Nome dei numeri primi. numeri primi

• Traduzione

Le proprietà dei numeri primi furono studiate per la prima volta dai matematici dell'antica Grecia. I matematici della scuola pitagorica (500 - 300 aC) erano interessati principalmente alle proprietà mistiche e numerologiche dei numeri primi. Sono stati i primi a proporre idee su numeri perfetti e amichevoli.

Un numero perfetto ha i suoi divisori uguali a se stesso. Ad esempio, i divisori propri del numero 6 sono: 1, 2 e 3. 1 + 2 + 3 = 6. I divisori del numero 28 sono 1, 2, 4, 7 e 14. Inoltre, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

I numeri sono chiamati amichevoli se la somma dei divisori propri di un numero è uguale a un altro e viceversa, ad esempio 220 e 284. Possiamo dire che un numero perfetto è amico di se stesso.

Al momento della comparsa dell'opera degli "Inizi" di Euclide nel 300 a.C. Diversi fatti importanti sui numeri primi sono già stati dimostrati. Nel Libro IX degli Elementi, Euclide dimostrò che esistono un numero infinito di numeri primi. A proposito, questo è uno dei primi esempi dell'uso della prova per assurdo. Dimostra anche il teorema di base dell'aritmetica: ogni intero può essere rappresentato in un modo unico come un prodotto di numeri primi.

Ha anche mostrato che se il numero 2 n -1 è primo, allora il numero 2 n-1 * (2 n -1) sarà perfetto. Un altro matematico, Eulero, nel 1747 riuscì a dimostrare che tutti i numeri pari perfetti possono essere scritti in questa forma. Ad oggi, non è noto se esistano numeri perfetti dispari.

Nell'anno 200 a.C. Il greco Eratostene escogitò un algoritmo per trovare i numeri primi chiamato Crivello di Eratostene.

E poi c'è stata una grande rottura nella storia dello studio dei numeri primi associati al Medioevo.

Le seguenti scoperte furono fatte già all'inizio del XVII secolo dal matematico Fermat. Ha dimostrato la congettura di Albert Girard che qualsiasi numero primo della forma 4n+1 può essere scritto in modo univoco come somma di due quadrati e ha anche formulato un teorema secondo cui qualsiasi numero può essere rappresentato come somma di quattro quadrati.

Ha sviluppato un nuovo metodo di fattorizzazione per numeri grandi e lo ha dimostrato sul numero 2027651281 = 44021 × 46061. Ha anche dimostrato il piccolo teorema di Fermat: se p è un numero primo, allora a p = a modulo p sarà vero per qualsiasi intero a.

Questa affermazione dimostra la metà di quella che era nota come "ipotesi cinese" e risale a 2000 anni prima: un intero n è primo se e solo se 2n-2 è divisibile per n. La seconda parte dell'ipotesi si è rivelata falsa: ad esempio, 2341 - 2 è divisibile per 341, sebbene il numero 341 sia composto: 341 = 31 × 11.

Il piccolo teorema di Fermat è stata la base per molti altri risultati nella teoria dei numeri e metodi per verificare se i numeri sono primi, molti dei quali sono ancora in uso oggi.

Fermat corrispondeva a lungo con i suoi contemporanei, in particolare con un monaco di nome Marin Mersenne. In una delle sue lettere, ha congetturato che i numeri della forma 2 n + 1 saranno sempre primi se n è una potenza di due. Ha testato questo per n = 1, 2, 4, 8 e 16 ed era sicuro che quando n non è una potenza di due, il numero non era necessariamente primo. Questi numeri sono chiamati numeri di Fermat, e fu solo 100 anni dopo che Eulero dimostrò che il numero successivo, 232 + 1 = 4294967297, è divisibile per 641 e quindi non primo.

Anche i numeri della forma 2 n - 1 sono stati oggetto di ricerca, poiché è facile dimostrare che se n è composto, allora anche il numero stesso è composto. Questi numeri sono chiamati numeri di Mersenne perché li ha studiati attivamente.

Ma non tutti i numeri della forma 2 n - 1, dove n è primo, sono primi. Ad esempio, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Questo fu scoperto per la prima volta nel 1536.

Per molti anni, numeri di questo tipo hanno fornito ai matematici i più grandi numeri primi conosciuti. Che il numero M 19 fu dimostrato da Cataldi nel 1588, e per 200 anni fu il numero primo più grande conosciuto, fino a quando Eulero dimostrò che anche M 31 è primo. Questo record è durato per altri cento anni, e poi Lucas ha mostrato che M 127 è primo (e questo è già un numero di 39 cifre), e successivamente la ricerca è continuata con l'avvento dei computer.

Nel 1952 fu provata la primizia dei numeri M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 e M 2281.

Nel 2005 erano stati trovati 42 numeri primi di Mersenne. Il più grande di essi, M 25964951 , è composto da 7816230 cifre.

Il lavoro di Eulero ha avuto un enorme impatto sulla teoria dei numeri, compresi i numeri primi. Estese il piccolo teorema di Fermat e introdusse la funzione φ. Fattorizzato il 5° numero di Fermat 2 32 +1, trovato 60 coppie di numeri amichevoli e formulato (ma non è riuscito a dimostrare) la legge quadratica di reciprocità.

Fu il primo a introdurre i metodi dell'analisi matematica e sviluppò la teoria analitica dei numeri. Dimostrò che non solo la serie armonica ∑ (1/n), ma anche una serie della forma

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Ottenuto dalla somma di quantità inverse ai numeri primi, diverge anche. La somma degli n termini della serie armonica cresce approssimativamente come log(n), mentre la seconda serie diverge più lentamente, come log[ log(n) ]. Ciò significa che, ad esempio, la somma dei reciproci di tutti i numeri primi trovati fino ad oggi darà solo 4, anche se la serie diverge ancora.

A prima vista, sembra che i numeri primi siano distribuiti tra gli interi in modo piuttosto casuale. Ad esempio, tra i 100 numeri immediatamente prima di 10000000, ci sono 9 numeri primi e tra i 100 numeri immediatamente dopo questo valore ce ne sono solo 2. Ma su segmenti grandi, i numeri primi sono distribuiti in modo abbastanza uniforme. Legendre e Gauss si sono occupati della loro distribuzione. Gauss una volta disse a un amico che in ogni 15 minuti gratuiti conta sempre il numero di primi nei successivi 1000 numeri. Alla fine della sua vita, aveva contato tutti i numeri primi fino a 3 milioni. Legendre e Gauss hanno ugualmente calcolato che per n grande la densità dei numeri primi è 1/log(n). Legendre ha stimato il numero dei primi tra 1 e n come

π(n) = n/(log(n) - 1.08366)

E Gauss - come integrale logaritmico

π(n) = / 1/log(t) dt

Con un intervallo di integrazione da 2 a n.

L'affermazione sulla densità dei numeri primi 1/log(n) è nota come Teorema dei Numeri Primi. Hanno cercato di dimostrarlo per tutto il XIX secolo e Chebyshev e Riemann hanno fatto progressi. Lo collegarono con l'ipotesi di Riemann, una congettura finora non dimostrata sulla distribuzione degli zeri della funzione zeta di Riemann. La densità dei numeri primi fu dimostrata simultaneamente da Hadamard e de la Vallée-Poussin nel 1896.

Nella teoria dei numeri primi ci sono ancora molte questioni irrisolte, alcune delle quali hanno molte centinaia di anni:

• ipotesi dei primi gemelli - su un numero infinito di coppie di numeri primi che differiscono tra loro di 2
• Congettura di Goldbach: qualsiasi numero pari, a partire da 4, può essere rappresentato come la somma di due numeri primi
• Esiste un numero infinito di numeri primi della forma n 2 + 1 ?
• è sempre possibile trovare un numero primo compreso tra n 2 e (n + 1) 2 ? (il fatto che ci sia sempre un numero primo tra n e 2n è stato dimostrato da Chebyshev)
• Esiste un numero infinito di numeri primi di Fermat? ci sono numeri primi di Fermat dopo il 4?
• esiste una progressione aritmetica di numeri primi consecutivi per una data lunghezza? ad esempio, per la lunghezza 4: 251, 257, 263, 269. La lunghezza massima trovata è 26 .
• Esiste un numero infinito di insiemi di tre numeri primi consecutivi in ​​una progressione aritmetica?
• n 2 - n + 41 è un numero primo per 0 ≤ n ≤ 40. Esiste un numero infinito di tali numeri primi? Stessa domanda per la formula n 2 - 79 n + 1601. Questi numeri sono primi per 0 ≤ n ≤ 79.
• Esiste un numero infinito di numeri primi della forma n# + 1? (n# è il risultato della moltiplicazione di tutti i numeri primi minori di n)
• Esiste un numero infinito di numeri primi della forma n# -1 ?
• Esiste un numero infinito di numeri primi della forma n! +1?
• Esiste un numero infinito di numeri primi della forma n! - uno?
• se p è primo, 2 p -1 non include sempre tra i fattori dei primi al quadrato
• La sequenza di Fibonacci contiene un numero infinito di numeri primi?

I numeri primi gemelli più grandi sono 2003663613 × 2 195000 ± 1. Sono costituiti da 58711 cifre e sono stati trovati nel 2007.

Il più grande numero primo fattoriale (della forma n! ± 1) è 147855! - 1. Consiste di 142891 cifre ed è stato trovato nel 2002.

Il più grande numero primo primordiale (un numero della forma n# ± 1) è 1098133# + 1.

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I numeri sono diversi: naturali, naturali, razionali, interi e frazionari, positivi e negativi, complessi e primi, pari e dispari, reali, ecc. Da questo articolo puoi imparare cosa sono i numeri primi.

Quali numeri sono chiamati la parola inglese "semplice"?

Molto spesso, gli scolari non sanno come rispondere a una delle domande apparentemente più semplici della matematica, su cosa sia un numero primo. Spesso confondono i numeri primi con i numeri naturali (cioè i numeri che le persone usano quando contano gli oggetti, mentre in alcune fonti iniziano da zero e in altre - da uno). Ma sono due concetti completamente diversi. I numeri primi sono numeri naturali, cioè numeri interi e positivi maggiori di uno e che hanno solo 2 divisori naturali. In questo caso, uno di questi divisori è un dato numero e il secondo è un'unità. Ad esempio, tre è un numero primo perché non è equamente divisibile per nessun numero diverso da se stesso e uno.

Numeri compositi

L'opposto dei numeri primi sono i numeri composti. Sono anche naturali, anche maggiori di uno, ma non hanno due, ma più divisori. Quindi, ad esempio, i numeri 4, 6, 8, 9, ecc. sono numeri naturali, composti, ma non primi. Come puoi vedere, questi sono per lo più numeri pari, ma non tutti. Ma il "due" è un numero pari e il "primo numero" in una serie di numeri primi.

Sotto sequenza

Per costruire una serie di numeri primi, è necessario effettuare una selezione da tutti i numeri naturali, tenendo conto della loro definizione, cioè bisogna agire per assurdo. È necessario considerare ciascuno dei numeri positivi naturali a proposito del fatto che abbia più di due divisori. Proviamo a costruire una serie (sequenza) composta da numeri primi. L'elenco inizia con due, poi arriva con tre, poiché è divisibile solo per se stesso e per uno. Considera il numero quattro. Ha divisori diversi da quattro e uno? Sì, quel numero è 2. Quindi quattro non è un numero primo. Cinque è anche primo (oltre a 1 e 5, non è divisibile per nessun altro numero), ma sei è divisibile. E in generale, se segui tutti i numeri pari, noterai che a parte “due”, nessuno di essi è primo. Da ciò concludiamo che i numeri pari, tranne due, non sono primi. Un'altra scoperta: tutti i numeri divisibili per tre, tranne il triplo stesso, pari o dispari, non sono primi (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ecc.). Lo stesso vale per i numeri divisibili per cinque e sette. Anche tutto il loro set non è semplice. Riassumiamo. Quindi, tutti i numeri dispari, tranne uno e nove, appartengono a semplici numeri a una cifra e solo "due" da quelli pari. Le decine stesse (10, 20,... 40, ecc.) non sono prime. I numeri primi a due cifre, tre cifre, ecc. possono essere definiti in base ai principi di cui sopra: se non hanno altri divisori oltre a loro stessi e uno.

Teorie sulle proprietà dei numeri primi

C'è una scienza che studia le proprietà degli interi, compresi quelli primi. Questa è una branca della matematica, che è chiamata superiore. Oltre alle proprietà degli interi, si occupa anche di numeri algebrici, trascendentali, nonché di funzioni di varia origine legate all'aritmetica di questi numeri. In questi studi, oltre ai metodi elementari e algebrici, vengono utilizzati anche quelli analitici e geometrici. Nello specifico, lo studio dei numeri primi si occupa della "Teoria dei Numeri".

I numeri primi sono i "mattoni" dei numeri naturali

In aritmetica esiste un teorema chiamato teorema principale. Secondo esso, qualsiasi numero naturale, ad eccezione dell'unità, può essere rappresentato come un prodotto, i cui fattori sono numeri primi e l'ordine dei fattori è unico, il che significa che il metodo di rappresentazione è unico. Si chiama scomposizione di un numero naturale in fattori primi. C'è un altro nome per questo processo: fattorizzazione dei numeri. Procedendo da ciò, i numeri primi possono essere chiamati "materiale da costruzione", "blocchi" per costruire numeri naturali.

Cerca i numeri primi. Test di semplicità

Molti scienziati di epoche diverse hanno cercato di trovare alcuni principi (sistemi) per trovare un elenco di numeri primi. La scienza conosce sistemi chiamati setaccio di Atkin, setaccio di Sundartam, setaccio di Eratostene. Tuttavia, non danno risultati significativi e viene utilizzato un semplice test per trovare i numeri primi. Anche gli algoritmi sono stati creati dai matematici. Sono chiamati test di primalità. Ad esempio, esiste un test sviluppato da Rabin e Miller. È usato dai crittografi. C'è anche un test Kayala-Agrawala-Saskena. Tuttavia, nonostante la sua sufficiente precisione, è molto difficile da calcolare, il che ne diminuisce il valore pratico.

L'insieme dei numeri primi ha un limite?

Il fatto che l'insieme dei numeri primi sia infinito è stato scritto nel libro "Inizi" dell'antico scienziato greco Euclide. Disse questo: “Immaginiamo per un momento che i numeri primi abbiano un limite. Quindi moltiplichiamoli tra loro e aggiungiamo uno al prodotto. Il numero ottenuto come risultato di queste semplici operazioni non può essere divisibile per nessuna delle serie di numeri primi, perché il resto sarà sempre uno. E questo significa che c'è qualche altro numero che non è ancora incluso nell'elenco dei numeri primi. Pertanto, la nostra ipotesi non è vera e questo insieme non può avere un limite. Oltre alla dimostrazione di Euclide, c'è una formula più moderna data dal matematico svizzero del diciottesimo secolo Leonhard Euler. Secondo lui, la somma, il reciproco della somma dei primi n numeri, cresce indefinitamente con la crescita del numero n. Ed ecco la formula del teorema relativo alla distribuzione dei numeri primi: (n) cresce come n / ln (n).

Qual è il numero primo più grande?

Lo stesso Leonard Euler riuscì a trovare il numero primo più grande per il suo tempo. Questo è 2 31 - 1 = 2147483647. Tuttavia, entro il 2013, è stato calcolato un altro numero primo più accurato nell'elenco: 2 57885161 - 1. Si chiama numero di Mersenne. Contiene circa 17 milioni di cifre decimali. Come puoi vedere, il numero trovato da uno scienziato del diciottesimo secolo è molte volte inferiore a questo. Avrebbe dovuto essere così, perché Eulero ha fatto questo calcolo manualmente, ma il nostro contemporaneo è stato probabilmente aiutato da un computer. Inoltre, questo numero è stato ottenuto presso il Dipartimento di Matematica in uno dei dipartimenti americani. I numeri che prendono il nome da questo scienziato passano attraverso il test di primalità di Luc-Lehmer. Tuttavia, la scienza non vuole fermarsi qui. La Electronic Frontier Foundation, fondata nel 1990 negli Stati Uniti d'America (EFF), ha offerto una ricompensa monetaria per la ricerca di numeri primi di grandi dimensioni. E se fino al 2013 il premio era assegnato a quegli scienziati che li troveranno tra 1 e 10 milioni di decimali, oggi questa cifra è passata da 100 milioni a 1 miliardo. I premi vanno da 150 a 250 mila dollari USA.

Nomi di numeri primi speciali

Quei numeri che sono stati trovati grazie ad algoritmi creati da alcuni scienziati e hanno superato il test di semplicità sono chiamati speciali. Eccone alcuni:

1. Mersino.

4. Cullen.

6. Mills et al.

La semplicità di questi numeri, dal nome degli scienziati di cui sopra, è stabilita utilizzando i seguenti test:

1. Lucas-Lemer.

2. Pepina.

3. Risel.

4. Billhart - Lehmer - Selfridge e altri.

La scienza moderna non si ferma qui, e probabilmente nel prossimo futuro il mondo conoscerà i nomi di coloro che sono riusciti a vincere un premio di 250.000 dollari trovando il numero primo più grande.

La risposta di Ilya è corretta, ma non molto dettagliata. Nel 18° secolo, tra l'altro, uno era ancora considerato un numero primo. Ad esempio, grandi matematici come Eulero e Goldbach. Goldbach è l'autore di uno dei sette compiti del millennio: l'ipotesi di Goldbach. La formulazione originale afferma che qualsiasi numero pari può essere rappresentato come la somma di due numeri primi. Inoltre, inizialmente 1 è stato preso in considerazione come numero primo, e vediamo questo: 2 = 1 + 1. Questo è il più piccolo esempio che soddisfa la formulazione originaria dell'ipotesi. Successivamente è stato corretto e la formulazione ha acquisito un aspetto moderno: "ogni numero pari, a partire da 4, può essere rappresentato come la somma di due numeri primi".

Ricordiamo la definizione. Un numero primo p è un numero naturale p che ha solo 2 diversi divisori naturali: p stesso e 1. Un corollario dalla definizione: un numero primo p ha un solo divisore primo - p stesso.

Supponiamo ora che 1 sia un numero primo. Per definizione, un numero primo ha un solo divisore primo: se stesso. Quindi risulta che qualsiasi numero primo maggiore di 1 è divisibile per un numero primo che differisce da esso (per 1). Ma due numeri primi distinti non possono essere divisibili tra loro, perché altrimenti non sono numeri primi, ma composti, e questo contraddice la definizione. Con questo approccio, risulta che esiste solo 1 numero primo: l'unità stessa. Ma questo è assurdo. Pertanto, 1 non è un numero primo.

1, così come 0, formano un'altra classe di numeri: la classe degli elementi neutri rispetto alle operazioni n-nar in alcuni sottoinsiemi del campo algebrico. Inoltre, rispetto all'operazione di addizione, 1 è anche un elemento generatore dell'anello di interi.

Considerando ciò, non è difficile trovare analoghi di numeri primi in altre strutture algebriche. Supponiamo di avere un gruppo moltiplicativo formato da potenze di 2 a partire da 1: 2, 4, 8, 16, ... ecc. 2 funge qui da elemento di formazione. Un numero primo in questo gruppo è un numero maggiore dell'elemento più piccolo e divisibile solo per se stesso e l'elemento più piccolo. Nel nostro gruppo, solo 4 hanno tali proprietà. Non ci sono più numeri primi nel nostro gruppo.

Se 2 fosse anche un numero primo nel nostro gruppo, allora vedi il primo paragrafo - di nuovo risulterebbe che solo 2 è un numero primo.