righe funzionali. Area di convergenza delle serie di funzioni convergenza uniforme Proprietà del criterio di Weierstrass di serie di funzioni uniformemente convergenti Esempi di serie numeriche e funzionali

righe funzionali. Serie di potenze.
Campo di convergenza della serie

Ridere senza motivo è un segno di d'Alembert

Così è suonata l'ora delle file funzionali. Per padroneggiare con successo l'argomento e, in particolare, questa lezione, devi conoscere bene le solite serie di numeri. Dovresti avere una buona comprensione di cosa sia una serie, essere in grado di applicare i segni di confronto per studiare le serie per la convergenza. Quindi, se hai appena iniziato a studiare l'argomento o sei una teiera in matematica superiore, necessario lavorare attraverso tre lezioni in sequenza: File per teiere,Segno di d'Alembert. Segni di Cauchy e Righe alternate. segno Leibniz. Sicuramente tutti e tre! Se hai conoscenze e abilità di base nella risoluzione dei problemi con le serie numeriche, sarà abbastanza facile affrontare le serie funzionali, poiché non c'è molto materiale nuovo.

In questa lezione considereremo il concetto di serie funzionale (che cos'è in generale), conosceremo le serie di potenze, che si trovano nel 90% delle attività pratiche, e impareremo a risolvere un problema tipico comune di trovare la convergenza raggio, intervallo di convergenza e regione di convergenza di una serie di potenze. Inoltre, consiglio di considerare il materiale su espansione delle funzioni in serie di potenze, e un'ambulanza sarà fornita al principiante. Dopo un po' di riposo, si passa al livello successivo:

Anche nella sezione delle serie funzionali sono presenti le loro numerose applicazioni per calcoli approssimativi, e la serie di Fourier, a cui, di regola, è assegnato un capitolo separato nella letteratura educativa, si discostano leggermente. Ho solo un articolo, ma è lungo e molti, molti esempi aggiuntivi!

Quindi, i punti di riferimento sono impostati, andiamo:

Il concetto di serie funzionale e serie di potenza

Se si ottiene l'infinito nel limite, quindi anche l'algoritmo della soluzione termina il suo lavoro e diamo la risposta finale al compito: "La serie converge a" (o a uno dei due"). Vedi il caso n. 3 del paragrafo precedente.

Se nel limite risulta non zero e non infinito, quindi abbiamo il caso più comune nella pratica n. 1: la serie converge su un certo intervallo.

In questo caso il limite è . Come trovare l'intervallo di convergenza di una serie? Facciamo una disuguaglianza:

V QUALSIASI compito di questo tipo sul lato sinistro della disuguaglianza dovrebbe essere risultato del calcolo limite, e sul lato destro della disuguaglianza rigorosamente unità. Non spiegherò perché esattamente questa disuguaglianza e perché ce n'è una a destra. Le lezioni sono pratiche, ed è già molto positivo che alcuni dei teoremi siano diventati più chiari dai miei racconti.

La tecnica di lavorare con il modulo e risolvere le doppie disuguaglianze è stata considerata in dettaglio nel primo anno dell'articolo Ambito della funzione, ma per comodità cercherò di commentare tutte le azioni nel modo più dettagliato possibile. Riveliamo la disuguaglianza con il modulo secondo la regola della scuola . In questo caso:

A metà strada.

Nella seconda fase, è necessario indagare la convergenza delle serie agli estremi dell'intervallo trovato.

Per prima cosa, prendiamo l'estremità sinistra dell'intervallo e lo sostituiamo nella nostra serie di potenze:

A

È stata ricevuta una serie numerica e dobbiamo esaminarla per la convergenza (un compito già familiare dalle lezioni precedenti).

1) La serie è in alternanza di segni.
2) – i termini della serie decrescono modulo. Inoltre, ogni termine successivo della serie è minore del precedente in modulo: , quindi la diminuzione è monotona.
Conclusione: la serie converge.

Con l'aiuto di una serie composta da moduli, scopriremo esattamente come:
– converge (serie “di riferimento” dalla famiglia delle serie armoniche generalizzate).

Pertanto, la serie numerica risultante converge assolutamente.

in - converge.

! Io ricordo che anche qualsiasi serie positiva convergente è assolutamente convergente.

Pertanto, la serie di potenze converge, e assolutamente, alle due estremità dell'intervallo trovato.

Risposta: regione di convergenza della serie di potenze studiata:

Ha diritto alla vita e un altro disegno della risposta: La serie converge se

A volte nella condizione del problema è necessario specificare il raggio di convergenza. È ovvio che nell'esempio considerato.

Esempio 2

Trova la regione di convergenza di una serie di potenze

Soluzione: troviamo l'intervallo di convergenza della serie attraverso segno di d'Alembert (ma non secondo l'attributo! - non esiste un tale attributo per le serie funzionali):

La serie converge a

Sono partiti dobbiamo andarcene solo, quindi moltiplichiamo entrambi i membri della disuguaglianza per 3:

– La serie è in alternanza di segni.
– – i termini della serie decrescono modulo. Ogni termine successivo della serie è minore del precedente in valore assoluto: , quindi la diminuzione è monotona.

Conclusione: la serie converge.

Lo esaminiamo per la natura della convergenza:

Confronta questa serie con la serie divergente.
Usiamo il segno limite di confronto:

Si ottiene un numero finito diverso da zero, il che significa che la serie diverge insieme alla serie.

Pertanto, la serie converge condizionatamente.

2) Quando – diverge (come dimostrato).

Risposta: L'area di convergenza delle serie di potenze studiate: . Per , la serie converge condizionatamente.

Nell'esempio considerato, la regione di convergenza delle serie di potenze è un semiintervallo e in tutti i punti dell'intervallo la serie di potenze converge assolutamente, e al punto, come si è scoperto, condizionatamente.

Esempio 3

Trova l'intervallo di convergenza della serie di potenze e studia la sua convergenza agli estremi dell'intervallo trovato

Questo è un esempio fai da te.

Considera un paio di esempi che sono rari, ma si verificano.

Esempio 4

Trova l'area di convergenza della serie:

Soluzione: utilizzando il test d'Alembert, troviamo l'intervallo di convergenza di questa serie:

(1) Componi il rapporto tra il membro successivo della serie e il precedente.

(2) Sbarazzati della frazione a quattro piani.

(3) Cubi e, secondo la regola delle operazioni con poteri, sono sommati in un solo grado. Al numeratore scomponiamo abilmente il grado, cioè espandere in modo tale che al passaggio successivo riduciamo la frazione di . I fattoriali sono descritti in dettaglio.

(4) Sotto il cubo, dividiamo il numeratore per il denominatore termine per termine, indicando che . In una frazione, riduciamo tutto ciò che può essere ridotto. Il moltiplicatore viene tolto dal segno limite, può essere tolto, poiché in esso non c'è nulla che dipenda dalla variabile "dinamica" "en". Si noti che il segno del modulo non viene disegnato, perché prende valori non negativi per qualsiasi "x".

Nel limite si ottiene zero, il che significa che possiamo dare la risposta finale:

Risposta: La serie converge a

E all'inizio sembrava che questa fila con un "ripieno terribile" sarebbe stata difficile da risolvere. Zero o infinito nel limite è quasi un regalo, perché la soluzione è notevolmente ridotta!

Esempio 5

Trova l'area di convergenza di una serie

Questo è un esempio fai da te. Fai attenzione ;-) La soluzione completa è la risposta alla fine della lezione.

Consideriamo qualche altro esempio che contiene un elemento di novità in termini di utilizzo delle tecniche.

Esempio 6

Trova l'intervallo di convergenza della serie e studia la sua convergenza agli estremi dell'intervallo trovato

Soluzione: Il termine comune delle serie di potenze include il fattore , che garantisce l'alternanza. L'algoritmo di soluzione è completamente preservato, ma durante la compilazione del limite ignoriamo (non scriviamo) questo fattore, poiché il modulo distrugge tutti gli "svantaggi".

Troviamo l'intervallo di convergenza della serie usando il test di d'Alembert:

Componiamo la disuguaglianza standard:
La serie converge a
Sono partiti dobbiamo andarcene solo modulo, quindi moltiplichiamo entrambi i membri della disuguaglianza per 5:

Ora espandiamo il modulo in un modo familiare:

Nel mezzo della doppia disuguaglianza, devi lasciare solo la "x", a questo scopo, sottrarre 2 da ciascuna parte della disuguaglianza:

è l'intervallo di convergenza delle serie di potenze studiate.

Indaghiamo la convergenza delle serie agli estremi dell'intervallo trovato:

1) Sostituisci il valore nella nostra serie di potenze :

Stai estremamente attento, il moltiplicatore non prevede alternanza, per nessun "en" naturale. Prendiamo il meno risultante al di fuori della serie e ce ne dimentichiamo, poiché (come qualsiasi moltiplicatore costante) non influisce in alcun modo sulla convergenza o divergenza della serie numerica.

Avviso di nuovo che sostituendo il valore nel termine comune della serie di potenze, abbiamo ridotto il fattore . Se ciò non accadesse, ciò significherebbe che abbiamo calcolato il limite in modo errato o abbiamo ampliato il modulo in modo errato.

Quindi, è necessario studiare la convergenza delle serie numeriche. Qui è più semplice utilizzare il criterio di confronto limite e confrontare questa serie con una serie armonica divergente. Ma, ad essere onesto, ero terribilmente stanco del segno di paragone definitivo, quindi aggiungerò un po' di varietà alla soluzione.

Quindi la serie converge quando

Moltiplica entrambi i membri della disuguaglianza per 9:

Estraiamo la radice da entrambe le parti, ricordando la battuta della vecchia scuola:


Espandere il modulo:

e aggiungine uno a tutte le parti:

è l'intervallo di convergenza delle serie di potenze studiate.

Indaghiamo la convergenza delle serie di potenze agli estremi dell'intervallo trovato:

1) Se , si ottiene la seguente serie numerica:

Il moltiplicatore è scomparso senza lasciare traccia, perché per qualsiasi valore naturale di "en" .

Gamma funzionale è chiamata espressione scritta formalmente

tu1 (X) + tu 2 (X) + tu 3 (X) + ... + tu n ( X) + ... , (1)

dove tu1 (X), tu 2 (X), tu 3 (X), ..., tu n ( X), ... - sequenza di funzioni da variabile indipendente X.

Una notazione abbreviata di una serie funzionale con sigma:.

Esempi di serie funzionali sono :

(2)

(3)

Dare la variabile indipendente X un certo valore X0 e sostituendolo nella serie funzionale (1), otteniamo una serie numerica

tu1 (X 0 ) + tu 2 (X 0 ) + tu 3 (X 0 ) + ... + tu n ( X 0 ) + ...

Se la serie numerica ottenuta converge, allora si dice che la serie funzionale (1) converge per X = X0 ; se diverge, che si dice serie (1) diverge a X = X0 .

Esempio 1. Studiare la convergenza di una serie funzionale(2) per i valori X= 1 e X = - 1 .
Soluzione. A X= 1 otteniamo una serie di numeri

che converge secondo il test di Leibniz. A X= - 1 otteniamo una serie di numeri

,

che diverge come prodotto di una serie armonica divergente per – 1. Quindi, la serie (2) converge a X= 1 e diverge a X = - 1 .

Se un tale test per la convergenza della serie funzionale (1) viene eseguito rispetto a tutti i valori della variabile indipendente dal dominio di definizione dei suoi membri, i punti di questo dominio saranno divisi in due insiemi: con valori X presa in uno di essi, la serie (1) converge e nell'altro diverge.

Si chiama proprio l'insieme di valori di una variabile indipendente per la quale converge la serie funzionale regione di convergenza .

Esempio 2. Trova l'area di convergenza di una serie funzionale

Soluzione. I membri della serie sono definiti sull'intera retta dei numeri e formano una progressione geometrica con denominatore Q= peccato X. Quindi la serie converge se

e diverge se

(i valori non sono possibili). Ma per i valori e per altri valori X. Pertanto, la serie converge per tutti i valori X, Inoltre . La regione della sua convergenza è l'intera retta dei numeri, ad eccezione di questi punti.

Esempio 3. Trova la regione di convergenza di una serie funzionale

Soluzione. I termini della serie formano una progressione geometrica con denominatore Q=ln X. Pertanto, la serie converge se , o , donde . Questa è la regione di convergenza di questa serie.

Esempio 4. Studiare la convergenza di una serie funzionale

Soluzione. Prendiamo un valore arbitrario. Con questo valore otteniamo una serie di numeri

(*)

Trova il limite del suo termine comune

Di conseguenza, la serie (*) diverge per una scelta arbitraria, cioè per qualsiasi valore X. Il dominio della sua convergenza è l'insieme vuoto.

Convergenza uniforme di una serie funzionale e sue proprietà

Passiamo al concetto convergenza uniforme delle serie funzionali . Permettere S(X) è la somma di questa serie, e Sn ( X) - somma n i primi membri di questa serie. Gamma funzionale tu1 (X) + tu 2 (X) + tu 3 (X) + ... + tu n ( X) + ... è detto uniformemente convergente sull'intervallo [ un, B] , se per qualsiasi numero arbitrariamente piccolo ε > 0 esiste un tale numero n, quello per tutti n ≥ n la disuguaglianza sarà soddisfatta

|S(X) − S n ( X)| < ε

per chiunque X dal segmento [ un, B] .

La suddetta proprietà può essere geometricamente illustrata come segue.

Considera il grafico della funzione y = S(X) . Costruiamo una striscia di larghezza 2 attorno a questa curva. ε n, cioè costruiamo curve y = S(X) + ε n e y = S(X) − ε n(sono verdi nella foto sotto).

Quindi per qualsiasi ε n grafico della funzione Sn ( X) risiederà interamente nella fascia in esame. La stessa fascia conterrà i grafici di tutte le successive somme parziali.

Qualsiasi serie funzionale convergente che non ha la caratteristica sopra descritta è convergente in modo non uniforme.

Considera un'altra proprietà di serie funzionali uniformemente convergenti:

la somma di una serie di funzioni continue che converge uniformemente su un intervallo [ un, B] , c'è una funzione che è continua su questo segmento.

Esempio 5 Determina se la somma di una serie funzionale è continua

Soluzione. Troviamo la somma n i primi membri di questa serie:

Se X> 0, allora

,

Se X < 0 , то

Se X= 0, allora

E quindi .

Il nostro studio ha mostrato che la somma di questa serie è una funzione discontinua. Il suo grafico è mostrato nella figura seguente.

Test di Weierstrass per convergenza uniforme di serie funzionali

Avviciniamoci al criterio di Weierstrass attraverso il concetto maggioranze di serie funzionali . Gamma funzionale

tu1 (X) + tu 2 (X) + tu 3 (X) + ... + tu n ( X) + ...

Lukhov Yu.P. Riassunto delle lezioni sulla matematica superiore. Lezione n. 42 5

Lezione 42

ARGOMENTO: righe funzionali

Piano.

1. righe funzionali. Area di convergenza.
2. Convergenza uniforme. Segno Weierstrass.
3. Proprietà delle serie uniformemente convergenti: continuità della somma di una serie, integrazione e differenziazione termine per termine.
4. Serie di potenze. Il teorema di Abele. Dominio di convergenza di una serie di potenze. raggio di convergenza.
5. Proprietà di base delle serie di potenze: convergenza uniforme, continuità e differenziabilità infinita della somma. Integrazione terminologica e differenziazione di serie di potenze.

righe funzionali. Zona di convergenza

Definizione 40.1. Una somma infinita di caratteristiche

u 1 (x ) + u 2 (x ) +…+ u n (x ) +… , (40.1)

dove u n (x) = f (x, n), viene chiamato gamma funzionale.

Se si imposta un valore numerico specifico X , la serie (40.1) si trasformerà in una serie numerica, a seconda della scelta del valore X tale serie può convergere o divergere. Solo le serie convergenti hanno un valore pratico, quindi è importante determinare quei valori X , per cui la serie funzionale diventa una serie numerica convergente.

Definizione 40.2. Molti valori X , sostituendo quale nella serie funzionale (40.1) si ottiene una serie numerica convergenteregione di convergenzafila funzionale.

Definizione 40.3. Funzione s(x), definito nell'intervallo di convergenza della serie, che per ogni valore X dalla regione di convergenza è uguale alla somma delle corrispondenti serie numeriche ottenute dalla (40.1) per un dato valore x viene chiamato la somma delle serie funzionali.

Esempio. Troviamo la regione di convergenza e la somma delle serie funzionali

1 + x + x ² +…+ x n +…

Quando | X | ≥ 1, quindi le serie numeriche corrispondenti divergono. Se

| X | < 1, рассматриваемый ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вычисляемую по формуле:

Pertanto, l'intervallo di convergenza della serie è l'intervallo (-1, 1) e la sua somma ha la forma indicata.

Commento . Come per le serie numeriche, possiamo introdurre il concetto di somma parziale di una serie funzionale:

s n \u003d 1 + x + x ² + ... + x n

e il resto della serie: r n \u003d s - s n.

Convergenza uniforme di una serie funzionale

Definiamo prima il concetto di convergenza uniforme di una successione numerica.

Definizione 40.4. Sequenza di funzioni f n (x ) viene chiamato convergente uniformemente alla funzione f sull'insieme X se e

Nota 1. Indicheremo la consueta convergenza di una sequenza funzionale e la convergenza uniforme - .

Nota 2 . Notiamo ancora una volta la differenza fondamentale tra convergenza uniforme e convergenza ordinaria: nel caso di convergenza ordinaria, per un valore scelto di ε, per ciascuna esiste il tuo numero N per cui n > n vale la seguente disuguaglianza:

In questo caso, può risultare che per un dato ε il numero generale N, garantire il soddisfacimento di questa disuguaglianza per qualsiasi X , impossibile. Nel caso di convergenza uniforme, tale numero N, comune a tutte le x, esiste.

Definiamo ora la nozione di convergenza uniforme di una serie funzionale. Poiché ogni serie corrisponde a una sequenza delle sue somme parziali, la convergenza uniforme di una serie è definita in termini di convergenza uniforme di questa sequenza:

Definizione 40.5. Viene chiamata la serie funzionaleuniformemente convergente sull'insieme X, se su X la successione delle sue somme parziali converge uniformemente.

Segno Weierstrass

Teorema 40.1. Se la serie numerica converge per tutti e per tutti n = 1, 2,…, allora la serie converge in modo assoluto e uniforme sull'insieme X.

Prova.

Per ogni ε > 0 c c'è un tale numero N, ecco perché

Per il resto r n serie, la stima

Pertanto, la serie converge uniformemente.

Commento. Di solito viene chiamata la procedura per selezionare una serie numerica che soddisfi le condizioni del Teorema 40.1 maggioranza , e questa stessa riga lo è maggiore per questa gamma funzionale.

Esempio. Per la serie funzionale, la maggiore per qualsiasi valore X è una serie positiva convergente. Pertanto, la serie originale converge uniformemente su (-∞, +∞).

Proprietà di serie uniformemente convergenti

Teorema 40.2. Se funzioni un n (x ) sono continue a e la serie converge uniformemente su X, quindi la sua somma s (x) è anche continua nel punto x 0.

Prova.

Scegliamo ε > 0. Allora, quindi, esiste un numero n 0 quello

- la somma di un numero finito di funzioni continue, quindicontinuo al punto x 0. Pertanto, esiste δ > 0 tale che Quindi otteniamo:

Cioè, la funzione s (x) è continua per x \u003d x 0.

Teorema 40.3. Sia le funzioni un n (x ) sono continui sull'intervallo [ un, b ] e la serie converge uniformemente su questo segmento. Allora la serie converge uniformemente anche su [ a , b ] e (40.2)

(cioè, nelle condizioni del teorema, la serie può essere integrata termine per termine).

Prova.

Per il Teorema 40.2, la funzione s(x) = continuo su [a, b ] e, quindi, su di essa è integrabile, cioè esiste l'integrale a sinistra dell'uguaglianza (40.2). Dimostriamo che la serie converge uniformemente alla funzione

Denota

Allora per ogni ε c'è un numero N , che per n > N

Quindi, la serie converge uniformemente e la sua somma è uguale a σ ( x) = .

Il teorema è stato dimostrato.

Teorema 40.4. Sia le funzioni un n (x ) sono continuamente differenziabili sull'intervallo [ un, b ] e una serie composta dalle loro derivate:

(40.3)

converge uniformemente su [ un, b ]. Quindi, se la serie converge almeno in un punto, converge uniformemente su tutti [ a , b ], la sua somma s (x )= è una funzione continuamente differenziabile e

(la serie può essere differenziata termine per termine).

Prova.

Definiamo la funzione σ( X ) come. Per il Teorema 40.3, la serie (40.3) può essere integrata termine per termine:

La serie sul lato destro di questa uguaglianza converge uniformemente su [ un, b ] dal Teorema 40.3. Ma la serie numerica converge per la condizione del teorema, quindi la serie converge uniformemente. Allora la funzione σ( T ) è la somma di una serie uniformemente convergente di funzioni continue su [ un, b ] ed è quindi essa stessa continua. Allora la funzione è continuamente differenziabile su [ un, b ], e, come richiesto per dimostrare.

Definizione 41.1. potenza successiva è chiamata serie funzionale della forma

(41.1)

Commento. Sostituendo x - x 0 \u003d t la serie (41.1) può essere ridotta alla forma, quindi basta provare tutte le proprietà delle serie di potenze per serie della forma

(41.2)

Teorema 41.1 (1° teorema di Abele).Se la serie di potenze (41.2) converge a x \u003d x 0, quindi per qualsiasi x: | x |< | x 0 | la serie (41.2) converge assolutamente. Se la serie (41.2) diverge a x \u003d x 0, quindi diverge per qualsiasi x : | x | > | x 0 |.

Prova.

Se la serie converge, allora c'è una costante c > 0:

Pertanto, mentre la serie per | x |<| x 0 | converge perché è la somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente. Quindi, la serie per | x |<| x 0 | converge assolutamente.

Se è noto che la serie (41.2) diverge a x = x 0 , allora non può convergere per | x | > | x 0 | , poiché da quanto si è dimostrato in precedenza risulterebbe che converge anche nel punto x 0.

Quindi, se trovi il più grande dei numeri x 0 > 0 tale che (41.2) converge per x \u003d x 0, allora la regione di convergenza di questa serie, come segue dal teorema di Abel, sarà l'intervallo (- x 0, x 0 ), includendo eventualmente uno o entrambi i confini.

Definizione 41.2. Viene chiamato il numero R ≥ 0 raggio di convergenzaserie di potenze (41.2) se questa serie converge ma diverge. Intervallo (- R, R) viene chiamato intervallo di convergenza serie (41.2).

Esempi.

1. Per studiare la convergenza assoluta delle serie, utilizziamo il test di d'Alembert: . Pertanto, la serie converge solo quando X = 0, e il raggio della sua convergenza è 0: R = 0.
2. Utilizzando lo stesso test di d'Alembert, si può dimostrare che la serie converge per qualsiasi x, cioè
3. Per una serie basata sul test d'Alembert, otteniamo:

Pertanto, a –1< X < 1 ряд сходится, при

X< -1 и x > 1 diverge. A X = 1 otteniamo una serie armonica, che, come sai, diverge, e quando X = -1 la serie converge condizionatamente secondo il criterio di Leibniz. Quindi, il raggio di convergenza della serie considerata R = 1 e l'intervallo di convergenza è [-1, 1).

Formule per determinare il raggio di convergenza di una serie di potenze.

1. formula d'Alembert.

Si consideri una serie di potenze e si applichi ad essa il test d'Alembert: per la convergenza delle serie è necessario che Se esiste, allora l'area di convergenza è determinata dalla disuguaglianza, cioè

- (41.3)

• La formula di d'Alembertper calcolare il raggio di convergenza.

1. Formula di Cauchy-Hadamard.

Usando il test di Cauchy radicale e ragionando in modo simile, otteniamo che è possibile impostare la regione di convergenza di una serie di potenze come un insieme di soluzioni alla disuguaglianza, a condizione che esista questo limite, e, di conseguenza, trovare un'altra formula per il raggio di convergenza:

(41.4)

• Formula di Cauchy-Hadamard.

Proprietà delle serie di potenze.

Teorema 41.2 (2° teorema di Abele). Se R è il raggio di convergenza della serie (41.2) e questa serie converge a x = R , allora converge uniformemente sull'intervallo (- R, R).

Prova.

La serie del segno positivo converge per il Teorema 41.1. Pertanto, la serie (41.2) converge uniformemente nell'intervallo [-ρ, ρ] per il Teorema 40.1. Dalla scelta di ρ segue che l'intervallo di convergenza uniforme - (- R, R ), che doveva essere dimostrato.

Corollario 1 . Su ogni segmento che si trova interamente all'interno dell'intervallo di convergenza, la somma delle serie (41.2) è una funzione continua.

Prova.

I termini della serie (41.2) sono funzioni continue e la serie converge uniformemente sull'intervallo considerato. Quindi la continuità della sua somma segue dal Teorema 40.2.

Conseguenza 2. Se i limiti di integrazione α, β giacciono nell'intervallo di convergenza delle serie di potenze, allora l'integrale della somma delle serie è uguale alla somma degli integrali dei termini della serie:

(41.5)

La dimostrazione di questa affermazione segue dal Teorema 40.3.

Teorema 41.3. Se la serie (41.2) ha un intervallo di convergenza (- R , R ), quindi la serie

φ (x) = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x ² +…+ na n x n- 1 +…, (41.6)

ottenuto dalla differenziazione termine per termine della serie (41.2), ha lo stesso intervallo di convergenza (- R, R). in cui

φ΄ (х) = s΄ (x) per | x |< R , (41.7)

cioè, nell'intervallo di convergenza, la derivata della somma di una serie di potenze è uguale alla somma delle serie ottenute dalla sua differenziazione termine per termine.

Prova.

Scegliamo ρ: 0< ρ < R и ζ: ρ < ζ < R . Allora la serie converge, quindi, cioè se| x | ≤ ρ, allora

Dove Così, i termini della serie (41.6) sono minori in valore assoluto dei termini della serie del segno positivo, che converge secondo il test d'Alembert:

cioè è la maggiore per la serie (41.6) a Pertanto, la serie (41.6) converge uniformemente su [-ρ, ρ]. Pertanto, per il Teorema 40.4, l'uguaglianza (41.7) è vera. Dalla scelta di ρ segue che la serie (41.6) converge in qualsiasi punto interno dell'intervallo (- R, R).

Dimostriamo che la serie (41.6) diverge al di fuori di questo intervallo. Infatti, se convergesse a x1 > R , quindi, integrandolo termine per termine sull'intervallo (0, x 2), R< x 2 < x 1 , otterremmo che la serie (41.2) converge nel punto x 2 , che contraddice la condizione del teorema. Quindi il teorema è completamente dimostrato.

Commento . La serie (41.6), a sua volta, può essere differenziata termine per termine e questa operazione può essere eseguita quante volte si vuole.

Conclusione: se la serie di potenze converge nell'intervallo (- R, R ), allora la sua somma è una funzione che ha derivate di qualsiasi ordine all'interno dell'intervallo di convergenza, ciascuna delle quali è la somma di una serie ottenuta dall'originale utilizzando la differenziazione termine per termine il numero di volte corrispondente; mentre l'intervallo di convergenza per una serie di derivate di qualsiasi ordine è (- R, R).

Dipartimento di Informatica e Matematica Superiore, KSPU

Argomento 2. Serie funzionali. Serie di potenze

2.1. righe funzionali

Finora abbiamo considerato le serie i cui membri erano numeri. Passiamo ora allo studio delle serie i cui membri sono funzioni.

Gamma funzionale si chiama riga

i cui membri sono funzioni dello stesso argomento definite sullo stesso insieme E.

Ad esempio,

1.
;

2.
;

Se diamo un argomento X qualche valore numerico
,
, quindi otteniamo una serie di numeri

che possono convergere (convergere assolutamente) o divergere.

Se a
la serie numerica risultante converge, quindi il punto
chiamatopunto di convergenza fila funzionale. Si chiama l'insieme di tutti i punti di convergenzaregione di convergenza fila funzionale. Indichiamo l'area di convergenza X, ovviamente,
.

Se per le serie numeriche positive si pone la domanda: “La serie converge o diverge?”, per le serie segno-variabile la domanda è: “Converge come - condizionatamente o assolutamente, - o diverge?”, allora per il funzionale serie la domanda principale è: “Converge (converge assolutamente) a cosa X?».

Gamma funzionale
stabilisce una legge secondo la quale ogni valore dell'argomento
,
, viene assegnato un numero uguale alla somma delle serie numeriche
. Così, sul set X la funzione è data
, che è chiamato la somma delle serie funzionali.

Esempio 16

Trova l'area di convergenza di una serie funzionale

.

Soluzione.

Permettere Xè un numero fisso, allora questa serie può essere considerata come una serie numerica con segno positivo per
e alternando a
.

Facciamo una serie di valori assoluti dei membri di questa serie:

cioè per qualsiasi valore X questo limite è minore di uno, il che significa che questa serie converge, e in modo assoluto (poiché abbiamo studiato una serie di valori assoluti dei termini della serie) sull'intero asse reale.

Pertanto, la regione di convergenza assoluta è l'insieme
.

Esempio 17.

Trova l'area di convergenza di una serie funzionale
.

Soluzione.

Permettere Xè un numero fisso
, allora questa serie può essere considerata come una serie numerica con segno positivo per
e alternando a
.

Considera una serie di valori assoluti dei membri di questa serie:

e applicarvi il test DAlembert.

Secondo il test di DAlembert, la serie converge se il valore limite è minore di uno, cioè questa serie convergerà se
.

Risolvendo questa disuguaglianza, otteniamo:


.

Quindi, a , converge la serie composta dai valori assoluti dei termini di questa serie, il che significa che la serie originale converge in modo assoluto, e a
questa serie diverge.

A
le serie possono convergere o divergere, poiché per questi valori X il valore limite è uguale a uno. Pertanto, studiamo ulteriormente la convergenza delle serie di punti
e
.

Sostituzione in questa riga
, otteniamo una serie di numeri
, di cui è noto che è una serie divergente armonica, quindi il punto
è il punto di divergenza della serie data.

A
si ottiene una serie numerica alternata

che è noto per convergere condizionatamente (vedi Esempio 15), quindi il punto
è il punto di convergenza condizionale della serie.

Pertanto, la regione di convergenza di questa serie è e la serie converge assolutamente a .

Gamma funzionale

chiamatodominato in un certo intervallo di x, se esiste una tale serie positiva convergente

,

che per ogni x dell'area data la condizione
in
. Riga
chiamatomaggiore.

In altre parole, una serie è dominata se ciascuno dei suoi termini non è maggiore in valore assoluto del corrispondente termine di qualche serie convergente di segno positivo.

Ad esempio, una riga

è dominato per tutti X, perché per tutti X la relazione

in
,

e una fila è noto per essere convergente.

TeoremaWeierstrass

Una serie dominata in qualche dominio converge assolutamente in quel dominio.

Si consideri, ad esempio, la serie funzionale
. Questa serie è dominata per
, perché a
i termini della serie non superano i corrispondenti membri della serie positiva . Pertanto, secondo il teorema di Weierstrass, la serie funzionale considerata converge assolutamente per
.

2.2. Serie di potenze. Il teorema di Abele. Dominio di convergenza di una serie di potenze

Tra le varietà di serie funzionali, le più importanti dal punto di vista dell'applicazione pratica sono le serie di potenza e trigonometriche. Diamo un'occhiata più da vicino a queste righe.

potenza successiva per gradi
è chiamata serie funzionale della forma

dove è un numero fisso,
sono numeri chiamati coefficienti della serie.

A
otteniamo una serie di potenze in potenze X, che sembra

.

Per semplicità considereremo le serie di potenze in potenze X, poiché da tale serie è facile ricavare una serie in potenze
, sostituendo invece X espressione
.

La semplicità e l'importanza della classe di serie di potenze è dovuta principalmente al fatto che è la somma parziale di una serie di potenze

è un polinomio - una funzione le cui proprietà sono ben studiate e i cui valori sono facilmente calcolabili utilizzando solo operazioni aritmetiche.

Poiché le serie di potenze sono un caso speciale di una serie funzionale, è anche necessario trovare l'area di convergenza per esse. In contrasto con la regione di convergenza di una serie funzionale arbitraria, che può essere un insieme di forma arbitraria, la regione di convergenza di una serie di potenze ha una forma ben definita. Questo è ciò che dice il seguente teorema.

TeoremaAbele.

Se la serie di potenze
converge ad un certo valore
, allora converge, e assolutamente, per tutti i valori di x che soddisfano la condizione
. Se la serie di potenze diverge di un certo valore
, quindi diverge anche per valori che soddisfano la condizione
.

Segue dal teorema di Abele che tutto punti di convergenza di una serie di potenze in potenze X situato dall'origine delle coordinate oltre uno qualsiasi dei punti di divergenza. È ovvio che i punti di convergenza riempiono una certa lacuna centrata all'origine. vale il teorema sulla regione di convergenza di una serie di potenze.

Teorema.

Per qualsiasi serie di potenza
c'è un numeroR (R>0)tale che per ogni x giacente all'interno dell'intervallo
, la serie converge assolutamente e per tutte le x che giacciono al di fuori dell'intervallo
, la serie diverge.

NumeroRchiamatoraggio di convergenza serie di potenze e l'intervallo
– intervallo di convergenza serie di potenze in potenze di x.

Si noti che il teorema non dice nulla sulla convergenza delle serie agli estremi dell'intervallo di convergenza, cioè nei punti
. In questi punti, diverse serie di potenze si comportano in modo diverso: la serie può convergere (assolutamente o condizionatamente), oppure può divergere. Pertanto, la convergenza delle serie in questi punti dovrebbe essere verificata direttamente per definizione.

In casi particolari, il raggio di convergenza della serie può essere uguale a zero o infinito. Se
, quindi la serie di potenze in potenze X converge in un solo punto
; Se
, allora la serie di potenze converge sull'intero asse reale.

Ancora una volta, si noti che la serie di potenze
per gradi
può essere ridotto a una serie di potenze
sostituendo
. Se la fila
converge a
, cioè. per
, quindi dopo la sostituzione inversa otteniamo

 o
.

Quindi, l'intervallo di convergenza delle serie di potenze
ha la forma
. punto chiamato centro di convergenza. Per chiarezza, è consuetudine rappresentare l'intervallo di convergenza sull'asse numerico (Figura 1)

Pertanto, la regione di convergenza è costituita dall'intervallo di convergenza, a cui si possono aggiungere punti
se la serie converge in questi punti. L'intervallo di convergenza può essere trovato applicando direttamente il test di DAlembert o il test di Cauchy radicale ad una serie composta dai valori assoluti dei membri di questa serie.

Esempio 18.

Trova l'area di convergenza di una serie
.

Soluzione.

Questa serie è una serie di poteri in poteri X, cioè.
. Considera una serie composta dai valori assoluti dei membri di questa serie e usa il test dAlembert.

La serie convergerà se il valore limite è minore di 1, cioè

, dove
.

Quindi, l'intervallo di convergenza di questa serie
, raggio di convergenza
.

Studiamo la convergenza delle serie agli estremi dell'intervallo, nei punti
. Sostituendo in questa serie il valore
, otteniamo la serie

.

La serie risultante è una serie divergente armonica, quindi, al punto
la serie diverge, quindi il punto
non è compreso nella regione di convergenza.

A
otteniamo una serie alternata

,

che è condizionatamente convergente (Esempio 15), da cui il punto
– punto di convergenza (condizionale).

Quindi, la regione di convergenza della serie
, e al punto
la serie converge condizionatamente e in altri punti - assolutamente.

Il ragionamento utilizzato per risolvere l'esempio può avere un carattere generale.

Considera la serie di potenze

Facciamo una serie di valori assoluti dei membri della serie e applichiamo ad essa il segno di D "Alembert.

Se esiste un limite (finito o infinito), allora per la condizione di convergenza del test di d'Alembert, la serie convergerà se

,

,

.

Da qui, dalla definizione dell'intervallo e del raggio di convergenza, abbiamo

Applicando il criterio di Cauchy radicale e ragionando in modo simile, si può ottenere un'altra formula per trovare il raggio di convergenza

Esempio 19

Soluzione.

La serie è una serie di poteri in poteri X. Per trovare l'intervallo di convergenza, calcoliamo il raggio di convergenza usando la formula sopra. Per una data serie, la formula per il coefficiente numerico ha la forma

, poi

Quindi,

Perché R = , allora la serie converge (assolutamente) per tutti i valori X, quelli. regione di convergenza X (–; +).

Si noti che sarebbe possibile trovare l'area di convergenza senza utilizzare formule, ma applicando direttamente il segno D "Alembert:

Poiché il valore del limite non dipende da X e minore di 1, allora la serie converge per tutti i valori X, quelli. in X(-;+).

Esempio 20

Trova l'area di convergenza di una serie

1!(X+5)+2!(X + 5) 2 +3!(X + 5) 3 +... + P!(X + 5) P +...

Soluzione .

x + 5), quelli. centro di convergenza X 0 = - 5. Coefficiente numerico della serie un P = n!.

Trova il raggio di convergenza della serie

.

Pertanto, l'intervallo di convergenza è costituito da un punto: il centro dell'intervallo di convergenza x = - 5.

Esempio 21

Trova l'area di convergenza di una serie
.

Soluzione.

Questa serie è una serie di potenze in poteri ( X–2), quelli.

centro di convergenza X 0 = 2. Si noti che la serie è di segno positivo per qualsiasi fisso X, perché l'espressione ( X- 2) elevato alla potenza di 2 P. Applichiamo alla serie il criterio di Cauchy radicale.

La serie convergerà se il valore limite è minore di 1, cioè

,
,
,

quindi il raggio di convergenza
, quindi l'integrale di convergenza

,
.

Quindi, la serie converge assolutamente per X
. Si noti che l'integrale di convergenza è simmetrico rispetto al centro di convergenza X o = 2.

Studiamo la convergenza delle serie agli estremi dell'intervallo di convergenza.

Supponendo
, otteniamo una serie numerica di segno positivo

Utilizziamo il necessario criterio di convergenza:

pertanto, la serie numerica diverge e il punto
è il punto di divergenza. Si noti che il secondo limite notevole è stato utilizzato nel calcolo del limite.

Supponendo
, otteniamo la stessa serie numerica (controlla tu stesso!), quindi il punto
inoltre non è incluso nell'intervallo di convergenza.

Quindi, la regione di convergenza assoluta di questa serie X
.

2.3. Proprietà delle serie di potenze convergenti

Sappiamo che una somma finita di funzioni continue è continua; la somma delle funzioni differenziabili è differenziabile e la derivata della somma è uguale alla somma delle derivate; l'importo finale può essere integrato termine per termine.

Si scopre che per "somme infinite" di funzioni - serie funzionali, nel caso generale, le proprietà non hanno luogo.

Si consideri ad esempio la serie funzionale

Ovviamente, tutti i membri della serie sono funzioni continue. Troviamo la regione di convergenza di questa serie e la sua somma. Per fare ciò, troviamo le somme parziali delle serie

quindi la somma della serie

Quindi la somma S(X) di questa serie, come limite di una successione di somme parziali, esiste ed è finita X (-1;1), quindi, questo intervallo è la regione di convergenza della serie. Inoltre, la sua somma è una funzione discontinua, poiché

Quindi, questo esempio mostra che, nel caso generale, le proprietà delle somme finite non hanno analoghi per le somme infinite - serie. Tuttavia, per un caso speciale di serie funzionali - serie di potenze - le proprietà della somma sono simili alle proprietà delle somme finite.

4.1. Serie di funzioni: concetti di base, area di convergenza

Definizione 1. Una serie i cui membri sono funzioni di uno o
vengono chiamate diverse variabili indipendenti definite su un insieme gamma funzionale.

Si consideri una serie funzionale i cui membri sono funzioni di una variabile indipendente X. La somma del primo n membri della serie è una somma parziale della serie funzionale data. Membro comune c'è una funzione da X definito in qualche area. Considera una serie funzionale in un punto . Se la serie di numeri corrispondente converge, cioè c'è un limite di somme parziali di questa serie
(dove − la somma delle serie numeriche), allora viene chiamato il punto punto di convergenza gamma funzionale . Se la linea dei numeri diverge, quindi viene chiamato il punto punto di divergenza fila funzionale.

Definizione 2. Zona di convergenza gamma funzionale è chiamato l'insieme di tutti questi valori X, per cui converge la serie funzionale. Si indica la regione di convergenza, costituita da tutti i punti di convergenza . Notare che R.

La serie funzionale converge nella regione , se per qualcuno converge come una serie numerica, mentre la sua somma sarà una funzione . Questo cosiddetto funzione limite sequenze : .

Come trovare l'area di convergenza di una serie funzionale ? Puoi usare un segno simile al segno di d'Alembert. Per un numero comporre e considera il limite a un valore fisso X:
. Poi è una soluzione alla disuguaglianza e risolvendo l'equazione (prendiamo solo quelle soluzioni dell'equazione, in
cui convergono le corrispondenti serie numeriche).

Esempio 1. Trova l'area di convergenza della serie.

Soluzione. Denota , . Componi e calcola il limite
, allora la regione di convergenza della serie è determinata dalla disuguaglianza ed equazione . Indaghiamo inoltre la convergenza della serie originale nei punti che sono le radici dell'equazione:

e se , , quindi otteniamo una serie divergente ;

b) se , , quindi la riga converge condizionatamente (da

Prova di Leibniz, esempio 1, lezione 3, sez. 3.1).

Quindi, la regione di convergenza la riga assomiglia a: .

4.2. Serie di potenze: concetti di base, teorema di Abel

Consideriamo un caso speciale di una serie funzionale, il cosiddetto serie di potenze , dove
.

Definizione 3. potenza successivaè chiamata serie funzionale della forma ,

dove − numeri costanti, chiamati coefficienti di serie.

La serie di potenze è un "polinomio infinito" organizzato in potenze crescenti . Qualsiasi linea numerica è un
un caso speciale di una serie di potenze per .

Si consideri un caso speciale di una serie di potenze per :
. Scopri di che tipo
regione di convergenza di una data serie .

Teorema 1 (teorema di Abele). 1) Se la serie di potenze converge in un punto , quindi converge assolutamente per qualsiasi X, per cui la disuguaglianza .

2) Se la serie di potenze diverge a , quindi diverge per qualsiasi X, per cui .

Prova. 1) Per condizione, la serie di potenze converge nel punto ,

cioè la serie numerica converge

(1)

e, secondo il necessario criterio di convergenza, il suo termine comune tende a 0, cioè . Pertanto, c'è un numero che tutti i membri della serie sono limitati a questo numero:
.

Considera ora qualsiasi X, per cui , e comporre una serie di valori assoluti: .
Scriviamo questa serie in una forma diversa: poiché , quindi (2).

Dalla disuguaglianza
otteniamo, cioè riga

è costituito da membri maggiori dei membri corrispondenti della serie (2). Riga è una serie convergente di una progressione geometrica con denominatore , inoltre , perché . Pertanto, la serie (2) converge per . Quindi la serie di potenze converge assolutamente.

2) Lascia la fila diverge a , in altre parole,

la linea dei numeri diverge . Dimostriamolo per chiunque X () la serie diverge. La prova è per assurdo. Lascia per alcuni

fisso ( ) la serie converge, quindi converge per tutti (vedi la prima parte di questo teorema), in particolare, per , che contraddice la condizione 2) del Teorema 1. Il teorema è dimostrato.

Conseguenza. Il teorema di Abele permette di giudicare la posizione del punto di convergenza di una serie di potenze. Se punto è un punto di convergenza della serie di potenze, quindi l'intervallo pieno di punti di convergenza; se il punto di divergenza è un punto , poi
intervalli infiniti pieno di punti di divergenza (Fig. 1).

Riso. 1. Intervalli di convergenza e divergenza delle serie

Si può dimostrare che esiste un tale numero , quello per tutti
serie di potenze converge assolutamente, e − diverge. Assumiamo che se la serie converge solo in un punto 0, allora , e se la serie converge per tutti , poi .

Definizione 4. Intervallo di convergenza serie di potenze questo intervallo è chiamato , quello per tutti questa serie converge assolutamente, e per tutti X giacendo al di fuori di questo intervallo, la serie diverge. Numero R chiamato raggio di convergenza serie di potenze.

Commento. Alla fine dell'intervallo la questione della convergenza o divergenza di una serie di potenze viene risolta separatamente per ciascuna serie specifica.

Mostriamo uno dei metodi per determinare l'intervallo e il raggio di convergenza di una serie di potenze.

Considera la serie di potenze e denotare .

Facciamo una serie di valori assoluti dei suoi membri:

e applicavi il test di d'Alembert.

Lascia che esista

.

Secondo il test d'Alembert, la serie converge se , e diverge se . Da qui, la serie converge a , quindi l'intervallo di convergenza: . A , la serie diverge perché .
Usando la notazione , otteniamo una formula per determinare il raggio di convergenza di una serie di potenze:

,

dove sono i coefficienti della serie di potenze.

Se si scopre che il limite , allora assumiamo .

Per determinare l'intervallo e il raggio di convergenza di una serie di potenze, si può anche utilizzare il criterio di Cauchy radicale, il raggio di convergenza della serie è determinato dalla relazione .

Definizione 5. Serie di potenze generalizzate si chiama serie

. Viene anche chiamato next by gradi .
Per tale serie, l'intervallo di convergenza ha la forma: , dove − raggio di convergenza.

Mostriamo come si trova il raggio di convergenza per una serie di potenze generalizzate.

quelli. , dove .

Se , poi , e l'area di convergenza R; Se , poi e area di convergenza .

Esempio 2. Trova l'area di convergenza di una serie .

Soluzione. Denota . Facciamo un limite

Risolviamo la disuguaglianza: , , da cui l'intervallo

convergenza ha la forma: , inoltre R= 5. Inoltre, studiamo gli estremi dell'intervallo di convergenza:
un) , , otteniamo la serie , che diverge;
B) , , otteniamo la serie , che converge
condizionatamente. Pertanto, la regione di convergenza è: , .

Risposta: regione di convergenza .

Esempio 3 Riga divergente per tutti , perché in , raggio di convergenza .

Esempio 4 La serie converge per ogni R, il raggio di convergenza .