Cosa significa l'ordine del prodotto dei numeri? Moltiplicazione o prodotto di numeri naturali, loro proprietà

Problema 1.2
Dati due numeri interi X e T. Se hanno segni diversi, assegna a X il valore del prodotto di questi numeri e a T il valore della loro differenza assoluta. Se i numeri hanno gli stessi segni, assegna a X il valore della differenza modulo i numeri originali e a T il valore del prodotto di questi numeri. Visualizza i nuovi valori X e T sullo schermo.

Anche il compito non è difficile. I "malintesi" possono sorgere solo se hai dimenticato cos'è una differenza di modulo (spero che tu ricordi ancora qual è il prodotto di due numeri interi))).

Differenza modulo di due numeri

La differenza di modulo di due numeri interi (anche se non necessariamente interi - non importa, è solo che nel nostro problema i numeri sono interi) - questo, in poche parole, è quando il risultato del calcolo è il modulo della differenza di due numeri.

Cioè, prima viene eseguita l'operazione di sottrazione di un numero da un altro. E quindi viene calcolato il modulo del risultato di questa operazione.

Matematicamente si può scrivere così:

Se qualcuno ha dimenticato cos'è un modulo o come calcolarlo in Pascal, veda.

Algoritmo per determinare i segni di due numeri

La soluzione al problema nel suo insieme è abbastanza semplice. L'unica cosa che può causare difficoltà ai principianti è identificare i segni di due numeri. Dobbiamo cioè rispondere alla domanda: come scoprire se i numeri hanno gli stessi segni o segni diversi.

Innanzitutto, suggerisce il confronto uno per uno dei numeri con lo zero. Questo è accettabile. Ma il codice sorgente sarà piuttosto grande. Pertanto è più corretto utilizzare questo algoritmo:

1. Moltiplica i numeri tra loro
2. Se il risultato è inferiore a zero, i numeri hanno segni diversi
3. Se il risultato è zero o maggiore di zero, i numeri hanno lo stesso segno

Ho implementato questo algoritmo come file . E il programma stesso è risultato come mostrato negli esempi in Pascal e C++ di seguito.

Risolvere il problema 1.2 in Pascal checknum del programma; var A, X, T: intero; //************************************************ **************** // Controlla se i numeri N1 e N2 hanno gli stessi segni. Se sì, allora // restituisce TRUE, altrimenti - FALSE //*********************************** * *************************** funzione ZnakNumbers(N1, N2: intero): booleano; inizio := (N1 * N2) >= 0; FINE; //************************************************ **************** // PROGRAMMA PRINCIPALE //**************************** ************************************ inizio Write("X = "); LeggiLn(X); Scrivi("T = "); LeggiLn(T); if ZnakNumbers(X, T) then //Se i numeri hanno gli stessi segni iniziano A:= (X - T); //Ottiene la differenza modulo i numeri originali T:= X * T; end else //Se i numeri hanno segni diversi iniziano A:= X * T; T:= Abs(X - T); FINE; X:= UN; //Scrivo il valore di A in X WriteLn("X = ", X); //Uscita X WriteLn("T = ", T); //Output T WriteLn("Fine. Premi INVIO..."); LeggiLn; FINE.

Risoluzione del problema 1.2 in C++#include #include utilizzando lo spazio dei nomi std; int A, X, T; //************************************************ **************** // Controlla se i numeri N1 e N2 hanno gli stessi segni. Se sì, allora // restituisce TRUE, altrimenti - FALSE //*********************************** * *************************** bool ZnakNumbers(int N1, int N2) ( return ((N1 * N2) >= 0); ) //************************************************ ****** **************** // PROGRAMMA PRINCIPALE //************************ ****** ***************************************** int main( int argc, char *argv) ( cout > X; cout > T; if (ZnakNumbers(X, T)) //Se i numeri hanno gli stessi segni ( A = abs(X - T); //Ottieni la differenza modulo i numeri originali T = X * T; ) else // Se i numeri hanno segni diversi ( A = X * T; T = abs(X - T); ) X = A; //Scrivi il valore di A in X cout

Ottimizzazione

Questo semplice programma può essere semplificato un po' di più se non si utilizza la funzione e si rielabora leggermente il codice sorgente del programma. Ciò ridurrà leggermente il numero totale di righe del codice sorgente. Come farlo: pensa con la tua testa.

Per risolvere molti problemi “al massimo e al minimo”, cioè Per trovare i valori più grandi e più piccoli di una variabile, puoi utilizzare con successo alcune affermazioni algebriche, con le quali ora faremo conoscenza.

xy

Considera il seguente problema:

In quali due parti dovrebbe essere diviso questo numero affinché il loro prodotto sia maggiore?

Lasciamo il numero datoUN. Poi le parti in cui è diviso il numeroUN, può essere indicato con

a/2+x E a/2-x;

numero X mostra quanto queste parti differiscono dalla metà del numero UN. Il prodotto di entrambi i membri è uguale

(a/2+x) · ( a/2-x) = un 2/4 - x 2.

È chiaro che il prodotto delle parti prese aumenterà man mano che X, cioè. man mano che la differenza tra queste parti diminuisce. Il miglior prodotto sarà a x = 0, cioè nel caso in cui entrambi i membri siano uguali a/2.

COSÌ,

il prodotto di due numeri la cui somma è costante sarà maggiore quando questi numeri sono uguali tra loro.

xyz

Consideriamo la stessa domanda per tre numeri.

In quali tre parti dovrebbe essere diviso questo numero affinché il loro prodotto sia maggiore?

Nel risolvere questo problema, faremo affidamento su quello precedente.

Lasciamo il numero UN diviso in tre parti. Supponiamo innanzitutto che nessuna delle due parti sia uguale a/3.Poi tra loro ci sarà una parte, una grande a/3(tutti e tre non possono essere inferiori a/3); indichiamolo con

a/3+x.

Allo stesso modo, tra loro ci sarà una parte più piccola a/3; indichiamolo con

a/3 - a.

Numeri X E A sono positivi. La terza parte sarà ovviamente uguale a

a/3 + y - x.

Numeri a/3 E a/3 + x - y hanno la stessa somma delle prime due parti del numero UN, e la differenza tra loro, ad es. x-y, inferiore alla differenza tra le prime due parti, che era uguale x + y. Come sappiamo dalla soluzione del problema precedente, ne consegue che il product

a/3 · ( a/3 + x - y)

maggiore del prodotto delle prime due parti del numero UN.

Quindi, se le prime due parti di un numero UN sostituire con i numeri

a/3 E a/3 + x - y,

e lascia invariato il terzo, quindi il prodotto aumenterà.

Lasciamo ora che una delle parti sia già uguale a/3. Quindi gli altri due hanno la forma

a/3+z E a/3-z.

Se rendiamo uguali queste ultime due parti a/3 (motivo per cui la loro somma non cambierà), allora il prodotto aumenterà nuovamente e diventerà uguale

a/3 a/3 a/3 = a 3/27 .

COSÌ,

se il numero a è diviso in 3 parti non uguali tra loro, allora il prodotto di queste parti è inferiore a 3/27, cioè del prodotto di tre fattori uguali la cui somma dà a.

In modo simile, puoi dimostrare questo teorema per quattro fattori, per cinque, ecc.

x p · y q

Consideriamo ora un caso più generale.

Per quali valori di xey è maggiore l'espressione x p y q se x + y = a?

Dobbiamo trovare a quale valore di x l'espressione

x p ·(ascia) Q

raggiunge il suo massimo valore.

Moltiplichiamo questa espressione per il numero 1/р p q q. Prendiamo una nuova espressione

x p / p p · (ascia ) q / q q,

che ovviamente raggiunge il suo massimo valore contemporaneamente a quello iniziale.

Presentiamo l'espressione ottenuta ora nella forma

(ascia) /Q (ascia) /Q · ... · (ascia) /Q ,

dove si ripetono i fattori del primo tipo P una volta, e due volte - Q una volta.

La somma di tutti i fattori di questa espressione è uguale a

x/p+x/p+...+x/p+ (ascia) /q+ (ascia) /q+...+ (ascia) /Q =

=px/p+q (ascia) / q = x + a - x = a ,

quelli. valore costante.

Sulla base di quanto dimostrato in precedenza, concludiamo che il prodotto

x/p · x/p · ... · x/p · (ascia) /Q (ascia) /Q · ... · (ascia) /Q

raggiunge il massimo quando tutti i suoi fattori individuali sono uguali, cioè Quando

x/p= (ascia) /Q.

Sapendo che un - x = y, otteniamo, riordinando i termini, la proporzione

x/y = p/q.

COSÌ,

il prodotto x p y q, con la somma x + y costante, raggiunge il suo valore massimo quando

x: y = p: q .

Allo stesso modo si può dimostrarlo

lavori

x p y q z r , x p y q z r tu ecc.

con importi costanti x+y+z, x + y + z + t eccetera. raggiungono il loro massimo valore quando

x: y: z = p: q: r,x: y: z: t = p: q: r: u, ecc.

Diamo un'occhiata al concetto di moltiplicazione usando un esempio:

I turisti erano in viaggio da tre giorni. Ogni giorno percorrevano lo stesso sentiero di 4200 m Quanta distanza hanno percorso in tre giorni? Risolvi il problema in due modi.

Soluzione:
Consideriamo il problema in dettaglio.

Il primo giorno i turisti hanno camminato per 4200 m. Il secondo giorno i turisti hanno percorso lo stesso sentiero per 4200 m e il terzo giorno per 4200 m. Scriviamolo in linguaggio matematico:
4200+4200+4200=12600m.
Vediamo uno schema in cui il numero 4200 viene ripetuto tre volte, pertanto la somma può essere sostituita mediante moltiplicazione:
4200⋅3=12600m.
Risposta: i turisti hanno percorso 12.600 metri in tre giorni.

Diamo un'occhiata ad un esempio:

Per evitare di scrivere una voce lunga, possiamo scriverla sotto forma di moltiplicazione. Il numero 2 viene ripetuto 11 volte, quindi un esempio con la moltiplicazione sarebbe simile a questo:
2⋅11=22

Riassumere. Cos'è la moltiplicazione?

Moltiplicazione– questa è un’azione che sostituisce la ripetizione del termine m n volte.

La notazione m⋅n e il risultato di questa espressione vengono chiamati prodotto di numeri, e vengono chiamati i numeri m e n moltiplicatori.

Vediamolo con un esempio:
7⋅12=84
Si chiama l'espressione 7⋅12 e il risultato 84 prodotto di numeri.
Vengono chiamati i numeri 7 e 12 moltiplicatori.

In matematica esistono diverse leggi di moltiplicazione. Diamo un'occhiata a loro:

Legge commutativa della moltiplicazione.

Consideriamo il problema:

Abbiamo regalato due mele a 5 nostri amici. Matematicamente, la voce sarà simile a questa: 2⋅5.
Oppure abbiamo regalato 5 mele a due nostri amici. Matematicamente, la voce sarà simile a questa: 5⋅2.
Nel primo e nel secondo caso distribuiremo lo stesso numero di mele pari a 10 pezzi.

Se moltiplichiamo 2⋅5=10 e 5⋅2=10, il risultato non cambierà.

Proprietà della legge della moltiplicazione commutativa:
Cambiare la posizione dei fattori non cambia il prodotto.
M⋅ N=n⋅M

Legge combinata della moltiplicazione.

Diamo un'occhiata ad un esempio:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 oppure 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 otteniamo,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(UN⋅ B) ⋅ C= UN⋅(B⋅ C)

Proprietà della legge della moltiplicazione associativa:
Per moltiplicare un numero per il prodotto di due numeri, puoi prima moltiplicarlo per il primo fattore, quindi moltiplicare il prodotto risultante per il secondo.

Scambiando più fattori e mettendoli tra parentesi, il risultato o il prodotto non cambierà.

Queste leggi sono vere per qualsiasi numero naturale.

Moltiplicare qualsiasi numero naturale per uno.

Diamo un'occhiata ad un esempio:
7⋅1=7 o 1⋅7=7
UN⋅1=a o 1⋅UN= UN
Moltiplicando un numero naturale qualsiasi per uno il prodotto sarà sempre lo stesso numero.

Moltiplicare qualsiasi numero naturale per zero.

6⋅0=0 o 0⋅6=0
UN⋅0=0 o 0⋅UN=0
Quando un qualsiasi numero naturale viene moltiplicato per zero, il prodotto sarà uguale a zero.

Domande sull'argomento "Moltiplicazione":

Cos'è un prodotto di numeri?
Risposta: il prodotto di numeri o la moltiplicazione di numeri è l'espressione m⋅n, dove m è un termine e n è il numero di ripetizioni di questo termine.

A cosa serve la moltiplicazione?
Risposta: per non scrivere lunghe addizioni di numeri, ma per scrivere abbreviato. Ad esempio, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

Qual è il risultato della moltiplicazione?
Risposta: il significato dell'opera.

Cosa significa moltiplicazione 3⋅5?
Risposta: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

Se moltiplichi un milione per zero, a quanto equivale il prodotto?
Risposta: 0

Esempio 1:
Sostituisci la somma con il prodotto: a) 12+12+12+12+12 b)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Risposta: a) 12⋅5=60 b) 3⋅9=27

Esempio n.2:
Scrivilo come prodotto: a) a+a+a+a b) c+c+c+c+c+c+c
Soluzione:
a)a+a+a+a=4⋅a
b) s+s+s+s+s+s+s=7⋅s

Compito n. 1:
La mamma ha comprato 3 scatole di cioccolatini. Ogni scatola contiene 8 caramelle. Quante caramelle ha comprato la mamma?
Soluzione:
Ci sono 8 caramelle in una scatola e noi ne abbiamo 3.
8+8+8=8⋅3=24 caramelle
Risposta: 24 caramelle.

Compito n. 2:
L'insegnante d'arte ha detto ai suoi otto studenti di preparare sette matite per ogni lezione. Quante matite avevano in totale i bambini?
Soluzione:
Puoi calcolare la somma dell'attività. Il primo studente aveva 7 matite, il secondo studente aveva 7 matite, ecc.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
La registrazione è risultata scomoda e lunga, sostituiamo la somma con il prodotto.
7⋅8=56
La risposta è 56 matite.

Se una sala da concerto è illuminata da 3 lampadari con 25 lampadine ciascuno, il numero totale di lampadine in questi lampadari sarà 25 + 25 + 25, cioè 75.

La somma in cui tutti i termini sono uguali tra loro è scritta più breve: invece di 25 + 25 + 25, scrivi 25 3. Ciò significa 25 3 = 75 (Fig. 43). Viene chiamato il numero 75 lavoro vengono chiamati i numeri 25 e 3 e vengono chiamati i numeri 25 e 3 moltiplicatori.

Riso. 43. Prodotto dei numeri 25 e 3

Moltiplicare il numero m per il numero naturale n significa trovare la somma di n termini, ciascuno dei quali è uguale a m.

Vengono chiamati l'espressione m n e il valore di questa espressione lavoro numeriMEN. I numeri moltiplicati vengono chiamati moltiplicatori. Quelli. m e n sono fattori.

I prodotti 7 4 e 4 7 sono uguali allo stesso numero 28 (Fig. 44).

Riso. 44. Prodotto 7 4 = 4 7

1. Il prodotto di due numeri non cambia quando i fattori vengono riorganizzati.

commutativo

UN × B = B × UN .

I prodotti (5 3) 2 = 15 2 e 5 (3 2) = 5 6 hanno lo stesso valore 30. Ciò significa 5 (3 2) = (5 3) 2 (Fig. 45).

Riso. 45. Prodotto (5 3) 2 = 5 (3 2)

2. Per moltiplicare un numero per il prodotto di due numeri, puoi prima moltiplicarlo per il primo fattore, quindi moltiplicare il prodotto risultante per il secondo fattore.

Questa proprietà della moltiplicazione si chiama associativo. Usando le lettere si scrive così:

UN (Bc) = (aBCon).

La somma di n termini, ciascuno uguale a 1, è uguale a n. Pertanto l'uguaglianza 1 n = n è vera.

La somma di n termini, ciascuno dei quali è uguale a zero, è uguale a zero. Pertanto, l'uguaglianza 0 n = 0 è vera.

Affinché la proprietà commutativa della moltiplicazione sia vera per n = 1 en = 0, si conviene che m 1 = m e m 0 = 0.

Il segno di moltiplicazione solitamente non viene scritto prima dei fattori alfabetici: invece di 8 X scrivi 8 X, invece di UNB scrivere UNB.

Anche il segno di moltiplicazione viene omesso prima delle parentesi. Ad esempio, invece di 2 ( un+B) scrivere 2 (a+B) , e invece di ( X+ 2) (y + 3) scrivi (x + 2) (y + 3).

Invece di ( ab) con scrittura abc.

Quando non ci sono parentesi nella notazione del prodotto, la moltiplicazione viene eseguita in ordine da sinistra a destra.

Le opere vengono lette nominando ciascun fattore al genitivo. Per esempio:

1) 175 60 è il prodotto di centosettantacinquesessanta;

2) 80 (X+ 1 7) – prodotto di r.p. r.p.

ottanta e la somma di xe diciassette

Risolviamo il problema.

Quanti numeri a tre cifre (Fig. 46) si possono comporre dai numeri 2, 4, 6, 8, se i numeri nel numero non si ripetono?

Soluzione.

La prima cifra di un numero può essere una qualsiasi tra quattro dati numeri, il secondo – uno qualsiasi di tre altri, e il terzo – uno qualsiasi di due i restanti. Si scopre:

Riso. 46. ​​​​Al problema di comporre numeri a tre cifre

In totale, da questi numeri puoi creare 4 3 2 = 24 numeri a tre cifre.

Risolviamo il problema.

Il consiglio di amministrazione della società è composto da 5 persone. Tra i suoi membri il consiglio deve eleggere un presidente e un vicepresidente. In quanti modi è possibile farlo?

Soluzione.

Una delle 5 persone può essere eletta presidente della società:

Il presidente:

Dopo l'elezione del presidente, uno qualsiasi dei quattro restanti membri del consiglio può essere scelto come vicepresidente (Fig. 47):

	Il presidente: Vicepresidente:

Riso. 47. Sul problema elettorale

Ciò significa che ci sono cinque modi per selezionare un presidente e, per ciascun presidente eletto, ci sono quattro modi per selezionare un vicepresidente. Pertanto, il numero totale di modi per selezionare il presidente e il vicepresidente della società è: 5 4 = 20 (vedi Fig. 47).

Risolviamo un altro problema.

Ci sono quattro strade che portano dal villaggio di Anikeevo al villaggio di Bolshovo e tre strade dal villaggio di Bolshovo al villaggio di Vinogradovo (Fig. 48). In quanti modi è possibile andare da Anikeev a Vinogradovo attraverso il villaggio di Bolshevo?

Riso. 48. Sul problema delle strade

Soluzione.

Se arrivi da A a B lungo la prima strada, ci sono tre modi per continuare il viaggio (Fig. 49).

Riso. 49. Opzioni del percorso

Ragionando allo stesso modo, otteniamo tre modi per continuare il viaggio, iniziando a percorrere la 2a, 3a e 4a strada. Ciò significa che in totale ci sono 4 3 = 12 modi per andare da Anikeev a Vinogradov.

Risolviamo un altro problema.

Ad una famiglia composta da nonna, padre, madre, figlia e figlio sono state distribuite 5 tazze diverse. In quanti modi si possono dividere le tazze tra i membri della famiglia?

Soluzione. Il primo membro della famiglia (ad esempio la nonna) ha 5 scelte, il successivo (che sia papà) ha 4 scelte rimaste. La successiva (ad esempio la mamma) sceglierà tra 3 tazze, la successiva tra due e l'ultima riceverà una tazza rimanente. Mostriamo questi metodi nel diagramma (Fig. 50).

Riso. 50. Schema per risolvere il problema

Abbiamo riscontrato che ad ogni scelta di una tazza da parte della nonna corrispondono quattro possibili scelte del padre, cioè solo 5 4 modi. Dopo che papà ha scelto una tazza, la mamma ha tre scelte, la figlia ne ha due, il figlio ne ha una, cioè solo 3 2 1 modi. Infine, troviamo che per risolvere il problema dobbiamo trovare il prodotto 5 4 3 2 1.

Nota che abbiamo ottenuto il prodotto di tutti i numeri naturali da 1 a 5. Tali prodotti sono scritti più brevemente:

5 4 3 2 1 = 5! (leggi: “cinque fattoriale”).

Fattoriale di un numero– il prodotto di tutti i numeri naturali da 1 a questo numero.

Quindi la risposta al problema è: 5! = 120, cioè Le tazze possono essere distribuite tra i membri della famiglia in centoventi modi.