Cosa sono le frazioni proprie? Come risolvere esempi con le frazioni

Frazione in matematica, un numero costituito da una o più parti (frazioni) di un'unità. Le frazioni fanno parte del campo dei numeri razionali. In base al modo in cui sono scritte, le frazioni si dividono in 2 formati: ordinario tipo e decimale .

Numeratore della frazione- un numero indicante il numero di azioni prese (situato nella parte superiore della frazione - sopra la linea). Denominatore della frazione- un numero che indica in quante quote è suddivisa l'unità (posizionato sotto la linea - in basso). , a loro volta si dividono in: corretto E errato, misto E composito sono strettamente legati alle unità di misura. 1 metro contiene 100 cm, il che significa che 1 metro è diviso in 100 parti uguali. Pertanto, 1 cm = 1/100 m (un centimetro equivale a un centesimo di metro).

o 3/5 (tre quinti), qui 3 è il numeratore, 5 è il denominatore. Se il numeratore è minore del denominatore la frazione è minore di uno e viene chiamata corretto:

Se il numeratore è uguale al denominatore la frazione è uguale a uno. Se il numeratore è maggiore del denominatore la frazione è maggiore di uno. In entrambi gli ultimi casi viene chiamata la frazione sbagliato:

Per isolare il numero intero più grande contenuto in una frazione impropria, si divide il numeratore per il denominatore. Se la divisione viene eseguita senza resto, la frazione impropria considerata è uguale al quoziente:

Se la divisione viene eseguita con un resto, il quoziente (incompleto) dà l'intero desiderato e il resto diventa il numeratore della parte frazionaria; il denominatore della parte frazionaria rimane lo stesso.

Viene chiamato un numero contenente un intero e una parte frazionaria misto. Frazione numero misto Forse frazione impropria. Quindi puoi selezionare l'intero più grande dalla parte frazionaria e rappresentare il numero misto in modo tale che la parte frazionaria diventi una frazione propria (o scompaia del tutto).

Le frazioni sono ancora considerate una delle aree più difficili della matematica. La storia delle frazioni risale a più di mille anni fa. La capacità di dividere il tutto in parti nacque nel territorio dell'antico Egitto e di Babilonia. Nel corso degli anni, le operazioni eseguite con le frazioni sono diventate più complesse e la forma della loro registrazione è cambiata. Ciascuno aveva le proprie caratteristiche nel suo “rapporto” con questo ramo della matematica.

Cos'è una frazione?

Quando è nata la necessità di dividere il tutto in parti senza ulteriori sforzi, sono apparse le frazioni. La storia delle frazioni è indissolubilmente legata alla soluzione dei problemi utilitaristici. Il termine stesso “frazione” ha radici arabe e deriva da una parola che significa “spezzare, dividere”. Poco è cambiato in questo senso dai tempi antichi. La definizione moderna è la seguente: una frazione è una parte o somma di parti di un'unità. Di conseguenza, gli esempi con frazioni rappresentano l'esecuzione sequenziale di operazioni matematiche con frazioni di numeri.

Oggi ci sono due modi per registrarli. sorsero in tempi diversi: i primi sono più antichi.

È venuto da tempo immemorabile

Per la prima volta iniziarono ad operare con frazioni in Egitto e Babilonia. L'approccio dei matematici dei due paesi presentava differenze significative. Tuttavia, l'inizio è stato fatto allo stesso modo in entrambi i casi. La prima frazione era metà o 1/2. Poi ne nacque un quarto, un terzo e così via. Secondo gli scavi archeologici, la storia dell'origine delle frazioni risale a circa 5mila anni fa. Per la prima volta si trovano frazioni di un numero nei papiri egiziani e sulle tavolette d'argilla babilonesi.

Antico Egitto

Tipi di frazioni ordinarie oggi includono quelle cosiddette egiziane. Rappresentano la somma di più termini della forma 1/n. Il numeratore è sempre uno e il denominatore è un numero naturale. È difficile indovinare che tali frazioni siano apparse nell'antico Egitto. Durante il calcolo, abbiamo provato a scrivere tutte le azioni sotto forma di tali importi (ad esempio 1/2 + 1/4 + 1/8). Solo le frazioni 2/3 e 3/4 avevano designazioni separate, il resto era diviso in termini; C'erano tabelle speciali in cui le frazioni di un numero venivano presentate come una somma.

Il riferimento più antico conosciuto a un tale sistema si trova nel papiro matematico Rhind, risalente all'inizio del secondo millennio a.C. Include una tabella delle frazioni e problemi di matematica con soluzioni e risposte presentate come somme di frazioni. Gli egiziani sapevano come sommare, dividere e moltiplicare le frazioni di un numero. Le frazioni nella Valle del Nilo venivano scritte usando i geroglifici.

La rappresentazione di una frazione di numero come somma di termini della forma 1/n, caratteristica dell'antico Egitto, era utilizzata dai matematici non solo in questo paese. Fino al Medioevo, le frazioni egiziane venivano utilizzate in Grecia e in altri paesi.

Sviluppo della matematica a Babilonia

La matematica aveva un aspetto diverso nel regno babilonese. La storia dell'emergere delle frazioni qui è direttamente correlata alle peculiarità del sistema numerico ereditato dallo stato antico dal suo predecessore, la civiltà sumero-accadica. La tecnologia di calcolo a Babilonia era più conveniente e più avanzata che in Egitto. La matematica in questo paese ha risolto una gamma molto più ampia di problemi.

Le conquiste dei babilonesi oggi possono essere giudicate dalle tavolette di argilla sopravvissute piene di caratteri cuneiformi. Grazie alle peculiarità del materiale sono giunti fino a noi in grandi quantità. Secondo alcuni, a Babilonia prima di Pitagora fu scoperto un noto teorema, che indubbiamente testimonia lo sviluppo della scienza in questo antico stato.

Frazioni: la storia delle frazioni a Babilonia

Il sistema numerico a Babilonia era sessagesimale. Ogni nuova cifra differiva dalla precedente di 60. Questo sistema è stato conservato nel mondo moderno per indicare il tempo e gli angoli. Anche le frazioni erano sessagesimali. Per la registrazione sono state utilizzate icone speciali. Come in Egitto, gli esempi con frazioni contenevano simboli separati per 1/2, 1/3 e 2/3.

Il sistema babilonese non è scomparso insieme allo stato. Le frazioni scritte nel sistema a 60 cifre erano usate da astronomi e matematici antichi e arabi.

Grecia antica

La storia delle frazioni ordinarie era poco arricchita nell'antica Grecia. Gli abitanti dell'Ellade credevano che la matematica dovesse funzionare solo con i numeri interi. Pertanto, le espressioni con frazioni non sono state praticamente mai trovate sulle pagine degli antichi trattati greci. Tuttavia, i Pitagorici diedero un certo contributo a questo ramo della matematica. Intendevano le frazioni come rapporti o proporzioni e anche l'unità era considerata indivisibile. Pitagora e i suoi studenti costruirono una teoria generale delle frazioni, impararono a eseguire tutte e quattro le operazioni aritmetiche e a confrontare le frazioni portandole a un denominatore comune.

sacro Romano Impero

Il sistema romano delle frazioni era associato ad una misura di peso chiamata "asino". Era diviso in 12 parti. 1/12 di un asso era chiamato oncia. C'erano 18 nomi per le frazioni. Ecco qui alcuni di loro:

semifinale: mezzo asso;

sestante: la sesta parte del culo;

sette once - mezza oncia o 1/24 di culo.

Lo svantaggio di un tale sistema era l'impossibilità di rappresentare un numero come una frazione con denominatore 10 o 100. I matematici romani superarono la difficoltà utilizzando le percentuali.

Scrivere frazioni comuni

Già nell'antichità le frazioni venivano scritte in modo familiare: un numero sopra l'altro. Tuttavia, c’era una differenza significativa. Il numeratore era situato sotto il denominatore. Per la prima volta iniziarono a scrivere le frazioni in questo modo nell'antica India. Il metodo moderno è stato utilizzato dagli arabi. Ma nessuno dei popoli nominati usava una linea orizzontale per separare il numeratore e il denominatore. Appare per la prima volta negli scritti di Leonardo da Pisa, meglio conosciuto come Fibonacci, nel 1202.

Cina

Se la storia dell'emergere delle frazioni ordinarie è iniziata in Egitto, i decimali sono apparsi per la prima volta in Cina. Nel Celeste Impero cominciarono ad essere utilizzati intorno al III secolo a.C. La storia delle frazioni decimali iniziò con il matematico cinese Liu Hui, che ne propose l'uso per estrarre le radici quadrate.

Nel III secolo d.C., in Cina iniziarono ad essere utilizzate le frazioni decimali per calcolare peso e volume. A poco a poco iniziarono a penetrare sempre più in profondità nella matematica. In Europa, tuttavia, i decimali sono entrati in uso molto più tardi.

Al-Kashi da Samarcanda

Indipendentemente dai predecessori cinesi, le frazioni decimali furono scoperte dall'astronomo al-Kashi dell'antica città di Samarcanda. Visse e lavorò nel XV secolo. Lo scienziato delineò la sua teoria nel trattato "La chiave dell'aritmetica", pubblicato nel 1427. Al-Kashi ha proposto di utilizzare una nuova forma di scrittura delle frazioni. Sia la parte intera che quella frazionaria erano ora scritte sulla stessa riga. L'astronomo di Samarcanda non usò una virgola per separarli. Ha scritto il numero intero e la parte frazionaria in diversi colori utilizzando inchiostro nero e rosso. A volte al-Kashi usava anche una linea verticale per separarsi.

Decimali in Europa

Un nuovo tipo di frazioni cominciò ad apparire nelle opere dei matematici europei nel XIII secolo. Va notato che non avevano familiarità con le opere di al-Kashi, così come con l'invenzione dei cinesi. Le frazioni decimali apparvero negli scritti di Jordan Nemorarius. Poi furono usati già nel XVI secolo da uno scienziato francese che scrisse il “Canone matematico”, che conteneva tavole trigonometriche. Vieth vi utilizzava frazioni decimali. Per separare le parti intere e frazionarie, lo scienziato ha utilizzato una barra verticale e diverse dimensioni dei caratteri.

Tuttavia, questi erano solo casi speciali di uso scientifico. Le frazioni decimali iniziarono ad essere utilizzate in Europa un po’ più tardi per risolvere i problemi quotidiani. Ciò è accaduto grazie allo scienziato olandese Simon Stevin alla fine del XVI secolo. Pubblicò l'opera matematica "Decimo" nel 1585. In esso, lo scienziato ha delineato la teoria dell'uso delle frazioni decimali nell'aritmetica, nel sistema monetario e per determinare pesi e misure.

Punto, punto, virgola

Anche Stevin non ha usato una virgola. Separò le due parti della frazione utilizzando uno zero circondato da un cerchio.

La prima volta che una virgola separò due parti di una frazione decimale fu nel 1592. In Inghilterra, invece, iniziarono ad usare il punto. Negli Stati Uniti i decimali si scrivono ancora in questo modo.

Uno degli iniziatori dell'uso di entrambi i segni di punteggiatura per separare le parti intere e frazionarie fu il matematico scozzese John Napier. Espresse la sua proposta nel 1616-1617. Anche lo scienziato tedesco ha usato la virgola

Frazioni in Rus'

In terra russa, il primo matematico a spiegare la divisione del tutto in parti fu il monaco Kirik di Novgorod. Nel 1136 scrisse un'opera in cui delineò il metodo per “contare gli anni”. Kirik si è occupato di questioni di cronologia e calendario. Nella sua opera cita anche la divisione dell'ora in parti: quinte, venticinquesime e così via.

La divisione del tutto in parti veniva utilizzata per calcolare l'importo delle tasse nei secoli XV-XVII. Sono state utilizzate le operazioni di addizione, sottrazione, divisione e moltiplicazione con parti frazionarie.

La stessa parola “frazione” apparve nella Rus' nell'VIII secolo. Viene dal verbo “spaccare, dividere in parti”. I nostri antenati usavano parole speciali per denominare le frazioni. Ad esempio, 1/2 è stato indicato come metà o metà, 1/4 come un quarto, 1/8 come metà, 1/16 come metà e così via.

La teoria completa delle frazioni, non molto diversa da quella moderna, fu presentata nel primo libro di testo di aritmetica, scritto nel 1701 da Leonty Filippovich Magnitsky. "Aritmetica" consisteva di diverse parti. L'autore parla in dettaglio delle frazioni nella sezione "Sui numeri spezzati o con frazioni". Magnitsky fornisce operazioni con numeri "spezzati" e le loro diverse designazioni.

Oggi le frazioni sono ancora tra le branche più difficili della matematica. Anche la storia delle frazioni non è stata semplice. Popoli diversi, a volte indipendentemente l'uno dall'altro, e talvolta prendendo in prestito l'esperienza dei loro predecessori, sono giunti alla necessità di introdurre, padroneggiare e utilizzare le frazioni di numeri. Lo studio delle frazioni è sempre nato da osservazioni pratiche e grazie a problemi urgenti. Era necessario dividere il pane, delimitare appezzamenti di terreno uguali, calcolare le tasse, misurare il tempo e così via. Le specifiche dell'uso delle frazioni e delle operazioni matematiche con esse dipendevano dal sistema numerico nello stato e dal livello generale di sviluppo della matematica. In un modo o nell'altro, dopo aver superato più di mille anni, la sezione di algebra dedicata alle frazioni di numeri si è formata, sviluppata e oggi viene utilizzata con successo per una varietà di esigenze, sia pratiche che teoriche.

Frazione- una forma di rappresentazione dei numeri in matematica. La barra della frazione indica l'operazione di divisione. Numeratore frazione è chiamata dividendo e denominatore- divisore. Ad esempio, in una frazione il numeratore è 5 e il denominatore è 7.

Corretto Una frazione il cui numeratore è maggiore del denominatore si chiama frazione. Se una frazione è propria, il modulo del suo valore è sempre inferiore a 1. Tutte le altre frazioni lo sono sbagliato.

La frazione si chiama misto, se è scritto come numero intero e frazione. È uguale alla somma di questo numero e della frazione:

La proprietà principale di una frazione

Se il numeratore e il denominatore di una frazione vengono moltiplicati per lo stesso numero, il valore della frazione non cambierà, cioè, ad esempio,

Ridurre le frazioni a un denominatore comune

Per portare due frazioni a un denominatore comune è necessario:

1. Moltiplicare il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda
2. Moltiplica il numeratore della seconda frazione per il denominatore della prima
3. Sostituisci i denominatori di entrambe le frazioni con il loro prodotto

Operazioni con le frazioni

Aggiunta. Per aggiungere due frazioni è necessario

1. Aggiungi i nuovi numeratori di entrambe le frazioni e lascia invariato il denominatore

Esempio:

Sottrazione. Per sottrarre una frazione da un'altra, è necessario

1. Ridurre le frazioni a un denominatore comune
2. Sottrai il numeratore della seconda dal numeratore della prima frazione e lascia invariato il denominatore

Esempio:

Moltiplicazione. Per moltiplicare una frazione per un'altra, moltiplica i loro numeratori e denominatori:

Divisione. Per dividere una frazione per un'altra, moltiplica il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda e moltiplica il denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda:

Frazioni di un'unità ed è rappresentato come \frac(a)(b).

Numeratore della frazione (a)- il numero situato sopra la linea di frazione ed indicante il numero di azioni in cui è stata suddivisa la quota.

Denominatore della frazione (b)- il numero situato sotto la linea della frazione e che indica in quante parti è divisa l'unità.

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La proprietà principale di una frazione

Se ad=bc allora due frazioni \frac(a)(b) E \frac(c)(d) sono considerati uguali. Ad esempio, le frazioni saranno uguali \frac35 E \frac(9)(15), poiché 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) E \frac(24)(14), poiché 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Dalla definizione di uguaglianza delle frazioni segue che le frazioni saranno uguali \frac(a)(b) E \frac(am)(bm), poiché a(bm)=b(am) è un chiaro esempio dell'uso delle proprietà associative e commutative della moltiplicazione dei numeri naturali in azione.

Significa \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- ecco come sembra proprietà principale di una frazione.

In altre parole, otteniamo una frazione uguale a una determinata frazione moltiplicando o dividendo il numeratore e il denominatore della frazione originale per lo stesso numero naturale.

Ridurre una frazioneè il processo di sostituzione di una frazione in cui la nuova frazione è uguale a quella originale, ma con un numeratore e un denominatore più piccoli.

È consuetudine ridurre le frazioni in base alla proprietà di base della frazione.

Per esempio, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(numeratore e denominatore sono divisi per il numero 3); la frazione risultante può essere nuovamente ridotta dividendo per 5, cioè \frac(15)(20)=\frac34.

Frazione irriducibileè una frazione della forma \frac34, dove numeratore e denominatore sono numeri primi tra loro. Lo scopo principale della riduzione di una frazione è rendere la frazione irriducibile.

Ridurre le frazioni a un denominatore comune

Prendiamo come esempio due frazioni: \frac(2)(3) E \frac(5)(8) con denominatori diversi 3 e 8. Per portare queste frazioni a un denominatore comune, moltiplichiamo prima il numeratore e il denominatore della frazione \frac(2)(3) entro le 8. Otteniamo il seguente risultato: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Quindi moltiplichiamo il numeratore e il denominatore della frazione \frac(5)(8) entro 3. Di conseguenza otteniamo: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Quindi, le frazioni originali sono ridotte a un denominatore comune 24.

Operazioni aritmetiche sulle frazioni ordinarie

Addizione di frazioni ordinarie

a) Se i denominatori sono uguali, il numeratore della prima frazione si somma al numeratore della seconda frazione, lasciando invariato il denominatore. Come puoi vedere nell'esempio:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Per denominatori diversi, le frazioni vengono prima ridotte a un denominatore comune, quindi i numeratori vengono sommati secondo la regola a):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Sottrazione di frazioni

a) Se i denominatori sono uguali, sottrai il numeratore della seconda frazione dal numeratore della prima frazione, lasciando lo stesso denominatore:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Se i denominatori delle frazioni sono diversi, allora prima si portano le frazioni ad un denominatore comune, e poi si ripetono i passaggi come al punto a).

Moltiplicazione delle frazioni comuni

La moltiplicazione delle frazioni obbedisce alla seguente regola:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

cioè moltiplicano separatamente i numeratori e i denominatori.

Per esempio:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Dividere le frazioni

Le frazioni si dividono nel modo seguente:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

cioè una frazione \frac(a)(b) moltiplicato per una frazione \frac(d)(c).

Esempio: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Numeri reciproci

Se ab=1 , allora il numero b lo è numero reciproco per il numero a.

Esempio: per il numero 9 il reciproco è \frac(1)(9), Perché 9\cpunto\frac(1)(9)=1, per il numero 5 - \frac(1)(5), Perché 5\cpunto\frac(1)(5)=1.

Decimali

Decimale detta frazione propria il cui denominatore è 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n.

Per esempio: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.

I numeri irregolari con denominatore 10^n o i numeri misti si scrivono allo stesso modo.

Per esempio: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

Qualsiasi frazione ordinaria il cui denominatore sia divisore di una certa potenza di 10 viene rappresentata come frazione decimale.

Esempio: 5 è un divisore di 100, quindi è una frazione \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.

Operazioni aritmetiche sui decimali

Aggiunta di decimali

Per sommare due frazioni decimali, devi disporle in modo che ci siano cifre identiche una sotto l'altra e una virgola sotto la virgola, quindi sommare le frazioni come numeri normali.

Sottrarre i decimali

Viene eseguito allo stesso modo dell'addizione.

Moltiplicazione dei decimali

Quando si moltiplicano i numeri decimali, è sufficiente moltiplicare i numeri indicati, senza prestare attenzione alle virgole (come i numeri naturali), e nella risposta risultante, una virgola a destra separa tante cifre quante sono dopo la virgola in entrambi i fattori in totale.

Moltiplichiamo 2,7 per 1,3. Abbiamo 27 \cdot 13=351 . Separiamo le due cifre a destra con una virgola (il primo e il secondo numero hanno una cifra dopo la virgola; 1+1=2). Di conseguenza, otteniamo 2,7 \cdot 1,3=3,51.

Se il risultato risultante contiene meno cifre di quelle che devono essere separate da una virgola, gli zeri mancanti vengono scritti davanti, ad esempio:

Per moltiplicare per 10, 100, 1000 è necessario spostare la virgola decimale di 1, 2, 3 cifre a destra (se necessario, un certo numero di zeri viene assegnato a destra).

Ad esempio: 1,47\cdot 10\.000 = 14.700.

Divisione decimale

La divisione di una frazione decimale per un numero naturale si esegue allo stesso modo della divisione di un numero naturale per un numero naturale. La virgola nel quoziente viene inserita dopo aver completato la divisione dell'intera parte.

Se la parte intera del dividendo è inferiore al divisore, la risposta è zero numeri interi, ad esempio:

Consideriamo la divisione di un numero decimale per un numero decimale. Diciamo che dobbiamo dividere 2.576 per 1.12. Innanzitutto moltiplichiamo il dividendo e il divisore della frazione per 100, ovvero spostiamo la virgola a destra nel dividendo e nel divisore di tante cifre quante sono le cifre del divisore dopo la virgola (in questo esempio, due). Poi bisogna dividere la frazione 257,6 per il numero naturale 112, cioè il problema si riduce al caso già considerato:

Succede che la frazione decimale finale non si ottiene sempre dividendo un numero per un altro. Il risultato è una frazione decimale infinita. In questi casi si passa alle frazioni ordinarie.

2.8: 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9).

Quando si parla di matematica non si può fare a meno di ricordare le frazioni. Molta attenzione e tempo sono dedicati al loro studio. Ricorda quanti esempi hai dovuto risolvere per apprendere alcune regole per lavorare con le frazioni, come hai memorizzato e applicato le proprietà di base di una frazione. Quanto coraggio è stato speso per trovare il denominatore comune, soprattutto se gli esempi avevano più di due termini!

Ricordiamo di cosa si tratta e un piccolo ripasso sulle informazioni di base e sulle regole per lavorare con le frazioni.

Definizione di frazioni

Cominciamo forse con la cosa più importante: la definizione. Una frazione è un numero composto da una o più parti di un'unità. Un numero frazionario viene scritto come due numeri separati da una barra orizzontale o da una barra. In questo caso, quello in alto (o il primo) è chiamato numeratore e quello in basso (il secondo) è chiamato denominatore.

Vale la pena notare che il denominatore mostra in quante parti è divisa l'unità e il numeratore mostra il numero di azioni o parti prese. Spesso le frazioni, se proprie, sono inferiori a uno.

Ora diamo un'occhiata alle proprietà di questi numeri e alle regole di base utilizzate quando si lavora con essi. Ma prima di esaminare un concetto come "la proprietà principale di una frazione razionale", parliamo dei tipi di frazioni e delle loro caratteristiche.

Cosa sono le frazioni?

Esistono diversi tipi di tali numeri. Prima di tutto, questi sono ordinari e decimali. I primi rappresentano il tipo di registrazione che abbiamo già indicato utilizzando un segno orizzontale o una barra. Il secondo tipo di frazioni è indicato utilizzando la cosiddetta notazione posizionale, quando viene indicata prima la parte intera del numero, e poi, dopo il punto decimale, viene indicata la parte frazionaria.

Vale la pena notare qui che in matematica vengono utilizzate allo stesso modo sia le frazioni decimali che quelle ordinarie. La proprietà principale della frazione vale solo per la seconda opzione. Inoltre, le frazioni ordinarie si dividono in numeri regolari e impropri. Nel primo caso il numeratore è sempre inferiore al denominatore. Si noti inoltre che tale frazione è inferiore a uno. In una frazione impropria, invece, il numeratore è maggiore del denominatore, e la frazione stessa è maggiore di uno. In questo caso è possibile estrarne un numero intero. In questo articolo considereremo solo le frazioni ordinarie.

Proprietà delle frazioni

Qualsiasi fenomeno, chimico, fisico o matematico, ha le sue caratteristiche e proprietà. I numeri frazionari non facevano eccezione. Hanno una caratteristica importante, con l'aiuto della quale è possibile eseguire determinate operazioni su di essi. Qual è la proprietà principale di una frazione? La regola afferma che se il suo numeratore e denominatore vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero razionale, otteniamo una nuova frazione, il cui valore sarà uguale al valore di quella originale. Cioè, moltiplicando due parti del numero frazionario 3/6 per 2, otteniamo una nuova frazione 6/12 e saranno uguali.

Sulla base di questa proprietà, puoi ridurre le frazioni e selezionare denominatori comuni per una particolare coppia di numeri.

Operazioni

Sebbene le frazioni sembrino più complesse, possono essere utilizzate anche per eseguire operazioni matematiche di base, come addizione e sottrazione, moltiplicazione e divisione. Inoltre, esiste un'azione specifica come la riduzione delle frazioni. Naturalmente, ciascuna di queste azioni viene eseguita secondo determinate regole. Conoscere queste leggi rende lavorare con le frazioni più facile, più facile e più interessante. Ecco perché di seguito considereremo le regole di base e l'algoritmo delle azioni quando si lavora con tali numeri.

Ma prima di parlare di operazioni matematiche come addizione e sottrazione, diamo un’occhiata a un’operazione come la riduzione a un denominatore comune. È qui che torna utile la conoscenza delle proprietà di base di una frazione.

Comune denominatore

Per ridurre un numero a un denominatore comune, devi prima trovare il minimo comune multiplo dei due denominatori. Cioè il numero più piccolo che è contemporaneamente divisibile per entrambi i denominatori senza resto. Il modo più semplice per trovare il LCM (minimo comune multiplo) è scrivere su una riga prima il denominatore, poi il secondo, e trovare tra questi il ​​numero corrispondente. Se il MCM non viene trovato, cioè questi numeri non hanno un multiplo comune, dovresti moltiplicarli e il valore risultante è considerato il MCM.

Quindi, abbiamo trovato l'LCM, ora dobbiamo trovare un fattore aggiuntivo. Per fare ciò, è necessario dividere alternativamente il LCM nei denominatori delle frazioni e scrivere il numero risultante su ciascuno di essi. Successivamente, dovresti moltiplicare il numeratore e il denominatore per il fattore aggiuntivo risultante e scrivere i risultati come una nuova frazione. Se dubiti che il numero che hai ricevuto sia uguale al precedente, ricorda la proprietà di base di una frazione.

Aggiunta

Passiamo ora direttamente alle operazioni matematiche sui numeri frazionari. Cominciamo con quello più semplice. Esistono diverse opzioni per aggiungere le frazioni. Nel primo caso, entrambi i numeri hanno lo stesso denominatore. In questo caso non resta che sommare i numeratori. Ma il denominatore non cambia. Ad esempio, 1/5 + 3/5 = 4/5.

Se le frazioni hanno denominatori diversi, dovresti ridurle a un denominatore comune e solo dopo eseguire l'addizione. Abbiamo discusso come farlo un po' più in alto. In questa situazione, la proprietà di base della frazione tornerà utile. La regola ti consentirà di portare i numeri a un denominatore comune. Il valore non cambierà in alcun modo.

In alternativa può succedere che la frazione venga mischiata. Quindi dovresti prima sommare le parti intere e poi quelle frazionarie.

Moltiplicazione

Non richiede alcun trucco e per eseguire questa azione non è necessario conoscere le proprietà di base di una frazione. È sufficiente prima moltiplicare insieme numeratori e denominatori. In questo caso, il prodotto dei numeratori diventerà il nuovo numeratore e i denominatori diventeranno il nuovo denominatore. Come puoi vedere, niente di complicato.

L'unica cosa che ti viene richiesta è la conoscenza delle tabelline e l'attenzione. Inoltre, dopo aver ricevuto il risultato, dovresti assolutamente verificare se questo numero può essere ridotto o meno. Parleremo di come ridurre le frazioni un po' più tardi.

Sottrazione

Durante l'esecuzione, dovresti essere guidato dalle stesse regole di quando aggiungi. Quindi, nei numeri con lo stesso denominatore, è sufficiente sottrarre il numeratore del sottraendo dal numeratore del minuendo. Se le frazioni hanno denominatori diversi, dovresti ridurle a un denominatore comune e poi eseguire questa operazione. Come per l'addizione, dovrai utilizzare le proprietà di base delle frazioni algebriche, nonché le competenze per trovare MCM e fattori comuni per le frazioni.

Divisione

E l'ultima operazione più interessante quando si lavora con tali numeri è la divisione. È abbastanza semplice e non causa particolari difficoltà anche a chi ha poca conoscenza di come lavorare con le frazioni, in particolare con addizioni e sottrazioni. Quando si divide, si applica la stessa regola della moltiplicazione per una frazione reciproca. Per questa operazione non verrà utilizzata la proprietà principale di una frazione, come nel caso della moltiplicazione. Diamo uno sguardo più da vicino.

Quando si dividono i numeri, il dividendo rimane invariato. Il divisore della frazione diventa il suo reciproco, cioè il numeratore e il denominatore si scambiano di posto. Successivamente, i numeri vengono moltiplicati tra loro.

Riduzione

Quindi, abbiamo già esaminato la definizione e la struttura delle frazioni, i loro tipi, le regole delle operazioni su questi numeri e scoperto la proprietà principale di una frazione algebrica. Ora parliamo di un'operazione come la riduzione. Ridurre una frazione è il processo di conversione, dividendo il numeratore e il denominatore per lo stesso numero. Pertanto, la frazione viene ridotta senza modificarne le proprietà.

Di solito, quando si esegue un'operazione matematica, è necessario osservare attentamente il risultato risultante e scoprire se è possibile ridurre o meno la frazione risultante. Ricorda che il risultato finale contiene sempre un numero frazionario che non richiede riduzione.

Altre operazioni

Infine, notiamo che non abbiamo elencato tutte le operazioni sui numeri frazionari, menzionando solo quelle più conosciute e necessarie. Le frazioni possono anche essere confrontate, convertite in decimali e viceversa. Ma in questo articolo non abbiamo considerato queste operazioni, poiché in matematica vengono eseguite molto meno frequentemente di quelle che abbiamo presentato sopra.

conclusioni

Con loro abbiamo parlato di numeri frazionari e di operazioni. Abbiamo anche esaminato la proprietà principale, ma notiamo che tutte queste questioni sono state da noi considerate di sfuggita. Abbiamo dato solo le regole più conosciute e utilizzate e dato i consigli, a nostro avviso, più importanti.

Questo articolo ha lo scopo di rinfrescare le tue informazioni dimenticate sulle frazioni piuttosto che fornirti nuove informazioni e riempirti la testa di infinite regole e formule che, molto probabilmente, non ti saranno mai utili.

Ci auguriamo che il materiale presentato nell'articolo, in modo semplice e conciso, ti sia stato utile.