Numeri semplici e complessi. numeri primi
La risposta di Ilya è corretta, ma non molto dettagliata. Nel XVIII secolo, tra l'altro, l'uno era ancora considerato un numero primo. Ad esempio, grandi matematici come Eulero e Goldbach. Goldbach è l'autore di uno dei sette problemi del millennio: l'ipotesi Goldbach. La formulazione originale afferma che ogni numero pari può essere rappresentato come la somma di due numeri primi. Inoltre, inizialmente 1 è stato preso in considerazione come numero primo e vediamo questo: 2 = 1+1. Questo è l'esempio più piccolo che soddisfa la formulazione originale dell'ipotesi. Successivamente fu corretto e la formulazione acquisì una forma moderna: “ogni numero pari, a cominciare da 4, può essere rappresentato come la somma di due numeri primi”.
Ricordiamo la definizione. Un numero primo è un numero naturale p che ha solo 2 diversi divisori naturali: p stesso e 1. Corollario della definizione: un numero primo p ha solo un divisore primo - p stesso.
Supponiamo ora che 1 sia un numero primo. Per definizione, un numero primo ha un solo divisore primo: se stesso. Allora risulta che ogni numero primo maggiore di 1 è divisibile per un numero primo diverso da esso (per 1). Ma due numeri primi diversi non possono essere divisi tra loro, perché altrimenti non sono numeri primi, ma numeri composti, e questo contraddice la definizione. Con questo approccio risulta che esiste solo 1 numero primo: l'unità stessa. Ma questo è assurdo. Pertanto, 1 non è un numero primo.
1, così come 0, formano un'altra classe di numeri: la classe degli elementi neutri rispetto alle operazioni n-arie in qualche sottoinsieme del campo algebrico. Inoltre, rispetto all'operazione di addizione, 1 è anche elemento generatore dell'anello dei numeri interi.
Con questa considerazione non è difficile scoprire analoghi dei numeri primi in altre strutture algebriche. Supponiamo di avere un gruppo moltiplicativo formato da potenze di 2, a partire da 1: 2, 4, 8, 16, ... ecc. 2 funge qui da elemento formativo. Un numero primo in questo gruppo è un numero maggiore dell'elemento più piccolo e divisibile solo per se stesso e per l'elemento più piccolo. Nel nostro gruppo, solo 4 hanno tali proprietà. Non ci sono più numeri primi nel nostro gruppo.
Se anche 2 fosse un numero primo nel nostro gruppo, allora vedi il primo paragrafo: ancora una volta risulterebbe che solo 2 è un numero primo.
L'articolo discute i concetti di numeri primi e composti. Le definizioni di tali numeri sono fornite con esempi. Dimostriamo che il numero dei numeri primi è illimitato e lo registreremo nella tavola dei numeri primi utilizzando il metodo di Eratostene. Verranno fornite prove per determinare se un numero è primo o composto.
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Numeri primi e compositi - Definizioni ed esempi
I numeri primi e composti sono classificati come interi positivi. Devono essere maggiori di uno. I divisori si dividono anche in semplici e compositi. Per comprendere il concetto di numeri composti, devi prima studiare i concetti di divisore e multiplo.
Definizione 1
I numeri primi sono numeri interi maggiori di uno che hanno due divisori positivi, cioè se stessi e 1.
Definizione 2
I numeri compositi sono numeri interi maggiori di uno e hanno almeno tre divisori positivi.
Uno non è né un numero primo né un numero composto. Ha un solo divisore positivo, quindi è diverso da tutti gli altri numeri positivi. Tutti i numeri interi positivi sono chiamati numeri naturali, cioè utilizzati nei conteggi.
Definizione 3
numeri primi sono numeri naturali che hanno solo due divisori positivi.
Definizione 4
Numero compostoè un numero naturale che ha più di due divisori positivi.
Qualsiasi numero maggiore di 1 è primo o composto. Dalla proprietà di divisibilità si ricava che 1 e il numero a saranno sempre divisori di qualsiasi numero a, cioè sarà divisibile per se stesso e per 1. Diamo una definizione di numeri interi.
Definizione 5
I numeri naturali che non sono primi si chiamano numeri composti.
Numeri primi: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Sono divisibili solo per se stessi e 1. Numeri compositi: 6, 63, 121, 6697. Cioè, il numero 6 può essere scomposto in 2 e 3 e 63 in 1, 3, 7, 9, 21, 63 e 121 in 11, 11, ovvero i suoi divisori saranno 1, 11, 121. Il numero 6697 viene scomposto in 37 e 181. Si noti che i concetti di numeri primi e numeri coprimi sono concetti diversi.
Per facilitare l'uso dei numeri primi è necessario utilizzare una tabella:
Una tabella per tutti i numeri naturali esistenti non è realistica, poiché ce ne sono un numero infinito. Quando i numeri raggiungono dimensioni pari a 10000 o 1000000000, dovresti prendere in considerazione l'utilizzo del Setaccio di Eratostene.
Consideriamo il teorema che spiega l'ultima affermazione.
Teorema 1
Il più piccolo divisore positivo diverso da 1 di un numero naturale maggiore di uno è un numero primo.
Prova 1
Supponiamo che a sia un numero naturale maggiore di 1 e b sia il più piccolo divisore non uno di a. È necessario dimostrare che b è un numero primo utilizzando il metodo della contraddizione.
Supponiamo che b sia un numero composto. Da qui si deduce che esiste un divisore per b, che è diverso sia da 1 che da b. Tale divisore è indicato come b 1. È necessario che la condizione 1< b 1 < b venne terminato.
Dalla condizione è chiaro che a è diviso per b, b è diviso per b 1, il che significa che il concetto di divisibilità è espresso come segue: a = bq e b = b 1 · q 1 , da dove a = b 1 · (q 1 · q) , dove q e q1 sono numeri interi. Secondo la regola della moltiplicazione dei numeri interi, abbiamo che il prodotto dei numeri interi è un numero intero con uguaglianza della forma a = b 1 · (q 1 · q) . Si può vedere che b 1 è il divisore del numero a. Disuguaglianza 1< b 1 < b Non corrisponde, perché troviamo che b è il più piccolo divisore positivo e non 1 di a.
Teorema 2
Esistono infiniti numeri primi.
Prova 2
Presumibilmente prendiamo un numero finito di numeri naturali n e li denotiamo come p 1, p 2, …, p n. Consideriamo la possibilità di trovare un numero primo diverso da quelli indicati.
Prendiamo in considerazione il numero p, che è uguale a p 1, p 2, ..., p n + 1. Non è uguale a ciascuno dei numeri corrispondenti ai numeri primi della forma p 1, p 2, ..., p n. Il numero p è primo. Allora il teorema si considera dimostrato. Se è composto, devi prendere la notazione p n + 1 e mostrare che il divisore non coincide con nessuno tra p 1, p 2, ..., p n.
Se così non fosse, allora, in base alla proprietà di divisibilità del prodotto p 1, p 2, ..., p n , troviamo che sarebbe divisibile per pn + 1. Si noti che l'espressione p n + 1 dividendo il numero p è uguale alla somma p 1, p 2, ..., p n + 1. Otteniamo che l'espressione p n + 1 Il secondo termine di questa somma, che è uguale a 1, deve essere diviso, ma ciò è impossibile.
Si può vedere che qualsiasi numero primo può essere trovato tra qualsiasi numero di numeri primi dati. Ne consegue che i numeri primi sono infiniti.
Poiché i numeri primi sono molti, le tabelle sono limitate ai numeri 100, 1000, 10000 e così via.
Quando compili una tabella di numeri primi, dovresti tenere presente che tale attività richiede un controllo sequenziale dei numeri, a partire da 2 a 100. Se non è presente alcun divisore, viene registrato nella tabella; se è composto, non viene inserito nella tabella.
Diamo un'occhiata passo dopo passo.
Se inizi con il numero 2, avrà solo 2 divisori: 2 e 1, il che significa che può essere inserito nella tabella. Stessa cosa con il numero 3. Il numero 4 è composto; deve essere scomposto in 2 e 2. Il numero 5 è primo, il che significa che può essere registrato nella tabella. Fatelo fino al numero 100.
Questo metodo è scomodo e richiede molto tempo. È possibile creare una tabella, ma dovrai dedicare molto tempo. È necessario utilizzare criteri di divisibilità, che accelereranno il processo di ricerca dei divisori.
Il metodo che utilizza il setaccio di Eratostene è considerato il più conveniente. Diamo un'occhiata alle tabelle di esempio qui sotto. Per cominciare si scrivono i numeri 2, 3, 4, ..., 50.
Ora devi cancellare tutti i numeri che sono multipli di 2. Esegui barrature sequenziali. Otteniamo una tabella del tipo:
Passiamo a cancellare i numeri multipli di 5. Noi abbiamo:
Cancella i numeri multipli di 7, 11. Alla fine il tavolo sembra
Passiamo alla formulazione del teorema.
Teorema 3
Il più piccolo divisore positivo del numero base a, diverso da 1, non supera a, dove a è la radice aritmetica del numero dato.
Prova 3
È necessario denotare b il più piccolo divisore di un numero composto a. Esiste un intero q, dove a = b · q, e abbiamo che b ≤ q. Le disuguaglianze di forma sono inaccettabili b > q, perché la condizione è violata. Entrambi i lati della disuguaglianza b ≤ q dovrebbero essere moltiplicati per qualsiasi numero positivo b diverso da 1. Otteniamo che b · b ≤ b · q, dove b 2 ≤ a e b ≤ a.
Dal teorema dimostrato è chiaro che cancellare i numeri nella tabella porta al fatto che è necessario iniziare con un numero uguale a b 2 e che soddisfa la disuguaglianza b 2 ≤ a. Cioè, se elimini numeri multipli di 2, il processo inizia con 4, i multipli di 3 con 9 e così via fino a 100.
La compilazione di una tabella del genere utilizzando il teorema di Eratostene suggerisce che quando tutti i numeri compositi vengono cancellati, rimarranno numeri primi che non superano n. Nell'esempio in cui n = 50, abbiamo che n = 50. Da qui si ricava che il crivello di Eratostene vaglia tutti i numeri composti il cui valore non è maggiore del valore della radice di 50. La ricerca dei numeri viene effettuata barrando.
Prima di risolvere, devi scoprire se il numero è primo o composto. Spesso vengono utilizzati criteri di divisibilità. Diamo un'occhiata a questo nell'esempio qui sotto.
Esempio 1
Dimostrare che il numero 898989898989898989 è composto.
Soluzione
La somma delle cifre di un dato numero è 9 8 + 9 9 = 9 17. Ciò significa che il numero 9 · 17 è divisibile per 9, in base al test di divisibilità per 9. Ne consegue che è composito.
Tali segni non sono in grado di dimostrare l'eccellenza di un numero. Se è necessaria la verifica, dovrebbero essere intraprese altre azioni. Il modo più adatto è enumerare i numeri. Durante il processo è possibile trovare numeri primi e composti. Cioè, i numeri non dovrebbero superare il valore a. Cioè, il numero a deve essere scomposto in fattori primi. se questo è soddisfatto, allora il numero a può essere considerato primo.
Esempio 2
Determina il numero composito o primo 11723.
Soluzione
Ora devi trovare tutti i divisori del numero 11723. È necessario valutare 11723 .
Da qui vediamo che 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 e 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .
Per una stima più accurata del numero 11723, è necessario scrivere l'espressione 108 2 = 11 664, e 109 2 = 11 881 , Quello 108 2 < 11 723 < 109 2 . Ne consegue che 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.
Quando si espande, troviamo che 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107 sono tutti numeri primi. L'intero processo può essere rappresentato come una divisione per colonna. Cioè, dividi 11723 per 19. Il numero 19 è uno dei suoi fattori, poiché otteniamo la divisione senza resto. Rappresentiamo la divisione come una colonna:
Ne consegue che 11723 è un numero composto, perché oltre a se stesso e 1 ha come divisore 19.
Risposta: 11723 è un numero composto.
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In questo articolo esploreremo numeri primi e composti. Per prima cosa daremo le definizioni dei numeri primi e composti e forniremo anche degli esempi. Successivamente dimostreremo che esistono infiniti numeri primi. Successivamente, scriveremo una tabella di numeri primi e considereremo i metodi per compilare una tabella di numeri primi, prestando particolare attenzione al metodo chiamato crivello di Eratostene. In conclusione, evidenzieremo i punti principali di cui tenere conto per dimostrare che un dato numero è primo o composto.
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Numeri primi e compositi - Definizioni ed esempi
I concetti di numeri primi e numeri composti si riferiscono a numeri maggiori di uno. Tali numeri interi, a seconda del numero dei loro divisori positivi, sono divisi in numeri primi e composti. Quindi per capire definizioni di numeri primi e composti, devi avere una buona conoscenza di cosa sono i divisori e i multipli.
Definizione.
numeri primi sono numeri interi, unità grandi, che hanno solo due divisori positivi, vale a dire se stessi e 1.
Definizione.
Numeri compositi sono numeri interi, grandi, che hanno almeno tre divisori positivi.
Separatamente, notiamo che il numero 1 non si applica né ai numeri primi né ai numeri composti. L'unità ha un solo divisore positivo, che è il numero 1 stesso. Ciò distingue il numero 1 da tutti gli altri numeri interi positivi che hanno almeno due divisori positivi.
Considerando che gli interi positivi sono , e che uno ha un solo divisore positivo, possiamo dare altre formulazioni delle definizioni date di numeri primi e composti.
Definizione.
numeri primi sono numeri naturali che hanno solo due divisori positivi.
Definizione.
Numeri compositi sono numeri naturali che hanno più di due divisori positivi.
Si noti che ogni intero positivo maggiore di uno è un numero primo o un numero composto. In altre parole, non esiste un singolo intero che non sia né primo né composto. Ciò deriva dalla proprietà di divisibilità, secondo la quale i numeri 1 e a sono sempre divisori di qualsiasi intero a.
Sulla base delle informazioni contenute nel paragrafo precedente, possiamo dare la seguente definizione di numeri composti.
Definizione.
I numeri naturali che non sono primi vengono chiamati composito.
Diamo esempi di numeri primi e composti.
Esempi di numeri compositi includono 6, 63, 121 e 6.697. Anche questa affermazione necessita di chiarimenti. Il numero 6, oltre ai divisori positivi 1 e 6, ha anche i divisori 2 e 3, poiché 6 = 2 3, quindi 6 è veramente un numero composto. I fattori positivi di 63 sono i numeri 1, 3, 7, 9, 21 e 63. Il numero 121 è uguale al prodotto 11·11, quindi i suoi divisori positivi sono 1, 11 e 121. E il numero 6.697 è composto, poiché i suoi divisori positivi, oltre a 1 e 6.697, sono anche i numeri 37 e 181.
In conclusione di questo punto, vorrei anche attirare l’attenzione sul fatto che i numeri primi e i numeri coprimi sono tutt’altro che la stessa cosa.
Tabella dei numeri primi
I numeri primi, per comodità del loro ulteriore utilizzo, sono registrati in una tabella chiamata tabella dei numeri primi. Sotto è tabella dei numeri primi fino a 1.000.
Sorge una domanda logica: “Perché abbiamo riempito la tabella dei numeri primi solo fino a 1.000, non è possibile creare una tabella di tutti i numeri primi esistenti”?
Rispondiamo prima alla prima parte di questa domanda. Per la maggior parte dei problemi che richiedono l'uso di numeri primi, saranno sufficienti i numeri primi entro il migliaio. In altri casi, molto probabilmente, dovrai ricorrere ad alcune soluzioni particolari. Anche se possiamo certamente creare una tabella di numeri primi fino ad un intero positivo finito arbitrariamente grande, sia esso 10.000 o 1.000.000.000, nel prossimo paragrafo parleremo dei metodi per creare tabelle di numeri primi, in particolare vedremo un metodo chiamato.
Consideriamo ora la possibilità (o meglio, l'impossibilità) di compilare una tabella di tutti i numeri primi esistenti. Non possiamo fare una tabella di tutti i numeri primi perché i numeri primi sono infiniti. L'ultima affermazione è un teorema che dimostreremo dopo il seguente teorema ausiliario.
Teorema.
Il più piccolo divisore positivo diverso da 1 di un numero naturale maggiore di uno è un numero primo.
Prova.
Permettere a è un numero naturale maggiore di uno e b è il più piccolo divisore positivo di a diverso da uno. Dimostriamo che b è un numero primo per assurdo.
Supponiamo che b sia un numero composto. Poi c'è un divisore del numero b (denotiamolo b 1), che è diverso sia da 1 che da b. Se teniamo conto anche che il valore assoluto del divisore non supera il valore assoluto del dividendo (lo sappiamo dalle proprietà della divisibilità), allora la condizione 1 deve essere soddisfatta
Poiché il numero a è divisibile per b secondo la condizione, e abbiamo detto che b è divisibile per b 1, il concetto di divisibilità ci permette di parlare dell'esistenza di interi q e q 1 tali che a=b q e b=b 1 q 1 , da dove a= b 1 ·(q 1 ·q) . Ne consegue che il prodotto di due interi è un intero, allora l'uguaglianza a=b 1 ·(q 1 ·q) indica che b 1 è un divisore del numero a. Tenendo conto delle disuguaglianze di cui sopra 1
Ora possiamo dimostrare che i numeri primi sono infiniti.
Teorema.
Esistono infiniti numeri primi.
Prova.
Supponiamo che non sia così. Cioè, supponiamo che ci siano solo n numeri primi, e che questi numeri primi siano p 1, p 2, ..., p n. Mostriamo che possiamo sempre trovare un numero primo diverso da quelli indicati.
Consideriamo il numero p uguale a p 1 ·p 2 ·…·p n +1. È chiaro che questo numero è diverso da ciascuno dei numeri primi p 1, p 2, ..., p n. Se il numero p è primo il teorema è dimostrato. Se questo numero è composto, allora in virtù del teorema precedente esiste un divisore primo di questo numero (lo denotiamo p n+1). Mostriamo che questo divisore non coincide con nessuno dei numeri p 1, p 2, ..., p n.
Se così non fosse allora, secondo le proprietà di divisibilità, il prodotto p 1 ·p 2 ·…·p n sarebbe diviso per p n+1. Ma il numero p è divisibile anche per p n+1, pari alla somma p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Ne consegue che p n+1 deve dividere il secondo termine di questa somma, che è uguale a uno, ma questo è impossibile.
Pertanto è stato dimostrato che è sempre possibile trovare un nuovo numero primo che non sia compreso tra nessun numero primo predeterminato. Pertanto i numeri primi sono infiniti.
Quindi, poiché esiste un numero infinito di numeri primi, quando compili tabelle di numeri primi, ti limiti sempre dall'alto a un numero, solitamente 100, 1.000, 10.000, ecc.
Setaccio di Eratostene
Ora discuteremo come creare tabelle di numeri primi. Supponiamo di dover creare una tabella dei numeri primi fino a 100.
Il metodo più ovvio per risolvere questo problema è controllare in sequenza gli interi positivi, iniziando da 2 e terminando con 100, per la presenza di un divisore positivo maggiore di 1 e minore del numero da testare (dalle proprietà di divisibilità che conosciamo che il valore assoluto del divisore non superi il valore assoluto del dividendo, diverso da zero). Se tale divisore non viene trovato, il numero da testare è primo e viene inserito nella tabella dei numeri primi. Se viene trovato un tale divisore, il numero da testare è composto; NON viene inserito nella tabella dei numeri primi. Successivamente si passa al numero successivo, sul quale viene controllata in modo simile la presenza di un divisore.
Descriviamo i primi passi.
Iniziamo dal numero 2. Il numero 2 non ha divisori positivi diversi da 1 e 2. Pertanto è semplice, quindi lo inseriamo nella tabella dei numeri primi. Qui va detto che 2 è il numero primo più piccolo. Passiamo al numero 3. Il suo possibile divisore positivo diverso da 1 e 3 è il numero 2. Ma 3 non è divisibile per 2, quindi 3 è un numero primo e deve essere incluso anche lui nella tabella dei numeri primi. Passiamo al numero 4. I suoi divisori positivi diversi da 1 e 4 possono essere i numeri 2 e 3, controlliamoli. Il numero 4 è divisibile per 2, quindi 4 è un numero composto e non necessita di essere incluso nella tabella dei numeri primi. Tieni presente che 4 è il numero composto più piccolo. Passiamo al numero 5. Controlliamo se almeno uno dei numeri 2, 3, 4 è il suo divisore. Poiché 5 non è divisibile per 2, 3 o 4, allora è primo e deve essere scritto nella tabella dei numeri primi. Poi c'è il passaggio ai numeri 6, 7 e così via fino a 100.
Questo approccio alla compilazione di una tabella di numeri primi è tutt’altro che ideale. In un modo o nell'altro, ha il diritto di esistere. Tieni presente che con questo metodo di costruzione di una tabella di numeri interi, puoi utilizzare i criteri di divisibilità, che accelereranno leggermente il processo di ricerca dei divisori.
Esiste un modo più conveniente per creare una tabella di numeri primi, chiamato. La parola "setaccio" presente nel nome non è casuale, poiché le azioni di questo metodo aiutano, per così dire, a "setacciare" numeri interi e unità grandi attraverso il setaccio di Eratostene per separare quelli semplici da quelli compositi.
Mostriamo il crivello di Eratostene in azione durante la compilazione di una tabella di numeri primi fino a 50.
Per prima cosa, scrivi i numeri 2, 3, 4, ..., 50 in ordine.
Il primo numero scritto, 2, è primo. Ora, dal numero 2, ci spostiamo in sequenza verso destra di due numeri e cancelliamo questi numeri fino a raggiungere la fine della tabella dei numeri in fase di compilazione. In questo modo verranno cancellati tutti i numeri multipli di due.
Il primo numero dopo il 2 che non è barrato è 3. Questo numero è primo. Ora, dal numero 3, ci spostiamo in sequenza a destra di tre numeri (tenendo conto dei numeri già cancellati) e li cancelliamo. Questo cancellerà tutti i numeri che sono multipli di tre.
Il primo numero dopo il 3 che non viene cancellato è 5. Questo numero è primo. Ora dal numero 5 ci spostiamo costantemente a destra di 5 numeri (prendiamo in considerazione anche i numeri cancellati in precedenza) e li cancelliamo. Questo cancellerà tutti i numeri che sono multipli di cinque.
Successivamente, cancelliamo i numeri che sono multipli di 7, poi multipli di 11 e così via. Il processo termina quando non ci sono più numeri da cancellare. Di seguito la tabella completa dei numeri primi fino a 50, ottenuta utilizzando il crivello di Eratostene. Tutti i numeri non barrati sono primi e tutti i numeri barrati sono compositi.
Formuliamo e dimostriamo anche un teorema che accelererà il processo di compilazione di una tabella di numeri primi utilizzando il crivello di Eratostene.
Teorema.
Il più piccolo divisore positivo di un numero composto a diverso da uno non supera , dove proviene da a .
Prova.
Indichiamo con la lettera b il più piccolo divisore di un numero composto a diverso da uno (il numero b è primo, come segue dal teorema dimostrato all'inizio del paragrafo precedente). Allora esiste un intero q tale che a=b·q (qui q è un intero positivo, che segue dalle regole della moltiplicazione degli interi), e (per b>q la condizione che b sia il minimo divisore di a è violata , poiché q è anche un divisore del numero a per l'uguaglianza a=q·b ). Moltiplicando entrambi i membri della disuguaglianza per un positivo e un intero maggiore di uno (ci è consentito farlo), otteniamo , da cui e .
Cosa ci dà il teorema dimostrato riguardo al crivello di Eratostene?
In primo luogo, cancellando i numeri compositi che sono multipli di un numero primo b dovrebbe iniziare con un numero uguale a (questo deriva dalla disuguaglianza). Ad esempio, i numeri multipli di due dovrebbero iniziare con il numero 4, i multipli di tre con il numero 9, i multipli di cinque con il numero 25 e così via.
In secondo luogo, compilare una tabella dei numeri primi fino al numero n utilizzando il crivello di Eratostene può essere considerato completo quando tutti i numeri composti che sono multipli di numeri primi non superiori a . Nel nostro esempio n=50 (poiché stiamo facendo una tabella di numeri primi fino a 50) e, quindi, il crivello di Eratostene dovrebbe eliminare tutti i numeri composti che sono multipli dei numeri primi 2, 3, 5 e 7 che non non superare la radice quadrata aritmetica di 50. Cioè non abbiamo più bisogno di cercare e cancellare i numeri che sono multipli dei numeri primi 11, 13, 17, 19, 23 e così via fino a 47, poiché saranno già cancellati come multipli dei numeri primi più piccoli 2 , 3, 5 e 7 .
Questo numero è primo o composto?
Alcuni compiti richiedono di scoprire se un dato numero è primo o composto. In generale, questo compito è tutt'altro che semplice, soprattutto per i numeri la cui scrittura è composta da un numero significativo di caratteri. Nella maggior parte dei casi, devi cercare un modo specifico per risolverlo. Cercheremo comunque di dare una direzione al filone di pensiero per casi semplici.
Naturalmente puoi provare a utilizzare i test di divisibilità per dimostrare che un dato numero è composto. Se, ad esempio, qualche test di divisibilità mostra che un dato numero è divisibile per un intero positivo maggiore di uno, allora il numero originale è composto.
Esempio.
Dimostra che 898.989.898.989.898.989 è un numero composto.
Soluzione.
La somma delle cifre di questo numero è 9·8+9·9=9·17. Poiché il numero pari a 9·17 è divisibile per 9, allora per divisibilità per 9 possiamo dire che anche il numero originale è divisibile per 9. Pertanto è composito.
Uno svantaggio significativo di questo approccio è che i criteri di divisibilità non consentono di dimostrare l’primità di un numero. Pertanto, quando si testa un numero per vedere se è primo o composto, è necessario fare le cose in modo diverso.
L'approccio più logico è provare tutti i possibili divisori di un dato numero. Se nessuno dei possibili divisori è un vero divisore di un dato numero, allora questo numero sarà primo, altrimenti sarà composto. Dai teoremi dimostrati nel paragrafo precedente consegue che i divisori di un dato numero a vanno ricercati tra i numeri primi non superiori a . Pertanto, un dato numero a può essere diviso in sequenza per i numeri primi (che sono convenientemente presi dalla tabella dei numeri primi), cercando di trovare il divisore del numero a. Se viene trovato un divisore, il numero a è composto. Se tra i numeri primi non superiori a , non esiste alcun divisore del numero a, allora il numero a è primo.
Esempio.
Numero 11 723 semplice o composto?
Soluzione.
Scopriamo fino a quale numero primo possono essere i divisori del numero 11.723. Per fare questo, valutiamo.
È abbastanza ovvio 
, poiché 200 2 =40.000 e 11.723<40 000
(при необходимости смотрите статью confronto di numeri). Pertanto, i possibili fattori primi di 11.723 sono inferiori a 200. Già questo rende il nostro compito molto più semplice. Se non lo sapessimo, dovremmo esaminare tutti i numeri primi non fino a 200, ma fino al numero 11.723.
Se lo desideri, puoi valutare in modo più accurato. Poiché 108 2 =11.664 e 109 2 =11.881, allora 108 2<11 723<109 2
, следовательно, 
. Pertanto, qualsiasi numero primo inferiore a 109 è potenzialmente un fattore primo del numero dato 11.723.
Ora divideremo in sequenza il numero 11.723 nei numeri primi 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Se il numero 11.723 viene diviso per uno dei numeri primi scritti, sarà composto. Se non è divisibile per nessuno dei numeri primi scritti, allora il numero originale è primo.
Non descriveremo l'intero processo di divisione monotono e monotono. Diciamo subito che 11.723
I numeri primi sono uno dei fenomeni matematici più interessanti, che attirano l'attenzione di scienziati e cittadini comuni da più di due millenni. Nonostante viviamo nell’era dei computer e dei più moderni programmi di informazione, molti enigmi sui numeri primi non sono ancora stati risolti, ce ne sono alcuni che gli scienziati non sanno nemmeno come affrontare;
I numeri primi sono, come noto dal corso di aritmetica elementare, quelli che sono divisibili senza resto solo per uno e per se stessi. A proposito, se un numero naturale è divisibile, oltre a quelli sopra elencati, per qualsiasi altro numero, allora si chiama composto. Uno dei teoremi più famosi afferma che qualsiasi numero composto può essere rappresentato come un unico possibile prodotto di numeri primi.
Alcuni fatti interessanti. In primo luogo, l'unità è unica nel senso che, di fatto, non appartiene né ai numeri primi né ai numeri composti. Allo stesso tempo, nella comunità scientifica è ancora consuetudine classificarlo specificamente come appartenente al primo gruppo, poiché formalmente soddisfa pienamente i suoi requisiti.
In secondo luogo, l’unico numero pari inserito nel gruppo dei “numeri primi” è, naturalmente, due. Qualsiasi altro numero pari semplicemente non può arrivare qui, poiché per definizione, oltre a se stesso e uno, è anche divisibile per due.
I numeri primi, il cui elenco, come sopra detto, può iniziare con uno, rappresentano una serie infinita, altrettanto infinita quanto la serie dei numeri naturali. Basandosi sul teorema fondamentale dell'aritmetica, possiamo giungere alla conclusione che i numeri primi non si interrompono mai e non finiscono mai, poiché altrimenti la serie dei numeri naturali verrebbe inevitabilmente interrotta.
I numeri primi non compaiono in modo casuale nelle serie naturali, come potrebbe sembrare a prima vista. Dopo averli analizzati attentamente, si notano subito diverse caratteristiche, le più interessanti delle quali sono legate ai cosiddetti numeri “gemelli”. Si chiamano così perché in qualche modo incomprensibile sono finiti uno accanto all'altro, separati solo da un delimitatore pari (cinque e sette, diciassette e diciannove).
Se li guardi attentamente, noterai che la somma di questi numeri è sempre un multiplo di tre. Inoltre, dividendo quello di sinistra uno per tre, il resto rimane sempre due, e quello di destra rimane sempre uno. Inoltre, la distribuzione stessa di questi numeri lungo la serie naturale può essere prevista se immaginiamo l'intera serie sotto forma di sinusoidi oscillatori, i cui punti principali si formano quando i numeri vengono divisi per tre e due.
I numeri primi non sono solo oggetto di attenta considerazione da parte dei matematici di tutto il mondo, ma vengono utilizzati da tempo con successo nella compilazione di varie serie di numeri, che costituiscono la base, tra l'altro, per la crittografia. Va riconosciuto che un numero enorme di misteri associati a questi meravigliosi elementi sono ancora in attesa di essere risolti, molte domande non hanno solo un significato filosofico, ma anche pratico;
Enumerazione dei divisori. Per definizione, numero Nè primo solo se non è uniformemente divisibile per 2 e altri numeri interi tranne 1 e se stesso. La formula sopra elimina i passaggi non necessari e fa risparmiare tempo: ad esempio, dopo aver verificato se un numero è divisibile per 3, non è necessario verificare se è divisibile per 9.
- La funzione floor(x) arrotonda x all'intero più vicino minore o uguale a x.
Conoscere l'aritmetica modulare. L'operazione "x mod y" (mod è un'abbreviazione della parola latina "modulo", cioè "modulo") significa "dividi x per y e trova il resto". In altre parole, nell'aritmetica modulare, al raggiungimento di un certo valore, che si chiama modulo, i numeri “tornano” nuovamente a zero. Ad esempio, un orologio segna l'ora con modulo 12: segna le 10, le 11 e le 12 e poi ritorna all'1.
- Molte calcolatrici hanno una chiave mod. La fine di questa sezione mostra come valutare manualmente questa funzione per numeri grandi.
Scopri le insidie del Piccolo Teorema di Fermat. Tutti i numeri per i quali le condizioni del test non sono soddisfatte sono compositi, ma i numeri rimanenti lo sono solo probabilmente sono classificati come semplici. Se vuoi evitare risultati errati, cerca N nell'elenco dei "numeri di Carmichael" (numeri compositi che soddisfano questo test) e dei "numeri di Fermat pseudo-primi" (questi numeri soddisfano le condizioni del test solo per alcuni valori UN).
Se conveniente, utilizzare il test di Miller-Rabin. Sebbene questo metodo sia piuttosto complicato da calcolare a mano, viene spesso utilizzato nei programmi per computer. Fornisce una velocità accettabile e produce meno errori rispetto al metodo di Fermat. Un numero composto non sarà accettato come numero primo se i calcoli vengono effettuati per più di ¼ dei valori UN. Se selezioni casualmente valori diversi UN e per tutti loro il test darà un risultato positivo, possiamo presumerlo con un grado di sicurezza abbastanza elevato Nè un numero primo.
Per numeri grandi, utilizzare l'aritmetica modulare. Se non hai una calcolatrice con mod a portata di mano, o la tua calcolatrice non è progettata per gestire numeri così grandi, usa le proprietà delle potenze e dell'aritmetica modulare per rendere i calcoli più facili. Di seguito è riportato un esempio per 3 50 (\displaystyle 3^(50)) mod.50:
- Riscrivi l'espressione in una forma più comoda: mod 50. Quando si eseguono calcoli manuali potrebbero essere necessarie ulteriori semplificazioni.
- (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Qui abbiamo preso in considerazione la proprietà della moltiplicazione modulare.
- 3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
- (3 25 (\displaystyle (3^(25)) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 * 43) (\displaystyle (43*43)) mod 50.
- = 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
- = 49 (\displaystyle =49).
