Post contrassegnati con "riesame delle equazioni matematiche". Espressioni, formule, equazioni (15 ore)

Usare le lettere per scrivere espressioni e frasi matematiche. Espressioni letterali e sostituzioni numeriche. Formule. Formule per il perimetro di un triangolo, il perimetro e l'area di un rettangolo e il volume di un parallelepipedo. Formule per la circonferenza e l'area di un cerchio.

L'equazione. Radice dell'equazione. Elaborare un'equazione secondo i termini della parola problema.

Obiettivi fondamentali- formare idee iniziali sul linguaggio della matematica, descrivere con l'aiuto di formule alcune dipendenze note agli studenti, introdurre le formule per la circonferenza e l'area di un cerchio.

Discutere le caratteristiche del linguaggio matematico. Scrivi espressioni matematiche tenendo conto delle regole della sintassi del linguaggio matematico, componi espressioni in base alle condizioni dei problemi con dati letterali. Usa le lettere per scrivere frasi matematiche, affermazioni generali, tradurre dal linguaggio matematico al linguaggio naturale e viceversa.

Costruisci strutture vocali utilizzando una nuova terminologia. Calcola i valori numerici delle espressioni delle lettere dati i valori delle lettere. Confronta i valori numerici delle espressioni letterali. Trova valori di lettere validi in un'espressione. Rispondi alle domande nei problemi con le lettere utilizzando espressioni appropriate.

Creare formule che esprimono relazioni tra quantità. Calcola utilizzando le formule. Esprimere una quantità da una formula in termini di altre

Calcola utilizzando le formule per circonferenza, area di un cerchio, volume di una sfera. Calcola le dimensioni delle figure delimitate dai cerchi e dai loro archi. Determinare i parametri numerici dei corpi spaziali che hanno una forma. Controlla se il numero specificato è la radice dell'equazione in questione. Usa le lettere per scrivere frasi matematiche. Calcola i valori numerici delle espressioni delle lettere dati i valori delle lettere. Comporre equazioni secondo le condizioni dei problemi.

Arrotondare i risultati dei calcoli utilizzando le formule

Sarà in grado di:

Illustrare affermazioni generali scritte in lettere con esempi numerici.

Trova sperimentalmente il rapporto tra circonferenza e diametro

Costruisci strutture linguistiche usando le parole "equazione", "radice dell'equazione". Crea modelli matematici basati sulle condizioni dei problemi verbali Risolvi equazioni basate sulle dipendenze tra i componenti dell'azione

Simmetria (8 ore)

Simmetria assiale. Asse di simmetria di una figura. Simmetria centrale. Costruzione di una figura simmetrica ad una retta data e relativa ad un punto. Simmetria nel mondo circostante.

Obiettivi fondamentali- introdurre gli studenti alle principali tipologie di simmetria su un piano; insegnare come costruire una figura simmetrica a una figura data rispetto a una linea retta, nonché un punto simmetrico a una figura data rispetto a un punto; dare un'idea di simmetria nel mondo circostante.

Dopo aver completato l'argomento, lo studente sarà in grado di:

Riconoscere le figure piatte simmetriche rispetto a una linea retta. Ritaglia due forme, simmetriche rispetto a una linea retta, dalla carta. Costruire una figura simmetrica ad una data relativa ad una retta, utilizzando gli strumenti, disegnati a mano.

Formulare le proprietà degli isosceli, dei triangoli equilateri, dei rettangoli, dei quadrati, dei cerchi associati alla simmetria assiale.

Riconoscere le figure piane simmetriche rispetto ad un punto. Costruisci una figura simmetrica rispetto ad un punto dato utilizzando gli strumenti, completa la costruzione, disegna a mano . Trova il centro di simmetria di una figura o configurazione. Formulare le proprietà delle figure simmetriche rispetto ad un punto.

Sarà in grado di:

Disegna una linea retta rispetto alla quale due figure sono simmetriche. Formulare le proprietà di due figure simmetriche rispetto ad una retta.

Investigare le proprietà delle figure che hanno un asse e un centro di simmetria, utilizzando esperimenti, osservazioni e modelli

Numeri interi (13 ore)

Numeri opposti ai numeri naturali. "Riga" di numeri interi. Rappresentazione degli interi mediante punti su una linea coordinata. Confronto di numeri interi. Addizione e sottrazione di numeri interi; fattibilità dell’operazione di sottrazione. Moltiplicazione e divisione di numeri interi; regole dei segni.

Obiettivi fondamentali- motivare l'introduzione di numeri negativi; sviluppare la capacità di confrontare numeri interi in base alla linea di coordinate, nonché di eseguire operazioni con numeri interi.

Dopo aver completato l'argomento, lo studente sarà in grado di:

Fornisci esempi dell'uso dei numeri positivi e negativi nella vita.

Spiega quali numeri interi sono detti positivi.

Scrivi il contrario del numero indicato utilizzando il segno meno.

Rappresentare i numeri interi come punti su una linea di coordinate. Utilizzare la linea delle coordinate come supporto visivo quando si risolvono problemi che coinvolgono il confronto di numeri interi

Usa le lettere per scrivere la proprietà dello zero durante l'addizione, la proprietà della somma dei numeri opposti. Semplificare la scrittura della somma dei numeri interi omettendo ove possibile il segno “+” e le parentesi. Riorganizzare i termini nella somma di numeri interi. Calcolare somme di numeri interi contenenti due o più termini. Valutare le espressioni letterali

Formulare una regola per trovare la differenza tra numeri interi, scriverla in linguaggio matematico.

Formulare le regole dei segni quando si moltiplicano e si dividono i numeri interi, illustrarle con esempi . Scrivi in ​​linguaggio matematico le uguaglianze che esprimono la proprietà di 0 e 1 durante la moltiplicazione, la regola della moltiplicazione per -1. calcolare prodotti e quozienti di numeri interi. Calcola i valori delle espressioni numeriche contenenti varie operazioni con numeri interi. Calcola i valori delle espressioni letterali dati i valori di lettere intere .

Sarà in grado di:

Descrivere un insieme di numeri interi.

Confronta le proprietà di una serie di numeri naturali e di una serie di numeri interi . Confronta e ordina gli interi.

Calcolare la differenza di due numeri interi.

Calcola i valori delle espressioni numeriche composte da numeri interi utilizzando i segni “+” e “-”, esercita l'autocontrollo. Calcola i valori delle espressioni letterali dati i valori di lettere intere.

Investiga la questione della modifica del segno del prodotto di numeri interi quando i segni dei fattori cambiano al contrario

Numeri razionali (17 ore)

Frazioni negative. Il concetto di numero razionale. Rappresentazione dei numeri mediante punti su una linea coordinata. Numeri opposti. Modulo di un numero, interpretazione geometrica del modulo. Confronto tra numeri razionali. Operazioni aritmetiche con numeri razionali, proprietà delle operazioni aritmetiche.

Esempi di utilizzo delle coordinate nella pratica reale. Sistema di coordinate rettangolari su un piano. Coordinate di un punto su un piano, ascissa e ordinata. Costruzione di punti e figure sul piano delle coordinate.

Obiettivi fondamentali- sviluppare abilità nel lavorare con numeri positivi e negativi; farsi un'idea del sistema di coordinate cartesiane su un piano.

Dopo aver completato l'argomento, lo studente sarà in grado di:

Applicare la terminologia relativa ai numeri razionali nel parlato, riconoscere i numeri naturali, interi, frazionari, positivi, negativi, caratterizzare l'insieme dei numeri razionali . Utilizzare la designazione simbolica del numero opposto, spiegare il significato delle voci come (-UN), semplificare le voci pertinenti. Rappresentare i numeri razionali come punti su una linea coordinata

Confronta un numero positivo e zero, un numero negativo e zero, un numero positivo e negativo, due numeri negativi.

Formulare le regole per sommare due numeri dello stesso segno, due numeri di segni diversi, la regola per sottrarne un altro da un numero, applicare queste regole per calcolare somme e differenze. Formulare le regole per trovare il prodotto e il quoziente di due numeri dello stesso segno, due numeri di segni diversi e applicare queste regole quando si moltiplicano e si dividono i numeri razionali. Trova quadrati e cubi di numeri razionali. Calcola i valori delle espressioni numeriche contenenti diverse azioni.

Fornisci esempi di diversi sistemi di coordinate nel mondo circostante. Costruisci punti e figure sul piano delle coordinate in base alle coordinate date, trova le coordinate dei punti

Sarà in grado di:

Utilizzare una linea di coordinate per modellare le relazioni “maggiore di” e “minore di” per i numeri razionali .

Applicare e comprendere il significato geometrico del concetto di modulo di un numero, trovare il modulo di un numero razionale.

Esegui sostituzioni numeriche nelle somme e nelle differenze scritte utilizzando le lettere, trovando i valori corrispondenti.

Condurre ricerche relative alla posizione relativa dei punti sul piano delle coordinate

11 .Poligoni e poliedri (9 ore)

Somma degli angoli di un triangolo. Parallelogramma e sue proprietà, costruzione di un parallelogramma. Poligoni regolari. Aree, figure uguali e uguali composte. Prisma.

Obiettivi fondamentali- sviluppare la conoscenza dei poligoni; sviluppare l'idea di aree, introdurre la proprietà di additività dell'area, l'idea di rimodellare una figura per determinarne l'area; formarsi un'idea del prisma; generalizzare le conoscenze e le abilità geometriche acquisite e insegnare loro ad applicarle nello studio di nuove figure e delle loro proprietà.

Dopo aver completato l'argomento, lo studente sarà in grado di:

Riconoscere i parallelogrammi nei disegni, nei disegni e nel mondo circostante. Disegna parallelogrammi utilizzando gli strumenti di disegno. Modella parallelogrammi utilizzando carta, plastilina, filo, ecc. Confronta le proprietà dei parallelogrammi di diversi tipi.

Riconoscere i poligoni regolari e i poliedri regolari nei disegni, nei disegni e nel mondo che li circonda. Disegna poligoni regolari utilizzando gli strumenti di disegno in base alla descrizione e a un determinato algoritmo

Disegna figure ugualmente proporzionate e determina le loro aree. Modella forme geometriche dalla carta. Confronta le forme per area. Formulare le proprietà di figure ugualmente composte. Crea formule per calcolare l'area di un parallelogramma e di un triangolo rettangolo. Riconoscere i prismi nei disegni, nei disegni e nel mondo circostante. Determina le posizioni relative delle facce, dei bordi e dei vertici del prisma.

Sarà in grado di:

Ricerca per descrivere le proprietà di un parallelogramma utilizzando esperimenti, osservazione e modellizzazione.

Esplora e descrivi le proprietà dei poligoni regolari utilizzando esperimenti, osservazioni e modelli.

Prendere misure e calcolare le aree di parallelogrammi e triangoli Modellare i prismi utilizzando carta, plastilina, filo, ecc., ricavandoli dagli sviluppi

Equazioni

Come risolvere le equazioni?

In questa sezione ricorderemo (o studieremo, a seconda di chi scegli) le equazioni più elementari. Allora qual è l'equazione? Nel linguaggio umano, questa è una sorta di espressione matematica in cui sono presenti un segno uguale e un'incognita. Che di solito è indicato con la lettera "X". Risolvi l'equazione- si tratta di trovare tali valori di x che, quando sostituiti in originale l'espressione ci darà l'identità corretta. Permettetemi di ricordarvi che l'identità è un'espressione fuori dubbio anche per una persona che non è assolutamente gravata di conoscenze matematiche. Come 2=2, 0=0, ab=ab, ecc. Allora come risolvere le equazioni? Scopriamolo.

Ci sono tutti i tipi di equazioni (sono sorpreso, vero?). Ma tutta la loro infinita varietà può essere divisa in soli quattro tipi.

4. Altro.)

Tutto il resto, ovviamente, soprattutto sì...) Ciò include cubico, esponenziale, logaritmico, trigonometrico e ogni genere di altro. Lavoreremo a stretto contatto con loro nelle sezioni appropriate.

Dico subito che a volte le equazioni dei primi tre tipi sono così incasinate che non le riconosci nemmeno... Niente. Impareremo come svolgerli.

E perché abbiamo bisogno di questi quattro tipi? E poi cosa equazioni lineari risolto in un modo piazza altri, razionali frazionari - terzo, UN riposo Non osano affatto! Beh, non è che non riescano affatto a decidere, è che mi sbagliavo con la matematica.) È solo che hanno le loro tecniche e i loro metodi speciali.

Ma per qualsiasi (ripeto - per Qualunque!) le equazioni forniscono una base affidabile e sicura per la risoluzione. Funziona ovunque e sempre. Questa fondazione - Sembra spaventoso, ma è molto semplice. E molto (Molto!) importante.

In realtà, la soluzione dell'equazione consiste proprio in queste trasformazioni. 99% Rispondi alla domanda: " Come risolvere le equazioni?" sta proprio in queste trasformazioni. È chiaro il suggerimento?)

Trasformazioni identiche di equazioni.

IN eventuali equazioni Per trovare l'ignoto, è necessario trasformare e semplificare l'esempio originale. E così quando l'aspetto cambia l'essenza dell'equazione non è cambiata. Tali trasformazioni sono chiamate identico o equivalente.

Tieni presente che si applicano queste trasformazioni specificatamente alle equazioni. Ci sono anche trasformazioni di identità in matematica espressioni. Questo è un altro argomento.

Ora ripeteremo tutto, tutto, tutto di base trasformazioni identiche di equazioni.

Fondamentali perché applicabili Qualunque equazioni: lineari, quadratiche, frazionarie, trigonometriche, esponenziali, logaritmiche, ecc. e così via.

Prima trasformazione dell'identità: puoi aggiungere (sottrarre) a entrambi i lati di qualsiasi equazione Qualunque(ma lo stesso!) numero o espressione (inclusa un'espressione con un'incognita!). Ciò non cambia l’essenza dell’equazione.

A proposito, hai utilizzato costantemente questa trasformazione, pensavi solo di trasferire alcuni termini da una parte all'altra dell'equazione con un cambio di segno. Tipo:

Il caso è familiare, spostiamo i due a destra e otteniamo:

In realtà tu portato via da entrambi i lati dell'equazione è due. Il risultato è lo stesso:

x+2 - 2 = 3 - 2

Lo spostamento dei termini a sinistra e a destra con un cambio di segno è semplicemente una versione abbreviata della prima trasformazione dell'identità. E perché abbiamo bisogno di una conoscenza così profonda? - tu chiedi. Niente nelle equazioni. Per l'amor di Dio, sopportalo. Basta non dimenticare di cambiare il segno. Ma nelle disuguaglianze, l’abitudine al transfert può portare a un vicolo cieco...

Seconda trasformazione dell'identità: entrambi i lati dell'equazione possono essere moltiplicati (divisi) per la stessa cosa diverso da zero numero o espressione. Qui appare già una limitazione comprensibile: moltiplicare per zero è stupido e dividere è completamente impossibile. Questa è la trasformazione che usi quando risolvi qualcosa di interessante come

È chiaro X= 2. Come l'hai trovato? Per selezione? O ti è venuto in mente solo adesso? Per non selezionare e non aspettare l'intuizione, devi capire che sei giusto diviso entrambi i lati dell'equazione per 5. Quando si divideva il lato sinistro (5x), il cinque veniva ridotto, lasciando X puro. Che è esattamente ciò di cui avevamo bisogno. E dividendo il lato destro di (10) per cinque, il risultato è, ovviamente, due.

È tutto.

È divertente, ma queste due (solo due!) trasformazioni identiche sono la base della soluzione tutte le equazioni della matematica. Oh! Ha senso guardare esempi di cosa e come, giusto?)

Esempi di trasformazioni identiche di equazioni. Principali problemi.

Iniziamo con Primo trasformazione dell'identità. Trasferimento da sinistra a destra.

Un esempio per i più piccoli.)

Diciamo che dobbiamo risolvere la seguente equazione:

3-2x=5-3x

Ricordiamo l'incantesimo: "con X - a sinistra, senza X - a destra!" Questo incantesimo contiene le istruzioni per utilizzare la prima trasformazione dell'identità.) Quale espressione con una X è sulla destra? 3x? La risposta non è corretta! Alla nostra destra - 3x! Meno tre x! Pertanto, quando ci si sposta a sinistra, il segno cambierà in più. Risulterà:

3-2x+3x=5

Quindi, le X sono state raccolte in una pila. Entriamo nei numeri. C'è un tre a sinistra. Con quale segno? La risposta “con nessuno” non è accettata!) Davanti ai tre, infatti, non viene disegnato nulla. E questo vuol dire che prima del tre c'è più. Quindi i matematici furono d'accordo. Non c'è scritto nulla, il che significa più. Pertanto, la tripla verrà trasferita sul lato destro con un segno meno. Noi abbiamo:

-2x+3x=5-3

Sono rimaste solo sciocchezze. A sinistra - portane di simili, a destra - conta. La risposta arriva subito:

In questo esempio è stata sufficiente una trasformazione dell'identità. Il secondo non ce n'era bisogno. Allora ok.)

Un esempio per i bambini più grandi.)

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A proposito, ho un paio di altri siti interessanti per te.)

Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Impariamo - con interesse!)

Puoi familiarizzare con funzioni e derivate.

Primo livello

Conversione di espressioni. Teoria dettagliata (2019)

Conversione di espressioni

Spesso sentiamo questa frase spiacevole: “semplificare l’espressione”. Di solito vediamo una specie di mostro come questo:

“È molto più semplice”, diciamo, ma una risposta del genere di solito non funziona.

Ora ti insegnerò a non aver paura di tali compiti. Inoltre, alla fine della lezione, tu stesso semplificherai questo esempio in (solo!) un numero ordinario (sì, al diavolo queste lettere).

Ma prima di iniziare questa lezione, devi essere in grado di gestire le frazioni e fattorizzare i polinomi. Pertanto, in primo luogo, se non l'hai mai fatto prima, assicurati di padroneggiare gli argomenti "" e "".

Lo hai letto? Se sì, allora ora sei pronto.

Operazioni di semplificazione di base

Ora diamo un'occhiata alle tecniche di base utilizzate per semplificare le espressioni.

Il più semplice è

1. Portare simili

Cosa sono simili? L'hai fatto in seconda media, quando in matematica sono apparse per la prima volta le lettere al posto dei numeri. Simili sono i termini (monomi) con la stessa lettera. Ad esempio, nella somma, termini simili sono e.

Ti ricordi?

Portare simili significa aggiungere diversi termini simili tra loro e ottenere un termine.

Come possiamo mettere insieme le lettere? - tu chiedi.

Questo è molto facile da capire se immagini che le lettere siano una sorta di oggetti. Ad esempio, una lettera è una sedia. Allora a cosa equivale l'espressione? Due sedie più tre sedie, quante saranno? Esatto, sedie: .

Ora prova questa espressione: .

Per evitare confusione, lascia che lettere diverse rappresentino oggetti diversi. Ad esempio, - è (come al solito) una sedia e - è un tavolo. Poi:

sedie tavoli sedie tavoli sedie sedie tavoli

Vengono chiamati i numeri per i quali vengono moltiplicate le lettere in tali termini coefficienti. Ad esempio, in un monomio il coefficiente è uguale. E in esso è uguale.

Quindi, la regola per portarne di simili è:

Esempi:

Forniscine di simili:

Risposte:

2. (e simili, poiché, quindi, questi termini hanno la stessa parte alfabetica).

2. Fattorizzazione

Questa è solitamente la parte più importante nella semplificazione delle espressioni. Dopo aver fornito espressioni simili, molto spesso l'espressione risultante deve essere fattorizzata, cioè presentata come prodotto. Ciò è particolarmente importante nelle frazioni: per poter ridurre una frazione, il numeratore e il denominatore devono essere rappresentati come un prodotto.

Hai esaminato in dettaglio i metodi di fattorizzazione delle espressioni nell'argomento "", quindi qui devi solo ricordare cosa hai imparato. Per fare questo, decidine alcuni esempi(deve essere fattorizzato):

Soluzioni:

3. Ridurre una frazione.

Ebbene, cosa potrebbe esserci di più piacevole che cancellare parte del numeratore e del denominatore e buttarli fuori dalla tua vita?

Questa è la bellezza del ridimensionamento.

È semplice:

Se numeratore e denominatore contengono gli stessi fattori, possono essere ridotti, cioè rimossi dalla frazione.

Questa regola deriva dalla proprietà fondamentale di una frazione:

Cioè, l'essenza dell'operazione di riduzione è questa Dividiamo il numeratore e il denominatore della frazione per lo stesso numero (o per la stessa espressione).

Per ridurre una frazione è necessario:

1) numeratore e denominatore fattorizzare

2) se il numeratore e il denominatore contengono fattori comuni, possono essere cancellati.

Il principio, credo, è chiaro?

Vorrei attirare la vostra attenzione su un errore tipico durante l'abbreviazione. Sebbene questo argomento sia semplice, molte persone sbagliano tutto senza capirlo ridurre- questo significa dividere numeratore e denominatore sono lo stesso numero.

Nessuna abbreviazione se il numeratore o il denominatore è una somma.

Ad esempio: dobbiamo semplificare.

Alcune persone fanno così: il che è assolutamente sbagliato.

Altro esempio: ridurre.

Il “più intelligente” farà questo: .

Dimmi cosa c'è che non va qui? Sembrerebbe: - questo è un moltiplicatore, il che significa che può essere ridotto.

Ma no: - questo è un fattore di un solo termine nel numeratore, ma il numeratore stesso nel suo insieme non è fattorizzato.

Ecco un altro esempio: .

Questa espressione è fattorizzata, il che significa che puoi ridurla, cioè dividere il numeratore e il denominatore per, e poi per:

Puoi immediatamente dividerlo in:

Per evitare tali errori, ricorda un modo semplice per determinare se un'espressione è fattorizzata:

L'operazione aritmetica eseguita per ultima quando si calcola il valore di un'espressione è l'operazione “principale”. Cioè, se sostituisci alcuni (qualsiasi) numero invece di lettere e provi a calcolare il valore dell'espressione, se l'ultima azione è la moltiplicazione, allora abbiamo un prodotto (l'espressione viene fattorizzata). Se l'ultima azione è un'addizione o una sottrazione, significa che l'espressione non è fattorizzata (e quindi non può essere ridotta).

Per consolidare, risolvine alcuni tu stesso esempi:

Risposte:

1. Spero che tu non ti sia affrettato a tagliare subito e? Non bastava ancora “ridurre” unità come questa:

Il primo passo dovrebbe essere la fattorizzazione:

4. Addizione e sottrazione di frazioni. Ridurre le frazioni a un denominatore comune.

L'addizione e la sottrazione delle frazioni ordinarie è un'operazione familiare: cerchiamo un denominatore comune, moltiplichiamo ogni frazione per il fattore mancante e addizioniamo/sottraiamo i numeratori. Ricordiamo:

Risposte:

1. I denominatori e sono relativamente primi, cioè non hanno fattori comuni. Pertanto, il LCM di questi numeri è uguale al loro prodotto. Questo sarà il denominatore comune:

2. Qui il denominatore comune è:

3. Qui, prima di tutto, convertiamo le frazioni miste in frazioni improprie, e poi secondo il solito schema:

La questione è completamente diversa se le frazioni contengono lettere, ad esempio:

Cominciamo con qualcosa di semplice:

a) I denominatori non contengono lettere

Qui tutto è uguale a quello delle frazioni numeriche ordinarie: troviamo il denominatore comune, moltiplichiamo ogni frazione per il fattore mancante e aggiungiamo/sottraiamo i numeratori:

Ora nel numeratore puoi fornire quelli simili, se presenti, e fattorizzarli:

Prova tu stesso:

b) I denominatori contengono lettere

Ricordiamo il principio di trovare un denominatore comune senza lettere:

· innanzitutto determiniamo i fattori comuni;

· poi scriviamo uno alla volta tutti i fattori comuni;

· e moltiplicarli per tutti gli altri fattori non comuni.

Per determinare i fattori comuni dei denominatori, li scomponiamo prima in fattori primi:

Sottolineiamo i fattori comuni:

Ora scriviamo uno alla volta i fattori comuni e aggiungiamo ad essi tutti i fattori non comuni (non sottolineati):

Questo è il denominatore comune.

Torniamo alle lettere. I denominatori sono dati esattamente nello stesso modo:

· fattorizzare i denominatori;

· determinare fattori comuni (identici);

· scrivere tutti i fattori comuni una volta;

· moltiplicarli per tutti gli altri fattori non comuni.

Quindi, in ordine:

1) fattorizzare i denominatori:

2) determinare fattori comuni (identici):

3) scrivi una volta tutti i fattori comuni e moltiplicali per tutti gli altri fattori (non sottolineati):

Quindi qui c'è un denominatore comune. La prima frazione deve essere moltiplicata per, la seconda per:

A proposito, c'è un trucco:

Per esempio: .

Vediamo gli stessi fattori nei denominatori, solo che tutti con indicatori diversi. Il denominatore comune sarà:

in una certa misura

in una certa misura

in una certa misura

in una certa misura.

Complichiamo il compito:

Come fare in modo che le frazioni abbiano lo stesso denominatore?

Ricordiamo la proprietà base di una frazione:

Da nessuna parte viene detto che lo stesso numero può essere sottratto (o aggiunto) dal numeratore e dal denominatore di una frazione. Perché non è vero!

Guarda tu stesso: prendi qualsiasi frazione, ad esempio, e aggiungi un numero al numeratore e al denominatore, ad esempio, . Cos'hai imparato?

Quindi, un'altra regola irremovibile:

Quando riduci le frazioni a un denominatore comune, usa solo l'operazione di moltiplicazione!

Ma per cosa bisogna moltiplicare per ottenere?

Quindi moltiplica per. E moltiplicare per:

Chiameremo “fattori elementari” le espressioni che non possono essere fattorizzate. Ad esempio, questo è un fattore elementare. - Stesso. Ma no: può essere fattorizzato.

E l'espressione? È elementare?

No, perché può essere fattorizzato:

(hai già letto della fattorizzazione nell'argomento "").

Quindi, i fattori elementari in cui scomponi un'espressione con lettere sono analoghi ai fattori semplici in cui scomponi i numeri. E li tratteremo allo stesso modo.

Vediamo che entrambi i denominatori hanno un moltiplicatore. Andrà al denominatore comune del grado (ricordate perché?).

Il fattore è elementare e non hanno un fattore comune, il che significa che la prima frazione dovrà semplicemente essere moltiplicata per esso:

Un altro esempio:

Soluzione:

Prima di moltiplicare questi denominatori in preda al panico, devi pensare a come fattorizzarli? Entrambi rappresentano:

Grande! Poi:

Un altro esempio:

Soluzione:

Come al solito fattorizziamo i denominatori. Nel primo denominatore lo mettiamo semplicemente tra parentesi; nel secondo - la differenza dei quadrati:

Sembrerebbe che non ci siano fattori comuni. Ma se guardi da vicino, sono simili... Ed è vero:

Quindi scriviamo:

Cioè, è risultato così: all'interno della parentesi abbiamo scambiato i termini e allo stesso tempo il segno davanti alla frazione è cambiato al contrario. Prendi nota, dovrai farlo spesso.

Ora portiamolo ad un denominatore comune:

Fatto? Controlliamolo ora.

Compiti per una soluzione indipendente:

Risposte:

Qui dobbiamo ricordare un'altra cosa: la differenza dei cubi:

Tieni presente che il denominatore della seconda frazione non contiene la formula “quadrato della somma”! Il quadrato della somma sarebbe simile a questo: .

A è il cosiddetto quadrato incompleto della somma: il secondo termine in esso contenuto è il prodotto del primo e dell'ultimo, e non il loro doppio prodotto. Il quadrato parziale della somma è uno dei fattori nell'espansione della differenza dei cubi:

Cosa fare se ci sono già tre frazioni?

Sì, la stessa cosa! Innanzitutto assicuriamoci che il numero massimo di fattori ai denominatori sia lo stesso:

Nota: se si cambiano i segni all'interno di una parentesi, il segno davanti alla frazione cambia nel segno opposto. Quando si cambiano i segni nella seconda parentesi, il segno davanti alla frazione cambia nuovamente nel segno opposto. Di conseguenza, esso (il segno davanti alla frazione) non è cambiato.

Scriviamo l'intero primo denominatore nel denominatore comune, quindi aggiungiamo tutti i fattori che non sono stati ancora scritti, dal secondo e poi dal terzo (e così via, se ci sono più frazioni). Cioè, risulta così:

Hmm... È chiaro cosa fare con le frazioni. Ma che dire dei due?

È semplice: sai come sommare le frazioni, vero? Quindi dobbiamo far sì che due diventino una frazione! Ricordiamo: una frazione è un'operazione di divisione (il numeratore è diviso per il denominatore, nel caso te lo fossi dimenticato). E non c'è niente di più semplice che dividere un numero per. In questo caso, il numero stesso non cambierà, ma si trasformerà in una frazione:

Esattamente ciò che serve!

5. Moltiplicazione e divisione delle frazioni.

Bene, la parte più difficile è ormai passata. E davanti a noi c'è il più semplice, ma allo stesso tempo il più importante:

Procedura

Qual è la procedura per calcolare un'espressione numerica? Ricorda calcolando il significato di questa espressione:

Hai contato?

Dovrebbe funzionare.

Quindi, lascia che te lo ricordi.

Il primo passo è calcolare la laurea.

Il secondo è la moltiplicazione e la divisione. Se si effettuano più moltiplicazioni e divisioni contemporaneamente, è possibile eseguirle in qualsiasi ordine.

E infine, eseguiamo addizioni e sottrazioni. Ancora una volta, in qualsiasi ordine.

Ma: l'espressione tra parentesi viene valutata a sproposito!

Se più parentesi vengono moltiplicate o divise tra loro, prima calcoliamo l'espressione in ciascuna parentesi, quindi le moltiplichiamo o dividiamo.

Cosa succede se ci sono più parentesi all'interno delle parentesi? Bene, pensiamo: qualche espressione è scritta tra parentesi. Quando calcoli un'espressione, cosa dovresti fare prima? Esatto, calcola le parentesi. Bene, l'abbiamo capito: prima calcoliamo le parentesi interne, poi tutto il resto.

Quindi, la procedura per l'espressione di cui sopra è la seguente (l'azione corrente è evidenziata in rosso, cioè l'azione che sto eseguendo in questo momento):

Ok, è tutto semplice.

Ma questa non è la stessa cosa di un'espressione con lettere?

No, è lo stesso! Solo che invece delle operazioni aritmetiche, devi eseguire quelle algebriche, ovvero le azioni descritte nella sezione precedente: portando simili, sommando frazioni, riducendo frazioni e così via. L'unica differenza sarà l'azione di fattorizzazione dei polinomi (lo usiamo spesso quando lavoriamo con le frazioni). Molto spesso, per fattorizzare, è necessario utilizzare I o semplicemente mettere il fattore comune tra parentesi.

Di solito il nostro obiettivo è rappresentare l'espressione come prodotto o quoziente.

Per esempio:

Semplifichiamo l'espressione.

1) Per prima cosa semplifichiamo l'espressione tra parentesi. In questo caso abbiamo una differenza di frazioni e il nostro obiettivo è presentarla come prodotto o quoziente. Quindi portiamo le frazioni a un denominatore comune e aggiungiamo:

È impossibile semplificare ulteriormente questa espressione; qui tutti i fattori sono elementari (ricordi ancora cosa significa?).

2) Otteniamo:

Moltiplicare le frazioni: cosa potrebbe essere più semplice.

3) Ora puoi abbreviare:

OK, è tutto finito adesso. Niente di complicato, vero?

Un altro esempio:

Semplifica l'espressione.

Per prima cosa, prova a risolverlo da solo e solo dopo guarda la soluzione.

Prima di tutto, determiniamo l'ordine delle azioni. Per prima cosa aggiungiamo le frazioni tra parentesi, così invece di due frazioni ne otteniamo una. Poi faremo la divisione delle frazioni. Bene, aggiungiamo il risultato con l'ultima frazione. Numererò schematicamente i passaggi:

Ora ti mostrerò il procedimento, colorando di rosso l’azione corrente:

Infine ti darò due consigli utili:

1. Se ce ne sono di simili, devono essere portati immediatamente. Qualunque sia il momento in cui si presentano casi simili nel nostro Paese, è opportuno segnalarli immediatamente.

2. Lo stesso vale per la riduzione delle frazioni: non appena si presenta l'opportunità di ridurre, bisogna sfruttarla. L'eccezione riguarda le frazioni che aggiungi o sottrai: se ora hanno gli stessi denominatori, la riduzione dovrebbe essere lasciata per dopo.

Ecco alcuni compiti che puoi risolvere da solo:

E ciò che è stato promesso all'inizio:

Soluzioni (brevi):

Se hai affrontato almeno i primi tre esempi, hai padroneggiato l'argomento.

Ora passiamo all'apprendimento!

CONVERTIRE LE ESPRESSIONI. FORMULE RIASSUNTIVE E BASE

Operazioni di semplificazione di base:

• Portare simili: per aggiungere (ridurre) termini simili è necessario sommare i loro coefficienti e assegnare la parte letterale.
• Fattorizzazione: mettendo il fattore comune tra parentesi, applicandolo, ecc.
• Ridurre una frazione: Il numeratore e il denominatore di una frazione possono essere moltiplicati o divisi per lo stesso numero diverso da zero, il che non modifica il valore della frazione.
  1) numeratore e denominatore fattorizzare
  2) se numeratore e denominatore hanno fattori comuni, possono essere cancellati.

  IMPORTANTE: solo i moltiplicatori possono essere ridotti!

• Addizione e sottrazione di frazioni:
  ;
• Moltiplicare e dividere le frazioni:
  ;

EQUAZIONI A VARIABILE SINGOLA

EQUAZIONE E SUE RADICI

Risolviamo il problema: “Ci sono 40 libri su due scaffali, e sullo scaffale più alto ci sono 8 volte più libri che su quello inferiore. Quanti libri ci sono sullo scaffale più basso?

Indichiamo con la lettera X numero di libri sullo scaffale più basso. Quindi il numero di libri sullo scaffale più alto è Zx. Secondo il problema, su entrambi gli scaffali ci sono 40 libri. Questa condizione può essere scritta come un'uguaglianza:

3x + x = 40.

Per trovare il numero sconosciuto di libri, abbiamo composto un'equazione contenente una variabile. Tali uguaglianze sono chiamate equazioni. La variabile nell'equazione è anche chiamata numero sconosciuto o semplicemente sconosciuto.

Dobbiamo trovare un numero che, se sostituito a x, entri nell'equazione Zx + x = 40 si ottiene l'uguaglianza corretta. Questo numero viene chiamato risolvendo l'equazione O radice dell'equazione. Uguaglianza Zx + x = 40 vero quando x = 10. Il numero 10 è la radice dell'equazione Zx + x = 40.

Definizione. La radice di un'equazione è il valore di una variabile in corrispondenza del quale l'equazione diventa vera.

L'equazione Zx + x = 40 ha una radice. Puoi fornire esempi di equazioni che hanno due, tre o più radici o nessuna radice.

Pertanto, l'equazione (x-4)(x - 5) (x-6) = 0 ha tre radici: 4, b e 6. Ciascuno di questi numeri, infatti, volge a zero uno dei fattori del prodotto (x- 4) (x -5) (x-b), e quindi l'opera stessa. Per qualsiasi altro valore di x, nessuno dei fattori va a zero, il che significa che neanche il prodotto va a zero. L'equazione x + 2 = x non ha radici, poiché per qualsiasi valore di x il lato sinistro dell'equazione è 2 maggiore del lato destro.

Risolvere un'equazione significa trovare tutte le sue radici o dimostrare che non esistono.

L'equazione x 2 =4 ha due radici: i numeri 2 e -2. Anche l'equazione (x-2) (x+2)=0 ha radici 2 e -2. Si chiamano equazioni che hanno la stessa radice equazioni equivalenti. Anche le equazioni che non hanno radici sono considerate equivalenti.

Le equazioni hanno le seguenti proprietà:

1) se aggiungi lo stesso numero ad entrambi i membri dell'equazione, ottieni un'equazione equivalente a quella data;

2) se entrambi i membri dell'equazione vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero diverso da zero, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.

Considera l'equazione x 2 - 2 = 7. Aggiungendo il numero 2 ai lati sinistro e destro di questa equazione, otteniamo l'equazione x 2 = 9. Dimostriamo che le equazioni x 2 - 2 = 7 e x 2 = 9 sono equivalenti.

Lascia che un valore x sia la radice della prima equazione, cioè, con questo valore x, l'equazione x 2 -2 = 7 si trasforma in una vera uguaglianza. Aggiungendo il numero 2 ad entrambi i lati di questa uguaglianza, otteniamo nuovamente l'uguaglianza corretta. Ciò significa che per questo valore di x anche la seconda equazione diventa un'uguaglianza vera. Abbiamo dimostrato che ogni radice della prima equazione è radice della seconda equazione.

Supponiamo ora che un certo valore di x sia la radice della seconda equazione x 2 = 9, cioè la trasformi in una vera uguaglianza. Dopo aver sottratto il numero 2 da entrambi i lati di questa uguaglianza, otteniamo l'uguaglianza corretta. Ciò significa che per questo valore di x anche la prima equazione diventa un'uguaglianza vera. Pertanto ogni radice della seconda equazione è radice della prima.

Pertanto, le equazioni x 2 - 2 = 7 e x 2 = 9 hanno le stesse radici, cioè sono equivalenti.

Un ragionamento simile stabilisce la validità di entrambe le proprietà delle equazioni nel caso generale.

3) Si può anche dimostrare che se nell'equazione trasferiamo il termine da una parte all'altra, cambiandone il segno, otterremo un'equazione equivalente a quella data. Ad esempio, spostando il termine 2x con segno opposto nell'equazione 5x = 2x + 9 dal lato destro dell'equazione a sinistra, otteniamo l'equazione 5x-2dc=9, che è equivalente ad esso.

Il trasferimento dei termini da una parte all'altra di un'equazione viene spesso utilizzato quando si risolvono le equazioni.

EQUAZIONE LINEARE CON UNA VARIABILE

Ciascuna delle equazioni 5x = - 4, - 0,2x = 0, -x = -6,5 ha la forma ax = b dove a e b sono numeri. Nella prima equazione a = 5, b = - 4, nella seconda a = -0,2, b = 0, nella terza a = - 1, b = -6,5. Tali equazioni sono chiamate equazioni lineari con una variabile.

Definizione. Un'equazione della forma ax = b, dove x è una variabile, a e b sono numeri, è chiamata equazione lineare con una variabile.

Viene chiamato il numero a coefficiente della variabile, e il numero b è membro gratuito.

Consideriamo l'equazione lineare ax = b, in cui il coefficiente a non è uguale a zero. Dividendo entrambi i membri dell'equazione per a, otteniamo . Ciò significa che l'equazione lineare ax=b in cui a≠ 0 ha una sola radice

Consideriamo ora l'equazione lineare ax = b, il cui coefficiente a è uguale a zero. Se a = 0 e b≠ O, allora l'equazione ax = b non ha radici, poiché l'uguaglianza Ox = b, dove b≠ 0, non è vera per nessun x. Se a = 0 e b = O, allora qualsiasi valore di x è la radice dell'equazione, poiché l'uguaglianza 0x = 0 è vera per qualsiasi x.

Risolvere molte equazioni si riduce a risolvere equazioni lineari.

Esempio. Risolviamo l'equazione

Espandiamo le parentesi:

Spostiamo il termine -x a sinistra dell'equazione e il termine 28 a destra, cambiando i loro segni:

Diamo un'occhiata a termini simili:

Sostituendo successivamente un'equazione con un'altra equivalente ad essa, abbiamo ottenuto un'equazione lineare in cui il coefficiente x è diverso da zero. Dividiamo entrambi i membri dell'equazione per questo coefficiente:

Il numero -5 è la radice dell'equazione.

Può succedere che risolvendo l'equazione si arrivi a un'equazione lineare della forma 0x=b. In questo caso, l'equazione originale non ha radici oppure la sua radice è un numero qualsiasi. Ad esempio, l'equazione si riduce all'equazione Ox = 7, e quindi non ha radici. L'equazione si riduce all'equazione 0x = 0, e quindi qualsiasi numero è la sua radice.

• Un'uguaglianza con una variabile è chiamata equazione.
• Risolvere un'equazione significa trovare le sue molteplici radici. Un'equazione può avere una, due, diverse, molte radici o nessuna.
• Ogni valore di una variabile in corrispondenza del quale una data equazione diventa un'uguaglianza vera è chiamato radice dell'equazione.
• Le equazioni che hanno la stessa radice si chiamano equazioni equivalenti.
• Qualsiasi termine dell'equazione può essere trasferito da una parte dell'uguaglianza a un'altra, cambiando il segno del termine nel contrario.
• Se entrambi i lati di un'equazione vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero diverso da zero, otterrai un'equazione equivalente all'equazione data.

Esempi. Risolvi l'equazione.

1. 1,5x+4 = 0,3x-2.

1,5x-0,3x = -2-4. Abbiamo raccolto i termini contenenti la variabile sul lato sinistro dell'uguaglianza e i termini liberi sul lato destro dell'uguaglianza. In questo caso è stata utilizzata la seguente proprietà:

1,2x = -6. Termini simili sono stati dati secondo la regola:

x = -6 : 1.2. Entrambi i lati dell'uguaglianza sono stati divisi per il coefficiente della variabile, poiché

x = -5. Dividi secondo la regola per dividere una frazione decimale per una frazione decimale:

Per dividere un numero per una frazione decimale, è necessario spostare le virgole del dividendo e del divisore verso destra di tante cifre quante sono dopo la virgola nel divisore, quindi dividere per un numero naturale:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

Risposta: 5.

2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).

6x-27 = 4x-16. Abbiamo aperto le parentesi utilizzando la legge distributiva della moltiplicazione relativa alla sottrazione: (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ C.

6x-4x = -16+27. Abbiamo raccolto i termini contenenti la variabile sul lato sinistro dell'uguaglianza e i termini liberi sul lato destro dell'uguaglianza. In questo caso è stata utilizzata la seguente proprietà: qualsiasi termine dell'equazione può essere trasferito da una parte all'altra dell'uguaglianza, cambiando così il segno del termine nel contrario.

2x = 11. Termini simili sono stati dati secondo la regola: per ottenere termini simili, è necessario sommare i loro coefficienti e moltiplicare il risultato risultante per la parte della lettera comune (ovvero aggiungere la parte della lettera comune al risultato ottenuto).

x = 11 : 2. Entrambi i lati dell'uguaglianza sono stati divisi per il coefficiente della variabile, poiché Se entrambi i lati dell'equazione vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero diverso da zero, otterrai un'equazione equivalente all'equazione data.

Risposta: 5,5.

3. 7x- (3+2x)=x-9.

7x-3-2x = x-9. Abbiamo aperto le parentesi seguendo la regola per aprire le parentesi precedute dal segno “-”: se c'è un segno “-” davanti alle parentesi, rimuovi le parentesi, il segno “-” e scrivi i termini tra parentesi con i segni opposti.

7x-2x-x = -9+3. Abbiamo raccolto i termini contenenti la variabile sul lato sinistro dell'uguaglianza e i termini liberi sul lato destro dell'uguaglianza. In questo caso è stata utilizzata la seguente proprietà: qualsiasi termine dell'equazione può essere trasferito da una parte all'altra dell'uguaglianza, cambiando così il segno del termine nel contrario.

4x = -6. Termini simili sono stati dati secondo la regola: per ottenere termini simili, è necessario sommare i loro coefficienti e moltiplicare il risultato risultante per la parte della lettera comune (ovvero aggiungere la parte della lettera comune al risultato ottenuto).

x = -6 : 4. Entrambi i lati dell'uguaglianza sono stati divisi per il coefficiente della variabile, poiché Se entrambi i lati dell'equazione vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero diverso da zero, otterrai un'equazione equivalente all'equazione data.

Risposta: -1,5.

3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). Abbiamo moltiplicato entrambi i lati dell'equazione per 12, il minimo comune denominatore per i denominatori di queste frazioni.

3x-15 = 84-8x+44. Abbiamo aperto le parentesi utilizzando la legge distributiva della moltiplicazione relativa alla sottrazione: Per moltiplicare la differenza di due numeri per un terzo numero, puoi moltiplicare separatamente il minuendo e sottrarre separatamente per il terzo numero, quindi sottrarre il secondo risultato dal primo risultato, ad es.(a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ C.

3x+8x = 84+44+15. Abbiamo raccolto i termini contenenti la variabile sul lato sinistro dell'uguaglianza e i termini liberi sul lato destro dell'uguaglianza. In questo caso è stata utilizzata la seguente proprietà: qualsiasi termine dell'equazione può essere trasferito da una parte all'altra dell'uguaglianza, cambiando così il segno del termine nel contrario.

11x = 143. Termini simili furono dati secondo la regola: per ottenere termini simili, è necessario sommare i loro coefficienti e moltiplicare il risultato risultante per la parte della lettera comune (ovvero aggiungere la parte della lettera comune al risultato ottenuto).

x = 143 : 11. Entrambi i lati dell'uguaglianza sono stati divisi per il coefficiente della variabile, poiché Se entrambi i lati dell'equazione vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero diverso da zero, otterrai un'equazione equivalente all'equazione data.

Risposta: 13.

5. Risolvi tu stesso le equazioni:

UN) 3-2,6x = 5x+1,48;

B) 1,6 · (x+5) = 4 · (4,5-0,6x);

V) 9x- (6x+2,5) = - (x-5,5);

5a) 0,2; 5B) 2,5; 5c) 2; 5 D) -1.

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