mentre quando si utilizza una scala logaritmica, tutti i valori vengono misurati con la stessa precisione relativa.

Va inoltre notato che spesso è difficile giudicare dalla limitata porzione di curva disponibile (soprattutto se non tutti i punti giacciono sulla curva) quale tipo di funzione utilizzare per l'approssimazione. Pertanto, trasferiscono i punti sperimentali sull'una o sull'altra griglia di coordinate e solo allora osservano quale di essi i dati ottenuti coincidono più da vicino con la linea retta e in base a ciò selezionano una formula empirica.

Selezione di formule empiriche. Sebbene non esista un metodo generale che permetta di selezionare la migliore formula empirica per qualsiasi risultato di misurazione, è comunque possibile trovare una relazione empirica che rifletta nel modo più accurato la relazione desiderata. Non dovresti raggiungere un accordo completo tra i dati sperimentali e la formula desiderata, poiché il polinomio di interpolazione o un'altra formula approssimativa ripeterà tutti gli errori di misurazione e i coefficienti non avranno significato fisico. Pertanto, se la dipendenza teorica non è nota, scegliere una formula che corrisponda meglio ai valori misurati e contenga meno parametri. Per determinare la formula appropriata, i dati sperimentali vengono rappresentati graficamente e confrontati con varie curve tracciate utilizzando formule note sulla stessa scala. Modificando i parametri nella formula, è possibile modificare in una certa misura l'aspetto della curva. Nel processo di confronto è necessario tenere conto degli estremi esistenti, del comportamento della funzione a diversi valori dell'argomento, della convessità o concavità della curva in diverse sezioni. Selezionata una formula, i valori dei parametri vengono determinati in modo che la differenza tra la curva e i dati sperimentali non sia maggiore degli errori di misurazione.

In pratica, vengono spesso utilizzate le dipendenze lineari, esponenziali e di potenza.

7. ALCUNI COMPITI DI ANALISI DEI DATI SPERIMENTALI

Interpolazione. Sotto interpolazione comprendere, in primo luogo, trovare i valori di una funzione per valori intermedi dell'argomento che non sono presenti nella tabella e, in secondo luogo, sostituire una funzione con un polinomio interpolante se la sua espressione analitica è sconosciuta e la funzione deve essere sottoposta a alcune operazioni matematiche. I metodi più semplici di interpolazione sono lineari e grafici. L'interpolazione lineare può essere utilizzata quando la dipendenza A (X) è espresso da una retta o da una curva prossima ad una retta, per la quale tale interpolazione non comporta errori grossolani. In alcuni casi è possibile effettuare un'interpolazione lineare anche con una dipendenza complessa A (X), se viene effettuato entro un cambiamento così piccolo nell'argomentazione che la relazione tra le variabili può essere considerata lineare senza errori evidenti. Quando si interpola graficamente una funzione sconosciuta A (X) sostituirla con un'immagine grafica approssimativa (basata su punti sperimentali o dati tabellari), da cui si determinano i valori A per ogni X entro le misurazioni. Tuttavia, il tracciamento grafico accurato di curve complesse a volte è molto difficile, come nel caso di curve con estremi netti, quindi l'interpolazione grafica è di utilità limitata.

Pertanto, in molti casi è impossibile applicare l'interpolazione lineare o grafica. A questo proposito sono state trovate funzioni interpolanti che hanno permesso di calcolare i valori A con sufficiente precisione per qualsiasi dipendenza funzionale A (X) purché sia ​​continuo. La funzione interpolante ha la forma

Dove B 0 ,B 1 , … Bn– coefficienti determinati. Poiché questo polinomio (7.1) è rappresentato da una curva di tipo parabolico, tale interpolazione viene detta parabolica.

I coefficienti del polinomio interpolante si trovano risolvendo il sistema di ( l+ 1) equazioni lineari ottenute sostituendo valori noti nell'equazione (7.1) A io E X io .

L'interpolazione è più semplice quando gli intervalli tra i valori dell'argomento sono costanti, ad es.

Dove H– un valore costante chiamato step. Generalmente

Quando si utilizzano formule di interpolazione, è necessario gestire le differenze nei valori A e le differenze di queste differenze, cioè le differenze della funzione A (X) di vari ordini. Le differenze di qualsiasi ordine vengono calcolate utilizzando la formula

. (7.4)

Per esempio,

Quando si calcolano le differenze, è conveniente disporle sotto forma di tabella (vedi Tabella 4), in ciascuna colonna della quale sono scritte le differenze tra i valori corrispondenti del minuendo e del sottraendo, cioè una tabella di tipo diagonale è compilato. Di solito le differenze vengono scritte in unità dell'ultima cifra.

Tabella 4

Funzione di differenza A (X)

Poiché la funzione A (X) è espresso dal polinomio (7.1) N parente di quinto grado X, allora anche le differenze sono polinomi, i cui gradi si riducono di uno quando si passa alla differenza successiva. N-esima differenza del polinomio N la -esima potenza è un numero costante, cioè contiene X al grado zero. Tutte le differenze di ordine superiore sono uguali a zero. Ciò determina il grado del polinomio interpolante.

Trasformando la funzione (7.1), possiamo ottenere la prima formula di interpolazione di Newton:

Viene utilizzato per trovare valori A per ogni X entro le misurazioni. Presentiamo questa formula (7.5) in una forma leggermente diversa:

Le ultime due formule sono talvolta chiamate formule di interpolazione di Newton per l'interpolazione diretta. Queste formule includono differenze che corrono diagonalmente verso il basso e sono convenienti da utilizzare all'inizio di una tabella di dati sperimentali, dove ci sono abbastanza differenze.

La seconda formula di interpolazione di Newton, derivata dalla stessa equazione (7.1), è la seguente:

Questa formula (7.7) è solitamente chiamata formula di interpolazione di Newton per l’interpolazione all’indietro. Viene utilizzato per determinare i valori A alla fine del tavolo.

Consideriamo ora l'interpolazione per valori dell'argomento distanziati in modo disuguale.

Lascia che sia ancora una funzione A (X) è dato da una serie di valori x io E sì io, ma gli intervalli tra valori successivi x io non sono gli stessi. Le formule di Newton di cui sopra non possono essere utilizzate poiché contengono un passo costante H. In problemi di questo tipo è necessario calcolare le differenze date:

; ecc. (7.8)

Le differenze di ordine superiore vengono calcolate in modo simile. Come nel caso dei valori degli argomenti equidistanti, if F (X) – polinomio N-esimo grado, poi le differenze N del -esimo ordine sono costanti, e le differenze di ordine superiore sono pari a zero. Nei casi semplici, le tabelle delle differenze ridotte hanno una forma simile alle tabelle delle differenze per valori equispaziati dell'argomento.

Oltre alle formule di interpolazione di Newton considerate, viene spesso utilizzata la formula di interpolazione di Lagrange:

In questa formula, ciascuno dei termini è un polinomio N-esimo grado e sono tutti uguali. Pertanto, non puoi trascurarne nessuno fino alla fine dei calcoli.

Interpolazione inversa. In pratica, a volte è necessario trovare il valore dell'argomento che corrisponde a un determinato valore della funzione. In questo caso, la funzione inversa viene interpolata e si deve tenere presente che le differenze della funzione non sono costanti e l'interpolazione deve essere eseguita per valori dell'argomento non equamente distanziati, ovvero utilizzare la formula (7.8) o (7.9).

Estrapolazione. Per estrapolazione chiamato calcolo dei valori di una funzione A al di fuori dell'intervallo dei valori degli argomenti X, in cui sono state effettuate le misurazioni. Se non si conosce l'espressione analitica della funzione desiderata, l'estrapolazione deve essere effettuata con molta attenzione, poiché non si conosce il comportamento della funzione A (X) al di fuori dell'intervallo di misurazione. L'estrapolazione è consentita se l'andamento della curva è regolare e non vi è motivo di aspettarsi cambiamenti improvvisi nel processo in studio. Tuttavia l'estrapolazione deve avvenire entro limiti ristretti, ad esempio all'interno del passo H. In punti più distanti si possono ottenere valori errati A. Per l'estrapolazione e per l'interpolazione si utilizzano le stesse formule. Pertanto, la prima formula di Newton viene utilizzata quando si estrapola all'indietro e la seconda formula di Newton viene utilizzata quando si estrapola in avanti. In entrambi i casi vale la formula di Lagrange. Va inoltre tenuto presente che l'estrapolazione porta a errori maggiori rispetto all'interpolazione.

Integrazione numerica.

Formula trapezoidale. La formula trapezoidale viene solitamente utilizzata se i valori della funzione vengono misurati per valori equispaziati dell'argomento, cioè con un passo costante. Utilizzando la regola trapezoidale come valore approssimativo dell'integrale

prendi il valore

, (7.11)

Riso. 7.1. Confronto tra metodi di integrazione numerica

cioè credono. L'interpretazione geometrica della formula del trapezio (vedi Fig. 7.1) è la seguente: l'area di un trapezio curvo è sostituita dalla somma delle aree dei trapezi rettilinei. L'errore totale nel calcolo dell'integrale utilizzando la formula trapezoidale è stimato come la somma di due errori: l'errore di troncamento causato dalla sostituzione del trapezio curvo con quelli rettilinei e l'errore di arrotondamento causato da errori nella misurazione dei valori della funzione. L'errore di troncamento per la formula trapezoidale è

, Dove . (7.12)

Formule del rettangolo. Le formule dei rettangoli, come la formula dei trapezi, vengono utilizzate anche nel caso di valori di argomento equidistanti. La somma integrale approssimativa è determinata da una delle formule

L'interpretazione geometrica delle formule per i rettangoli è data in Fig. 7.1. L'errore delle formule (7.13) e (7.14) è stimato dalla disuguaglianza

, Dove . (7.15)

La formula di Simpson. L'integrale è determinato approssimativamente dalla formula

Dove N- numero pari. L'errore della formula di Simpson è stimato dalla disuguaglianza

, Dove . (7.17)

La formula di Simpson fornisce risultati esatti nel caso in cui l'integrando sia un polinomio di secondo o terzo grado.

Integrazione numerica di equazioni differenziali. Consideriamo l'equazione differenziale ordinaria del primo ordine A " = F (X , A) con la condizione iniziale A = A 0 a X = X 0 . È necessario trovarne la soluzione approssimata A = A (X) sul segmento [ X 0 , X K ].

Riso. 7.2. Interpretazione geometrica del metodo di Eulero

Per fare ciò, questo segmento è diviso in N lunghezza delle parti uguali ( X K – X 0)/N. Trovare valori approssimativi A 1 , A 2 , … , A N funzioni A (X) nei punti di divisione X 1 , X 2 , … , X N = X K effettuata utilizzando varie modalità.

Metodo della linea spezzata di Eulero. Ad un dato valore A 0 = A (X 0) altri valori A io A (X io) vengono calcolati in sequenza utilizzando la formula

, (7.18)

Dove io = 0, 1, …, N – 1.

Graficamente il metodo di Eulero è presentato in Fig. 7.1, dove il grafico della soluzione dell'equazione A = A (X) appare approssimativamente come una linea spezzata (da qui il nome del metodo). Metodo Runge-Kutta. Fornisce una maggiore precisione rispetto al metodo di Eulero. Cerca valori A io vengono calcolati in sequenza utilizzando la formula

, (7.19), dove,

, , .

RASSEGNA DELLA LETTERATURA SCIENTIFICA

Una revisione della letteratura è una parte essenziale di qualsiasi rapporto di ricerca. La revisione dovrebbe presentare in modo completo e sistematico lo stato del problema, consentire una valutazione obiettiva del livello scientifico e tecnico del lavoro, scegliere correttamente le modalità e i mezzi per raggiungere l’obiettivo e valutare sia l’efficacia di questi mezzi che il lavoro nel complesso. L'oggetto dell'analisi nella revisione dovrebbe essere nuove idee e problemi, possibili approcci per risolvere questi problemi, i risultati di studi precedenti, dati economici e possibili modi per risolvere i problemi. Le informazioni contrastanti contenute nelle varie fonti letterarie devono essere analizzate e valutate con particolare attenzione.

Da un'analisi della letteratura dovrebbe essere chiaro che in questa tematica ristretta ciò che è noto in modo abbastanza affidabile, ciò che è dubbio e controverso; quali sono le priorità e i compiti chiave nel dato problema tecnico; dove e come cercare le loro soluzioni.

Il tempo impiegato per una revisione funziona in questo modo:

La ricerca ha sempre un obiettivo ristretto e specifico. La revisione si conclude giustificando la scelta dello scopo e del metodo. La revisione dovrebbe preparare questa decisione. Da qui segue il suo piano e la selezione del materiale. La revisione considera solo questioni così ristrette che possono influenzare direttamente la soluzione del problema, ma in modo così completo da coprire quasi tutta la letteratura moderna su questo tema.

ORGANIZZAZIONE DI ATTIVITÀ DI RIFERIMENTO E INFORMAZIONE

Nel nostro Paese l'attività informativa si basa sul principio del trattamento centralizzato dei documenti scientifici, che consente di raggiungere la copertura completa delle fonti informative al minor costo e di sintetizzarle e sistematizzarle nel modo più qualificato. Come risultato di tale elaborazione, vengono preparate varie forme di pubblicazioni informative. Questi includono:

1) diari astratti(RJ) è la principale pubblicazione informativa contenente principalmente abstract (a volte annotazioni e descrizioni bibliografiche) di fonti di maggiore interesse per la scienza e la pratica. Riviste astratte, che informano sulla letteratura scientifica e tecnica emergente, consentono ricerche retrospettive, superano le barriere linguistiche e rendono possibile monitorare i risultati nei campi correlati della scienza e della tecnologia;

2) bollettini informativi sui segnali(SI), che comprendono descrizioni bibliografiche della letteratura pubblicata in un determinato campo del sapere e sono essenzialmente indici bibliografici. Il loro compito principale è informare tempestivamente su tutta la letteratura scientifica e tecnica più recente, poiché queste informazioni compaiono molto prima rispetto alle riviste astratte;

3) esprimere informazioni– pubblicazioni informative contenenti riassunti estesi di articoli, descrizioni di invenzioni e altre pubblicazioni e che consentono di non fare riferimento alla fonte originale. Lo scopo dell'informazione espressa è familiarizzare rapidamente e in modo equo e completo gli specialisti con le ultime conquiste della scienza e della tecnologia;

4) revisioni analitiche– pubblicazioni informative che danno un’idea dello stato e delle tendenze di sviluppo di una determinata area (sezione, problema) della scienza e della tecnologia;

5) recensioni astratte– perseguire lo stesso scopo delle revisioni analitiche, e allo stesso tempo essere di natura più descrittiva. Gli autori delle recensioni abstract non forniscono una propria valutazione delle informazioni in esse contenute;

6) schede bibliografiche stampate, cioè una descrizione bibliografica completa della fonte d'informazione. Rientrano tra le pubblicazioni di segnalazione e assolvono alle funzioni di segnalazione delle nuove pubblicazioni e alla possibilità di creare cataloghi e schede necessarie ad ogni specialista e ricercatore;

7) schede bibliografiche a stampa commentate ;

8) indici bibliografici .

La maggior parte di queste pubblicazioni sono distribuite anche tramite abbonamento individuale. Informazioni dettagliate al riguardo sono reperibili nei “Cataloghi delle pubblicazioni degli organismi di informazione scientifica e tecnica” pubblicati annualmente.

Post correlati:

Studio delle proprietà dei sistemi dispersi lavoro di laboratorio Unità di misura Le principali quantità fisiche del sistema internazionale di unità sono Come i gatti salvarono il gatto assediato dell'assedio di Leningrado Il galateo moderno: dal diritto alla cultura Regole di galateo nelle diverse situazioni Serata di racconti brevi