Lezione "Poligoni. Tipi di poligoni" all'interno della tecnologia "Sviluppo del pensiero critico attraverso la lettura e la scrittura"

Triangolo, quadrato, esagono: queste figure sono note a quasi tutti. Ma non tutti sanno cos'è un poligono regolare. Ma questo è lo stesso Poligono regolare è chiamato quello che ha angoli e lati uguali. Ci sono molte di queste figure, ma hanno tutte le stesse proprietà e le stesse formule si applicano a loro.

Proprietà dei poligoni regolari

Qualsiasi poligono regolare, sia esso un quadrato o un ottagono, può essere inscritto in un cerchio. Questa proprietà di base viene spesso utilizzata quando si costruisce una forma. Inoltre, un cerchio può essere inscritto in un poligono. In questo caso, il numero dei punti di contatto sarà uguale al numero dei suoi lati. È importante che un cerchio inscritto in un poligono regolare abbia un centro comune con esso. Queste figure geometriche sono soggette agli stessi teoremi. Qualsiasi lato di un n-gon regolare è correlato al raggio del cerchio circoscritto R. Pertanto, può essere calcolato utilizzando la seguente formula: a = 2R ∙ sin180 °. Attraverso puoi trovare non solo i lati, ma anche il perimetro del poligono.

Come trovare il numero di lati di un poligono regolare

Ognuno è costituito da un certo numero di segmenti uguali, che, una volta collegati, formano una linea chiusa. In questo caso, tutti gli angoli della figura formata hanno lo stesso valore. I poligoni si dividono in semplici e complessi. Il primo gruppo comprende un triangolo e un quadrato. I poligoni complessi hanno più lati. Includono anche figure a forma di stella. Per poligoni regolari complessi, i lati si trovano inscrivendoli in un cerchio. Ecco una prova. Disegna un poligono regolare con un numero arbitrario di lati n. Disegna un cerchio attorno ad esso. Imposta il raggio R. Ora immagina di avere degli n-gon. Se i punti dei suoi angoli giacciono su un cerchio e sono uguali tra loro, i lati possono essere trovati con la formula: a = 2R ∙ sinα: 2.

Trovare il numero di lati di un triangolo regolare inscritto

Un triangolo equilatero è un poligono regolare. Le formule si applicano ad esso come per il quadrato e n-gon. Un triangolo sarà considerato corretto se ha i lati della stessa lunghezza. In questo caso, gli angoli sono uguali a 60⁰. Costruiamo un triangolo con una data lunghezza del lato a. Conoscendo la sua mediana e l'altezza, puoi trovare il significato dei suoi lati. Per fare ciò, utilizzeremo il metodo di ricerca tramite la formula a = x: cosα, dove x è la mediana o l'altezza. Poiché tutti i lati del triangolo sono uguali, otteniamo a = b = c. Allora la seguente affermazione sarà vera a = b = c = x: cosα. Allo stesso modo, puoi trovare il valore dei lati in un triangolo isoscele, ma x sarà l'altezza data. In questo caso, deve essere proiettato rigorosamente sulla base della figura. Quindi, conoscendo l'altezza x, troviamo il lato a di un triangolo isoscele con la formula a = b = x: cosα. Dopo aver trovato il valore di a, puoi calcolare la lunghezza della base c. Applichiamo il teorema di Pitagora. Cercheremo il valore della metà della base c: 2 = √ (x: cosα) ^ 2 - (x ^ 2) = √x ^ 2 (1 - cos ^ 2α): cos ^ 2α = x ∙ tgα. Allora c = 2xtgα. In un modo così semplice, puoi trovare il numero di lati di qualsiasi poligono inscritto.

Calcolo dei lati di un quadrato inscritto in un cerchio

Come ogni altro poligono regolare inscritto, un quadrato ha lati e angoli uguali. Le stesse formule si applicano ad esso come al triangolo. Puoi calcolare i lati di un quadrato usando il valore della diagonale. Consideriamo questo metodo in modo più dettagliato. È noto che la diagonale biseca l'angolo. Inizialmente, il suo valore era di 90 gradi. Quindi, dopo la divisione, se ne formano due.I loro angoli alla base saranno uguali a 45 gradi. Di conseguenza, ogni lato del quadrato sarà uguale, cioè: a = b = c = q = e ∙ cosα = e√2: 2, dove e è la diagonale del quadrato, o la base del triangolo rettangolo formato dopo la divisione. Questo non è l'unico modo per trovare i lati di un quadrato. Inscriviamo questa forma in un cerchio. Conoscendo il raggio di questo cerchio R, troviamo il lato del quadrato. Lo calcoleremo come segue a4 = R√2. I raggi dei poligoni regolari sono calcolati con la formula R = a: 2tg (360 o: 2n), dove a è la lunghezza del lato.

Come calcolare il perimetro di un n-gon

Il perimetro di un n-gon è la somma di tutti i suoi lati. Non è difficile calcolarlo. Per fare ciò, è necessario conoscere i significati di tutte le parti. Esistono formule speciali per alcuni tipi di poligoni. Ti permettono di trovare il perimetro molto più velocemente. È noto che ogni poligono regolare ha i lati uguali. Pertanto, per calcolarne il perimetro, è sufficiente conoscerne almeno uno. La formula dipenderà dal numero di lati della forma. In generale, si presenta così: P = an, dove a è il valore del lato e n è il numero di angoli. Ad esempio, per trovare il perimetro di un ottagono regolare di lato 3 cm, è necessario moltiplicarlo per 8, cioè P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Per un esagono di lato 5 cm, calcola come segue: P = 5 ∙ 6 = 30 cm E così per ogni poligono.

Trovare il perimetro di un parallelogramma, quadrato e rombo

A seconda di quanti lati ha un poligono regolare, viene calcolato il suo perimetro. Questo rende il compito molto più facile. Infatti, a differenza di altre figure, in questo caso non è necessario cercarne tutti i lati, ne basta uno. Con lo stesso principio, troviamo il perimetro dei quadrangoli, cioè il quadrato e il rombo. Nonostante si tratti di figure diverse, la formula per esse è la stessa P = 4a, dove a è il lato. Facciamo un esempio. Se il lato di un rombo o quadrato è 6 cm, allora troviamo il perimetro come segue: P = 4 ∙ 6 = 24 cm Solo i lati opposti di un parallelogramma sono uguali. Pertanto, il suo perimetro viene trovato utilizzando un metodo diverso. Quindi, abbiamo bisogno di conoscere la lunghezza ae la larghezza nella figura. Quindi applichiamo la formula P = (a + b) ∙ 2. Un parallelogramma, in cui tutti i lati e gli angoli tra loro sono uguali, è chiamato rombo.

Trovare il perimetro di un triangolo equilatero e rettangolo

Il perimetro di quello corretto si trova con la formula P = 3a, dove a è la lunghezza del lato. Se è sconosciuto, può essere trovato attraverso la mediana. In un triangolo rettangolo solo due lati hanno la stessa importanza. Il fondamento può essere trovato attraverso il teorema di Pitagora. Dopo che i valori di tutti e tre i lati sono diventati noti, calcoliamo il perimetro. Si trova applicando la formula P = a + b + c, dove aeb sono lati uguali e c è la base. Ricordiamo che in un triangolo isoscele a = b = a, quindi a + b = 2a, quindi P = 2a + c. Ad esempio, se il lato di un triangolo isoscele è di 4 cm, troveremo la sua base e il suo perimetro. Calcoliamo il valore dell'ipotenusa secondo il teorema di Pitagora con = √a 2 + in 2 = √16 + 16 = √32 = 5,65 cm Calcoliamo ora il perimetro P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.

Come trovare gli angoli di un poligono regolare

Un poligono regolare si verifica nella nostra vita ogni giorno, ad esempio un normale quadrato, triangolo, ottagono. Sembrerebbe che non ci sia niente di più facile che costruire questa figura da soli. Ma questo è solo a prima vista. Per costruire qualsiasi n-gon, devi conoscere il valore dei suoi angoli. Ma come li trovi? Anche gli antichi scienziati hanno cercato di costruire poligoni regolari. Hanno indovinato di iscriverli nei circoli. E poi hanno segnato i punti necessari su di esso, li hanno collegati con linee rette. Per le forme semplici il problema costruttivo è stato risolto. Sono state ottenute formule e teoremi. Ad esempio, Euclide nella sua famosa opera "Inception" era impegnato nella risoluzione di problemi per 3-, 4-, 5-, 6- e 15-gon. Ha trovato modi per costruirli e trovare gli angoli. Vediamo come farlo per un 15-gon. Innanzitutto, devi calcolare la somma dei suoi angoli interni. Devi usare la formula S = 180⁰ (n-2). Quindi, ci viene dato un 15-gon, il che significa che il numero n è 15. Sostituiamo i dati che conosciamo nella formula e otteniamo S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Abbiamo trovato la somma di tutti gli angoli interni di un 15-gon. Ora devi ottenere il valore di ciascuno di essi. Ci sono 15 angoli in totale Facciamo il calcolo 2340⁰: 15 = 156⁰. Ciò significa che ogni angolo interno è 156⁰, ora con l'aiuto di un righello e di un compasso, puoi costruire un normale 15-gon. Ma che dire di n-gon più complessi? Per molti secoli, gli scienziati hanno lottato per risolvere questo problema. Fu trovato solo nel XVIII secolo da Karl Friedrich Gauss. È stato in grado di costruire un 65537-gon. Da allora, il problema è ufficialmente considerato completamente risolto.

Calcolo degli angoli di n-goni in radianti

Naturalmente, ci sono diversi modi per trovare gli angoli dei poligoni. Molto spesso sono calcolati in gradi. Ma puoi anche esprimerli in radianti. Come farlo? Devi procedere come segue. Innanzitutto, scopriamo il numero di lati di un poligono regolare, quindi sottraiamo 2. Quindi, otteniamo il valore: n - 2. Moltiplichiamo la differenza trovata per il numero n ("pi" = 3,14). Ora non resta che dividere il prodotto risultante per il numero di angoli nell'n-gon. Considera questi calcoli usando l'esempio dello stesso esagono. Quindi, il numero n è 15. Applichiamo la formula S = n (n - 2): n = 3,14 (15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Questo, ovviamente, non è l'unico modo per calcolare l'angolo in radianti. Puoi semplicemente dividere l'angolo in gradi per 57,3. Dopotutto, esattamente questo numero di gradi equivale a un radiante.

Calcolo del valore degli angoli in gradi

Oltre a gradi e radianti, puoi provare a trovare il valore degli angoli di un poligono regolare in gradi. Questo è fatto come segue. Sottrai 2 dal numero totale di angoli, dividi la differenza risultante per il numero di lati di un poligono regolare. Moltiplichiamo il risultato trovato per 200. A proposito, una tale unità di misura degli angoli come i gradi non viene praticamente utilizzata.

Calcolo degli angoli esterni di n-goni

Per ogni poligono regolare, oltre a quello interno, puoi calcolare anche l'angolo esterno. Il suo significato si trova allo stesso modo del resto delle figure. Quindi, per trovare l'angolo esterno di un poligono regolare, devi conoscere il valore di quello interno. Inoltre, sappiamo che la somma di questi due angoli è sempre di 180 gradi. Pertanto, eseguiamo i calcoli come segue: 180⁰ meno il valore dell'angolo interno. Trova le differenze. Sarà uguale al valore dell'angolo adiacente. Ad esempio, l'angolo interno del quadrato è di 90 gradi, quindi l'esterno sarà 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Come possiamo vedere, non è difficile trovarlo. L'angolo esterno può assumere un valore da + 180⁰ a -180⁰, rispettivamente.

§ 1 Il concetto di triangolo

In questa lezione acquisirai familiarità con forme come triangolo e poligono.

Se tre punti che non giacciono su una linea retta sono collegati da segmenti, ottieni un triangolo. Il triangolo ha tre vertici e tre lati.

Prima del triangolo ABC, ha tre vertici (punto A, punto B e punto C) e tre lati (AB, AC e CB).

A proposito, questi stessi lati possono essere chiamati in un altro modo:

AB = BA, AC = CA, CB = BC.

I lati del triangolo formano tre angoli ai vertici del triangolo. Nella foto puoi vedere l'angolo A, l'angolo B, l'angolo C.

Quindi, un triangolo è una figura geometrica formata da tre segmenti che collegano tre punti che non giacciono su una linea retta.

§ 2 Il concetto di poligono e i suoi tipi

Oltre ai triangoli, ci sono quadrangoli, pentagoni, esagoni e così via. In una parola, possono essere chiamati poligoni.

Nella foto potete vedere il quadrilatero DMKE.

I punti D, M, K ed E sono i vertici del quadrilatero.

I segmenti DM, MK, KE, ED sono i lati di questo quadrilatero. Proprio come nel caso di un triangolo, i lati di un quadrilatero formano quattro angoli ai vertici, come hai intuito, da cui il nome - quadrilatero. Per questo quadrilatero, puoi vedere nell'immagine l'angolo D, l'angolo M, l'angolo K e l'angolo E.

Quali quadrangoli conosci già?

Quadrato e rettangolo! Ognuno di loro ha quattro angoli e quattro lati.

Un altro tipo di poligoni è il pentagono.

I punti O, P, X, Y, T sono i vertici del pentagono e i segmenti TO, OP, PX, XY, YT sono i lati di questo pentagono. Il pentagono ha rispettivamente cinque angoli e cinque lati.

Quanti angoli e lati pensi che abbia un esagono? Esatto, sei! Ragionando in modo simile, puoi dire quanti lati, vertici o angoli ha un particolare poligono. E possiamo concludere che un triangolo è anche un poligono, che ha esattamente tre angoli, tre lati e tre vertici.

Quindi, in questa lezione, hai familiarizzato con concetti come un triangolo e un poligono. Abbiamo imparato che un triangolo ha 3 vertici, 3 lati e 3 angoli, un quadrilatero - 4 vertici, 4 lati e 4 angoli, un pentagono - rispettivamente 5 lati, 5 vertici, 5 angoli e così via.

Elenco della letteratura utilizzata:

1. Matematica classe 5. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. et al. 31a ed., cancellato. - M: 2013.
2. Materiali didattici in matematica classe 5. Autore - Popov M.A. - anno 2013
3. Calcoliamo senza errori. Funziona con l'autotest in matematica 5-6 gradi. Autore - Minaeva S.S. - anno 2014
4. Materiali didattici in matematica classe 5. Autori: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
5. Controllo e lavoro indipendente in matematica, classe 5. Autori - Popov M.A. - anno 2012
6. Matematica. Classe 5: libro di testo. per gli studenti di istruzione generale. istituzioni / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9a ed., Cancellato. - M.: Mnemosina, 2009

In questa lezione inizieremo un nuovo argomento e introdurremo un nuovo concetto per noi "poligono". Tratteremo i concetti di base associati ai poligoni: lati, vertici, angoli, convessità e non convessità. Quindi dimostriamo i fatti più importanti, come il teorema sulla somma degli angoli interni di un poligono, il teorema sulla somma degli angoli esterni di un poligono. Di conseguenza, ci avvicineremo allo studio di casi speciali di poligoni, che verranno considerati in ulteriori lezioni.

Tema: Quadrilateri

Lezione: Poligoni

Nel corso di geometria studiamo le proprietà delle forme geometriche e abbiamo già considerato le più semplici: triangoli e cerchi. Allo stesso tempo, abbiamo anche discusso casi speciali specifici di queste figure, come rettangolari, isosceli e triangoli regolari. Ora è il momento di parlare di forme più generali e complesse - poligoni.

Con un caso speciale poligoni siamo già familiari: questo è un triangolo (vedi Fig. 1).

Riso. 1. Triangolo

Il nome stesso sottolinea già che questa è una figura con tre angoli. Pertanto, in poligono ce ne possono essere molti, ad es. più di tre. Ad esempio, disegniamo un pentagono (vedi Fig. 2), es. una figura con cinque angoli.

Riso. 2. Pentagono. poligono convesso

Definizione.Poligono- una figura composta da più punti (più di due) e il corrispondente numero di segmenti che li collegano in serie. Questi punti sono chiamati picchi poligono e i segmenti di linea - feste... Inoltre, non esistono due lati adiacenti che giacciono su una retta e non si intersecano due lati non adiacenti.

Definizione.Poligono regolareè un poligono convesso con tutti i lati e gli angoli uguali.

Qualunque poligono divide il piano in due zone: interna ed esterna. L'area interna è indicata anche come poligono.

In altre parole, ad esempio, quando parlano di un pentagono, intendono sia la sua intera regione interna che il suo confine. E tutti i punti che si trovano all'interno del poligono appartengono anche alla regione interna, ad es. il punto appartiene anche al pentagono (vedi Fig. 2).

I poligoni sono talvolta chiamati anche n-goni per sottolineare che si considera il caso generale della presenza di un numero imprecisato di angoli (n pezzi).

Definizione. Perimetro del poligono- la somma delle lunghezze dei lati del poligono.

Ora abbiamo bisogno di familiarizzare con i tipi di poligoni. Si dividono in convesso e non convesso... Ad esempio, il poligono mostrato in Fig. 2 è convesso e in Fig. 3 non convesso.

Riso. 3. Poligono non convesso

Definizione 1. Poligono chiamato convesso se, tracciando una linea retta attraverso uno dei suoi lati, l'intera poligono giace solo su un lato di questa linea retta. Non convesso sono tutto il resto poligoni.

È facile immaginare che estendendo entrambi i lati del pentagono in Fig. 2 sarà tutto su un lato di questa linea retta, cioè è convesso. Ma quando si disegna una linea retta attraverso un quadrilatero in Fig. 3 vediamo già che lo divide in due parti, cioè. è non convesso.

Ma c'è un'altra definizione della convessità di un poligono.

Definizione 2. Poligono chiamato convesso se, quando si scelgono due dei suoi punti interni e li si collega con un segmento, tutti i punti del segmento sono anche punti interni del poligono.

Una dimostrazione dell'uso di questa definizione può essere vista nell'esempio di costruzione di segmenti in Fig. 2 e 3.

Definizione. Diagonale un poligono è qualsiasi segmento di linea che collega due vertici non adiacenti.

Per descrivere le proprietà dei poligoni, ci sono due importanti teoremi sui loro angoli: il teorema sulla somma degli angoli interni di un poligono convesso e il teorema sulla somma degli angoli esterni di un poligono convesso... Consideriamoli.

Teorema. Sulla somma degli angoli interni di un poligono convesso (n-gon).

Dov'è il numero dei suoi angoli (lati).

Dimostrazione 1. Rappresentiamo in Fig. 4 convesso n-gon.

Riso. 4. Convesso n-gon

Disegna tutte le diagonali possibili dal vertice. Dividono l'n-gon in triangoli, perché ogni lato del poligono forma un triangolo, ad eccezione dei lati adiacenti al vertice. È facile vedere dalla figura che la somma degli angoli di tutti questi triangoli sarà semplicemente uguale alla somma degli angoli interni dell'n-gon. Poiché la somma degli angoli di ogni triangolo è -, allora la somma degli angoli interni di un n-gon:

Q.E.D.

Dimostrazione 2. Un'altra dimostrazione di questo teorema è anche possibile. Disegniamo un n-gon simile in Fig. 5 e collega uno dei suoi punti interni con tutti i vertici.

Riso. 5.

Abbiamo ottenuto una partizione di un n-gon in n triangoli (tanti lati, tanti triangoli). La somma di tutti i loro angoli è uguale alla somma degli angoli interni del poligono e della somma degli angoli nel punto interno, e questo è l'angolo. Abbiamo:

Q.E.D.

Provato.

Per il teorema dimostrato si vede che la somma degli angoli di un n-gon dipende dal numero dei suoi lati (su n). Ad esempio, in un triangolo, e la somma degli angoli. In un quadrilatero, e la somma degli angoli è, ecc.

Teorema. Sulla somma degli angoli esterni di un poligono convesso (n-gon).

Dov'è il numero dei suoi angoli (lati) e,…, sono gli angoli esterni.

Prova. Disegniamo un n-gon convesso in Fig. 6 e designare i suoi angoli interni ed esterni.

Riso. 6. Convex n-gon con angoli esterni marcati

Perché l'angolo esterno è in relazione con quello interno in quanto adiacente, quindi e similmente per il resto degli angoli esterni. Quindi:

Nel corso delle trasformazioni abbiamo utilizzato il teorema già dimostrato sulla somma degli angoli interni di un n-gon.

Provato.

Un fatto interessante segue dal teorema dimostrato che la somma degli angoli esterni di un convesso n-gon è uguale a dal numero dei suoi angoli (lati). A proposito, in contrasto con la somma degli angoli interni.

Bibliografia

1. Aleksandrov d.C. e altri Geometria, grado 8. - M.: Educazione, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria, grado 8. - M.: Educazione, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonskiy V.B., Yakir S.M. Geometria, grado 8. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com().

Compiti a casa

La parte del piano delimitata da una polilinea chiusa si chiama poligono.

I segmenti di questa polilinea sono chiamati feste poligono. AB, BC, CD, DE, EA (Fig. 1) - lati del poligono ABCDE. Si chiama la somma di tutti i lati di un poligono perimetro.

Il poligono si chiama convesso, se si trova su un lato di uno qualsiasi dei suoi lati, si estende indefinitamente oltre entrambi i vertici.

Il poligono MNPKO (Fig. 1) non sarà convesso, poiché non si trova su un lato della linea retta KP.

Considereremo solo i poligoni convessi.

Gli angoli formati da due lati adiacenti di un poligono sono chiamati suoi interno angoli, e le loro cime - i vertici del poligono.

Un segmento di retta che collega due vertici non adiacenti di un poligono è chiamato diagonale del poligono.

AC, AD - le diagonali del poligono (Fig. 2).

Gli angoli adiacenti agli angoli interni del poligono sono chiamati angoli esterni del poligono (Figura 3).

A seconda del numero di angoli (lati), il poligono è chiamato triangolo, quadrilatero, pentagono, ecc.

Due poligoni si dicono uguali se possono essere sovrapposti.

Poligoni inscritti e circoscritti

Se tutti i vertici di un poligono giacciono su un cerchio, allora il poligono si chiama iscritto in un cerchio, e un cerchio - descritto vicino al poligono (fig).

Se tutti i lati del poligono sono tangenti al cerchio, allora il poligono si chiama descritto intorno a un cerchio, e il cerchio si chiama iscritto in un poligono (fig).

Somiglianza di poligoni

Due poligoni con lo stesso nome si dicono simili se gli angoli di uno di essi sono rispettivamente uguali agli angoli dell'altro e i lati simili dei poligoni sono proporzionali.

I poligoni con lo stesso nome sono chiamati poligoni che hanno lo stesso numero di lati (angoli).

I lati di poligoni simili che collegano i vertici di angoli corrispondenti uguali sono chiamati simili (Fig).

Quindi, ad esempio, affinché il poligono ABCDE sia simile al poligono A'B'C'D'E ', è necessario che: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B '∠С = ∠С' ∠ D = ∠D '∠ E = ∠E 'e, inoltre, AB / A'B' = BC / B'C '= CD / C'D' = DE / D'E '= EA / E'A' .

Il rapporto tra i perimetri di poligoni simili

Innanzitutto, considera la proprietà di una serie di relazioni uguali. Prendiamo ad esempio i rapporti: 2/1 = 4/2 = 6/3 = 8/4 = 2.

Troviamo la somma dei membri precedenti di queste relazioni, quindi - la somma dei loro membri successivi e troviamo il rapporto delle somme ricevute, otteniamo:

$$ \ frac (2 + 4 + 6 + 8) (1 + 2 + 3 + 4) = \ frac (20) (10) = 2 $$

Otteniamo lo stesso se prendiamo un numero di altre relazioni, per esempio: 2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 = 10/15 = 2/3 Troviamo la somma dei termini precedenti di queste relazioni e la somma delle successive, e poi trovato il rapporto di queste somme, si ottiene:

$$ \ frac (2 + 4 + 5 + 8 + 10) (3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \ frac (30) (45) = \ frac (2) (3) $$

In entrambi i casi, la somma dei membri precedenti di una serie di relazioni uguali si riferisce alla somma dei membri successivi della stessa serie, come il membro precedente di una di queste relazioni si riferisce a quella successiva.

Abbiamo dedotto questa proprietà esaminando alcuni esempi numerici. Si può dedurre rigorosamente e in termini generali.

Consideriamo ora il rapporto tra i perimetri di tali poligoni.

Sia il poligono ABCDE simile al poligono A'B'C'D'E '(fig).

Dalla somiglianza di questi poligoni segue che

AB / A'B '= BC / B'C' = CD / C'D '= DE / D'E' = EA / E'A '

In base alla proprietà che abbiamo derivato per un certo numero di relazioni di uguaglianza, possiamo scrivere:

La somma dei membri precedenti delle relazioni che abbiamo preso è il perimetro del primo poligono (P), e la somma dei membri successivi di queste relazioni è il perimetro del secondo poligono (P '), il che significa che P / P' = AB / A'B '.

Quindi, i perimetri di tali poligoni sono indicati come lati simili.

Il rapporto tra le aree di poligoni simili

Siano ABCDE e A'B'C'D'E' poligoni simili (fig).

È noto che ΔABC ~ ΔA'B'C 'ΔACD ~ ΔA'C'D' e ΔADE ~ ΔA'D'E '.

Oltretutto,

;

Poiché i secondi rapporti di queste proporzioni sono uguali, il che segue dalla somiglianza dei poligoni, allora

Usando la proprietà di un numero di relazioni uguali, otteniamo:

o

dove S e S' sono le aree di questi poligoni simili.

Quindi, le aree di poligoni simili sono indicate come quadrati di lati simili.

La formula risultante può essere convertita in questa forma: S / S '= (AB / A'B') 2

Area poligonale libera

Lascia che sia necessario calcolare l'area di un quadrilatero arbitrario ABDC (Fig).

Disegniamoci una diagonale, per esempio AD. Otteniamo due triangoli ABD e ACD, le cui aree sappiamo calcolare. Quindi troviamo la somma delle aree di questi triangoli. La somma risultante esprimerà l'area di questo quadrilatero.

Se devi calcolare l'area di un pentagono, allora facciamo lo stesso: disegna le diagonali da uno dei vertici. Otteniamo tre triangoli, le cui aree possiamo calcolare. Ciò significa che possiamo anche trovare l'area di questo pentagono. Facciamo lo stesso quando calcoliamo l'area di qualsiasi poligono.

Area di proiezione del poligono

Ricordiamo che l'angolo tra una retta e un piano è l'angolo tra una retta data e la sua proiezione su un piano (Fig.).

Teorema. L'area della proiezione ortogonale del poligono sul piano è uguale all'area del poligono proiettato moltiplicata per il coseno dell'angolo formato dal piano del poligono e dal piano della proiezione.

Ogni poligono può essere diviso in triangoli, la cui somma delle aree è uguale all'area del poligono. Pertanto, è sufficiente dimostrare il teorema per un triangolo.

Sia ΔABS essere proiettato sull'aereo R... Considera due casi:

a) uno dei lati di ΔABS è parallelo al piano R;

b) nessuno dei lati di ABS è parallelo R.

Tener conto di primo caso: lascia [AB] || R.

Disegniamo un aereo attraverso (AB) R 1 || R e progettare ortogonalmente ΔABS on R 1 e oltre R(Riso.); otteniamo ΔABS 1 e ΔA'B'S '.

Per la proprietà della proiezione, abbiamo ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С ', e quindi

S Δ ABC1 = S Δ A'B'C '

Disegna e il segmento D 1 C 1. Allora ⊥, a \ (\ overbrace (CD_1C_1) \) = φ è il valore dell'angolo tra il piano ΔABS e il piano R 1 . Ecco perchè

S Δ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S Δ ABC cos

e quindi S Δ A'B'C '= S Δ ABC cos φ.

Passiamo alla considerazione secondo caso... Disegniamo un aereo R 1 || R attraverso quel vertice ΔABS, la distanza dalla quale al piano R il più piccolo (sia il vertice A).

Progetteremo ΔABS su un aereo R 1 e R(Riso.); siano le sue proiezioni rispettivamente ΔАВ 1 С 1 e ΔА'В'С '.

Lascia (ВС) ∩ P 1 = D. Allora

S Δ A'B'C '= S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Proprietà del poligono

Un poligono è una figura geometrica, solitamente definita come una polilinea chiusa senza autointersezioni (poligono semplice (Fig. 1a)), ma a volte sono consentite autointersezioni (quindi il poligono non è semplice).

I vertici della polilinea sono chiamati vertici del poligono e i segmenti di linea sono chiamati lati del poligono. I vertici di un poligono si dicono adiacenti se sono gli estremi di uno dei suoi lati. Le linee che collegano i vertici non adiacenti del poligono sono chiamate diagonali.

L'angolo (o angolo interno) di un poligono convesso in un dato vertice è l'angolo formato dai suoi lati convergenti in questo vertice, mentre l'angolo è considerato dal lato del poligono. In particolare, l'angolo può superare i 180° se il poligono non è convesso.

L'angolo esterno di un poligono convesso in un dato vertice è l'angolo adiacente all'angolo interno del poligono in questo vertice. In generale, l'angolo esterno è la differenza tra 180 ° e l'angolo interno. Da ogni vertice del -gon escono per > 3 - 3 diagonali, quindi il numero totale di diagonali del -gon è uguale a.

Un poligono con tre vertici si chiama triangolo, con quattro un quadrilatero, con cinque un pentagono, ecc.

Poligono con n i vertici sono chiamati n- quadrato.

Un poligono piatto è una forma costituita da un poligono e da una parte finita dell'area da esso delimitata.

Un poligono si dice convesso se è soddisfatta una delle seguenti condizioni (equivalenti):

• 1. giace su un lato di qualsiasi linea retta che collega i suoi vertici adiacenti. (cioè, le estensioni dei lati del poligono non intersecano gli altri suoi lati);
• 2. è l'intersezione (cioè la parte comune) di più semipiani;
• 3. ogni segmento con estremità in punti appartenenti al poligono appartiene interamente ad esso.

Un poligono convesso si dice regolare se tutti i suoi lati sono uguali e tutti gli angoli sono uguali, ad esempio un triangolo equilatero, un quadrato e un pentagono.

Un poligono convesso si dice circoscritto ad un cerchio se tutti i suoi lati toccano un cerchio

Un poligono regolare è un poligono in cui tutti gli angoli e tutti i lati sono uguali.

Proprietà del poligono:

1 Ogni diagonale di un -gono convesso, dove > 3, lo scompone in due poligoni convessi.

2 La somma di tutti gli angoli di un convesso -gon è.

D.S.: Dimostriamo il teorema con il metodo dell'induzione matematica. Per = 3, è ovvio. Supponiamo che il teorema sia vero per -gon, dove <, e dimostralo per -gon.

Sia un dato poligono. Disegniamo la diagonale di questo poligono. Per il Teorema 3, il poligono è scomposto in un triangolo e un convesso -gon (Fig. 5). Per ipotesi di induzione. Dall'altro lato, . Sommando queste uguaglianze e tenendo conto che (- angolo del fascio interno ) e (- angolo del fascio interno ), otteniamo Quando otteniamo:.

3 Intorno a qualsiasi poligono regolare, puoi descrivere un cerchio e, inoltre, solo uno.

D-in: Sia il poligono regolare, e e - bisettrici degli angoli, e (fig. 150). Poiché, quindi, quindi, * 180 °< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке O. Dimostriamolo oh = OA 2 = oh =… = OA NS . Triangolo oh isoscele, quindi oh= oh... Secondo il secondo criterio di uguaglianza dei triangoli, quindi, oh = oh... Allo stesso modo si può dimostrare che oh = oh eccetera. Quindi il punto oh equidistante da tutti i vertici del poligono, quindi il cerchio con il centro oh raggio ohè circoscritta ad un poligono.

Dimostriamo ora che esiste un solo circumcircle. Considera tre vertici qualsiasi di un poligono, ad esempio, UN 2 , ... Poiché per questi punti passa un solo cerchio, attorno al poligono … non è possibile descrivere più di un cerchio.

• 4 In ogni poligono regolare puoi inscrivere un cerchio e, inoltre, uno solo.
• 5 Un cerchio inscritto in un poligono regolare tocca i lati del poligono nei loro punti medi.
• 6 Il centro di una circonferenza circoscritta ad un poligono regolare coincide con il centro di una circonferenza inscritta nello stesso poligono.
• 7 Simmetria:

Dicono che una figura ha simmetria (simmetrica) se esiste un tale movimento (non identico) che trasferisce questa figura in se stessa.

• 7.1. Un triangolo generale non ha assi o centri di simmetria, è asimmetrico. Un triangolo isoscele (ma non equilatero) ha un asse di simmetria: la mediana perpendicolare alla base.
• 7.2. Un triangolo equilatero ha tre assi di simmetria (metà perpendicolari ai lati) e simmetria rotazionale attorno al centro con un angolo di rotazione di 120 °.

7.3 Qualsiasi n-gon regolare ha n assi di simmetria, passano tutti per il suo centro. Ha anche una simmetria rotazionale attorno al centro della rotazione.

Con anche n alcuni assi di simmetria passano per vertici opposti, altri per i punti medi di lati opposti.

Strano n ogni asse passa per la parte superiore e centrale del lato opposto.

Il centro di un poligono regolare con un numero pari di lati è il suo centro di simmetria. Un poligono regolare con un numero dispari di lati non ha centro di simmetria.

8 Somiglianza:

Se u è simile, il -gon va nel -gon, il semipiano - nel semipiano, quindi il convesso n-gon va in convesso n-gon.

Teorema: Se i lati e gli angoli dei poligoni convessi e soddisfano le uguaglianze:

dov'è il coefficiente pod

allora questi poligoni sono simili.

• 8.1 Il rapporto tra i perimetri di due poligoni simili è uguale al coefficiente di somiglianza.
• 8.2. Il rapporto tra le aree di due poligoni simili convessi è uguale al quadrato del coefficiente di somiglianza.

poligono triangolo perimetro teorema