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Perché non puoi dividere per zero? Un esempio illustrativo. La regola per moltiplicare qualsiasi numero per zero Cosa c'è nella matematica superiore

Lo zero stesso è un numero molto interessante. Di per sé significa vuoto, assenza di significato e accanto a un altro numero aumenta il suo significato di 10 volte. Qualsiasi numero al grado zero dà sempre 1. Questo segno era usato nella civiltà Maya e denotava anche il concetto di "inizio, ragione". Anche il calendario è partito dal giorno zero. E questa cifra è associata a un severo divieto.

Fin dagli anni della scuola elementare, tutti abbiamo imparato chiaramente la regola "non si può dividere per zero". Ma se durante l'infanzia prendi molto dalla fede e le parole di un adulto raramente causano dubbi, allora nel tempo, a volte, vuoi ancora capirne le ragioni, capire perché sono state stabilite certe regole.

Perché non puoi dividere per zero? Vorrei avere una chiara spiegazione logica per questa domanda. In prima elementare gli insegnanti non potevano farlo, perché in matematica le regole si spiegano con l'aiuto di equazioni, ea quell'età non avevamo idea di cosa fosse. E ora è il momento di capirlo e ottenere una chiara spiegazione logica del perché non puoi dividere per zero.

Il fatto è che in matematica solo due delle quattro operazioni di base (+, -, x, /) con i numeri sono riconosciute come indipendenti: moltiplicazione e addizione. Il resto delle operazioni sono considerate derivati. Consideriamo un semplice esempio.

Dimmi, quanto risulterà se 18 viene sottratto da 20? Naturalmente la risposta ci viene subito in mente: sarà 2. E come siamo arrivati a un risultato del genere? Ad alcuni, questa domanda sembrerà strana - dopotutto, è tutto chiaro che ne usciranno 2, qualcuno spiegherà che ha preso 18 copechi da 20 e ha ottenuto due copechi. Logicamente, tutte queste risposte non sono in dubbio, ma dal punto di vista della matematica, questo problema dovrebbe essere risolto in modo diverso. Ricordiamo ancora una volta che le principali operazioni in matematica sono la moltiplicazione e l'addizione, e quindi nel nostro caso la risposta sta nel risolvere la seguente equazione: x + 18 = 20. Da cui segue che x = 20 - 18, x = 2 . Sembrerebbe, perché dipingere tutto in modo così dettagliato? Dopotutto, tutto è così semplice. Tuttavia, senza questo è difficile spiegare perché è impossibile dividere per zero.

Ora vediamo cosa succede se vogliamo dividere 18 per zero. Rifacciamo l'equazione: 18: 0 = x. Poiché l'operazione di divisione è una derivata della procedura di moltiplicazione, trasformando la nostra equazione otteniamo x * 0 = 18. È qui che inizia l'impasse. Qualsiasi numero al posto di x quando moltiplicato per zero darà 0 e non riusciremo a ottenere 18. Ora diventa estremamente chiaro perché non puoi dividere per zero. Lo stesso zero può essere diviso per qualsiasi numero, ma viceversa - ahimè, è impossibile.

Cosa succede quando lo zero è diviso per se stesso? Questo può essere scritto in questa forma: 0: 0 = x o x * 0 = 0. Questa equazione ha un numero infinito di soluzioni. Quindi il risultato finale è l'infinito. Pertanto, anche l'operazione in questo caso non ha senso.

La divisione per 0 è alla radice di molte battute matematiche immaginarie che, se lo si desidera, possono lasciare perplessi qualsiasi persona ignorante. Ad esempio, considera l'equazione: 4 * x - 20 \u003d 7 * x - 35. Prenderemo 4 tra parentesi sul lato sinistro e 7 sulla destra Otteniamo: 4 * (x - 5) \u003d 7 * (x - 5). Ora moltiplichiamo i lati sinistro e destro dell'equazione per la frazione 1 / (x - 5). L'equazione assumerà la seguente forma: 4 * (x - 5) / (x - 5) \u003d 7 * (x - 5) / (x - 5). Riduciamo le frazioni di (x - 5) e otteniamo quel 4 \u003d 7. Da ciò possiamo concludere che 2 * 2 \u003d 7! Ovviamente, il trucco qui è che è uguale a 5 ed era impossibile ridurre le frazioni, poiché ciò ha portato alla divisione per zero. Pertanto, quando si riducono le frazioni, bisogna sempre controllare che lo zero non finisca accidentalmente nel denominatore, altrimenti il risultato risulterà del tutto imprevedibile.

Il numero 0 può essere rappresentato come una sorta di confine che separa il mondo dei numeri reali da quelli immaginari o negativi. A causa della posizione ambigua, molte operazioni con questo valore numerico non obbediscono alla logica matematica. L'impossibilità di dividere per zero ne è un ottimo esempio. E le operazioni aritmetiche consentite con zero possono essere eseguite utilizzando definizioni generalmente accettate.

Storia di Zero

Lo zero è il punto di riferimento in tutti i sistemi numerici standard. Gli europei hanno iniziato a usare questo numero relativamente di recente, ma i saggi dell'antica India hanno usato lo zero per mille anni prima che il numero vuoto fosse usato regolarmente dai matematici europei. Anche prima degli indiani, lo zero era un valore obbligatorio nel sistema numerico Maya. Questo popolo americano usava il sistema duodecimale e iniziava il primo giorno di ogni mese con uno zero. È interessante notare che presso i Maya il segno dello "zero" coincideva completamente con il segno dell'"infinito". Pertanto, gli antichi Maya conclusero che queste quantità erano identiche e inconoscibili.

Operazioni matematiche con zero

Le operazioni matematiche standard con zero possono essere ridotte a poche regole.

Addizione: se aggiungi zero a un numero arbitrario, allora non cambierà il suo valore (0+x=x).

Sottrazione: quando si sottrae zero da qualsiasi numero, il valore della sottrazione rimane invariato (x-0=x).

Moltiplicazione: qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0 nel prodotto (a*0=0).

Divisione: zero può essere diviso per qualsiasi numero diverso da zero. In questo caso, il valore di tale frazione sarà 0. E la divisione per zero è vietata.

Esponenziamento. Questa azione può essere eseguita con qualsiasi numero. Un numero arbitrario elevato alla potenza di zero darà 1 (x 0 = 1).

Zero a qualsiasi potenza è uguale a 0 (0 a \u003d 0).

In questo caso sorge subito una contraddizione: l'espressione 0 0 non ha senso.

Paradossi della matematica

Il fatto che la divisione per zero sia impossibile, molte persone lo sanno a scuola. Ma per qualche motivo non è possibile spiegare il motivo di tale divieto. In effetti, perché la formula della divisione per zero non esiste, ma altre azioni con questo numero sono abbastanza ragionevoli e possibili? La risposta a questa domanda è data dai matematici.

Il fatto è che le normali operazioni aritmetiche che gli scolari studiano alle elementari sono in realtà ben lungi dall'essere uguali come pensiamo. Tutte le semplici operazioni con i numeri possono essere ridotte a due: addizione e moltiplicazione. Queste operazioni sono l'essenza del concetto stesso di numero e il resto delle operazioni si basa sull'uso di questi due.

Addizione e moltiplicazione

Prendiamo un esempio di sottrazione standard: 10-2=8. A scuola si pensa semplicemente: se si tolgono due a dieci oggetti, ne rimangono otto. Ma i matematici guardano a questa operazione in modo abbastanza diverso. Dopotutto, per loro non esiste un'operazione come la sottrazione. Questo esempio può essere scritto in un altro modo: x+2=10. Per i matematici, la differenza sconosciuta è semplicemente il numero che deve essere aggiunto a due per fare otto. E qui non è richiesta alcuna sottrazione, devi solo trovare un valore numerico adatto.

La moltiplicazione e la divisione sono trattate allo stesso modo. Nell'esempio di 12:4=3 si capisce che stiamo parlando della divisione di otto oggetti in due pile uguali. Ma in realtà, questa è solo una formula invertita per scrivere 3x4 \u003d 12. Tali esempi di divisione possono essere forniti all'infinito.

Esempi di divisione per 0

È qui che diventa un po' chiaro perché è impossibile dividere per zero. La moltiplicazione e la divisione per zero hanno le loro regole. Tutti gli esempi per divisione di questa quantità possono essere formulati come 6:0=x. Ma questa è un'espressione invertita dell'espressione 6 * x = 0. Ma, come sai, qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà al prodotto solo 0. Questa proprietà è insita nel concetto stesso di valore zero.

Si scopre che un tale numero, che, moltiplicato per 0, dà un valore tangibile, non esiste, cioè questo problema non ha soluzione. Non bisogna aver paura di una risposta del genere, è una risposta naturale per problemi di questo tipo. Scrivere solo 6:0 non ha alcun senso e non può spiegare nulla. In breve, questa espressione può essere spiegata con l'immortale "nessuna divisione per zero".

Esiste un'operazione 0:0? Infatti, se l'operazione di moltiplicazione per 0 è legale, lo zero può essere diviso per zero? Dopotutto, un'equazione della forma 0x5=0 è del tutto legale. Invece del numero 5, puoi inserire 0, il prodotto non cambierà da questo.

Infatti, 0x0=0. Ma non puoi ancora dividere per 0. Come accennato, la divisione è solo l'inverso della moltiplicazione. Quindi, se nell'esempio 0x5=0, devi determinare il secondo fattore, otteniamo 0x0=5. O 10. O infinito. Dividere l'infinito per zero: come ti piace?

Ma se un numero qualsiasi rientra nell'espressione, allora non ha senso, non possiamo sceglierne uno da un insieme infinito di numeri. E se è così, significa che l'espressione 0:0 non ha senso. Si scopre che anche lo stesso zero non può essere diviso per zero.

matematica superiore

La divisione per zero è un grattacapo per la matematica del liceo. L'analisi matematica studiata nelle università tecniche amplia leggermente il concetto di problemi che non hanno soluzione. Ad esempio, all'espressione già nota 0:0, se ne aggiungono di nuove che non hanno soluzione nei corsi di matematica scolastica:

infinito diviso infinito: ?:?;
infinito meno infinito: ???;
unità elevata a una potenza infinita: 1? ;
infinito moltiplicato per 0: ?*0;
alcuni altri.

È impossibile risolvere tali espressioni con metodi elementari. Ma la matematica superiore, grazie a possibilità aggiuntive per un numero di esempi simili, fornisce soluzioni finali. Ciò è particolarmente evidente nella considerazione dei problemi della teoria dei limiti.

Divulgazione dell'incertezza

Nella teoria dei limiti, il valore 0 è sostituito da una variabile condizionale infinitesimale. E le espressioni in cui si ottiene la divisione per zero quando si sostituisce il valore desiderato vengono convertite. Di seguito è riportato un esempio standard di espansione limite utilizzando le solite trasformazioni algebriche:

Come puoi vedere nell'esempio, una semplice riduzione di una frazione porta il suo valore a una risposta completamente razionale.

Quando si considerano i limiti delle funzioni trigonometriche, le loro espressioni tendono a ridursi al primo limite notevole. Quando si considerano i limiti in cui il denominatore va a 0 quando il limite viene sostituito, viene utilizzato il secondo limite notevole.

Metodo L'Hopital

In alcuni casi, i limiti delle espressioni possono essere sostituiti dal limite delle loro derivate. Guillaume Lopital è un matematico francese, il fondatore della scuola francese di analisi matematica. Ha dimostrato che i limiti delle espressioni sono uguali ai limiti delle derivate di queste espressioni. In notazione matematica, la sua regola è la seguente.

Attualmente, il metodo L'Hopital è utilizzato con successo per risolvere incertezze del tipo 0:0 o ?:?.

Come dividere e moltiplicare per 0,1; 0,01; 0,001 ecc.?

Scrivi le regole per la divisione e la moltiplicazione.

Per moltiplicare un numero per 0,1, devi solo spostare la virgola.

Per esempio lo era 56 , divenne 5,6 .

Per dividere per lo stesso numero, devi spostare la virgola nella direzione opposta:

Per esempio lo era 56 , divenne 560 .

Con il numero 0.01 è tutto uguale, ma devi trasferirlo a 2 caratteri e non a uno.

In generale, quanti zeri, tanto e trasferimento.

Ad esempio, c'è un numero 123456789.

Devi moltiplicarlo per 0,000000001

Ci sono nove zeri nel numero 0.000000001 (contiamo anche lo zero a sinistra della virgola decimale), il che significa che spostiamo il numero 123456789 di 9 cifre:

Era 123456789 diventato 0,123456789.

Per non moltiplicare, ma dividere per lo stesso numero, ci spostiamo dall'altra parte:

Era 123456789 diventato 123456789000000000.

Per spostare un numero intero come questo, gli attribuiamo semplicemente uno zero. E nel frazionario spostiamo la virgola.

Dividere un numero per 0,1 equivale a moltiplicare quel numero per 10

Dividere un numero per 0,01 equivale a moltiplicare quel numero per 100

Dividere per 0,001 è moltiplicare per 1000.

Per facilitare la memorizzazione, leggiamo il numero per il quale dobbiamo dividere da destra a sinistra, ignorando la virgola, e moltiplichiamo per il numero risultante.

Esempio: 50: 0.0001. È come moltiplicare 50 per (letto da destra a sinistra senza virgola - 10000) 10000. Risulta 500000.

Lo stesso con la moltiplicazione, solo al contrario:

400 x 0,01 equivale a dividere 400 per (letto da destra a sinistra senza virgola - 100) 100: 400: 100 = 4.

Chi trova più comodo trasferire le virgole a destra quando si divide ea sinistra quando si moltiplicano quando si moltiplicano e si dividono per tali numeri può farlo.

www.bolshoyvopros.ru

5.5.6. Divisione decimale

IO. Per dividere un numero per un decimale, devi spostare le virgole nel dividendo e nel divisore di tante cifre a destra quante sono dopo la virgola nel divisore, quindi dividere per un numero naturale.

Primory.

Eseguire la divisione: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

Soluzione.

Esempio 1) 16,38: 0,7.

Nel divisorio 0,7 c'è una cifra dopo la virgola, quindi sposteremo le virgole nel dividendo e nel divisore di una cifra a destra.

Allora avremo bisogno di condividere 163,8 SU 7 .

Esegui la divisione secondo la regola di dividere una frazione decimale per un numero naturale.

Dividiamo come dividiamo i numeri naturali. Come togliere il numero 8 - la prima cifra dopo la virgola (cioè la cifra al decimo posto), quindi immediatamente metti una virgola privata e continua a dividere.

Risposta: 23.4.

Esempio 2) 15,6: 0,15.

Sposta le virgole nel dividendo ( 15,6 ) e divisore ( 0,15 ) due cifre a destra, poiché nel divisore 0,15 ci sono due cifre dopo la virgola.

Ricorda che puoi assegnare quanti zeri desideri alla frazione decimale a destra e la frazione decimale non cambierà da questo.

15,6:0,15=1560:15.

Eseguire la divisione dei numeri naturali.

Risposta: 104.

Esempio 3) 3,114: 4,5.

Sposta le virgole nel dividendo e nel divisore di una cifra a destra e dividi 31,14 SU 45 secondo la regola di dividere una frazione decimale per un numero naturale.

3,114:4,5=31,14:45.

In privato, metti una virgola appena demoliamo la figura 1 al decimo posto. Quindi continuiamo la divisione.

Per completare la divisione abbiamo dovuto assegnare zero al numero 9 - differenza di numeri 414 E 405 . (sappiamo che gli zeri possono essere assegnati alla frazione decimale a destra)

Risposta: 0,692.

Esempio 4) 53,84: 0,1.

Trasferiamo le virgole nel dividendo e il divisore di 1 numero a destra.

Noi abbiamo: 538,4:1=538,4.

Analizziamo l'uguaglianza: 53,84:0,1=538,4. Prestiamo attenzione alla virgola nel dividendo in questo esempio e alla virgola nel quoziente risultante. Si noti che la virgola nel dividendo è stata spostata in 1 cifra a destra, come se stessimo moltiplicando 53,84 SU 10. (Guarda il video "Moltiplicare un decimale per 10, 100, 1000, ecc.") Da qui la regola per dividere un decimale per 0,1; 0,01; 0,001 eccetera.

II. Per dividere un decimale per 0,1; 0,01; 0.001, ecc., è necessario spostare la virgola a destra di 1, 2, 3, ecc. cifre. (Dividere un decimale per 0,1; 0,01; 0,001, ecc. equivale a moltiplicare quel decimale per 10, 100, 1000, ecc.)

Esempi.

Eseguire la divisione: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

Soluzione.

Esempio 1) 617,35: 0,1.

Secondo la regola II divisione in 0,1 equivale a moltiplicare per 10 e sposta la virgola nel dividendo 1 cifra a destra:

1) 617,35:0,1=6173,5.

Esempio 2) 0,235: 0,01.

Divisione per 0,01 equivale a moltiplicare per 100 , il che significa che trasferiremo la virgola nel dividendo SU 2 cifre a destra:

2) 0,235:0,01=23,5.

Esempio 3) 2,7845: 0,001.

Perché divisione in 0,001 equivale a moltiplicare per 1000 , quindi sposta la virgola 3 cifre a destra:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

Esempio 4) 26,397: 0,0001.

Dividi i decimali per 0,0001 equivale a moltiplicarlo per 10000 (sposta una virgola da 4 cifre Giusto). Noi abbiamo:

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Moltiplicazione e divisione per numeri come 10, 100, 0.1, 0.01

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In questa lezione vedremo come eseguire moltiplicazioni e divisioni per numeri come 10, 100, 0.1, 0.001. Verranno risolti anche vari esempi su questo argomento.

Moltiplicare i numeri per 10, 100

Esercizio. Come moltiplicare il numero 25,78 per 10?

La notazione decimale per un dato numero è una notazione abbreviata per la somma. Devi descriverlo in modo più dettagliato:

Pertanto, è necessario moltiplicare l'importo. Per fare ciò, puoi semplicemente moltiplicare ogni termine:

Si scopre che.

Possiamo concludere che moltiplicare un decimale per 10 è molto semplice: devi spostare la virgola a destra di una posizione.

Esercizio. Moltiplica 25,486 per 100.

Moltiplicare per 100 equivale a moltiplicare due volte per 10. In altre parole, devi spostare la virgola verso destra due volte:

Divisione dei numeri per 10, 100

Esercizio. Dividi 25,78 per 10.

Come nel caso precedente, è necessario rappresentare il numero 25,78 come somma:

Poiché è necessario dividere la somma, ciò equivale a dividere ogni termine:

Si scopre che per dividere per 10 è necessario spostare la virgola a sinistra di una posizione. Per esempio:

Esercizio. Dividi 124,478 per 100.

Dividere per 100 equivale a dividere per 10 due volte, quindi la virgola viene spostata a sinistra di 2 posizioni:

Regola di moltiplicazione e divisione per 10, 100, 1000

Se una frazione decimale deve essere moltiplicata per 10, 100, 1000 e così via, devi spostare la virgola a destra di tante posizioni quanti sono gli zeri nel moltiplicatore.

E viceversa, se la frazione decimale deve essere divisa per 10, 100, 1000 e così via, è necessario spostare la virgola a sinistra di tante posizioni quanti sono gli zeri nel moltiplicatore.

Esempi in cui è necessario spostare una virgola, ma non ci sono più cifre

Moltiplicare per 100 significa spostare la virgola decimale a destra di due posizioni.

Dopo lo spostamento, puoi scoprire che non ci sono più cifre dopo il punto decimale, il che significa che manca la parte frazionaria. Quindi la virgola non è necessaria, il numero si è rivelato un numero intero.

Devi spostarti di 4 posizioni a destra. Ma ci sono solo due cifre dopo la virgola. Vale la pena ricordare che esiste una notazione equivalente per la frazione 56.14.

Ora moltiplicare per 10.000 è facile:

Se non è molto chiaro il motivo per cui puoi aggiungere due zeri alla frazione nell'esempio precedente, allora il video aggiuntivo al link può aiutarti in questo.

Voci decimali equivalenti

La voce 52 indica quanto segue:

Se mettiamo 0 davanti, otteniamo il record 052. Questi record sono equivalenti.

È possibile mettere due zeri davanti? Sì, queste voci sono equivalenti.

Ora diamo un'occhiata al decimale:

Se assegniamo zero, otteniamo:

Queste voci sono equivalenti. Allo stesso modo, puoi assegnare diversi zeri.

Pertanto, a qualsiasi numero possono essere assegnati diversi zeri dopo la parte frazionaria e diversi zeri prima della parte intera. Queste saranno voci equivalenti dello stesso numero.

Poiché si verifica la divisione per 100, è necessario spostare la virgola di 2 posizioni a sinistra. Non ci sono cifre a sinistra della virgola decimale. Manca tutta la parte. Questa notazione è spesso usata dai programmatori. In matematica, se non c'è una parte intera, metti zero al suo posto.

Devi spostarti a sinistra di tre posizioni, ma ci sono solo due posizioni. Se scrivi diversi zeri prima del numero, questa sarà una notazione equivalente.

Cioè, quando ti sposti a sinistra, se i numeri sono finiti, devi riempirli di zeri.

In questo caso, vale la pena ricordare che la virgola viene sempre dopo la parte intera. Poi:

Moltiplicazione e divisione per 0.1, 0.01, 0.001

La moltiplicazione e la divisione per i numeri 10, 100, 1000 è una procedura molto semplice. Lo stesso vale per i numeri 0.1, 0.01, 0.001.

Esempio. Moltiplica 25,34 per 0,1.

Scriviamo la frazione decimale 0.1 sotto forma di ordinario. Ma moltiplicare per equivale a dividere per 10. Pertanto, devi spostare la posizione della virgola 1 a sinistra:

Allo stesso modo, moltiplicando per 0,01 si divide per 100:

Esempio. 5,235 diviso 0,1.

La soluzione di questo esempio è costruita in modo simile: 0,1 è espresso come frazione ordinaria e dividere per equivale a moltiplicare per 10:

Cioè, per dividere per 0,1, devi spostare la virgola a destra di una posizione, che equivale a moltiplicare per 10.

Regola per moltiplicare e dividere per 0.1, 0.01, 0.001

Moltiplicare per 10 e dividere per 0,1 è la stessa cosa. La virgola deve essere spostata a destra di 1 posizione.

Dividere per 10 e moltiplicare per 0,1 è la stessa cosa. La virgola deve essere spostata a destra di 1 posizione:

Soluzione di esempi

Conclusione

In questa lezione sono state studiate le regole per dividere e moltiplicare per 10, 100 e 1000. Inoltre, sono state considerate le regole per moltiplicare e dividere per 0,1, 0,01, 0,001.

Sono stati esaminati e decisi esempi sull'applicazione di queste regole.

Bibliografia

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1. Portale Internet "Festival delle idee pedagogiche" (Fonte)

2. Portale Internet "Matematika-na.ru" (Fonte)

3. Portale Internet "School.xvatit.com" (Fonte)

Compiti a casa

3. Confronta i valori dell'espressione:

Azioni con zero

In matematica, il numero zero occupa un posto speciale. Il fatto è che, in effetti, significa "niente", "vuoto", ma il suo significato è davvero difficile da sopravvalutare. Per fare questo, è sufficiente ricordare almeno con cosa esattamente segno zero e inizia il conto alla rovescia delle coordinate della posizione del punto in qualsiasi sistema di coordinate.

Zero molto utilizzato nei decimali per determinare i valori delle cifre "vuote", sia prima che dopo la virgola. Inoltre, ad essa è associata una delle regole fondamentali dell'aritmetica, che lo dice su zero non può essere diviso. La sua logica, infatti, scaturisce dall'essenza stessa di questo numero: infatti, è impossibile immaginare che qualche valore diverso da esso (e anche esso stesso) fosse diviso nel “nulla”.

CON zero vengono eseguite tutte le operazioni aritmetiche e come "partner" possono essere utilizzati interi, frazioni ordinarie e decimali e tutti possono avere valori sia positivi che negativi. Diamo esempi della loro implementazione e alcune spiegazioni per loro.

Quando si aggiunge zero a un certo numero (sia intero che frazionario, sia positivo che negativo), il suo valore rimane assolutamente invariato.

ventiquattro più zero equivale a ventiquattro.

Diciassette virgola tre ottavo più zeroè uguale a diciassette virgola tre ottavi.

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Anche a scuola, gli insegnanti hanno cercato di martellarci in testa la regola più semplice: "Qualsiasi numero moltiplicato per zero è uguale a zero!", - ma ci sono ancora molte polemiche intorno a lui. Qualcuno ha appena memorizzato la regola e non si preoccupa della domanda "perché?". "Non puoi fare tutto qui, perché a scuola dicevano così, la regola è la regola!" Qualcuno può riempire mezzo quaderno di formule, dimostrando questa regola o, al contrario, la sua illogicità.

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Chi ha ragione alla fine

Durante queste controversie, entrambe le persone, avendo punti di vista opposti, si guardano l'un l'altro come un ariete e dimostrano con tutte le loro forze di avere ragione. Anche se, se li guardi di lato, puoi vedere non uno, ma due arieti appoggiati l'uno contro l'altro con le corna. L'unica differenza tra loro è che uno è leggermente meno istruito dell'altro.

Molto spesso, coloro che considerano questa regola sbagliata cercano di invocare la logica in questo modo:

Ho due mele sulla mia tavola, se ci metto zero mele, cioè non ne metto una sola, allora le mie due mele non spariranno da questo! La regola è illogica!

In effetti, le mele non scompariranno da nessuna parte, ma non perché la regola sia illogica, ma perché qui viene utilizzata un'equazione leggermente diversa: 2 + 0 \u003d 2. Quindi scarteremo immediatamente tale conclusione: è illogica, sebbene abbia il obiettivo opposto: chiamare alla logica.

Cos'è la moltiplicazione

La regola di moltiplicazione originaleè stato definito solo per i numeri naturali: la moltiplicazione è un numero aggiunto a se stesso un certo numero di volte, il che implica la naturalezza del numero. Pertanto, qualsiasi numero con moltiplicazione può essere ridotto a questa equazione:

25x3=75
25 + 25 + 25 = 75
25x3 = 25 + 25 + 25

Da questa equazione segue la conclusione, che la moltiplicazione è un'addizione semplificata.

Cosa è zero

Chiunque sa fin dall'infanzia: zero è vuoto Nonostante il fatto che questo vuoto abbia una designazione, non porta nulla. Gli antichi scienziati orientali la pensavano diversamente: hanno affrontato la questione filosoficamente e hanno tracciato alcuni parallelismi tra il vuoto e l'infinito e hanno visto un significato profondo in questo numero. Dopotutto, lo zero, che ha il valore del vuoto, stando accanto a qualsiasi numero naturale, lo moltiplica dieci volte. Da qui tutta la polemica sulla moltiplicazione: questo numero porta così tante incoerenze che diventa difficile non confondersi. Inoltre, lo zero viene costantemente utilizzato per determinare le cifre vuote nelle frazioni decimali, questo viene fatto sia prima che dopo il punto decimale.

È possibile moltiplicare per vuoto

È possibile moltiplicare per zero, ma è inutile, perché, qualunque cosa si possa dire, ma anche moltiplicando numeri negativi si otterrà comunque zero. Basta ricordare questa semplice regola e non porre mai più questa domanda. In effetti, tutto è più semplice di quanto sembri a prima vista. Non ci sono significati e segreti nascosti, come credevano gli antichi scienziati. Di seguito verrà fornita la spiegazione più logica che questa moltiplicazione è inutile, perché quando si moltiplica un numero per esso, si otterrà comunque la stessa cosa: zero.

Tornando all'inizio, la discussione su due mele, 2 volte 0 si presenta così:

Se mangi due mele cinque volte, allora mangi 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 mele
Se ne mangi due tre volte, allora mangi 2 × 3 = 2 + 2 + 2 = 6 mele
Se mangi due mele zero volte, non verrà mangiato nulla - 2x0 = 0x2 = 0+0 = 0

Dopotutto, mangiare una mela 0 volte significa non mangiarne nemmeno una. Questo sarà chiaro anche al bambino più piccolo. Piaccia o no, verrà fuori 0, due o tre possono essere sostituiti con qualsiasi numero e verrà fuori assolutamente la stessa cosa. E per dirla semplicemente, zero è niente e quando hai non c'è nulla, quindi non importa quanto moltiplichi, è lo stesso sarà zero. Non c'è magia e niente farà una mela, anche se moltiplichi 0 per un milione. Questa è la spiegazione più semplice, comprensibile e logica della regola della moltiplicazione per zero. Per una persona che è lontana da tutte le formule e dalla matematica, una tale spiegazione sarà sufficiente per risolvere la dissonanza nella testa e tutto andrà a posto.

Divisione

Da tutto quanto sopra segue un'altra regola importante:

Non puoi dividere per zero!

Anche questa regola è stata martellata ostinatamente nelle nostre teste fin dall'infanzia. Sappiamo solo che è impossibile e basta, senza riempirci la testa di informazioni inutili. Se all'improvviso ti viene posta la domanda, per quale motivo è vietato dividere per zero, la maggioranza sarà confusa e non sarà in grado di rispondere chiaramente alla domanda più semplice del curriculum scolastico, perché non ci sono così tante controversie e contraddizioni attorno a questa regola.

Tutti hanno appena memorizzato la regola e non dividono per zero, senza sospettare che la risposta sia in superficie. L'addizione, la moltiplicazione, la divisione e la sottrazione sono disuguali, solo la moltiplicazione e l'addizione sono piene di quanto sopra e tutte le altre manipolazioni con i numeri sono costruite da esse. Cioè, la voce 10: 2 è un'abbreviazione dell'equazione 2 * x = 10. Pertanto, la voce 10: 0 è la stessa abbreviazione di 0 * x = 10. Si scopre che la divisione per zero è un compito da trovare un numero, moltiplicato per 0, ottieni 10 E abbiamo già capito che un tale numero non esiste, il che significa che questa equazione non ha soluzione, e sarà a priori errata.

Lascia che ti dica

Per non dividere per 0!

Taglia 1 come preferisci, lungo,

Basta non dividere per 0!

Esempi di calcolo

AGGIUNTA

Quando si aggiunge zero a un certo numero (sia intero che frazionario, sia positivo che negativo), il suo valore rimane assolutamente invariato.

Esempio 1

ventiquattro più zero equivale a ventiquattro.

Esempio 2

Diciassette virgola tre ottavo più zeroè uguale a diciassette virgola tre ottavi.

MOLTIPLICAZIONE

Quando si moltiplica qualsiasi numero (intero, frazionario, positivo o negativo) per zero si scopre zero.

Esempio 1

cinquecentottantasei volte zero equivale zero.

Esempio 2

Zero per centotrentacinque virgola sei uguale zero.

Esempio 3

Zero moltiplicato per zero equivale zero.

DIVISIONE

Le regole per dividere i numeri l'uno nell'altro nei casi in cui uno di essi è zero differiscono a seconda esattamente del ruolo svolto dallo stesso zero: divisibile o divisore?

Nei casi in cui zeroè un dividendo, il risultato è sempre uguale ad esso, indipendentemente dal valore del divisore.

Esempio 1

Zero diviso per duecentosessantacinque uguali zero.

Esempio 2

Zero diviso per uguali zero.

= 0

Dividere zero a zero secondo le regole della matematica è impossibile. Ciò significa che quando viene eseguita tale procedura, il quoziente è indeterminato. Quindi, in teoria, può essere assolutamente qualsiasi numero.

0: 0 = 8 perché 8 × 0 = 0

In matematica, un problema come dividere zero per zero, non ha alcun senso, poiché il suo risultato è un insieme infinito. Questa affermazione, tuttavia, è vera se non vengono indicati dati aggiuntivi che possono influenzare il risultato finale.

Quelli, se ce ne sono, dovrebbero indicare il grado di cambiamento nell'entità sia del dividendo che del divisore, e anche prima del momento in cui si sono trasformati in zero. Se è definito, allora un'espressione come zero dividi per zero, nella stragrande maggioranza dei casi, si può dare un significato.

In questa lezione vedremo come eseguire moltiplicazioni e divisioni per numeri come 10, 100, 0.1, 0.001. Verranno risolti anche vari esempi su questo argomento.

Esercizio. Come moltiplicare il numero 25,78 per 10?

La notazione decimale per un dato numero è una notazione abbreviata per la somma. Devi descriverlo in modo più dettagliato:

Pertanto, è necessario moltiplicare l'importo. Per fare ciò, puoi semplicemente moltiplicare ogni termine:

Si scopre che.

Possiamo concludere che moltiplicare un decimale per 10 è molto semplice: devi spostare la virgola a destra di una posizione.

Esercizio. Moltiplica 25,486 per 100.

Moltiplicare per 100 equivale a moltiplicare due volte per 10. In altre parole, devi spostare la virgola verso destra due volte:

Esercizio. Dividi 25,78 per 10.

Come nel caso precedente, è necessario rappresentare il numero 25,78 come somma:

Poiché è necessario dividere la somma, ciò equivale a dividere ogni termine:

Si scopre che per dividere per 10 è necessario spostare la virgola a sinistra di una posizione. Per esempio:

Esercizio. Dividi 124,478 per 100.

Dividere per 100 equivale a dividere per 10 due volte, quindi la virgola viene spostata a sinistra di 2 posizioni:

Se una frazione decimale deve essere moltiplicata per 10, 100, 1000 e così via, devi spostare la virgola a destra di tante posizioni quanti sono gli zeri nel moltiplicatore.

E viceversa, se la frazione decimale deve essere divisa per 10, 100, 1000 e così via, è necessario spostare la virgola a sinistra di tante posizioni quanti sono gli zeri nel moltiplicatore.

Esempio 1

Moltiplicare per 100 significa spostare la virgola decimale a destra di due posizioni.

Esempio 2

Devi spostarti di 4 posizioni a destra. Ma ci sono solo due cifre dopo la virgola. Vale la pena ricordare che esiste una notazione equivalente per la frazione 56.14.

Ora moltiplicare per 10.000 è facile:

Se non è molto chiaro il motivo per cui puoi aggiungere due zeri alla frazione nell'esempio precedente, allora il video aggiuntivo al link può aiutarti in questo.

Voci decimali equivalenti

La voce 52 indica quanto segue:

Se mettiamo 0 davanti, otteniamo il record 052. Questi record sono equivalenti.

È possibile mettere due zeri davanti? Sì, queste voci sono equivalenti.

Ora diamo un'occhiata al decimale:

Se assegniamo zero, otteniamo:

Queste voci sono equivalenti. Allo stesso modo, puoi assegnare diversi zeri.

Pertanto, a qualsiasi numero possono essere assegnati diversi zeri dopo la parte frazionaria e diversi zeri prima della parte intera. Queste saranno voci equivalenti dello stesso numero.

Esempio 3

Esempio 4

Devi spostarti a sinistra di tre posizioni, ma ci sono solo due posizioni. Se scrivi diversi zeri prima del numero, questa sarà una notazione equivalente.

Cioè, quando ti sposti a sinistra, se i numeri sono finiti, devi riempirli di zeri.

Esempio 5

In questo caso, vale la pena ricordare che la virgola viene sempre dopo la parte intera. Poi:

La moltiplicazione e la divisione per i numeri 10, 100, 1000 è una procedura molto semplice. Lo stesso vale per i numeri 0.1, 0.01, 0.001.

Esempio. Moltiplica 25,34 per 0,1.

Scriviamo la frazione decimale 0.1 sotto forma di ordinario. Ma moltiplicare per equivale a dividere per 10. Pertanto, devi spostare la posizione della virgola 1 a sinistra:

Allo stesso modo, moltiplicando per 0,01 si divide per 100:

Esempio. 5,235 diviso 0,1.

La soluzione di questo esempio è costruita in modo simile: 0,1 è espresso come frazione ordinaria e dividere per equivale a moltiplicare per 10:

Cioè, per dividere per 0,1, devi spostare la virgola a destra di una posizione, che equivale a moltiplicare per 10.

Moltiplicare per 10 e dividere per 0,1 è la stessa cosa. La virgola deve essere spostata a destra di 1 posizione.

Dividere per 10 e moltiplicare per 0,1 è la stessa cosa. La virgola deve essere spostata a destra di 1 posizione:

Tipo