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Se c'è un segno meno dopo la parentesi, allora. Risoluzione di semplici equazioni lineari

Ora passeremo solo all'apertura delle parentesi nelle espressioni in cui l'espressione tra parentesi viene moltiplicata per un numero o un'espressione. Formuliamo la regola per l'apertura delle parentesi precedute dal segno meno: le parentesi insieme al segno meno vengono omesse e i segni di tutti i termini tra parentesi sono sostituiti da quelli opposti.

Un tipo di trasformazione dell'espressione è l'espansione delle parentesi. Le espressioni numeriche, letterali e variabili sono composte da parentesi, che possono indicare l'ordine in cui vengono eseguite le azioni, contenere un numero negativo, ecc. Assumiamo che nelle espressioni sopra descritte, al posto di numeri e variabili, possano esserci delle espressioni.

E prestiamo attenzione ad un altro punto riguardante le particolarità di scrivere la soluzione quando si aprono le parentesi. Nel paragrafo precedente ci siamo occupati di ciò che viene chiamato espansione delle parentesi. Per fare ciò, ci sono regole per l'apertura delle parentesi, che ora esaminiamo. Questa regola è dettata dal fatto che è consuetudine scrivere numeri positivi senza parentesi, le parentesi in questo caso non sono necessarie. L'espressione (−3.7)−(−2)+4+(−9) può essere scritta senza parentesi come −3.7+2+4−9.

Infine, la terza parte della regola è semplicemente dovuta alla particolarità di scrivere numeri negativi a sinistra nell'espressione (che abbiamo menzionato nella sezione parentesi per scrivere numeri negativi). Potresti incontrare espressioni composte da un numero, segni meno e più coppie di parentesi. Se espandi le parentesi, spostandoti dall'interno verso l'esterno, la soluzione sarà: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5)) =−( 5)=−5.

Come aprire le parentesi?

Ecco una spiegazione: −(−2 x) è +2 x, e poiché questa espressione viene prima, allora +2 x può essere scritto come 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)= −1/x e −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. La prima parte della regola scritta per l'apertura delle parentesi segue direttamente dalla regola per la moltiplicazione dei numeri negativi. La seconda parte è una conseguenza della regola per moltiplicare i numeri con segni diversi. Passiamo agli esempi di parentesi espandibili in prodotti e quozienti di due numeri con segni diversi.

Apertura parentesi: regole, esempi, soluzioni.

La regola di cui sopra tiene conto dell'intera catena di queste azioni e accelera notevolmente il processo di apertura delle parentesi. La stessa regola consente di aprire le parentesi nelle espressioni che sono prodotti ed espressioni private con il segno meno che non sono somme e differenze.

Considera esempi di applicazione di questa regola. Diamo la regola corrispondente. Sopra, abbiamo già incontrato espressioni della forma −(a) e −(−a), che senza parentesi sono scritte rispettivamente come −a e a. Ad esempio, −(3)=3, e. Questi sono casi speciali della regola indicata. Consideriamo ora esempi di parentesi aperte quando in esse sono racchiuse somme o differenze. Mostreremo esempi dell'uso di questa regola. Indichiamo l'espressione (b1+b2) come b, dopodiché usiamo la regola per moltiplicare la parentesi per l'espressione del paragrafo precedente, abbiamo (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( a1 b+a2 b)=a1 b+a2 b.

Per induzione, questa affermazione può essere estesa a un numero arbitrario di termini in ciascuna parentesi. Resta da aprire le parentesi nell'espressione risultante, usando le regole dei paragrafi precedenti, di conseguenza, otteniamo 1 3 x y−1 2 x y3−x 3 x y+x 2 x y3.

La regola in matematica è l'apertura delle parentesi se c'è (+) e (-) davanti alle parentesi, una regola molto necessaria

Questa espressione è il prodotto di tre fattori (2+4), 3 e (5+7 8). Le parentesi devono essere aperte in sequenza. Ora usiamo la regola per moltiplicare una parentesi per un numero, abbiamo ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). I gradi, le cui basi sono alcune espressioni scritte tra parentesi, con indicatori naturali possono essere considerati come un prodotto di più parentesi.

Ad esempio, trasformiamo l'espressione (a+b+c)2. Innanzitutto lo scriviamo come prodotto di due parentesi (a + b + c) (a + b + c), ora moltiplichiamo la parentesi per parentesi, otteniamo a a + a b + a c + b a + b b+b c+ c a+c b+c c.

Diciamo anche che per elevare le somme e le differenze di due numeri a una potenza naturale, è consigliabile utilizzare la formula binomiale di Newton. Ad esempio, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Non è meno conveniente sostituire preliminarmente la divisione con la moltiplicazione, quindi utilizzare la regola appropriata per aprire le parentesi nel prodotto.

Resta da capire l'ordine di apertura delle parentesi usando degli esempi. Prendi l'espressione (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7). Sostituisci questi risultati nell'espressione originale: (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7)=(−5)+(3 2:4)−(−6 7) . Resta solo da completare l'apertura delle parentesi, di conseguenza abbiamo −5+3 2:4+6 7. Ciò significa che quando si passa dal lato sinistro dell'uguaglianza al lato destro, le parentesi sono state aperte.

Nota che in tutti e tre gli esempi abbiamo semplicemente rimosso le parentesi. Innanzitutto, aggiungi 445 a 889. Questa azione mentale può essere eseguita, ma non è molto facile. Apriamo le parentesi e vediamo che l'ordine modificato delle operazioni semplificherà notevolmente i calcoli.

Come aprire le parentesi in un grado diverso

Esempio e regola illustrativi. Considera un esempio: . Puoi trovare il valore dell'espressione sommando 2 e 5, quindi prendendo il numero risultante con il segno opposto. La regola non cambia se non ci sono due, ma tre o più termini tra parentesi. Commento. I segni sono invertiti solo davanti ai termini. Per aprire le parentesi, in questo caso, occorre richiamare la proprietà distributiva.

Numeri singoli tra parentesi

Il tuo errore non è nei segni, ma nel lavoro sbagliato con le frazioni? In 6a elementare abbiamo conosciuto numeri positivi e negativi. Come risolveremo esempi ed equazioni?

Quanto è tra parentesi? Cosa si può dire di queste espressioni? Naturalmente, il risultato del primo e del secondo esempio è lo stesso, quindi puoi mettere un segno di uguale tra loro: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Quindi cosa abbiamo fatto con le parentesi?

Dimostrazione della diapositiva 6 con le regole per l'apertura delle parentesi. Pertanto, le regole per l'apertura delle parentesi ci aiuteranno a risolvere esempi, semplificare le espressioni. Successivamente, gli studenti sono invitati a lavorare in coppia: è necessario collegare l'espressione contenente parentesi con l'espressione corrispondente senza parentesi con le frecce.

Diapositiva 11 Una volta a Sunny City, Znayka e Dunno hanno discusso chi di loro ha risolto correttamente l'equazione. Successivamente, gli studenti risolvono autonomamente l'equazione, applicando le regole per l'apertura delle parentesi. Risolvere le equazioni "Obiettivi della lezione: educativi (fissando ZUN sull'argomento:" parentesi aperte.

Argomento della lezione: “Apertura delle parentesi. In questo caso, devi moltiplicare ogni termine della prima parentesi per ogni termine della seconda parentesi e poi sommare i risultati. Per prima cosa si prendono i primi due fattori, racchiusi in un'altra parentesi, e all'interno di queste parentesi si aprono le parentesi secondo una delle regole già note.

rawalan.freezeet.ru

Apertura parentesi: regole ed esempi (Grado 7)

La funzione principale delle parentesi è quella di modificare l'ordine delle azioni durante il calcolo dei valori espressioni numeriche . Per esempio, nell'espressione numerica $5 3+7$ verrà calcolata prima la moltiplicazione, quindi l'addizione: $5 3+7 =15+7=22$. Ma nell'espressione $5·(3+7)$, verrà calcolata prima l'addizione tra parentesi e solo dopo la moltiplicazione: $5·(3+7)=5·10=50$.

Tuttavia, se abbiamo a che fare con espressione algebrica contenente variabile- ad esempio, in questo modo: \ (2 (x-3) \) - quindi è impossibile calcolare il valore tra parentesi, la variabile interferisce. Pertanto, in questo caso, le parentesi vengono “aperte”, utilizzando le regole appropriate per questo.

Regole di espansione della parentesi

Se c'è un segno più prima della parentesi, la parentesi viene semplicemente rimossa, l'espressione in essa rimane invariata. In altre parole:

Qui è necessario chiarire che in matematica, per ridurre le voci, è consuetudine non scrivere il segno più se è il primo nell'espressione. Ad esempio, se aggiungiamo due numeri positivi, ad esempio sette e tre, non scriviamo $+7+3$, ma semplicemente $7+3$, nonostante anche sette sia un numero positivo . Allo stesso modo, se vedi, ad esempio, l'espressione $(5+x)$ - sappilo c'è un plus davanti alla parentesi, che non è scritto.

Esempio . Apri la parentesi e dai termini simili: $(x-11)+(2+3x)$.
Soluzione : $(x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9$.

Se c'è un segno meno davanti alla parentesi, quando la parentesi viene rimossa, ogni membro dell'espressione al suo interno cambia segno nel segno opposto:

Qui è necessario chiarire che a, mentre era tra parentesi, aveva un segno più (semplicemente non l'hanno scritto) e dopo aver rimosso la parentesi, questo più è cambiato in meno.

Esempio : Semplifica l'espressione $2x-(-7+x)$.
Soluzione : ci sono due termini all'interno della parentesi: $-7$ e $x$, e c'è un meno prima della parentesi. Ciò significa che i segni cambieranno - e il sette sarà ora con un più e la x con un meno. aprire la staffa e portare termini simili .

Esempio. Espandi la parentesi e fornisci termini simili $5-(3x+2)+(2+3x)$.
Soluzione : $5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5$.

Se c'è un fattore davanti alla parentesi, allora ogni membro della parentesi viene moltiplicato per esso, cioè:

Esempio. Espandi le parentesi $5(3-x)$.
Soluzione : Abbiamo $3$ e $-x$ tra parentesi e un cinque davanti alle parentesi. Ciò significa che ogni membro della parentesi viene moltiplicato per \ (5 \) - te lo ricordo il segno di moltiplicazione tra un numero e una parentesi in matematica non viene scritto per ridurre la dimensione dei record.

Esempio. Espandi le parentesi $-2(-3x+5)$.
Soluzione : Come nell'esempio precedente, i valori tra parentesi $-3x$ e $5$ vengono moltiplicati per $-2$.

Resta da considerare l'ultima situazione.

Quando si moltiplicano parentesi per parentesi, ogni termine della prima parentesi viene moltiplicato per ogni termine della seconda:

Esempio. Espandi le parentesi $(2-x)(3x-1)$.
Soluzione : Abbiamo un prodotto di parentesi e può essere aperto immediatamente utilizzando la formula sopra. Ma per non confonderci, facciamo tutto passo dopo passo.
Passaggio 1. Rimuoviamo la prima parentesi: ciascuno dei suoi membri viene moltiplicato per la seconda parentesi:

Passaggio 2. Espandi i prodotti della parentesi del fattore come descritto sopra:
- il primo primo...

Passaggio 3. Ora moltiplichiamo e portiamo termini simili:

Non è necessario dipingere tutte le trasformazioni in dettaglio, puoi immediatamente moltiplicare. Ma se stai solo imparando ad aprire le parentesi - scrivi in dettaglio, ci saranno meno possibilità di commettere un errore.

Nota per l'intera sezione. In effetti, non è necessario ricordare tutte e quattro le regole, ne devi solo ricordare una, questa: $c(a-b)=ca-cb$ . Come mai? Perché se sostituiamo uno invece di c, otteniamo la regola $(a-b)=a-b$ . E se sostituiamo meno uno, otteniamo la regola $-(a-b)=-a+b$ . Bene, se sostituisci un'altra parentesi invece di c, puoi ottenere l'ultima regola.

parentesi tra parentesi

A volte in pratica ci sono problemi con parentesi nidificate all'interno di altre parentesi. Ecco un esempio di tale compito: semplificare l'espressione $7x+2(5-(3x+y))$.

Per avere successo in queste attività, devi:
- comprendere attentamente l'annidamento delle parentesi - quale si trova in quale;
- aprire le parentesi in sequenza, partendo, ad esempio, da quella più interna.

È importante quando si apre una delle parentesi non toccare il resto dell'espressione, riscrivendolo così com'è.
Prendiamo il compito sopra come esempio.

Esempio. Apri le parentesi e dai termini simili $7x+2(5-(3x+y))$.
Soluzione:

Iniziamo il compito aprendo la staffa interna (quella interna). Aprendolo, abbiamo a che fare solo con il fatto che è direttamente correlato ad esso: questa è la parentesi stessa e il meno davanti ad essa (evidenziato in verde). Tutto il resto (non selezionato) viene riscritto come prima.

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Un po' di teoria

Il prodotto di un monomio e di un polinomio. Il concetto di polinomio

Tra le varie espressioni che vengono considerate in algebra, le somme di monomi occupano un posto importante. Ecco alcuni esempi di tali espressioni:

La somma dei monomi è chiamata polinomio. I termini di un polinomio sono detti membri del polinomio. I mononomi sono anche detti polinomi, considerando un monomio come un polinomio costituito da un membro.

Rappresentiamo tutti i termini come monomi della forma standard:

Diamo termini simili nel polinomio risultante:

Il risultato è un polinomio, i cui membri sono tutti monomi della forma standard e tra loro non ce ne sono di simili. Tali polinomi sono chiamati polinomi di forma standard.

Per grado polinomiale il modulo standard assume il più ampio dei poteri dei suoi membri. Quindi, un binomio ha un terzo grado e un trinomio ha un secondo.

Di solito, i termini dei polinomi in forma standard contenenti una variabile sono disposti in ordine decrescente dei suoi esponenti. Per esempio:

La somma di più polinomi può essere convertita (semplificata) in un polinomio di forma standard.

A volte i membri di un polinomio devono essere divisi in gruppi, racchiudendo ogni gruppo tra parentesi. Poiché le parentesi sono l'opposto delle parentesi, è facile da formulare regole di apertura parentesi:

Se il segno + è posto prima delle parentesi, i termini racchiusi tra parentesi sono scritti con gli stessi segni.

Se un segno "-" è posto davanti alle parentesi, i termini racchiusi tra parentesi sono scritti con segni opposti.

Trasformazione (semplificazione) del prodotto di un monomio e di un polinomio

Usando la proprietà distributiva della moltiplicazione, si può trasformare (semplificare) il prodotto di un monomio e di un polinomio in un polinomio. Per esempio:

Il prodotto di un monomio e di un polinomio è identicamente uguale alla somma dei prodotti di questo monomio e di ciascuno dei termini del polinomio.

Questo risultato è solitamente formulato come regola.

Per moltiplicare un monomio per un polinomio, bisogna moltiplicare questo monomio per ciascuno dei termini del polinomio.

Abbiamo usato ripetutamente questa regola per moltiplicare per una somma.

Il prodotto dei polinomi. Trasformazione (semplificazione) del prodotto di due polinomi

In generale, il prodotto di due polinomi è identicamente uguale alla somma del prodotto di ciascun termine di un polinomio e di ogni termine dell'altro.

Di solito usa la seguente regola.

Per moltiplicare un polinomio per un polinomio, devi moltiplicare ogni termine di un polinomio per ogni termine dell'altro e sommare i prodotti risultanti.

Formule di moltiplicazione abbreviate. Somma, Differenza e Differenza Quadrati

Alcune espressioni nelle trasformazioni algebriche devono essere trattate più spesso di altre. Forse le espressioni più comuni sono e, cioè il quadrato della somma, il quadrato della differenza e la differenza dei quadrati. Hai notato che i nomi di queste espressioni sembrano incompleti, quindi, ad esempio, - questo, ovviamente, non è solo il quadrato della somma, ma il quadrato della somma di aeb. Tuttavia, il quadrato della somma di aeb non è così comune, di regola, al posto delle lettere aeb, contiene espressioni varie, a volte abbastanza complesse.

Le espressioni sono facili da convertire (semplificare) in polinomi della forma standard, infatti, hai già incontrato un compito del genere durante la moltiplicazione dei polinomi:

Le identità risultanti sono utili da ricordare e da applicare senza calcoli intermedi. Brevi formulazioni verbali aiutano questo.

- il quadrato della somma è uguale alla somma dei quadrati e il doppio del prodotto.

- il quadrato della differenza è uguale alla somma dei quadrati senza il doppio prodotto.

- la differenza dei quadrati è uguale al prodotto della differenza per la somma.

Queste tre identità consentono nelle trasformazioni di sostituire le parti sinistre con quelle destre e viceversa - le parti destre con quelle sinistre. La cosa più difficile in questo caso è vedere le espressioni corrispondenti e capire in cosa vengono sostituite le variabili aeb. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di utilizzo di formule di moltiplicazione abbreviate.

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Espansione della staffa

Continuiamo a studiare le basi dell'algebra. In questa lezione impareremo come aprire le parentesi nelle espressioni. Espandere le parentesi significa liberare l'espressione di queste parentesi.

Per aprire le parentesi, devi imparare a memoria solo due regole. Con la pratica regolare, puoi aprire le parentesi con gli occhi chiusi e quelle regole che dovevano essere memorizzate a memoria possono essere tranquillamente dimenticate.

La prima regola di espansione delle parentesi

Considera la seguente espressione:

Il valore di questa espressione è 2 . Apriamo le parentesi in questa espressione. Espandere le parentesi significa liberarsene senza intaccare il significato dell'espressione. Cioè, dopo aver eliminato le parentesi, il valore dell'espressione 8+(−9+3) dovrebbe essere ancora uguale a due.

La prima regola di espansione delle parentesi si presenta così:

Quando si aprono le parentesi, se c'è un più prima delle parentesi, questo più viene omesso insieme alle parentesi.

Quindi lo vediamo nell'espressione 8+(−9+3) c'è un vantaggio davanti alle parentesi. Questo più deve essere omesso insieme alle parentesi. In altre parole, le parentesi scompariranno insieme al plus che si trovava di fronte a loro. E ciò che era tra parentesi sarà scritto invariato:

8−9+3 . Questa espressione è uguale a 2 , come la precedente espressione tra parentesi era uguale a 2 .

8+(−9+3) e 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Esempio 2 Espandi le parentesi in un'espressione 3 + (−1 − 4)

C'è un plus davanti alle parentesi, quindi questo plus viene omesso insieme alle parentesi. Ciò che era tra parentesi rimarrà invariato:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Esempio 3 Espandi le parentesi in un'espressione 2 + (−1)

In questo esempio, l'espansione delle parentesi è diventata una sorta di operazione inversa di sostituzione della sottrazione con l'addizione. Cosa significa?

Nell'espressione 2−1 si verifica la sottrazione, ma può essere sostituita dall'addizione. Quindi ottieni l'espressione 2+(−1) . Ma se nell'espressione 2+(−1) apri le parentesi, ottieni l'originale 2−1 .

Pertanto, la prima regola di espansione delle parentesi può essere utilizzata per semplificare le espressioni dopo alcune trasformazioni. Cioè, liberalo dalle parentesi e rendilo più facile.

Semplifichiamo ad esempio l'espressione 2a+a−5b+b .

Per semplificare questa espressione, possiamo aggiungere termini simili. Ricordiamo che per ridurre i termini simili, è necessario sommare i coefficienti dei termini simili e moltiplicare il risultato per la parte della lettera comune:

Ho un'espressione 3a+(-4b). In questa espressione, apri le parentesi. C'è un più prima delle parentesi, quindi usiamo la prima regola per aprire le parentesi, cioè omettiamo le parentesi insieme al più che viene prima di queste parentesi:

Quindi l'espressione 2a+a−5b+b semplificato a 3a-4b .

Dopo aver aperto una parentesi, altri possono incontrarsi lungo il percorso. Applichiamo loro le stesse regole del primo. Ad esempio, espandiamo le parentesi nella seguente espressione:

Ci sono due punti in cui è necessario espandere le parentesi. In questo caso si applica la prima regola per espandere le parentesi, ovvero omettere le parentesi insieme al più che precede queste parentesi:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Esempio 3 Espandi le parentesi in un'espressione 6+(−3)+(−2)

In entrambi i punti in cui sono presenti parentesi, sono precedute da un segno più. Anche in questo caso, si applica la prima regola di espansione delle parentesi:

A volte il primo termine tra parentesi è scritto senza segno. Ad esempio, nell'espressione 1+(2+3−4) primo mandato tra parentesi 2 scritto senza segno. Sorge la domanda, quale segno verrà prima del due dopo aver omesso le parentesi e il più davanti alle parentesi? La risposta si suggerisce: ci sarà un vantaggio davanti al diavolo.

Infatti, pur essendo tra parentesi, c'è un plus davanti al due, ma non lo vediamo per il fatto che non è scritto. Abbiamo già detto che appare la notazione completa dei numeri positivi +1, +2, +3. Ma i vantaggi non vengono tradizionalmente scritti, motivo per cui vediamo i numeri positivi che ci sono familiari. 1, 2, 3 .

Pertanto, per aprire le parentesi in un'espressione 1+(2+3−4) , devi omettere le parentesi come al solito insieme al più davanti a queste parentesi, ma scrivi il primo termine che era tra parentesi con un segno più:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Esempio 4 Espandi le parentesi in un'espressione −5 + (2 − 3)

C'è un più davanti alle parentesi, quindi applichiamo la prima regola per l'apertura delle parentesi, ovvero omettiamo le parentesi insieme al più che viene prima di queste parentesi. Ma il primo termine, che si scrive tra parentesi con il segno più:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Esempio 5 Espandi le parentesi in un'espressione (−5)

C'è un più prima della parentesi, ma non è scritto perché non c'erano altri numeri o espressioni prima di esso. Il nostro compito è rimuovere le parentesi applicando la prima regola per espandere le parentesi, ovvero omettere le parentesi insieme a questo plus (anche se è invisibile)

Esempio 6 Espandi le parentesi in un'espressione 2a + (−6a + b)

C'è un plus davanti alle parentesi, quindi questo plus viene omesso insieme alle parentesi. Ciò che era tra parentesi verrà scritto invariato:

2a + (-6a + b) = 2a -6a + b

Esempio 7 Espandi le parentesi in un'espressione 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

In questa espressione, ci sono due punti in cui è necessario aprire le parentesi. In entrambe le sezioni, c'è un plus davanti alle parentesi, il che significa che questo plus viene omesso insieme alle parentesi. Ciò che era tra parentesi verrà scritto invariato:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

La seconda regola per l'apertura delle parentesi

Ora diamo un'occhiata alla seconda regola di espansione delle parentesi. Si usa quando c'è un meno prima delle parentesi.

Se c'è un meno prima delle parentesi, questo meno viene omesso insieme alle parentesi, ma i termini che erano tra parentesi cambiano il loro segno nell'opposto.

Ad esempio, espandiamo le parentesi nell'espressione seguente

Vediamo che c'è un meno prima delle parentesi. Quindi è necessario applicare la seconda regola di espansione, ovvero omettere le parentesi insieme al meno davanti a queste parentesi. In questo caso, i termini che erano tra parentesi cambieranno il loro segno nel contrario:

Abbiamo un'espressione senza parentesi 5+2+3 . Questa espressione è uguale a 10, proprio come l'espressione precedente tra parentesi era uguale a 10.

Così, tra le espressioni 5−(−2−3) e 5+2+3 puoi mettere un segno di uguale, poiché sono uguali allo stesso valore:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Esempio 2 Espandi le parentesi in un'espressione 6 − (−2 − 5)

C'è un meno prima delle parentesi, quindi applichiamo la seconda regola per l'apertura delle parentesi, ovvero omettiamo le parentesi insieme al meno che viene prima di queste parentesi. In questo caso, i termini che erano tra parentesi sono scritti con segni opposti:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Esempio 3 Espandi le parentesi in un'espressione 2 − (7 + 3)

C'è un meno prima delle parentesi, quindi applichiamo la seconda regola per l'apertura delle parentesi:

Esempio 4 Espandi le parentesi in un'espressione −(−3 + 4)

Esempio 5 Espandi le parentesi in un'espressione −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Ci sono due punti in cui è necessario espandere le parentesi. Nel primo caso, devi applicare la seconda regola per l'apertura delle parentesi e quando arriva il turno all'espressione +(−9−2) devi applicare la prima regola:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Esempio 6 Espandi le parentesi in un'espressione −(−a−1)

Esempio 7 Espandi le parentesi in un'espressione −(4a + 3)

Esempio 8 Espandi le parentesi in un'espressione un −(4b + 3) + 15

Esempio 9 Espandi le parentesi in un'espressione 2a + (3b - b) - (3c + 5)

Ci sono due punti in cui è necessario espandere le parentesi. Nel primo caso, devi applicare la prima regola per espandere le parentesi e quando arriva il turno all'espressione −(3c+5) devi applicare la seconda regola:

2a + (3b - b) - (3c + 5) = 2a + 3b - b - 3c - 5

Esempio 10 Espandi le parentesi in un'espressione -un − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Ci sono tre punti in cui è necessario espandere le parentesi. Per prima cosa devi applicare la seconda regola per espandere le parentesi, poi la prima e poi ancora la seconda:

-a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = -a + 4a - 6b + 8c - 15

Meccanismo di espansione delle parentesi

Le regole per l'apertura delle parentesi, che abbiamo ora considerato, si basano sulla legge distributiva della moltiplicazione:

Infatti parentesi di apertura chiamare la procedura moltiplicando il fattore comune per ogni termine tra parentesi. Come risultato di tale moltiplicazione, le parentesi scompaiono. Ad esempio, espandiamo le parentesi nell'espressione 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Pertanto, se devi moltiplicare un numero per un'espressione tra parentesi (o moltiplicare un'espressione tra parentesi per un numero), devi dire apri le parentesi.

Ma in che modo la legge distributiva della moltiplicazione è collegata alle regole per l'apertura delle parentesi che abbiamo considerato in precedenza?

Il fatto è che prima di ogni parentesi c'è un fattore comune. Nell'esempio 3×(4+5) il fattore comune è 3 . E nell'esempio a(b+c) il fattore comune è una variabile un.

Se non ci sono numeri o variabili prima delle parentesi, allora lo è il fattore comune 1 o −1 , a seconda del carattere che precede le parentesi. Se c'è un più davanti alle parentesi, allora il fattore comune è 1 . Se c'è un meno prima delle parentesi, allora lo è il fattore comune −1 .

Ad esempio, espandiamo le parentesi nell'espressione −(3b−1). C'è un meno prima delle parentesi, quindi è necessario utilizzare la seconda regola per aprire le parentesi, ovvero omettere le parentesi insieme al meno prima delle parentesi. E l'espressione che era tra parentesi, scrivi con segni opposti:

Abbiamo ampliato le parentesi usando la regola di espansione delle parentesi. Ma queste stesse parentesi possono essere aperte usando la legge distributiva della moltiplicazione. Per fare ciò, scriviamo prima tra parentesi il fattore comune 1, che non è stato scritto:

Il meno che si trovava davanti alle staffe si riferiva a questa unità. Ora puoi aprire le parentesi applicando la legge distributiva della moltiplicazione. Per questo, il fattore comune −1 devi moltiplicare per ogni termine tra parentesi e aggiungere i risultati.

Per comodità, sostituiamo la differenza tra parentesi con la somma:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Come l'ultima volta, abbiamo avuto l'espressione −3b+1. Tutti saranno d'accordo sul fatto che questa volta sia stato speso più tempo per risolvere un esempio così semplice. Pertanto, è più ragionevole utilizzare le regole già pronte per l'apertura delle parentesi, che abbiamo considerato in questa lezione:

Ma non fa male sapere come funzionano queste regole.

In questa lezione abbiamo appreso un'altra trasformazione identica. Insieme all'apertura delle parentesi, all'esclusione del generale dalle parentesi e alla presentazione di termini simili, è possibile ampliare leggermente la gamma di compiti da risolvere. Per esempio:

Qui devi eseguire due azioni: prima apri le parentesi e poi porta termini simili. Quindi, nell'ordine:

1) Espandi le parentesi:

2) Diamo termini simili:

Nell'espressione risultante −10b+(−1) puoi aprire le parentesi:

Esempio 2 Apri le parentesi e aggiungi termini simili nella seguente espressione:

1) Espandi le parentesi:

2) Presentiamo termini simili. Questa volta, per risparmiare tempo e spazio, non annoteremo come si moltiplicano i coefficienti per la parte comune delle lettere

Esempio 3 Semplifica l'espressione 8m+3m e trova il suo valore in m=-4

1) Semplifichiamo prima l'espressione. Per semplificare l'espressione 8m+3m, puoi eliminare il fattore comune in esso m per parentesi:

2) Trova il valore dell'espressione m(8+3) a m=-4. Per questo, nell'espressione m(8+3) invece di una variabile m sostituire il numero −4

m(8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

Tra le varie espressioni che vengono considerate in algebra, le somme di monomi occupano un posto importante. Ecco alcuni esempi di tali espressioni:
$5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 $
$xy^3 - 5x^2a + 9x^3 - 7a^2 + 6x + 5a - 2 $

Ad esempio, polinomio
$8b^5 - 2b \cpunto 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cpunto (-12)b + 16 $
può essere semplificato.

Rappresentiamo tutti i termini come monomi della forma standard:
$8b^5 - 2b \cpunto 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cpunto (-12)b + 16 = $
$= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 $

Diamo termini simili nel polinomio risultante:
$8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 $
Il risultato è un polinomio, i cui membri sono tutti monomi della forma standard e tra loro non ce ne sono di simili. Tali polinomi sono chiamati polinomi di forma standard.

Per grado polinomiale il modulo standard assume il più ampio dei poteri dei suoi membri. Quindi, il binomio $12a^2b - 7b $ ha il terzo grado e il trinomio $2b^2 -7b + 6 $ ha il secondo.

Di solito, i termini dei polinomi in forma standard contenenti una variabile sono disposti in ordine decrescente dei suoi esponenti. Per esempio:
$5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 $

La somma di più polinomi può essere convertita (semplificata) in un polinomio di forma standard.

Se il segno + è posto prima delle parentesi, i termini racchiusi tra parentesi sono scritti con gli stessi segni.

Se un segno "-" è posto davanti alle parentesi, i termini racchiusi tra parentesi sono scritti con segni opposti.

Trasformazione (semplificazione) del prodotto di un monomio e di un polinomio

Usando la proprietà distributiva della moltiplicazione, si può trasformare (semplificare) il prodotto di un monomio e di un polinomio in un polinomio. Per esempio:
$9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = $
$= 9a^2b \cpunto 7a^2 + 9a^2b \cpunto (-5ab) + 9a^2b \cpunto (-4b^2) = $
$= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 $

Il prodotto di un monomio e di un polinomio è identicamente uguale alla somma dei prodotti di questo monomio e di ciascuno dei termini del polinomio.

Questo risultato è solitamente formulato come regola.

Per moltiplicare un monomio per un polinomio, bisogna moltiplicare questo monomio per ciascuno dei termini del polinomio.

Abbiamo usato ripetutamente questa regola per moltiplicare per una somma.

Il prodotto dei polinomi. Trasformazione (semplificazione) del prodotto di due polinomi

In generale, il prodotto di due polinomi è identicamente uguale alla somma del prodotto di ciascun termine di un polinomio e di ogni termine dell'altro.

Di solito usa la seguente regola.

Per moltiplicare un polinomio per un polinomio, devi moltiplicare ogni termine di un polinomio per ogni termine dell'altro e sommare i prodotti risultanti.

Formule di moltiplicazione abbreviate. Somma, Differenza e Differenza Quadrati

Alcune espressioni nelle trasformazioni algebriche devono essere trattate più spesso di altre. Forse le espressioni più comuni sono $(a + b)^2, \; (a - b)^2 $ e $a^2 - b^2 $, ovvero il quadrato della somma, il quadrato della differenza e quadrato della differenza. Hai notato che i nomi di queste espressioni sembrano incompleti, quindi, ad esempio, $(a + b)^2 $ è, ovviamente, non solo il quadrato della somma, ma il quadrato della somma di a e b. Tuttavia, il quadrato della somma di aeb non è così comune, di regola, al posto delle lettere aeb, contiene espressioni varie, a volte abbastanza complesse.

Le espressioni $(a + b)^2, \; (a - b)^2 $ sono facili da convertire (semplificare) in polinomi della forma standard, infatti, hai già incontrato un compito del genere durante la moltiplicazione dei polinomi :
$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = $
$= a^2 + 2ab + b^2 $

Le identità risultanti sono utili da ricordare e da applicare senza calcoli intermedi. Brevi formulazioni verbali aiutano questo.

$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $ - il quadrato della somma è uguale alla somma dei quadrati e del doppio prodotto.

$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $ - il quadrato della differenza è la somma dei quadrati senza raddoppiare il prodotto.

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $ - la differenza dei quadrati è uguale al prodotto della differenza per la somma.

Continuo una serie di articoli metodologici sul tema dell'insegnamento. È tempo di considerare le caratteristiche del lavoro individuale tutor di matematica con studenti di 7a elementare. Con grande piacere condividerò le mie riflessioni sulle forme di presentazione di uno degli argomenti più importanti del corso di algebra in 7a elementare - le “parentesi aperte”. Per non tentare di abbracciare l'immensità, fermiamoci alla sua fase iniziale e analizziamo la metodologia del tutor per moltiplicare un polinomio per un polinomio. Come insegnante di matematica lavora in situazioni difficili studente debole non percepisce la forma classica della spiegazione? Quali compiti dovrebbero essere preparati per un forte studente di seconda media? Consideriamo queste e altre domande.

Sembrerebbe, beh, cosa c'è di così difficile? "Le parentesi sono facili", dirà qualsiasi bravo studente. “Esiste una legge distributiva e le proprietà dei gradi per lavorare con i monomi, un algoritmo generale per qualsiasi numero di termini. Moltiplica ciascuno per ciascuno e porta il simile. Tuttavia, non tutto è così semplice nel lavorare con i ritardatari. Nonostante gli sforzi di un tutor di matematica, gli studenti riescono a commettere errori di vario calibro anche nelle trasformazioni più semplici. La natura degli errori colpisce nella sua diversità: da piccole omissioni di lettere e segni, a gravi "errori stop" senza uscita.

Cosa impedisce allo studente di eseguire correttamente le trasformazioni? Perché c'è un malinteso?

Esiste un numero enorme di problemi individuali e uno dei principali ostacoli alla padronanza e al consolidamento del materiale è la difficoltà nel passaggio tempestivo e rapido dell'attenzione, la difficoltà nell'elaborazione di una grande quantità di informazioni. Può sembrare strano a qualcuno che sto parlando di un grande volume, ma uno studente debole del 7° grado potrebbe non avere abbastanza memoria e risorse di attenzione anche per quattro trimestri. Coefficienti, variabili, gradi (indicatori) interferiscono. Lo studente confonde la sequenza delle operazioni, dimentica quali monomi sono già stati moltiplicati e quali sono rimasti intatti, non riesce a ricordare come si sono moltiplicati, ecc.

Approccio numerico del tutor di matematica

Naturalmente, è necessario iniziare con una spiegazione della logica di costruzione dell'algoritmo stesso. Come farlo? Dobbiamo impostare l'attività: come modificare l'ordine delle azioni nell'espressione senza modificare il risultato? Faccio spesso esempi che spiegano il funzionamento di alcune regole su numeri specifici. E poi li sostituisco con le lettere. La tecnica per utilizzare l'approccio numerico sarà descritta di seguito.

Problemi di motivazione.
All'inizio della lezione, è difficile per un tutor di matematica riunire uno studente se non comprende l'importanza di ciò che viene studiato. Nell'ambito del programma per i gradi 6-7, è difficile trovare esempi di utilizzo della regola della moltiplicazione polinomiale. Sottolineo la necessità di imparare modificare l'ordine delle azioni nelle espressioni Il fatto che questo aiuti a risolvere i problemi, lo studente dovrebbe sapere dall'esperienza di aggiungere termini simili. Doveva anche aggiungerli quando risolveva le equazioni. Ad esempio, in 2x+5x+13=34 usa che 2x+5x=7x. Un tutor di matematica deve solo concentrare l'attenzione dello studente su questo.

Gli insegnanti di matematica chiamano spesso la tecnica di apertura delle parentesi regola della fontana.

Questa immagine è ben ricordata e deve essere utilizzata. Ma come si dimostra questa regola? Richiama la forma classica usando ovvie trasformazioni di identità:

(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+ad+bd

È difficile per un insegnante di matematica commentare qualcosa qui. Le lettere parlano da sole. E uno studente forte del 7° anno non ha bisogno di spiegazioni dettagliate. Tuttavia, cosa fare con i deboli, che a bruciapelo non vedono alcun contenuto in questo "guazzabuglio alfabetico"?

Il problema principale che ostacola la percezione della classica giustificazione matematica della "fontana" è l'insolita forma di scrittura del primo fattore. Né nella 5° elementare né nella 6° classe lo studente ha dovuto trascinare la prima fascia ad ogni trimestre della seconda. I bambini si occupavano solo di numeri (coefficienti), situati, il più delle volte, a sinistra delle parentesi, ad esempio:

Entro la fine del 6 ° anno, lo studente ha formato un'immagine visiva dell'oggetto - una certa combinazione di segni (azioni) associati a parentesi. E qualsiasi deviazione dal solito sguardo verso qualcosa di nuovo può disorientare un alunno di seconda media. È l'immagine visiva della coppia “numero + parentesi” che il tutor di matematica mette in circolazione quando spiega.

Si può offrire la seguente spiegazione. Il tutor argomenta: “Se ci fosse un numero davanti alla parentesi, ad esempio 5, allora potremmo cambiare il corso dell'azione in questa espressione? Certo. Facciamolo allora . Pensa se il suo risultato cambierà se al posto del numero 5 inseriamo la somma di 2 + 3 racchiusa tra parentesi? Qualsiasi studente dirà al tutor: "Che differenza fa come si scrive: 5 o 2 + 3". Meraviglioso. Ottieni un record. Il tutor di matematica fa una breve pausa in modo che lo studente ricordi visivamente l'immagine-immagine dell'oggetto. Quindi attira la sua attenzione sul fatto che la parentesi, come il numero, "distribuisce" o "salta" a ciascun termine. Cosa significa questo? Ciò significa che questa operazione può essere eseguita non solo con un numero, ma anche con una parentesi. Abbiamo due coppie di fattori e . La maggior parte degli studenti può facilmente affrontarli da soli e scrivere il risultato al tutor. È importante confrontare le coppie risultanti con il contenuto delle parentesi 2+3 e 6+4 e sarà chiaro come si aprono.

Se necessario, dopo l'esempio con i numeri, il tutor di matematica esegue una dimostrazione letterale. Risulta essere una passeggiata attraverso le stesse parti dell'algoritmo precedente.

Formazione dell'abilità di aprire parentesi

La formazione dell'abilità di moltiplicare parentesi è una delle fasi più importanti nel lavoro di un tutor di matematica con un argomento. E ancor più importante della fase di spiegazione della logica della regola della “fontana”. Come mai? Le giustificazioni per le trasformazioni saranno dimenticate il giorno successivo e l'abilità, se sarà formata e fissata nel tempo, rimarrà. Gli studenti eseguono l'operazione meccanicamente, come se estrassero dalla memoria la tabellina. Questo è ciò che deve essere raggiunto. Come mai? Se ogni volta che lo studente apre le parentesi, ricorderà perché lo apre in questo modo e non altrimenti, dimenticherà il problema che sta risolvendo. Ecco perché il tutor di matematica dedica il resto della lezione a trasformare la comprensione in memorizzazione meccanica. Questa strategia viene spesso utilizzata anche in altri argomenti.

Come può un tutor sviluppare la capacità di aprire parentesi in uno studente? Per fare ciò, uno studente di 7a elementare deve eseguire una serie di esercizi in quantità sufficiente per consolidare. Questo solleva un altro problema. Un bambino di seconda media debole non può far fronte all'aumento del numero di trasformazioni. Anche piccoli. E gli errori continuano ad arrivare uno dopo l'altro. Cosa dovrebbe fare un tutor di matematica? Innanzitutto, è necessario consigliare di dipingere le frecce da ogni termine a ciascuno. Se lo studente è molto debole e non è in grado di passare rapidamente da un tipo di lavoro all'altro, perde la concentrazione quando segue i semplici comandi dell'insegnante, il tutor di matematica disegna lui stesso queste frecce. E non tutto in una volta. In primo luogo, il tutor collega il primo termine della parentesi di sinistra con ogni termine della parentesi di destra e chiede di eseguire l'opportuna moltiplicazione. Solo dopo le frecce passano dal secondo termine alla stessa parentesi a destra. In altre parole, il tutor divide il processo in due fasi. È meglio mantenere una piccola pausa temporanea (5-7 secondi) tra la prima e la seconda operazione.

1) Una serie di frecce dovrebbe essere disegnata sopra le espressioni e un'altra serie sotto di esse.
2) È importante saltare almeno tra le righe paio di cellule. In caso contrario, il record sarà molto denso e le frecce non solo saliranno sulla linea precedente, ma si mescoleranno anche con le frecce dell'esercizio successivo.

3) Nel caso di moltiplicazione di parentesi nel formato 3 per 2, le frecce sono disegnate dalla parentesi corta a quella lunga. Altrimenti, queste "fontane" non saranno due, ma tre. L'implementazione del terzo è notevolmente più complicata a causa della mancanza di spazio libero per le frecce.
4) le frecce sono sempre dirette da un punto. Uno dei miei studenti ha continuato a cercare di metterli uno accanto all'altro e questo è quello che ha fatto:

Tale disposizione non consente di individuare e fissare il termine attuale, con il quale lo studente lavora in ciascuna delle fasi.

Il lavoro delle dita del tutor

4) Per mantenere l'attenzione su una coppia separata di termini moltiplicati, il tutor di matematica mette due dita su di essi. Questo deve essere fatto in modo da non bloccare la visuale dello studente. Per gli studenti più disattenti, puoi utilizzare il metodo della "pulsazione". Il tutor di matematica porta il primo dito all'inizio della freccia (a uno dei termini) e lo fissa, e con il secondo "bussa" alla sua estremità (sul secondo termine). La pulsazione aiuta a focalizzare l'attenzione sul termine per cui lo studente si moltiplica. Dopo che la prima moltiplicazione per la parentesi destra è stata eseguita, il tutor di matematica dice: "Ora lavoriamo con un altro termine". Il tutor vi sposta un "dito fisso" e "pulsante" scorre i termini da un'altra parentesi. La pulsazione funziona come un "segnale di svolta" in un'auto e consente di raccogliere l'attenzione di uno studente distratto sull'operazione che sta conducendo. Se il bambino scrive in piccolo, vengono utilizzate due matite invece delle dita.

Ottimizzazione della ripetizione

Come nello studio di qualsiasi altro argomento nel corso di algebra, la moltiplicazione dei polinomi può e deve essere integrata con materiale precedentemente trattato. Per fare ciò, il tutor di matematica utilizza speciali compiti di bridge che consentono di trovare l'applicazione di quanto studiato in vari oggetti matematici. Non solo collegano gli argomenti in un unico insieme, ma organizzano anche in modo molto efficace la ripetizione dell'intero corso di matematica. E più ponti costruisce il tutor, meglio è.

Tradizionalmente, nei libri di testo di algebra per il grado 7, l'apertura delle parentesi è integrata con la soluzione di equazioni lineari. Alla fine dell'elenco dei numeri ci sono sempre compiti del seguente ordine: risolvere l'equazione. Aprendo le parentesi, i quadrati si riducono e l'equazione è facilmente risolvibile mediante la classe 7. Tuttavia, per qualche motivo, gli autori dei libri di testo dimenticano tranquillamente di tracciare un grafico di una funzione lineare. Per correggere questa lacuna, consiglierei ai tutor di matematica di includere parentesi nelle espressioni analitiche delle funzioni lineari, per esempio. Su tali esercizi, lo studente non solo allena le abilità per eseguire trasformazioni identiche, ma ripete anche i grafici. Puoi chiedere di trovare il punto di intersezione di due "mostri", di determinare la posizione relativa delle linee, di trovare i punti della loro intersezione con gli assi, ecc.

Kolpakov AN Docente di matematica a Strogino. Mosca

In questo video analizzeremo un intero set di equazioni lineari che vengono risolte utilizzando lo stesso algoritmo, ecco perché sono chiamate le più semplici.

Per cominciare, definiamo: cos'è un'equazione lineare e quale di esse dovrebbe essere definita la più semplice?

Un'equazione lineare è quella in cui c'è una sola variabile, e solo di primo grado.

L'equazione più semplice significa la costruzione:

Tutte le altre equazioni lineari sono ridotte a quelle più semplici usando l'algoritmo:

parentesi aperte, se presenti;
Sposta i termini contenenti una variabile su un lato del segno di uguale e i termini senza una variabile sull'altro;
Porta termini simili a sinistra ea destra del segno di uguale;
Dividi l'equazione risultante per il coefficiente della variabile $x$ .

Naturalmente, questo algoritmo non sempre aiuta. Il fatto è che a volte, dopo tutte queste macchinazioni, il coefficiente della variabile $x$ risulta uguale a zero. In questo caso sono possibili due opzioni:

L'equazione non ha soluzioni. Ad esempio, quando ottieni qualcosa come $0\cdot x=8$, ad es. a sinistra è zero e a destra è un numero diverso da zero. Nel video qui sotto, esamineremo diversi motivi per cui questa situazione è possibile.
La soluzione sono tutti i numeri. L'unico caso in cui ciò è possibile è quando l'equazione è stata ridotta alla costruzione $0\cdot x=0$. È abbastanza logico che, indipendentemente da ciò che $x$ sostituiamo, risulterà comunque "zero è uguale a zero", cioè corretta uguaglianza numerica.

E ora vediamo come funziona il tutto sull'esempio dei problemi reali.

Esempi di risoluzione di equazioni

Oggi ci occupiamo di equazioni lineari, e solo di quelle più semplici. In generale, un'equazione lineare indica qualsiasi uguaglianza che contiene esattamente una variabile e va solo al primo grado.

Tali costruzioni sono risolte approssimativamente allo stesso modo:

Prima di tutto, è necessario aprire le parentesi, se presenti (come nel nostro ultimo esempio);
Quindi porta simili
Infine, isolare la variabile, cioè tutto ciò che è connesso con la variabile - i termini in cui è contenuta - viene trasferito da una parte e tutto ciò che rimane senza di essa viene trasferito dall'altra parte.

Quindi, di regola, devi portare simili su ciascun lato dell'uguaglianza risultante, dopodiché resta solo da dividere per il coefficiente in "x" e otterremo la risposta finale.

In teoria, sembra carino e semplice, ma in pratica anche gli studenti delle scuole superiori esperti possono commettere errori offensivi in equazioni lineari abbastanza semplici. Di solito, gli errori vengono commessi quando si aprono le parentesi o quando si contano "più" e "meno".

Inoltre, accade che un'equazione lineare non abbia soluzioni o che la soluzione sia l'intera retta dei numeri, cioè qualsiasi numero. Analizzeremo queste sottigliezze nella lezione di oggi. Ma inizieremo, come hai già capito, con i compiti più semplici.

Schema per la risoluzione di semplici equazioni lineari

Per cominciare, lasciami scrivere ancora una volta l'intero schema per risolvere le equazioni lineari più semplici:

Espandi le parentesi, se presenti.
Isolare le variabili, ad es. tutto ciò che contiene "x" viene trasferito da un lato e senza "x" dall'altro.
Presentiamo termini simili.
Dividiamo tutto per il coefficiente in "x".

Naturalmente, questo schema non funziona sempre, ha alcune sottigliezze e trucchi e ora li conosceremo.

Risolvere esempi reali di semplici equazioni lineari

Compito #1

Nella prima fase, dobbiamo aprire le parentesi. Ma non sono in questo esempio, quindi saltiamo questo passaggio. Nella seconda fase, dobbiamo isolare le variabili. Nota: stiamo parlando solo di singoli termini. Scriviamo:

Diamo termini simili a sinistra ea destra, ma questo è già stato fatto qui. Procediamo quindi al quarto passaggio: dividere per un fattore:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Qui abbiamo la risposta.

Compito #2

In questo compito, possiamo osservare le parentesi, quindi espandiamole:

Sia a sinistra che a destra vediamo all'incirca la stessa costruzione, ma agiamo secondo l'algoritmo, cioè variabili sequestranti:

Eccone alcuni come:

A quali radici funziona? Risposta: per qualsiasi. Pertanto, possiamo scrivere che $x$ è un numero qualsiasi.

Compito #3

La terza equazione lineare è già più interessante:

\[\sinistra(6-x \destra)+\sinistra(12+x \destra)-\sinistra(3-2x \destra)=15\]

Ci sono diverse parentesi qui, ma non sono moltiplicate per nulla, hanno solo segni diversi davanti a loro. Analizziamoli:

Eseguiamo il secondo passaggio a noi già noto:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Calcoliamo:

Eseguiamo l'ultimo passaggio: dividiamo tutto per il coefficiente in "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Cose da ricordare quando si risolvono equazioni lineari

Se ignoriamo compiti troppo semplici, allora vorrei dire quanto segue:

Come ho detto sopra, non tutte le equazioni lineari hanno una soluzione - a volte semplicemente non ci sono radici;
Anche se ci sono radici, zero può entrare tra di loro - non c'è niente di sbagliato in questo.

Zero è lo stesso numero del resto, non dovresti in qualche modo discriminarlo o presumere che se ottieni zero, allora hai fatto qualcosa di sbagliato.

Un'altra caratteristica è legata all'espansione delle parentesi. Nota: quando c'è un "meno" davanti a loro, lo rimuoviamo, ma tra parentesi cambiamo i segni in di fronte. E poi possiamo aprirlo secondo algoritmi standard: otterremo ciò che abbiamo visto nei calcoli sopra.

Comprendere questo semplice fatto ti aiuterà a evitare di commettere errori stupidi e dolorosi al liceo, quando fare tali azioni è scontato.

Risoluzione di equazioni lineari complesse

Passiamo a equazioni più complesse. Ora le costruzioni diventeranno più complicate e apparirà una funzione quadratica durante l'esecuzione di varie trasformazioni. Tuttavia, non dovresti aver paura di questo, perché se, secondo l'intenzione dell'autore, risolviamo un'equazione lineare, nel processo di trasformazione tutti i monomi contenenti una funzione quadratica verranno necessariamente ridotti.

Esempio 1

Ovviamente, il primo passo è aprire le parentesi. Facciamolo con molta attenzione:

Ora prendiamo la privacy:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Eccone alcuni come:

Ovviamente, questa equazione non ha soluzioni, quindi nella risposta scriviamo quanto segue:

\[\varietà \]

o senza radici.

Esempio #2

Eseguiamo gli stessi passaggi. Primo passo:

Spostiamo tutto con una variabile a sinistra e senza di essa - a destra:

Eccone alcuni come:

Ovviamente, questa equazione lineare non ha soluzione, quindi la scriviamo in questo modo:

\[\nulla\],

o senza radici.

Sfumature della soluzione

Entrambe le equazioni sono completamente risolte. Sull'esempio di queste due espressioni, ci siamo assicurati ancora una volta che anche nelle equazioni lineari più semplici, tutto può non essere così semplice: può essercene uno, o nessuno, o infinito. Nel nostro caso, abbiamo considerato due equazioni, in entrambe semplicemente non ci sono radici.

Ma vorrei attirare la vostra attenzione su un altro fatto: come lavorare con le parentesi e come espanderle se c'è un segno meno davanti a loro. Considera questa espressione:

Prima di aprire, devi moltiplicare tutto per "x". Nota: moltiplicare ogni singolo termine. All'interno ci sono due termini - rispettivamente, due termini e si moltiplica.

E solo dopo che queste trasformazioni apparentemente elementari, ma molto importanti e pericolose sono state completate, la parentesi può essere aperta dal punto di vista che c'è un segno meno dopo di essa. Sì, sì: solo ora, quando le trasformazioni sono terminate, ricordiamo che c'è un segno meno davanti alle parentesi, il che significa che tutto sotto cambia solo segno. Allo stesso tempo, le parentesi stesse scompaiono e, soprattutto, scompare anche il "meno" anteriore.

Facciamo lo stesso con la seconda equazione:

Non è un caso che io presti attenzione a questi piccoli fatti apparentemente insignificanti. Perché la risoluzione di equazioni è sempre una sequenza di trasformazioni elementari, in cui l'incapacità di eseguire azioni semplici in modo chiaro e competente porta al fatto che gli studenti delle scuole superiori vengono da me e imparano di nuovo a risolvere equazioni così semplici.

Naturalmente, verrà il giorno in cui affinerai queste abilità all'automatismo. Non devi più eseguire così tante trasformazioni ogni volta, scriverai tutto in una riga. Ma mentre stai solo imparando, devi scrivere ogni azione separatamente.

Risolvere equazioni lineari ancora più complesse

Quello che risolveremo ora non può essere definito il compito più semplice, ma il significato rimane lo stesso.

Compito #1

\[\sinistra(7x+1 \destra)\sinistra(3x-1 \destra)-21((x)^(2))=3\]

Moltiplichiamo tutti gli elementi nella prima parte:

Facciamo un ritiro:

Eccone alcuni come:

Facciamo l'ultimo passaggio:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ecco la nostra risposta finale. E, nonostante nel processo di risoluzione avessimo coefficienti con una funzione quadratica, tuttavia, si annullavano a vicenda, il che rende l'equazione esattamente lineare, non quadrata.

Compito #2

\[\sinistra(1-4x \destra)\sinistra(1-3x \destra)=6x\sinistra(2x-1 \destra)\]

Facciamo il primo passo con attenzione: moltiplichiamo ogni elemento della prima parentesi per ogni elemento della seconda. In totale, dopo le trasformazioni si dovrebbero ottenere quattro nuovi termini:

E ora esegui attentamente la moltiplicazione in ogni termine:

Spostiamo i termini con "x" a sinistra e senza - a destra:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Ecco termini simili:

Abbiamo ricevuto una risposta definitiva.

Sfumature della soluzione

L'osservazione più importante su queste due equazioni è questa: appena iniziamo a moltiplicare parentesi in cui c'è più di un termine, lo facciamo secondo la seguente regola: prendiamo il primo termine dal primo e moltiplichiamo per ogni elemento dal secondo; quindi prendiamo il secondo elemento dal primo e similmente moltiplichiamo per ogni elemento del secondo. Di conseguenza, otteniamo quattro termini.

Sulla somma algebrica

Con l'ultimo esempio, vorrei ricordare agli studenti cos'è una somma algebrica. Nella matematica classica, per $1-7$ si intende una costruzione semplice: sottraiamo sette da uno. In algebra intendiamo con ciò quanto segue: al numero "uno" aggiungiamo un altro numero, cioè "meno sette". Questa somma algebrica differisce dalla normale somma aritmetica.

Non appena quando esegui tutte le trasformazioni, ogni addizione e moltiplicazione, inizi a vedere costruzioni simili a quelle descritte sopra, semplicemente non avrai problemi in algebra quando lavori con polinomi ed equazioni.

In conclusione, diamo un'occhiata ad un altro paio di esempi che saranno ancora più complessi di quelli che abbiamo appena visto, e per risolverli dovremo espandere leggermente il nostro algoritmo standard.

Risolvere equazioni con una frazione

Per risolvere tali compiti, sarà necessario aggiungere un altro passaggio al nostro algoritmo. Ma prima, ricorderò al nostro algoritmo:

parentesi aperte.
Separare le variabili.
Porta simili.
Dividi per un fattore.

Purtroppo, questo meraviglioso algoritmo, nonostante tutta la sua efficienza, non è del tutto appropriato quando abbiamo delle frazioni di fronte a noi. E in quello che vedremo di seguito, abbiamo una frazione a sinistra ea destra in entrambe le equazioni.

Come lavorare in questo caso? Sì, è molto semplice! Per fare ciò, è necessario aggiungere un altro passaggio all'algoritmo, che può essere eseguito sia prima della prima azione che dopo, ovvero eliminare le frazioni. Pertanto, l'algoritmo sarà il seguente:

Sbarazzati delle frazioni.
parentesi aperte.
Separare le variabili.
Porta simili.
Dividi per un fattore.

Cosa significa "sbarazzarsi delle frazioni"? E perché è possibile farlo sia dopo che prima del primo passaggio standard? Infatti, nel nostro caso, tutte le frazioni sono numeriche in termini di denominatore, cioè ovunque il denominatore è solo un numero. Pertanto, se moltiplichiamo entrambe le parti dell'equazione per questo numero, elimineremo le frazioni.

Esempio 1

\[\frac(\sinistra(2x+1 \destra)\sinistra(2x-3 \destra))(4)=((x)^(2))-1\]

Eliminiamo le frazioni in questa equazione:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot quattro\]

Nota: tutto viene moltiplicato per "quattro" una volta, ad es. solo perché hai due parentesi non significa che devi moltiplicare ciascuna di esse per "quattro". Scriviamo:

\[\sinistra(2x+1 \destra)\sinistra(2x-3 \destra)=\sinistra(((x)^(2))-1 \destra)\cdot 4\]

Ora apriamolo:

Eseguiamo la chiusura di una variabile:

Effettuiamo la riduzione di termini simili:

\[-4x=-1\sinistra| :\sinistra(-4 \destra) \destra.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Abbiamo ricevuto la soluzione finale, passiamo alla seconda equazione.

Esempio #2

\[\frac(\sinistra(1-x \destra)\sinistra(1+5x \destra))(5)+((x)^(2))=1\]

Qui eseguiamo tutte le stesse azioni:

\[\frac(\sinistra(1-x \destra)\sinistra(1+5x \destra)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problema risolto.

Questo, in effetti, è tutto ciò che volevo raccontare oggi.

Punti chiave

I risultati chiave sono i seguenti:

Conoscere l'algoritmo per la risoluzione di equazioni lineari.
Possibilità di aprire parentesi.
Non preoccuparti se hai funzioni quadratiche da qualche parte, molto probabilmente, nel processo di ulteriori trasformazioni, verranno ridotte.
Le radici nelle equazioni lineari, anche le più semplici, sono di tre tipi: una sola radice, l'intera retta dei numeri è una radice, non ci sono affatto radici.

Spero che questa lezione ti aiuti a padroneggiare un argomento semplice, ma molto importante per una maggiore comprensione di tutta la matematica. Se qualcosa non è chiaro, vai sul sito, risolvi gli esempi lì presentati. Resta sintonizzato, ci sono molte altre cose interessanti che ti aspettano!

Nel V secolo aC, l'antico filosofo greco Zeno d'Elea formulò le sue famose aporie, la più famosa delle quali è l'aporia "Achille e la tartaruga". Ecco come suona:

Diciamo che Achille corre dieci volte più veloce della tartaruga e le sta mille passi dietro. Durante il tempo in cui Achille percorre questa distanza, la tartaruga fa cento passi nella stessa direzione. Quando Achille avrà fatto cento passi, la tartaruga farà altri dieci passi, e così via. Il processo continuerà all'infinito, Achille non raggiungerà mai la tartaruga.

Questo ragionamento divenne uno shock logico per tutte le generazioni successive. Aristotele, Diogene, Kant, Hegel, Gilbert... Tutti loro, in un modo o nell'altro, consideravano le aporie di Zenone. Lo shock è stato così forte che " ... le discussioni in questo momento continuano, la comunità scientifica non è ancora riuscita a raggiungere un'opinione comune sull'essenza dei paradossi ... analisi matematica, teoria degli insiemi, nuovi approcci fisici e filosofici sono stati coinvolti nello studio della questione ; nessuno di loro è diventato una soluzione universalmente accettata al problema ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Tutti capiscono di essere stati ingannati, ma nessuno capisce quale sia l'inganno.

Dal punto di vista della matematica, Zeno nella sua aporia ha mostrato chiaramente il passaggio dal valore a. Questa transizione implica l'applicazione invece delle costanti. A quanto ho capito, l'apparato matematico per l'applicazione di unità di misura variabili o non è stato ancora sviluppato, o non è stato applicato all'aporia di Zenone. L'applicazione della nostra solita logica ci porta in una trappola. Noi, per inerzia del pensiero, applichiamo unità di tempo costanti al reciproco. Da un punto di vista fisico, sembra che il tempo rallenti fino a fermarsi completamente nel momento in cui Achille raggiunge la tartaruga. Se il tempo si ferma, Achille non può più sorpassare la tartaruga.

Se giriamo la logica a cui siamo abituati, tutto va a posto. Achille corre a velocità costante. Ogni segmento successivo del suo percorso è dieci volte più breve del precedente. Di conseguenza, il tempo impiegato per superarlo è dieci volte inferiore al precedente. Se applichiamo il concetto di "infinito" in questa situazione, sarebbe corretto dire "Achille supererà infinitamente rapidamente la tartaruga".

Come evitare questa trappola logica? Rimanere in unità di tempo costanti e non passare a valori reciproci. Nella lingua di Zeno, sembra così:

Nel tempo impiegato da Achille per fare mille passi, la tartaruga fa cento passi nella stessa direzione. Durante l'intervallo di tempo successivo, uguale al primo, Achille farà altri mille passi e la tartaruga farà cento passi. Adesso Achille è ottocento passi avanti alla tartaruga.

Questo approccio descrive adeguatamente la realtà senza paradossi logici. Ma questa non è una soluzione completa al problema. L'affermazione di Einstein sull'insormontabilità della velocità della luce è molto simile all'aporia di Zenone "Achille e la tartaruga". Dobbiamo ancora studiare, ripensare e risolvere questo problema. E la soluzione va cercata non in numeri infinitamente grandi, ma in unità di misura.

Un'altra interessante aporia di Zeno racconta di una freccia volante:

Una freccia volante è immobile, poiché in ogni momento è ferma, e poiché è ferma in ogni momento, è sempre ferma.

In questa aporia, il paradosso logico viene superato in modo molto semplice: basti chiarire che in ogni momento la freccia volante si ferma in diversi punti dello spazio, che, in effetti, è il movimento. C'è un altro punto da notare qui. Da una fotografia di un'auto sulla strada, è impossibile determinare né il fatto del suo movimento né la distanza da essa. Per determinare il fatto del movimento dell'auto, sono necessarie due fotografie scattate dallo stesso punto in momenti diversi, ma non possono essere utilizzate per determinare la distanza. Per determinare la distanza dall'auto, hai bisogno di due fotografie scattate contemporaneamente da diversi punti nello spazio, ma non puoi determinare il fatto del movimento da esse (naturalmente, hai ancora bisogno di dati aggiuntivi per i calcoli, la trigonometria ti aiuterà). Quello che voglio sottolineare in particolare è che due punti nel tempo e due punti nello spazio sono due cose diverse che non devono essere confuse in quanto offrono diverse opportunità di esplorazione.

mercoledì 4 luglio 2018

Molto bene le differenze tra set e multiset sono descritte in Wikipedia. Noi guardiamo.

Come puoi vedere, "l'insieme non può avere due elementi identici", ma se ci sono elementi identici nell'insieme, tale insieme è chiamato "multiinsieme". Gli esseri ragionevoli non capiranno mai una tale logica dell'assurdità. Questo è il livello dei pappagalli parlanti e delle scimmie addestrate, in cui la mente è assente dalla parola "completamente". I matematici agiscono come normali formatori, predicandoci le loro idee assurde.

C'erano una volta gli ingegneri che hanno costruito il ponte erano su una barca sotto il ponte durante le prove del ponte. Se il ponte è crollato, l'ingegnere mediocre è morto sotto le macerie della sua creazione. Se il ponte poteva sopportare il carico, il talentuoso ingegnere ha costruito altri ponti.

Non importa come i matematici si nascondano dietro la frase "attenzione, sono in casa", o meglio "la matematica studia concetti astratti", c'è un cordone ombelicale che li collega indissolubilmente alla realtà. Questo cordone ombelicale è denaro. Applichiamo la teoria matematica degli insiemi ai matematici stessi.

Abbiamo studiato molto bene la matematica e ora siamo seduti alla cassa, a pagare gli stipendi. Qui un matematico viene da noi per i suoi soldi. Gli contiamo l'intero importo e lo disponiamo sul nostro tavolo in pile diverse, in cui mettiamo banconote dello stesso taglio. Quindi prendiamo una banconota da ogni pila e diamo al matematico il suo "stipendio matematico". Spieghiamo la matematica che riceverà il resto delle bollette solo quando dimostrerà che l'insieme senza elementi identici non è uguale all'insieme con elementi identici. È qui che inizia il divertimento.

Innanzitutto funzionerà la logica dei deputati: "puoi applicarlo agli altri, ma non a me!" Inoltre, inizieranno le assicurazioni che ci sono numeri di banconote diversi su banconote dello stesso taglio, il che significa che non possono essere considerati elementi identici. Bene, contiamo lo stipendio in monete: non ci sono numeri sulle monete. Qui il matematico ricorderà freneticamente la fisica: monete diverse hanno quantità diverse di sporco, la struttura cristallina e la disposizione degli atomi per ogni moneta è unica...

E ora ho la domanda più interessante: dov'è il confine oltre il quale gli elementi di un multiinsieme si trasformano in elementi di un insieme e viceversa? Una linea del genere non esiste: tutto è deciso dagli sciamani, la scienza qui non è nemmeno vicina.

Guarda qui. Selezioniamo stadi di calcio con la stessa area di campo. L'area dei campi è la stessa, il che significa che abbiamo un multiset. Ma se consideriamo i nomi degli stessi stadi otteniamo molto, perché i nomi sono diversi. Come puoi vedere, lo stesso insieme di elementi è sia un insieme che un multiinsieme allo stesso tempo. Com'è giusto? E qui il matematico-sciamano-shuller tira fuori dalla manica un asso di briscola e inizia a parlarci di un set o di un multiset. In ogni caso, ci convincerà che ha ragione.

Per capire come operano gli sciamani moderni con la teoria degli insiemi, legandola alla realtà, basta rispondere a una domanda: in che modo gli elementi di un insieme differiscono dagli elementi di un altro? Ti mostrerò, senza alcun "concepibile come non un tutto unico" o "non concepibile come un tutto unico".

Domenica 18 marzo 2018

La somma delle cifre di un numero è una danza di sciamani con un tamburello, che non ha nulla a che fare con la matematica. Sì, nelle lezioni di matematica ci viene insegnato a trovare la somma delle cifre di un numero e ad usarla, ma sono sciamani per questo, per insegnare ai loro discendenti le loro abilità e saggezza, altrimenti gli sciamani semplicemente si estingueranno.

Hai bisogno di una prova? Apri Wikipedia e prova a trovare la pagina "Somma delle cifre di un numero". Lei non esiste. Non esiste una formula in matematica con cui puoi trovare la somma delle cifre di qualsiasi numero. Dopotutto, i numeri sono simboli grafici con cui scriviamo numeri e, nel linguaggio della matematica, il compito suona così: "Trova la somma dei simboli grafici che rappresentano qualsiasi numero". I matematici non possono risolvere questo problema, ma gli sciamani possono farlo in modo elementare.

Scopriamo cosa e come facciamo per trovare la somma delle cifre di un dato numero. E quindi, supponiamo di avere il numero 12345. Cosa bisogna fare per trovare la somma delle cifre di questo numero? Consideriamo tutti i passaggi in ordine.

1. Annota il numero su un pezzo di carta. Cosa abbiamo fatto? Abbiamo convertito il numero in un simbolo grafico numerico. Questa non è un'operazione matematica.

2. Tagliamo un'immagine ricevuta in più immagini contenenti numeri separati. Tagliare un'immagine non è un'operazione matematica.

3. Converti i singoli caratteri grafici in numeri. Questa non è un'operazione matematica.

4. Somma i numeri risultanti. Questa è la matematica.

La somma delle cifre del numero 12345 è 15. Questi sono i "corsi di taglio e cucito" degli sciamani usati dai matematici. Ma non è tutto.

Dal punto di vista della matematica, non importa in quale sistema numerico scriviamo il numero. Quindi, in diversi sistemi numerici, la somma delle cifre dello stesso numero sarà diversa. In matematica, il sistema numerico è indicato come pedice a destra del numero. Con un gran numero di 12345, non voglio ingannare la mia testa, considera il numero 26 dell'articolo su. Scriviamo questo numero in sistemi di numeri binari, ottali, decimali ed esadecimali. Non considereremo ogni passaggio al microscopio, lo abbiamo già fatto. Diamo un'occhiata al risultato.

Come puoi vedere, in diversi sistemi numerici, la somma delle cifre dello stesso numero è diversa. Questo risultato non ha nulla a che fare con la matematica. È come trovare l'area di un rettangolo in metri e centimetri ti desse risultati completamente diversi.

Lo zero in tutti i sistemi numerici ha lo stesso aspetto e non ha somma di cifre. Questo è un altro argomento a favore del fatto che . Una domanda per i matematici: come si indica in matematica ciò che non è un numero? Cosa, per i matematici, esiste solo numeri? Per gli sciamani posso permetterlo, ma per gli scienziati no. La realtà non è solo numeri.

Il risultato ottenuto dovrebbe essere considerato come una prova che i sistemi numerici sono unità di misura dei numeri. Dopotutto, non possiamo confrontare i numeri con diverse unità di misura. Se le stesse azioni con diverse unità di misura della stessa quantità portano a risultati diversi dopo averle confrontate, questo non ha nulla a che fare con la matematica.

Cos'è la vera matematica? Questo è quando il risultato di un'azione matematica non dipende dal valore del numero, dall'unità di misura utilizzata e da chi esegue questa azione.

Segno sulla porta Apre la porta e dice:

Ahia! Non è questo il bagno delle donne?
- Giovane donna! Questo è un laboratorio per studiare la santità indefinita delle anime all'ascensione al cielo! Nimbus in alto e freccia in alto. Quale altro bagno?

Femmina... Un alone in alto e una freccia in basso è maschile.

Se hai una tale opera d'arte di design che lampeggia davanti ai tuoi occhi più volte al giorno,

Quindi non sorprende che trovi improvvisamente una strana icona nella tua auto:

Personalmente, mi sforzo di vedere meno quattro gradi in una persona che fa la cacca (una foto) (composizione di più immagini: segno meno, numero quattro, designazione dei gradi). E non considero una sciocca questa ragazza che non conosce la fisica. Ha solo uno stereotipo ad arco di percezione delle immagini grafiche. E i matematici ce lo insegnano continuamente. Ecco un esempio.

1A non è "meno quattro gradi" o "uno a". Questo è "uomo che fa la cacca" o il numero "ventisei" nel sistema numerico esadecimale. Quelle persone che lavorano costantemente in questo sistema numerico percepiscono automaticamente il numero e la lettera come un unico simbolo grafico.

Tipo