Quale insieme non include i numeri frazionari. Definizione ed esempi di numeri razionali

In questa lezione acquisiremo familiarità con l'insieme dei numeri razionali. Analizziamo le proprietà di base dei numeri razionali, impariamo come convertire le frazioni decimali in quelle ordinarie e viceversa.

Abbiamo già parlato degli insiemi dei numeri naturali e dei numeri interi. L'insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme dei numeri interi.

Ora abbiamo imparato cosa sono le frazioni, abbiamo imparato a lavorarci. Una frazione, ad esempio, non è un numero intero. Ciò significa che dobbiamo descrivere un nuovo insieme di numeri, che includerà tutte le frazioni, e questo insieme ha bisogno di un nome, una definizione chiara e una designazione.

Cominciamo dal titolo. La parola latina ratio è tradotta in russo come ratio, frazione. Il nome del nuovo insieme "numeri razionali" deriva da questa parola. Cioè, "numeri razionali" possono essere tradotti come "numeri frazionari".

Scopriamo di quali numeri è composto questo set. Si può presumere che sia costituito da tutte le frazioni. Ad esempio, tale -. Ma una tale definizione non sarebbe del tutto corretta. La frazione non è il numero in sé, ma la forma di scrittura del numero. Nell'esempio seguente, due diverse frazioni rappresentano lo stesso numero:

Allora sarebbe più accurato dire che i numeri razionali sono quei numeri che possono essere rappresentati come una frazione. E questa, infatti, è già quasi la stessa definizione che si usa in matematica.

Hanno designato questo set con una lettera. E in che modo gli insiemi di numeri naturali e interi sono correlati al nuovo insieme di numeri razionali? Un numero naturale può essere scritto come frazione e in un numero infinito di modi. E poiché può essere rappresentato come una frazione, allora è anche razionale.

La situazione è simile con gli interi negativi. Qualsiasi numero intero negativo può essere rappresentato come una frazione ... È possibile rappresentare il numero zero come una frazione? Certo che puoi farlo anche tu, in un'infinità di modi .

Quindi, tutti i numeri naturali e tutti gli interi sono anche numeri razionali. Gli insiemi di numeri naturali e interi sono sottoinsiemi dell'insieme dei numeri razionali ().

Chiusura degli insiemi rispetto alle operazioni aritmetiche

La necessità di introdurre nuovi numeri - interi, quindi razionali - può essere spiegata non solo da problemi della vita reale. Ce lo dicono le stesse operazioni aritmetiche. Aggiungiamo due numeri naturali:. Otteniamo di nuovo un numero naturale.

Dicono che l'insieme dei numeri naturali è chiuso per l'operazione di addizione (chiuso per l'addizione). Pensa tu stesso se l'insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto alla moltiplicazione.

Non appena proviamo a sottrarre da un numero uguale o maggiore di esso, allora non abbiamo abbastanza numeri naturali. L'introduzione di zero e numeri interi negativi corregge la situazione:

L'insieme degli interi è chiuso per sottrazione. Possiamo aggiungere e sottrarre qualsiasi numero intero senza timore di non avere un numero per scrivere il risultato (chiuso rispetto all'addizione e alla sottrazione).

L'insieme degli interi è chiuso rispetto alla moltiplicazione? Sì, il prodotto di due numeri interi qualsiasi risulta in un numero intero (chiuso per addizione, sottrazione e moltiplicazione).

C'è ancora un'azione da fare: la divisione. L'insieme degli interi è chiuso per divisione? La risposta è ovvia: no. Dividi per. Tra gli interi non c'è niente per scrivere la risposta:.

Ma con l'aiuto di un numero frazionario, possiamo quasi sempre scrivere il risultato della divisione di un intero per un altro. Perché quasi? Ricorda che, per definizione, non puoi dividere per zero.

Pertanto, l'insieme dei numeri razionali (che sorge quando vengono introdotte le frazioni) pretende di essere un insieme chiuso rispetto a tutte e quattro le operazioni aritmetiche.

Controlliamo.

Cioè, l'insieme dei numeri razionali è chiuso rispetto all'addizione, alla sottrazione, alla moltiplicazione e alla divisione, escludendo la divisione per zero. In questo senso, possiamo dire che l'insieme dei numeri razionali è disposto "migliore" rispetto ai precedenti insiemi di numeri naturali e interi. Questo significa che i numeri razionali sono l'ultimo insieme di numeri che studiamo? No. Successivamente, avremo altri numeri che non possono essere scritti come frazioni, ad esempio quelli irrazionali.

I numeri come strumento

I numeri sono uno strumento che una persona ha creato secondo necessità.

Riso. 1. Usare i numeri naturali

Inoltre, quando è stato necessario condurre calcoli monetari, hanno iniziato a mettere segni più o meno davanti al numero, indicando se il valore originale doveva essere aumentato o diminuito. Ecco come sono apparsi i numeri negativi e positivi. Il nuovo insieme è stato chiamato insieme di interi ().

Riso. 2. Utilizzo di numeri frazionari

Pertanto, appare un nuovo strumento, nuovi numeri - frazioni. Li scriviamo in diversi modi equivalenti: frazioni ordinarie e decimali ( ).

Tutti i numeri - "vecchi" (interi) e "nuovi" (frazionari) - sono stati combinati in un insieme e lo hanno chiamato l'insieme dei numeri razionali (- numeri razionali)

Quindi, un numero razionale è un numero che può essere rappresentato come una frazione ordinaria. Ma questa definizione in matematica è un po' più precisa. Qualsiasi numero razionale può essere rappresentato come una frazione con denominatore positivo, ovvero il rapporto tra un intero e un numero naturale: .

Allora otteniamo la definizione: un numero si dice razionale se può essere rappresentato come una frazione con numeratore intero e denominatore naturale ( ).

Oltre alle frazioni comuni, usiamo anche i decimali. Vediamo come sono legati all'insieme dei numeri razionali.

Esistono tre tipi di frazioni decimali: finita, periodica e non periodica.

Frazioni infinite non periodiche: tali frazioni hanno anche un numero infinito di cifre dopo la virgola, ma non c'è il punto. Un esempio è la notazione decimale di PI:

Qualsiasi frazione decimale finale, per definizione, è una frazione ordinaria con denominatore, ecc.

Leggiamo ad alta voce la frazione decimale e scriviamola nella forma di una normale:,.

Tornare indietro dalla frazione alla notazione decimale può produrre frazioni decimali finite o frazioni periodiche infinite.

Passare da una frazione a un decimale

Il caso più semplice è quando il denominatore di una frazione è una potenza di dieci: ecc. Quindi usiamo la definizione di un decimale:

Ci sono frazioni in cui il denominatore si riduce facilmente a questa forma:. È possibile andare a tale record se solo due e cinque sono inclusi nell'espansione del denominatore.

Il denominatore è composto da tre due e uno cinque. Ciascuno e formare un dieci. Quindi ne mancano due. Moltiplica sia per il numeratore che per il denominatore:

Avresti potuto agire diversamente. Dividi per una colonna per (vedi Fig. 1).

Riso. 2. Divisione lunga

Nel caso del denominatore, non sarà possibile convertire in o un'altra cifra, poiché la sua espansione include una terzina. Rimane solo un modo: dividere in una colonna (vedi fig. 2).

Tale divisione ad ogni passo darà nel resto e nel quoziente. Il processo è infinito. Cioè, abbiamo una frazione periodica infinita con un periodo

Facciamo un pò di pratica. Convertiamo le frazioni ordinarie in decimali.

In tutti questi esempi, abbiamo ottenuto la frazione decimale finale, poiché nell'espansione del denominatore c'erano solo due e cinque.

(verifichiamoci suddividendoci in tabella - vedi fig. 3).

Riso. 3. Divisione lunga

Riso. 4. Divisione lunga

(vedi fig. 4)

La scomposizione del denominatore include una terzina, il che significa portare il denominatore nella forma, ecc. non funzionerà. Dividiamo per in una colonna. La situazione si ripeterà. Il risultato conterrà un numero infinito di terzine. Così, .

(vedi fig. 5)

Riso. 5. Divisione lunga

Quindi, qualsiasi numero razionale può essere rappresentato come una frazione ordinaria. Questa è la sua definizione.

E qualsiasi frazione ordinaria può essere rappresentata come una frazione decimale periodica finita o infinita.

Tipi di registrazione delle frazioni:

scrivere una frazione decimale nella forma di una ordinaria:; ;

scrivere una frazione ordinaria sotto forma di decimale: (frazione finale); (periodico infinito).

Cioè, qualsiasi numero razionale può essere scritto in una frazione decimale finale o periodica. In questo caso anche l'ultima frazione può essere considerata periodica con periodo zero.

A volte a un numero razionale viene data proprio una tale definizione: un numero razionale è un numero che può essere scritto come frazione decimale periodica.

Conversione periodica della frazione

Considera prima una frazione con un periodo a una cifra e nessun pre-periodo. Indichiamo questo numero con una lettera. Il metodo è ottenere un altro numero con lo stesso periodo:

Questo può essere fatto moltiplicando il numero originale per. Quindi il numero ha lo stesso periodo. Sottrai dal numero stesso:

Per assicurarci di aver fatto tutto bene, eseguiamo ora la transizione nella direzione opposta, nel modo che già conosciamo, dividendo in una colonna per (vedi Fig. 1).

In effetti, otteniamo un numero nella sua forma originale con un punto.

Considera un numero con un pre-periodo e un periodo più lungo:. Il metodo rimane esattamente lo stesso dell'esempio precedente. È necessario ottenere un nuovo numero con lo stesso periodo e pre-periodo della stessa durata. Per fare ciò, la virgola deve essere spostata a destra della lunghezza del periodo, ad es. da due caratteri. Moltiplichiamo il numero originale per:

Sottrai l'originale dall'espressione risultante:

Allora, qual è l'algoritmo di traduzione. La frazione periodica deve essere moltiplicata per un numero della forma, ecc., in cui ci sono tanti zeri quante sono le cifre nel periodo decimale. Ne abbiamo uno nuovo periodico. Per esempio:

Sottraendo un altro da una frazione periodica, otteniamo la frazione decimale finale:

Resta da esprimere la frazione periodica originale nella forma di una ordinaria.

Per l'allenamento, scrivi tu stesso alcune frazioni periodiche. Usando questo algoritmo, portali nella forma di una frazione ordinaria. Per controllare su una calcolatrice, dividi il numeratore per il denominatore. Se tutto è corretto, ottieni la frazione periodica originale

Quindi, possiamo scrivere qualsiasi frazione periodica finita o infinita come frazione ordinaria, come rapporto tra numeri naturali e interi. Quelli. tutte queste frazioni sono numeri razionali.

E le frazioni non periodiche? Si scopre che le frazioni non periodiche non possono essere rappresentate nella forma di quelle ordinarie (accetteremo questo fatto senza dimostrazione). Ciò significa che non sono numeri razionali. Si chiamano irrazionali.

Frazioni infinite non periodiche

Come abbiamo detto, un numero razionale in notazione decimale è una frazione finita o periodica. Ciò significa che se possiamo costruire una frazione non periodica infinita, otterremo un irrazionale, cioè un numero irrazionale.

Ecco un modo per farlo: la parte frazionaria di questo numero consiste solo di zero e uno. Il numero di zeri tra uno aumenta di. È impossibile evidenziare qui la parte che si ripete. Cioè, la frazione non è periodica.

Esercitati a costruire frazioni decimali non periodiche, ovvero numeri irrazionali

Un esempio di numero irrazionale a noi noto è pi ( ). Non c'è un periodo in questa voce. Ma oltre a pi, ci sono infiniti altri numeri irrazionali. Parleremo più avanti dei numeri irrazionali.

1. Matematica classe 5. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Schwarzburd S.I., 31a ed., Cancellato. - M: Mnemosina, 2013.
2. Matematica classe 5. Erina TM .. Quaderno di lavoro per il libro di testo Vilenkin N.Ya., Mosca: esame, 2013.
3. Matematica classe 5. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S., Mosca: Ventana - Graf, 2013.

1. Math-prosto.ru ().
2. Cleverstudents.ru ().
3. Mathematics-repetition.com ().

Compiti a casa

Come abbiamo già visto, l'insieme dei numeri naturali

è chiuso rispetto all'addizione e alla moltiplicazione, e l'insieme degli interi

chiuso rispetto ad addizione, moltiplicazione e sottrazione. Tuttavia, nessuno di questi insiemi è chiuso rispetto alla divisione, poiché la divisione di interi può portare a frazioni, come, ad esempio, nei casi di 4/3, 7/6, -2/5, ecc. La totalità di tutte queste frazioni costituisce l'insieme dei numeri razionali. Quindi, un numero razionale (frazione razionale) è un numero che può essere rappresentato nella forma, dove a e d sono numeri interi e d non è uguale a zero. Facciamo alcune osservazioni su questa definizione.

1) Abbiamo richiesto che d fosse diverso da zero. Questo requisito (scritto matematicamente come una disuguaglianza) è necessario perché qui d è un divisore. Considera i seguenti esempi:

Caso 1..

Caso 2.

Nel caso 1, d è un divisore nel senso del capitolo precedente, cioè 7 è un divisore esatto di 21. Nel caso 2, d è ancora un divisore, ma in un senso diverso, poiché 7 non è un divisore esatto di 25 .

Se 25 è chiamato divisibile e 7 è un divisore, allora otteniamo un quoziente 3 e un resto 4. Quindi, la parola divisore è usata qui in un senso più generale ed è applicabile a più casi che nel Cap. I. Tuttavia, in casi come il caso 1, la nozione di divisore introdotta nel cap. IO; quindi è necessario, come nel cap. I, escludo la possibilità di d = 0.

2) Si noti che mentre le espressioni numero razionale e frazione razionale sono sinonimi, la parola frazione stessa è usata per denotare qualsiasi espressione algebrica costituita da un numeratore e un denominatore, come

3) La definizione di numero razionale include l'espressione “un numero che può essere rappresentato nella forma, dove a e d sono interi e. Perché non può essere sostituito dall'espressione “un numero della forma, dove a e d sono numeri interi e la ragione di ciò è il fatto che ci sono infiniti modi per esprimere la stessa frazione (ad esempio, 2/3 possono anche essere scritto come 4/6, 6/9, o o 213/33, o ecc.), ed è auspicabile per noi che la nostra definizione di un numero razionale non dipenda da un particolare modo di esprimerlo.

La frazione è definita in modo tale che il suo valore non cambi quando numeratore e denominatore vengono moltiplicati per lo stesso numero. Tuttavia, non è sempre possibile dire semplicemente osservando una data frazione se è razionale o meno. Consideriamo, ad esempio, i numeri

Nessuno di essi nel record selezionato ha la forma, dove a e d sono numeri interi.

Possiamo, tuttavia, eseguire una serie di trasformazioni aritmetiche sulla prima frazione e ottenere

Quindi, arriviamo a una frazione uguale alla frazione originale per cui. Il numero è quindi razionale, ma non sarebbe razionale se la definizione di un numero razionale richiedesse che il numero sia della forma a/b, dove aeb sono interi. Nel caso di una frazione di conversione

portare a un numero. Nei capitoli successivi impareremo che un numero non può essere rappresentato come rapporto tra due interi e, quindi, non è razionale o, come si dice, irrazionale.

4) Nota che ogni intero è razionale. Come abbiamo appena visto, questo è vero nel caso del numero 2. Nel caso generale degli interi arbitrari, si può similmente assegnare a ciascuno di essi un denominatore uguale a 1, e ottenere la loro rappresentazione sotto forma di frazioni razionali.

Numero- il più importante concetto matematico che è cambiato nel corso dei secoli.

Le prime idee sul numero sono nate dal conteggio di persone, animali, frutti, prodotti vari, ecc. Il risultato sono i numeri naturali: 1, 2, 3, 4, ...

Storicamente, la prima estensione del concetto di numero è l'aggiunta di numeri frazionari a un numero naturale.

Frazione viene chiamata una parte (quota) di un'unità o più parti uguali di essa.

Designato:, dove m, n- numeri interi;

Frazioni con denominatore 10 n, dove n- un intero, chiamato decimale: .

Tra le frazioni decimali, un posto speciale è occupato da frazioni periodiche: - frazione periodica pura, - frazione periodica mista.

Un'ulteriore espansione del concetto di numero è causata dallo sviluppo della matematica stessa (algebra). Cartesio nel XVII secolo. introduce il concetto numero negativo.

Vengono chiamati numeri interi (positivi e negativi), frazionari (positivi e negativi) e zero numeri razionali... Qualsiasi numero razionale può essere scritto come frazione finita e periodica.

Per studiare quantità variabili in continua evoluzione, si è rivelato necessario espandere nuovamente il concetto di numero - l'introduzione di numeri reali (reali) - aggiungendo numeri irrazionali ai numeri razionali: numeri irrazionali sono infinite frazioni decimali non periodiche.

I numeri irrazionali sono apparsi quando si misuravano segmenti incommensurabili (lato e diagonale di un quadrato), in algebra - quando si estraevano le radici, un esempio di numero trascendente e irrazionale è π, e .

I numeri naturale(1, 2, 3,...), totale(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), razionale(rappresentabile come frazione) e irrazionale(non rappresentabile come frazione ) formare un insieme reale (reale) numeri.

I numeri complessi si distinguono separatamente in matematica.

Numeri complessi sorgono in relazione al problema di risolvere i quadrati per il caso D< 0 (здесь DÈ il discriminante dell'equazione quadratica). Per molto tempo questi numeri non hanno trovato uso fisico, quindi sono stati chiamati numeri "immaginari". Tuttavia, ora sono ampiamente utilizzati in vari campi della fisica e della tecnologia: ingegneria elettrica, idro e aerodinamica, teoria dell'elasticità, ecc.

Numeri complessi si scrivono come: z = un+ bi... Qui un e B – numeri reali, un io – unità immaginaria, cioèe. io 2 = -1. Numero un chiamato ascissa, un B -ordinato numero complesso un+ bi. Due numeri complessi un+ bi e a - bi sono chiamati associato numeri complessi.

Proprietà:

1. Numero reale un può anche essere scritto come un numero complesso: un+ 0io o un - 0io... Ad esempio 5 + 0 io e 5 - 0 io significa lo stesso numero 5.

2. Numero complesso 0 + bi chiamato puramente immaginario numero... Registrazione bi significa uguale a 0 + bi.

3. Due numeri complessi un+ bi e C+ di sono considerati uguali se un= C e B= D... In caso contrario, i numeri complessi non sono uguali.

Azioni:

addizione. La somma dei numeri complessi un+ bi e C+ di si chiama numero complesso ( un+ C) + (B+ D)io. Così, quando si aggiungono numeri complessi, le loro ascisse e ordinate vengono aggiunte separatamente.

Sottrazione. Differenza di due numeri complessi un+ bi(diminuito) e C+ di(sottratto) si dice numero complesso ( AC) + (b - d)io. Così, quando si sottraggono due numeri complessi, le loro ascisse e ordinate vengono sottratte separatamente.

Moltiplicazione. Il prodotto di numeri complessi un+ bi e C+ di chiamato numero complesso:

(ac - bd) + (anno Domini+ avanti Cristo)io. Questa definizione deriva da due requisiti:

1) numeri un+ bi e C+ di devono essere moltiplicati come binomi algebrici,

2) numero io ha la proprietà principale: io 2 = –1.

ESEMPIO ( a + bi)(a - bi)= a 2 + b 2 . Quindi, operadue numeri complessi coniugati è uguale a un numero reale positivo.

Divisione. Dividere un numero complesso un+ bi(divisibile) per un altro C+ di (divisore) - significa trovare il terzo numero e+ f io(chat), che moltiplicato per un divisore C+ di, risulta nel dividendo un+ bi. Se il divisore non è zero, la divisione è sempre possibile.

ESEMPIO Trova (8 + io) : (2 – 3io) .

Soluzione Riscriviamo questo rapporto come una frazione:

Moltiplicando numeratore e denominatore per 2 + 3 io e dopo aver eseguito tutte le trasformazioni, otteniamo:

Compito 1: somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione z 1 su z 2

Estrazione della radice quadrata: Risolvi l'equazione X 2 = -un. Per risolvere questa equazione siamo costretti a usare numeri di un nuovo tipo - numeri immaginari ... Così, immaginario chiamato un numero la cui seconda potenza è un numero negativo... Secondo questa definizione di numeri immaginari, possiamo definire e immaginario unità:

Allora per l'equazione X 2 = - 25 otteniamo due immaginario radice:

Compito 2: Risolvi l'equazione:

1) x 2 = – 36; 2) X 2 = – 49; 3) X 2 = – 121

Rappresentazione geometrica di numeri complessi. I numeri reali sono rappresentati da punti sulla linea dei numeri:

Qui il punto UN significa numero -3, punto B–Numero 2, e oh-zero. Al contrario, i numeri complessi sono rappresentati da punti sul piano delle coordinate. Per questo scegliamo coordinate rettangolari (cartesiane) con le stesse scale su entrambi gli assi. Allora il numero complesso un+ bi sarà rappresentato da un punto P con ascissaun e ordinataB... Questo sistema di coordinate è chiamato piano complesso .

Modulo numero complesso è la lunghezza del vettore OPERAZIONE che rappresenta un numero complesso sulla coordinata ( un integrato) aereo. Modulo numero complesso un+ bi indicato con | un+ bi| o) lettera R ed è uguale a:

I numeri complessi coniugati hanno lo stesso modulo.

Le regole di progettazione del disegno sono quasi le stesse di un disegno in un sistema di coordinate cartesiane Lungo gli assi, è necessario impostare la quota, nota:

e
unità lungo l'asse reale; Re z

unità immaginaria lungo l'asse immaginario. sono z

Attività 3. Costruisci i seguenti numeri complessi sul piano complesso: , , , , , , ,

1. Numeri esatti e approssimativi. I numeri che incontriamo in pratica sono di due tipi. Alcuni danno il vero valore del valore, altri solo approssimativi. I primi sono chiamati esatti, i secondi - approssimativi. Molto spesso, è conveniente usare un numero approssimativo invece di uno esatto, soprattutto perché in molti casi è impossibile trovare un numero esatto.

Quindi, se dicono che ci sono 29 studenti nella classe, allora il numero 29 è esatto. Se dicono che la distanza da Mosca a Kiev è di 960 km, allora qui il numero 960 è approssimativo, poiché, da un lato, i nostri strumenti di misurazione non sono assolutamente precisi, dall'altro, le città stesse hanno una certa lunghezza.

Anche il risultato di azioni con numeri approssimativi è un numero approssimativo. Eseguendo alcune operazioni su numeri esatti (divisione, estrazione della radice), è possibile ottenere anche numeri approssimativi.

La teoria dei calcoli approssimati consente:

1) conoscendo il grado di accuratezza dei dati, valutare il grado di accuratezza dei risultati;

2) prendere i dati con un adeguato grado di accuratezza sufficiente a garantire l'accuratezza richiesta del risultato;

3) razionalizzare il processo di calcolo, svincolandolo da quei calcoli che non influiranno sull'accuratezza del risultato.

2. Arrotondamento. Una delle fonti di numeri approssimativi è l'arrotondamento. Arrotonda i numeri approssimativi ed esatti.

Arrotondare un dato numero ad alcune delle sue cifre si chiama sostituirlo con un nuovo numero, che si ottiene da un dato scartando tutte le sue cifre scritte a destra della cifra di questa cifra, o sostituendole con zeri. Questi zeri sono generalmente sottolineati o scritti in basso. Per garantire la massima vicinanza possibile del numero arrotondato a quello arrotondato, dovresti usare le seguenti regole: per arrotondare il numero a una di una certa cifra, devi scartare tutte le cifre dopo la cifra di questa cifra e sostituirle con zeri nel numero intero. In questo caso si tiene conto di:

1) se la prima (a sinistra) delle cifre scartate è inferiore a 5, l'ultima cifra a sinistra non viene modificata (arrotondamento con una deficienza);

2) se la prima cifra scartata è maggiore di 5 o uguale a 5, l'ultima cifra a sinistra viene aumentata di uno (arrotondamento per eccesso).

Mostriamolo con degli esempi. Arrotondare:

a) fino a decimi 12,34;

b) fino a centesimi 3,2465; 1038.785;

c) fino a millesimi 3.4335.

d) fino a 12375 mila; 320729.

a) 12,34 ± 12,3;

b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038.785 ≈ 1038.79;

c) 3.4335 ≈ 3.434.

d) 12375 ≈ 12.000; 320729 ≈ 321000.

3. Errori assoluti e relativi. La differenza tra il numero esatto e il suo valore approssimativo è chiamata errore assoluto del numero approssimativo. Ad esempio, se arrotondi il numero esatto 1.214 ai decimi, ottieni un numero approssimativo di 1.2. In questo caso, l'errore assoluto del numero approssimativo 1.2 è 1.214 - 1.2, ad es. 0,014.

Ma nella maggior parte dei casi, il valore esatto della quantità in esame è sconosciuto, ma solo approssimativo. Quindi anche l'errore assoluto è sconosciuto. In questi casi, indicare il confine che non supera. Questo numero è chiamato errore assoluto di confine. Dicono che il valore esatto di un numero è uguale al suo valore approssimativo con un errore inferiore all'errore di confine. Ad esempio, il numero 23,71 è un valore approssimativo del numero 23,7125 con una precisione di 0,01, poiché l'errore di approssimazione assoluto è 0,0025 e inferiore a 0,01. Qui l'errore assoluto di confine è 0,01 *.

Errore assoluto al contorno del numero approssimativo un sono indicati dal simbolo Δ un... Registrazione

X≈un(±Δ un)

va inteso come segue: il valore esatto della quantità Xè tra i numeri un– Δ un e un+ Δ un, che sono chiamati, rispettivamente, i limiti inferiore e superiore NS e denota NG X VG NS.

Ad esempio, se X 2,3 (± 0,1), quindi 2,2<X< 2,4.

Al contrario, se 7.3< NS< 7,4, тоNS 7,35 (± 0,05). L'errore assoluto o limite assoluto non caratterizza la qualità della misurazione eseguita. Lo stesso errore assoluto può essere considerato significativo e non significativo a seconda del numero con cui viene espresso il valore misurato. Ad esempio, se misuriamo la distanza tra due città con una precisione di un chilometro, questa precisione è abbastanza sufficiente per questo cambiamento, allo stesso tempo, quando si misura la distanza tra due case della stessa strada, tale precisione sarà inaccettabile . Di conseguenza, l'accuratezza del valore approssimativo della grandezza dipende non solo dall'entità dell'errore assoluto, ma anche dal valore della grandezza misurata. Pertanto, la misura dell'accuratezza è l'errore relativo.

L'errore relativo è il rapporto tra l'errore assoluto e il valore del numero approssimativo. Il rapporto tra l'errore assoluto al confine e il numero approssimativo è chiamato errore relativo al confine; denotalo come segue:. È consuetudine esprimere gli errori relativi relativi e marginali in percentuale. Ad esempio, se le misurazioni mostrassero che la distanza NS tra due punti è maggiore di 12,3 km, ma inferiore a 12,7 km, quindi la media aritmetica di questi due numeri è presa come valore approssimativo, cioè loro semisomma, allora l'errore assoluto al confine è uguale alla semidifferenza di questi numeri. In questo caso NS 12,5 (± 0,2). Qui l'errore assoluto al confine è di 0,2 km e il limite relativo

numeri interi

I numeri naturali sono definiti come interi positivi. I numeri naturali sono usati per contare gli oggetti e per molti altri scopi. Questi numeri sono:

Questa è una serie naturale di numeri.
Lo zero è un numero naturale? No, zero non è un numero naturale.
Quanti sono i numeri naturali? Esistono un numero infinito di numeri naturali.
Qual è il più piccolo numero naturale? Uno è il più piccolo numero naturale.
Qual è il numero naturale più grande? È impossibile indicarlo, perché esiste un numero infinito di numeri naturali.

La somma dei numeri naturali è un numero naturale. Quindi, la somma dei numeri naturali a e b:

Il prodotto dei numeri naturali è un numero naturale. Quindi, il prodotto dei numeri naturali a e b:

c è sempre un numero naturale.

Differenza di numeri naturali Non sempre esiste un numero naturale. Se il sottratto è maggiore del sottratto, allora la differenza dei numeri naturali è un numero naturale, altrimenti non lo è.

Il quoziente dei numeri naturali Non sempre esiste un numero naturale. Se per i numeri naturali a e b

dove c è un numero naturale, ciò significa che a è divisibile per b completamente. In questo esempio, a è il dividendo, b è il divisore, c è il quoziente.

Il divisore di un numero naturale è un numero naturale per il quale il primo numero è equamente divisibile.

Ogni numero naturale è divisibile per uno e per se stesso.

I numeri naturali primi sono divisibili solo per uno e per se stessi. Qui si intende dividere completamente. Esempio, numeri 2; 3; 5; 7 sono divisibili solo per uno e per se stessi. Questi sono numeri naturali primi.

L'unità non è considerata un numero primo.

I numeri che sono maggiori di uno e che non sono primi sono chiamati numeri composti. Esempi di numeri composti:

L'unità non è considerata un numero composto.

L'insieme dei numeri naturali è uno, i numeri primi e i numeri composti.

L'insieme dei numeri naturali è indicato dalla lettera latina N.

Proprietà di addizione e moltiplicazione dei numeri naturali:

proprietà di spostamento dell'addizione

proprietà di combinazione di addizione

(a + b) + c = a + (b + c);

proprietà di moltiplicazione di viaggio

proprietà di combinazione della moltiplicazione

(ab) c = a (bc);

proprietà di distribuzione della moltiplicazione

A (b + c) = ab + ac;

Numeri interi

Gli interi sono numeri naturali, zero e l'opposto dei numeri naturali.

I numeri opposti ai numeri naturali sono numeri interi negativi, ad esempio:

1; -2; -3; -4;...

L'insieme degli interi è indicato dalla lettera latina Z.

Numeri razionali

I numeri razionali sono numeri interi e frazioni.

Qualsiasi numero razionale può essere rappresentato come una frazione periodica. Esempi:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Gli esempi mostrano che qualsiasi intero è una frazione periodica con un periodo pari a zero.

Qualsiasi numero razionale può essere rappresentato come una frazione m/n, dove m è un numero intero e n è un numero naturale. Rappresentiamo sotto forma di tale frazione il numero 3, (6) dell'esempio precedente.

Definizione di numeri razionali

I numeri razionali includono:

• Numeri naturali che possono essere rappresentati come una frazione. Ad esempio, $ 7 = \ frac (7) (1) $.
• Numeri interi, compreso il numero zero, che possono essere rappresentati come frazione positiva o negativa, oppure come zero. Ad esempio, $ 19 = \ frac (19) (1) $, $ -23 = - \ frac (23) (1) $.
• Frazioni ordinarie (positive o negative).
• Numeri misti che possono essere rappresentati come una frazione irregolare. Ad esempio, $ 3 \ frac (11) (13) = \ frac (33) (13) $ e $ -2 \ frac (4) (5) = - \ frac (14) (5) $.
• Un decimale finale e una frazione periodica infinita che può essere rappresentata come frazione. Ad esempio, $ -7,73 = - \ frac (773) (100) $, $ 7, (3) = - 7 \ frac (1) (3) = - \ frac (22) (3) $.

Osservazione 1

Nota che una frazione decimale infinita non periodica non si applica ai numeri razionali, poiché non può essere rappresentato come una frazione ordinaria.

Esempio 1

I numeri naturali $ 7, 670, 21 \ 456 $ sono razionali.

Gli interi $ 76, -76, 0, -555 \ 666 $ sono razionali.

Frazioni ordinarie $ \ frac (7) (11) $, $ \ frac (555) (4) $, $ - \ frac (7) (11) $, $ - \ frac (100) (234) $ sono numeri razionali ...

Pertanto, i numeri razionali sono divisi in positivi e negativi. Il numero zero è razionale, ma non si applica né ai numeri razionali positivi né a quelli negativi.

Formuliamo una definizione più concisa di numeri razionali.

Definizione 3

Razionale sono numeri che possono essere rappresentati come una frazione decimale periodica finita o infinita.

Si possono trarre le seguenti conclusioni:

• interi positivi e negativi e numeri frazionari si riferiscono all'insieme dei numeri razionali;
• i numeri razionali possono essere rappresentati come una frazione, che ha un numeratore intero e un denominatore naturale e che è un numero razionale;
• i numeri razionali possono essere rappresentati come qualsiasi frazione decimale periodica che sia un numero razionale.

Come sapere se un numero è razionale

1. Il numero è specificato come un'espressione numerica, che consiste solo di numeri razionali e segni di operazioni aritmetiche. In questo caso, il valore dell'espressione sarà un numero razionale.
2. La radice quadrata di un numero naturale è un numero razionale solo se la radice è un numero che è il quadrato perfetto di un numero naturale. Ad esempio, $ \ sqrt (9) $ e $ \ sqrt (121) $ sono numeri razionali perché $ 9 = 3 ^ 2 $ e $ 121 = 11 ^ 2 $.
3. La radice $ n $ -esima di un intero è un numero razionale solo se il numero sotto il segno della radice è la potenza $ n $ -esima di un numero intero. Ad esempio, $ \ sqrt (8) $ è un numero razionale, poiché $ 8 = 2^ 3 $.

Sull'asse dei numeri, i numeri razionali si trovano ovunque densamente: tra ogni due numeri razionali che non sono uguali tra loro, puoi posizionare almeno un numero razionale (quindi, un insieme infinito di numeri razionali). Allo stesso tempo, l'insieme dei numeri razionali è caratterizzato dal conteggio della cardinalità (ovvero, tutti gli elementi dell'insieme possono essere numerati). Gli antichi greci hanno dimostrato che ci sono numeri che non possono essere scritti come frazioni. Hanno mostrato che non esiste un numero razionale il cui quadrato sia $ 2 $. Quindi i numeri razionali si sono rivelati insufficienti per esprimere tutte le quantità, che in seguito hanno portato alla comparsa dei numeri reali. L'insieme dei numeri razionali, a differenza dei numeri reali, è a dimensione zero.