Grafico ascendente e discendente di una funzione. Funzioni crescenti e decrescenti sull'intervallo, estremi

Ciao! Diamo un'occhiata all'imminente USE con una formazione sistematica di alta qualità e la perseveranza nel macinare il granito della scienza !!! INAlla fine del post c'è un compito competitivo, sii il primo! In uno degli articoli di questa sezione, siamo con voi, in cui è stato fornito il grafico della funzione, e sono state sollevate varie domande su estremi, intervalli di aumento (diminuzione) e altri.

In questo articolo considereremo i compiti inclusi nell'USE in matematica, in cui viene fornito il grafico della derivata di una funzione, e vengono poste le seguenti domande:

1. In quale punto di un dato segmento la funzione assume il valore più grande (o più piccolo).

2. Trova il numero di punti massimo (o minimo) della funzione che appartengono a un dato segmento.

3. Trova il numero di punti estremi della funzione che appartengono a un dato segmento.

4. Trova il punto estremo della funzione che appartiene al segmento dato.

5. Trova gli intervalli di incremento (o decremento) della funzione e nella risposta indica la somma dei punti interi inclusi in questi intervalli.

6. Trova gli intervalli di aumento (o diminuzione) della funzione. Nella tua risposta, indica la lunghezza del più grande di questi intervalli.

7. Trova il numero di punti in cui la tangente al grafico della funzione è parallela alla retta y = kx + b o coincide con essa.

8. Trova l'ascissa del punto in cui la tangente al grafico della funzione è parallela all'asse delle ascisse o coincide con esso.

Potrebbero esserci altre domande, ma non ti creeranno alcuna difficoltà se capisci e (sono forniti collegamenti ad articoli che forniscono le informazioni necessarie per la risoluzione, consiglio di ripetere).

Informazioni di base (brevemente):

1. La derivata su intervalli crescenti ha segno positivo.

Se la derivata a un certo punto da un certo intervallo ha un valore positivo, il grafico della funzione su questo intervallo aumenta.

2. Sugli intervalli decrescenti, la derivata ha segno negativo.

Se la derivata a un certo punto da un certo intervallo ha un valore negativo, il grafico della funzione su questo intervallo diminuisce.

3. La derivata nel punto x è uguale alla pendenza della tangente tracciata nel grafico della funzione nello stesso punto.

4. Nei punti di estremo (massimo-minimo) della funzione, la derivata è uguale a zero. La tangente al grafico della funzione in questo punto è parallela all'asse x.

Questo deve essere chiaramente compreso e ricordato!!!

Il grafico della derivata "confonde" molte persone. Alcuni lo prendono inavvertitamente per il grafico della funzione stessa. Pertanto, in tali edifici, dove vedi che è dato un grafo, focalizza immediatamente la tua attenzione nella condizione su ciò che è dato: un grafo di una funzione o un grafo di una derivata di una funzione?

Se è un grafico della derivata di una funzione, trattalo come un "riflesso" della funzione stessa, che ti fornisce semplicemente informazioni su questa funzione.

Considera il compito:

La figura mostra un grafico y=F'(X)- funzione derivata F(X), definito sull'intervallo (–2;21).

Risponderemo alle seguenti domande:

1. In quale punto del segmento si trova la funzione F(X) assume il valore maggiore.

Su un dato segmento, la derivata della funzione è negativa, il che significa che la funzione diminuisce su questo segmento (decresce dal limite sinistro dell'intervallo a destra). Pertanto, il valore massimo della funzione viene raggiunto sul limite sinistro del segmento, ovvero al punto 7.

Risposta: 7

2. In quale punto del segmento si trova la funzione F(X)

Da questo grafico della derivata possiamo dire quanto segue. Su un dato segmento, la derivata della funzione è positiva, il che significa che la funzione aumenta su questo segmento (cresce dal bordo sinistro dell'intervallo a quello destro). Pertanto, il valore più piccolo della funzione viene raggiunto sul bordo sinistro del segmento, cioè nel punto x = 3.

Risposta: 3

3. Trova il numero di punti massimi della funzione F(X)

I punti massimi corrispondono ai punti in cui il segno della derivata cambia da positivo a negativo. Considera dove il segno cambia in questo modo.

Sul segmento (3;6) la derivata è positiva, sul segmento (6;16) è negativa.

Sul segmento (16;18) la derivata è positiva, sul segmento (18;20) è negativa.

Quindi, su un dato segmento, la funzione ha due punti di massimo x = 6 e x = 18.

Risposta: 2

4. Trova il numero di punti minimi della funzione F(X) appartenente al segmento.

I punti di minimo corrispondono ai punti in cui il segno della derivata cambia da negativo a positivo. Abbiamo una derivata negativa sull'intervallo (0; 3) e positiva sull'intervallo (3; 4).

Quindi, sul segmento, la funzione ha un solo punto minimo x = 3.

*Fai attenzione quando scrivi la risposta: viene registrato il numero di punti, non il valore x, tale errore può essere commesso per disattenzione.

Risposta 1

5. Trova il numero di punti estremi della funzione F(X) appartenente al segmento.

Si prega di notare che è necessario trovare numero punti estremi (questi sono sia punti di massimo che di minimo).

I punti estremi corrispondono ai punti in cui cambia il segno della derivata (da positivo a negativo o viceversa). Sul grafico fornito nella condizione, questi sono gli zeri della funzione. La derivata svanisce ai punti 3, 6, 16, 18.

Pertanto, la funzione ha 4 punti estremi sul segmento.

Risposta: 4

6. Trova gli intervalli di funzione crescente F(X)

Intervalli di aumento di questa funzione F(X) corrispondono agli intervalli su cui la sua derivata è positiva, cioè gli intervalli (3;6) e (16;18). Si noti che i confini dell'intervallo non sono inclusi in esso (parentesi tonde - i confini non sono inclusi nell'intervallo, le parentesi quadre sono incluse). Questi intervalli contengono punti interi 4, 5, 17. La loro somma è: 4 + 5 + 17 = 26

Risposta: 26

7. Trova gli intervalli di funzione decrescente F(X) a un dato intervallo. Nella tua risposta, indica la somma dei punti interi inclusi in questi intervalli.

Funzione Intervalli decrescenti F(X) corrispondono a intervalli in cui la derivata della funzione è negativa. In questo problema, questi sono gli intervalli (–2;3), (6;16), (18;21).

Questi intervalli contengono i seguenti punti interi: -1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. La loro somma è:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Risposta: 140

* Prestare attenzione alla condizione: se i confini sono inclusi nell'intervallo o meno. Se i confini sono inclusi, anche questi devono essere presi in considerazione negli intervalli considerati nel processo di soluzione.

8. Trova gli intervalli di funzione crescente F(X)

Intervalli di aumento della funzione F(X) corrispondono agli intervalli in cui la derivata della funzione è positiva. Li abbiamo già indicati: (3;6) e (16;18). Il più grande di essi è l'intervallo (3;6), la sua lunghezza è 3.

Risposta: 3

9. Trova gli intervalli di funzione decrescente F(X). Nella tua risposta, scrivi la lunghezza del più grande di essi.

Funzione Intervalli decrescenti F(X) corrispondono a intervalli in cui la derivata della funzione è negativa. Li abbiamo già indicati, questi sono gli intervalli (–2; 3), (6; 16), (18; 21), le loro lunghezze sono rispettivamente pari a 5, 10, 3.

La lunghezza del più grande è 10.

Risposta: 10

10. Trova il numero di punti in cui è tangente al grafico della funzione F(X) parallela alla linea y \u003d 2x + 3 o coincide con essa.

Il valore della derivata nel punto di contatto è uguale alla pendenza della tangente. Poiché la tangente è parallela alla retta y \u003d 2x + 3 o coincide con essa, le loro pendenze sono uguali a 2. Pertanto, è necessario trovare il numero di punti in cui y (x 0) \u003d 2. Geometricamente, questo corrisponde al numero di punti di intersezione del grafico derivato con la retta y = 2. Ci sono 4 punti di questo tipo su questo intervallo.

Risposta: 4

11. Trova il punto estremo della funzione F(X) appartenente al segmento.

Un punto estremo di una funzione è un punto in cui la sua derivata è uguale a zero e in prossimità di questo punto la derivata cambia segno (da positiva a negativa o viceversa). Sul segmento, il grafico della derivata attraversa l'asse x, la derivata cambia segno da negativo a positivo. Pertanto, il punto x = 3 è un punto estremo.

Risposta: 3

12. Trova le ascisse dei punti in cui le tangenti al grafico y \u003d f (x) sono parallele all'asse delle ascisse o coincidono con esso. Nella tua risposta, indica il più grande di loro.

La tangente al grafico y \u003d f (x) può essere parallela all'asse x o coincidere con esso, solo nei punti in cui la derivata è zero (questi possono essere punti estremi o punti stazionari, in prossimità dei quali la derivata non cambia segno). Questo grafico mostra che la derivata è zero nei punti 3, 6, 16,18. Il più grande è 18.

L'argomento può essere strutturato in questo modo:

Il valore della derivata nel punto di contatto è uguale alla pendenza della tangente. Poiché la tangente è parallela o coincidente con l'asse x, la sua pendenza è 0 (infatti, la tangente di un angolo di zero gradi è zero). Pertanto, stiamo cercando un punto in cui la pendenza è uguale a zero, il che significa che la derivata è uguale a zero. La derivata è uguale a zero nel punto in cui il suo grafico interseca l'asse x, e questi sono i punti 3, 6, 16,18.

Risposta: 18

La figura mostra un grafico y=F'(X)- funzione derivata F(X) definito sull'intervallo (–8;4). In quale punto del segmento [–7;–3] si trova la funzione F(X) assume il valore più piccolo.

La figura mostra un grafico y=F'(X)- funzione derivata F(X), definito sull'intervallo (–7;14). Trova il numero di punti massimi di una funzione F(X) appartenente al segmento [–6;9].

La figura mostra un grafico y=F'(X)- funzione derivata F(X) definito sull'intervallo (–18;6). Trova il numero di punti minimi di una funzione F(X) appartenente all'intervallo [–13;1].

La figura mostra un grafico y=F'(X)- funzione derivata F(X), definito sull'intervallo (–11; –11). Trova il numero di punti estremi di una funzione F(X), appartenente al segmento [–10; -10].

La figura mostra un grafico y=F'(X)- funzione derivata F(X) definito sull'intervallo (–7;4). Trova gli intervalli di funzione crescente F(X). Nella tua risposta, indica la somma dei punti interi inclusi in questi intervalli.

La figura mostra un grafico y=F'(X)- funzione derivata F(X), definito sull'intervallo (–5; 7). Trova gli intervalli di funzione decrescente F(X). Nella tua risposta, indica la somma dei punti interi inclusi in questi intervalli.

La figura mostra un grafico y=F'(X)- funzione derivata F(X) definito sull'intervallo (–11;3). Trova gli intervalli di funzione crescente F(X). Nella tua risposta, scrivi la lunghezza del più grande di essi.

F La figura mostra un grafico

La condizione del problema è la stessa (che abbiamo considerato). Trova la somma di tre numeri:

1. La somma dei quadrati degli estremi della funzione f (x).

2. La differenza dei quadrati della somma dei punti di massimo e della somma dei punti di minimo della funzione f(x).

3. Il numero di tangenti a f (x) parallele alla retta y \u003d -3x + 5.

Il primo a dare la risposta corretta riceverà un premio incentivo - 150 rubli. Scrivi le tue risposte nei commenti. Se questo è il tuo primo commento sul blog, non apparirà immediatamente, un po' più tardi (non preoccuparti, il momento in cui scrivi un commento viene registrato).

Buona fortuna a te!

Cordiali saluti, Alexander Krutitsikh.

P.S: Ti sarei grato se parlassi del sito nei social network.

Estremi di funzione

Definizione 2

Un punto $x_0$ si dice punto di massimo della funzione $f(x)$ se esiste un intorno di questo punto tale che per tutti $x$ da questo intorno la disuguaglianza $f(x)\le f(x_0 )$ è soddisfatto.

Definizione 3

Un punto $x_0$ si dice punto massimo della funzione $f(x)$ se esiste un intorno di questo punto tale che per tutti $x$ da questo intorno la disuguaglianza $f(x)\ge f(x_0) $ è soddisfatto.

Il concetto di estremo di una funzione è strettamente correlato al concetto di punto critico di una funzione. Introduciamo la sua definizione.

Definizione 4

$x_0$ è chiamato punto critico della funzione $f(x)$ se:

1) $x_0$ - punto interno del dominio di definizione;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ o non esiste.

Per il concetto di estremo si possono formulare teoremi su condizioni sufficienti e necessarie per la sua esistenza.

Teorema 2

Condizione estrema sufficiente

Sia il punto $x_0$ critico per la funzione $y=f(x)$ e sia compreso nell'intervallo $(a,b)$. Lascia che su ogni intervallo $\left(a,x_0\right)\ e\ (x_0,b)$ esista la derivata $f"(x)$ e mantenga un segno costante. Quindi:

1) Se sull'intervallo $(a,x_0)$ la derivata $f"\left(x\right)>0$, e sull'intervallo $(x_0,b)$ la derivata $f"\left(x\ Giusto)

2) Se la derivata $f"\left(x\right)0$ è sull'intervallo $(a,x_0)$, allora il punto $x_0$ è il punto minimo per questa funzione.

3) Se sia sull'intervallo $(a,x_0)$ che sull'intervallo $(x_0,b)$ la derivata $f"\left(x\right) >0$ o la derivata $f"\left(x \Giusto)

Questo teorema è illustrato nella Figura 1.

Figura 1. Condizione sufficiente per l'esistenza di estremi

Esempi di estremi (Fig. 2).

Figura 2. Esempi di punti estremi

La regola per esaminare una funzione per un estremo

2) Trova la derivata $f"(x)$;

7) Trarre conclusioni sulla presenza di massimi e minimi su ciascun intervallo, utilizzando il Teorema 2.

Funzione crescente e decrescente

Introduciamo prima le definizioni di funzioni crescenti e decrescenti.

Definizione 5

Una funzione $y=f(x)$ definita su un intervallo $X$ viene chiamata crescente se per qualsiasi punto $x_1,x_2\in X$ per $x_1

Definizione 6

Una funzione $y=f(x)$ definita su un intervallo $X$ è chiamata decrescente se per qualsiasi punto $x_1,x_2\in X$ per $x_1f(x_2)$.

Esame di una funzione per aumentare e diminuire

Puoi studiare le funzioni per aumentare e diminuire usando la derivata.

Per esaminare una funzione per intervalli di aumento e diminuzione, è necessario effettuare le seguenti operazioni:

1) Trova il dominio della funzione $f(x)$;

2) Trova la derivata $f"(x)$;

3) Trova i punti in cui l'uguaglianza $f"\left(x\right)=0$;

4) Trova i punti in cui $f"(x)$ non esiste;

5) Segnare sulla linea delle coordinate tutti i punti trovati e il dominio della funzione data;

6) Determinare il segno della derivata $f"(x)$ su ciascun intervallo risultante;

7) Concludi: negli intervalli in cui $f"\left(x\right)0$ la funzione aumenta.

Esempi di problemi per lo studio di funzioni per aumento, diminuzione e presenza di punti estremi

Esempio 1

Esaminare la funzione per aumentare e diminuire e la presenza di punti di massimo e minimo: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Poiché i primi 6 punti sono gli stessi, li disegneremo per primi.

1) Dominio di definizione - tutti i numeri reali;

2) $f"\sinistra(x\destra)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\sinistra(x\destra)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ esiste in tutti i punti del dominio di definizione;

5) Linea di coordinate:

Figura 3

6) Determinare il segno della derivata $f"(x)$ su ciascun intervallo:

\ \; .

Determiniamo il segno dei valori della funzione alle estremità del segmento.

F(0) = 3, F(0) > 0

F(10) = , F(10) < 0.

Poiché la funzione diminuisce sul segmento e il segno dei valori della funzione cambia, c'è uno zero della funzione su questo segmento.

Risposta: la funzione f(x) aumenta sugli intervalli: (-∞; 0]; ;

sull'intervallo, la funzione ha uno zero della funzione.

2. Punti estremi della funzione: punti massimi e punti minimi. Condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza di un estremo di una funzione. La regola per esaminare una funzione per un estremo .

Definizione 1:I punti in cui la derivata è uguale a zero sono detti critici o stazionari.

Definizione 2. Un punto è chiamato punto minimo (massimo) della funzione se il valore della funzione in questo punto è minore (maggiore) dei valori più vicini della funzione.

Va tenuto presente che il massimo e il minimo in questo caso sono locali.

Sulla fig. 1. raffigura massimi e minimi locali.

Teorema 1.(criterio necessario per l'esistenza di un extremum della funzione). Se una funzione derivabile in un punto ha un massimo o un minimo in questo punto, la sua derivata svanisce in , .

Teorema 2.(criterio sufficiente per l'esistenza di un estremo della funzione). Se una funzione continua ha una derivata in tutti i punti di un intervallo contenente un punto critico (con la possibile eccezione di questo punto stesso), e se la derivata, quando l'argomento passa da sinistra a destra per il punto critico, cambia segno da più a meno, allora la funzione a questo punto ha un massimo, e quando il segno cambia da meno a più, ha un minimo.

Estremi di funzione

Definizione 2

Un punto $x_0$ si dice punto di massimo della funzione $f(x)$ se esiste un intorno di questo punto tale che per tutti $x$ da questo intorno la disuguaglianza $f(x)\le f(x_0 )$ è soddisfatto.

Definizione 3

Un punto $x_0$ si dice punto massimo della funzione $f(x)$ se esiste un intorno di questo punto tale che per tutti $x$ da questo intorno la disuguaglianza $f(x)\ge f(x_0) $ è soddisfatto.

Il concetto di estremo di una funzione è strettamente correlato al concetto di punto critico di una funzione. Introduciamo la sua definizione.

Definizione 4

$x_0$ è chiamato punto critico della funzione $f(x)$ se:

1) $x_0$ - punto interno del dominio di definizione;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ o non esiste.

Per il concetto di estremo si possono formulare teoremi su condizioni sufficienti e necessarie per la sua esistenza.

Teorema 2

Condizione estrema sufficiente

Sia il punto $x_0$ critico per la funzione $y=f(x)$ e sia compreso nell'intervallo $(a,b)$. Lascia che su ogni intervallo $\left(a,x_0\right)\ e\ (x_0,b)$ esista la derivata $f"(x)$ e mantenga un segno costante. Quindi:

1) Se sull'intervallo $(a,x_0)$ la derivata $f"\left(x\right)>0$, e sull'intervallo $(x_0,b)$ la derivata $f"\left(x\ Giusto)

2) Se la derivata $f"\left(x\right)0$ è sull'intervallo $(a,x_0)$, allora il punto $x_0$ è il punto minimo per questa funzione.

3) Se sia sull'intervallo $(a,x_0)$ che sull'intervallo $(x_0,b)$ la derivata $f"\left(x\right) >0$ o la derivata $f"\left(x \Giusto)

Questo teorema è illustrato nella Figura 1.

Figura 1. Condizione sufficiente per l'esistenza di estremi

Esempi di estremi (Fig. 2).

Figura 2. Esempi di punti estremi

La regola per esaminare una funzione per un estremo

2) Trova la derivata $f"(x)$;

7) Trarre conclusioni sulla presenza di massimi e minimi su ciascun intervallo, utilizzando il Teorema 2.

Funzione crescente e decrescente

Introduciamo prima le definizioni di funzioni crescenti e decrescenti.

Definizione 5

Una funzione $y=f(x)$ definita su un intervallo $X$ viene chiamata crescente se per qualsiasi punto $x_1,x_2\in X$ per $x_1

Definizione 6

Una funzione $y=f(x)$ definita su un intervallo $X$ è chiamata decrescente se per qualsiasi punto $x_1,x_2\in X$ per $x_1f(x_2)$.

Esame di una funzione per aumentare e diminuire

Puoi studiare le funzioni per aumentare e diminuire usando la derivata.

Per esaminare una funzione per intervalli di aumento e diminuzione, è necessario effettuare le seguenti operazioni:

1) Trova il dominio della funzione $f(x)$;

2) Trova la derivata $f"(x)$;

3) Trova i punti in cui l'uguaglianza $f"\left(x\right)=0$;

4) Trova i punti in cui $f"(x)$ non esiste;

5) Segnare sulla linea delle coordinate tutti i punti trovati e il dominio della funzione data;

6) Determinare il segno della derivata $f"(x)$ su ciascun intervallo risultante;

7) Concludi: negli intervalli in cui $f"\left(x\right)0$ la funzione aumenta.

Esempi di problemi per lo studio di funzioni per aumento, diminuzione e presenza di punti estremi

Esempio 1

Esaminare la funzione per aumentare e diminuire e la presenza di punti di massimo e minimo: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Poiché i primi 6 punti sono gli stessi, li disegneremo per primi.

1) Dominio di definizione - tutti i numeri reali;

2) $f"\sinistra(x\destra)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\sinistra(x\destra)=0$;

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4) $f"(x)$ esiste in tutti i punti del dominio di definizione;

5) Linea di coordinate:

Figura 3

6) Determinare il segno della derivata $f"(x)$ su ciascun intervallo:

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