Minimo comune multiplo di 8 e 10. Trovare la regola nok e nod

Agli studenti vengono assegnati molti compiti di matematica. Tra questi, molto spesso ci sono compiti con la seguente formulazione: ci sono due valori. Come trovare il minimo comune multiplo di determinati numeri? È necessario essere in grado di svolgere tali compiti, poiché le competenze acquisite vengono utilizzate per lavorare con frazioni con denominatori diversi. Nell'articolo analizzeremo come trovare l'LCM e i concetti di base.

Prima di trovare la risposta alla domanda su come trovare l'LCM, è necessario definire il termine multiplo. Molto spesso, la formulazione di questo concetto è la seguente: un multiplo di un certo valore A è un numero naturale che sarà divisibile per A senza resto, quindi, per 4, 8, 12, 16, 20 e così via, fino a il limite necessario.

In questo caso, il numero di divisori per un valore particolare può essere limitato e ci sono infiniti multipli. C'è anche lo stesso valore per i valori naturali. Questo è un indicatore diviso per loro senza resto. Dopo aver affrontato il concetto del valore più piccolo per determinati indicatori, passiamo a come trovarlo.

Trovare il C.N.O

Il minimo multiplo di due o più esponenti è il più piccolo numero naturale completamente divisibile per tutti i numeri dati.

Ci sono diversi modi per trovare un tale valore. Consideriamo i seguenti metodi:

1. Se i numeri sono piccoli, scrivi nella riga tutti divisibili per esso. Continua a farlo finché non trovi qualcosa in comune tra loro. Nel record, sono indicati dalla lettera K. Ad esempio, per 4 e 3, il multiplo più piccolo è 12.
2. Se questi sono grandi o devi trovare un multiplo per 3 o più valori, allora dovresti usare una tecnica diversa qui, che comporta la scomposizione dei numeri in fattori primi. Per prima cosa, disponi il più grande degli indicati, quindi tutto il resto. Ognuno di essi ha il proprio numero di moltiplicatori. Ad esempio, scomponiamo 20 (2*2*5) e 50 (5*5*2). Per i più piccoli, sottolinea i fattori e aggiungi i più grandi. Il risultato sarà 100, che sarà il minimo comune multiplo dei numeri sopra indicati.
3. Trovando 3 numeri (16, 24 e 36) i principi sono gli stessi degli altri due. Espandiamo ciascuno di essi: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Solo due due dall'espansione del numero 16 non sono stati inclusi nella scomposizione del maggiore, li aggiungiamo e otteniamo 144, che è il risultato più piccolo per i valori numerici precedentemente indicati.

Ora sappiamo qual è la tecnica generale per trovare il valore più piccolo per due, tre o più valori. Tuttavia, ci sono anche metodi privati, aiutando a cercare i NOC, se i precedenti non aiutano.

Come trovare GCD e NOC.

Modi privati ​​di trovare

Come con qualsiasi sezione matematica, ci sono casi speciali di ricerca di LCM che aiutano in situazioni specifiche:

• se uno dei numeri è divisibile per gli altri senza resto, allora il multiplo più basso di questi numeri è uguale ad esso (NOC 60 e 15 è uguale a 15);
• I numeri di coprime non hanno divisori primi comuni. Il loro valore minimo è uguale al prodotto di questi numeri. Quindi, per i numeri 7 e 8, questo sarà 56;
• la stessa regola vale per altri casi, anche speciali, che si possono leggere nella letteratura specializzata. Ciò dovrebbe includere anche casi di scomposizione di numeri compositi, che sono oggetto di articoli separati e persino tesi di dottorato.

I casi speciali sono meno comuni degli esempi standard. Ma grazie a loro, puoi imparare a lavorare con frazioni di vari gradi di complessità. Ciò è particolarmente vero per le frazioni., dove ci sono diversi denominatori.

Qualche esempio

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi, grazie ai quali puoi comprendere il principio di trovare il multiplo più piccolo:

1. Troviamo LCM (35; 40). Disponiamo prima 35 = 5*7, poi 40 = 5*8. Aggiungiamo 8 al numero più piccolo e otteniamo NOC 280.
2. CNO (45; 54). Disponiamo ciascuno di essi: 45 = 3*3*5 e 54 = 3*3*6. Aggiungiamo il numero 6 a 45. Otteniamo il NOC pari a 270.
3. Bene, l'ultimo esempio. Ci sono 5 e 4. Non ci sono multipli semplici per loro, quindi il minimo comune multiplo in questo caso sarà il loro prodotto, pari a 20.

Grazie agli esempi, puoi capire come si trova il NOC, quali sono le sfumature e qual è il significato di tali manipolazioni.

Trovare il NOC è molto più facile di quanto potrebbe sembrare a prima vista. Per questo, vengono utilizzate sia una semplice espansione che la moltiplicazione di valori semplici tra loro.. La capacità di lavorare con questa sezione della matematica aiuta nell'ulteriore studio di argomenti matematici, in particolare frazioni di vari gradi di complessità.

Non dimenticare di risolvere periodicamente esempi con metodi diversi, questo sviluppa l'apparato logico e ti consente di ricordare numerosi termini. Impara i metodi per trovare un tale indicatore e sarai in grado di lavorare bene con il resto delle sezioni matematiche. Buon apprendimento della matematica!

video

Questo video ti aiuterà a capire e ricordare come trovare il multiplo meno comune.

Considera tre modi per trovare il minimo comune multiplo.

Trovare per Factoring

Il primo modo è trovare il minimo comune multiplo scomponendo i numeri dati in fattori primi.

Supponiamo di dover trovare l'LCM dei numeri: 99, 30 e 28. Per fare ciò, scomponiamo ciascuno di questi numeri in fattori primi:

Perché il numero desiderato sia divisibile per 99, 30 e 28, è necessario e sufficiente che includa tutti i fattori primi di questi divisori. Per fare ciò, dobbiamo prendere tutti i fattori primi di questi numeri alla massima potenza che si verifica e moltiplicarli insieme:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Quindi LCM (99, 30, 28) = 13.860. Nessun altro numero inferiore a 13.860 è equamente divisibile per 99, 30 o 28.

Per trovare il minimo comune multiplo di determinati numeri, devi scomporli in fattori primi, quindi prendere ogni fattore primo con l'esponente più grande con cui si verifica e moltiplicare insieme questi fattori.

Poiché i numeri coprimi non hanno fattori primi comuni, il loro minimo comune multiplo è uguale al prodotto di questi numeri. Ad esempio, tre numeri: 20, 49 e 33 sono coprimi. Così

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Lo stesso dovrebbe essere fatto quando si cerca il minimo comune multiplo di vari numeri primi. Ad esempio, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Trovare per selezione

Il secondo modo è trovare il multiplo minimo comune adattandolo.

Esempio 1. Quando il più grande dei numeri dati è equamente divisibile per altri numeri dati, l'LCM di questi numeri è uguale al più grande di essi. Ad esempio, dati quattro numeri: 60, 30, 10 e 6. Ognuno di essi è divisibile per 60, quindi:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

Negli altri casi, per trovare il minimo comune multiplo, si usa la seguente procedura:

1. Determina il numero più grande dai numeri dati.
2. Successivamente, troviamo numeri che sono multipli del numero più grande, moltiplicandolo per numeri naturali in ordine crescente e controllando se i numeri dati rimanenti sono divisibili per il prodotto risultante.

Esempio 2. Dati tre numeri 24, 3 e 18. Determina il più grande di essi: questo è il numero 24. Quindi, trova i multipli di 24, controllando se ciascuno di essi è divisibile per 18 e per 3:

24 1 = 24 è divisibile per 3 ma non divisibile per 18.

24 2 = 48 - divisibile per 3 ma non divisibile per 18.

24 3 \u003d 72 - divisibile per 3 e 18.

Quindi LCM(24, 3, 18) = 72.

Ricerca per ricerca sequenziale LCM

Il terzo modo è trovare il minimo comune multiplo trovando successivamente l'LCM.

L'LCM di due numeri dati è uguale al prodotto di questi numeri diviso per il loro massimo comune divisore.

Esempio 1. Trova l'LCM di due numeri dati: 12 e 8. Determina il loro massimo comune divisore: MCD (12, 8) = 4. Moltiplica questi numeri:

Dividiamo il prodotto nel loro GCD:

Quindi LCM(12, 8) = 24.

Per trovare l'LCM di tre o più numeri, viene utilizzata la seguente procedura:

1. Innanzitutto, viene trovato l'LCM di due qualsiasi dei numeri indicati.
2. Quindi, l'LCM del minimo comune multiplo trovato e il terzo numero dato.
3. Quindi, l'LCM del multiplo minimo comune risultante e il quarto numero, e così via.
4. Quindi la ricerca LCM continua finché ci sono numeri.

Esempio 2. Troviamo la LCM di tre numeri dati: 12, 8 e 9. Abbiamo già trovato la LCM dei numeri 12 e 8 nell'esempio precedente (questo è il numero 24). Resta da trovare il minimo comune multiplo di 24 e il terzo numero dato - 9. Determinare il loro massimo comune divisore: gcd (24, 9) = 3. Moltiplicare LCM per il numero 9:

Dividiamo il prodotto nel loro GCD:

Quindi LCM(12, 8, 9) = 72.

Come trovare il minimo comune multiplo?

È necessario trovare ogni fattore di ciascuno dei due numeri per i quali troviamo il minimo comune multiplo, quindi moltiplicare i fattori che hanno coinciso con il primo e il secondo numero l'uno per l'altro. Il risultato del prodotto sarà il multiplo desiderato.

Ad esempio, abbiamo i numeri 3 e 5 e dobbiamo trovare l'LCM (minimo comune multiplo). noi deve essere moltiplicato e tre e cinque per tutti i numeri a partire da 1 2 3 ... e così via finché non vediamo lo stesso numero sia lì che là.

Moltiplichiamo i tre e otteniamo: 3, 6, 9, 12, 15

Moltiplica cinque e ottieni: 5, 10, 15

Il metodo di fattorizzazione dei primi è il più classico per trovare il minimo comune multiplo (LCM) di più numeri. Questo metodo è chiaramente e semplicemente dimostrato nel seguente video:

Aggiungere, moltiplicare, dividere, ridurre a un denominatore comune e altre operazioni aritmetiche è un'attività molto eccitante, gli esempi che occupano un intero foglio sono particolarmente ammirati.

Quindi trova il multiplo comune per due numeri, che sarà il numero più piccolo per cui due numeri sono divisibili. Voglio notare che non è necessario ricorrere a formule in futuro per trovare quello che stai cercando, se puoi contare nella tua mente (e questo può essere allenato), allora i numeri stessi ti saltano fuori in testa e poi le frazioni scattano come noci.

Per cominciare, impariamo che possiamo moltiplicare due numeri l'uno contro l'altro, quindi ridurre questa cifra e dividerla alternativamente per questi due numeri, quindi troveremo il multiplo più piccolo.

Ad esempio, due numeri 15 e 6. Moltiplichiamo e otteniamo 90. Questo è chiaramente un numero più grande. Inoltre, 15 è divisibile per 3 e 6 è divisibile per 3, il che significa che dividiamo anche 90 per 3. Otteniamo 30. Proviamo a dividere 30 per 15 è 2. E 30 divide 6 è 5. Poiché 2 è il limite, risulta che il multiplo più piccolo per i numeri 15 e 6 sarà 30.

Con più numeri sarà un po' più difficile. ma se sai quali numeri danno resto zero quando divisi o moltiplicati, allora, in linea di principio, non ci sono grandi difficoltà.

• Come trovare il NOC

  Ecco un video che ti mostrerà due modi per trovare il minimo comune multiplo (LCM). Esercitandoti con il primo dei metodi proposti, puoi capire meglio qual è il multiplo meno comune.

Ecco un altro modo per trovare il multiplo meno comune. Diamo un'occhiata a un esempio illustrativo.

È necessario trovare l'LCM di tre numeri contemporaneamente: 16, 20 e 28.

• Rappresentiamo ogni numero come il prodotto dei suoi fattori primi:
• Scriviamo le potenze di tutti i fattori primi:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Selezioniamo tutti i primi divisori (moltiplicatori) con i gradi più grandi, li moltiplichiamo e troviamo l'LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16, 20, 28) = 560.

Così, come risultato del calcolo, è stato ottenuto il numero 560. È il minimo comune multiplo, cioè è divisibile per ciascuno dei tre numeri senza resto.

Il minimo comune multiplo è il numero che può essere diviso per più numeri dati senza resto. Per calcolare una tale cifra, devi prendere ogni numero e scomporlo in semplici fattori. Quei numeri che corrispondono vengono rimossi. Lascia tutti uno alla volta, moltiplicali tra loro a turno e ottieni il desiderato - il multiplo meno comune.

NOC, o minimo comune multiplo, è il più piccolo numero naturale di due o più numeri che è divisibile per ciascuno dei numeri dati senza resto.

Ecco un esempio di come trovare il minimo comune multiplo di 30 e 42.

• Il primo passo è scomporre questi numeri in fattori primi.

Per 30, è 2 x 3 x 5.

Per 42, questo è 2 x 3 x 7. Poiché 2 e 3 sono nell'espansione del numero 30, li cancelliamo.

• Scriviamo i fattori inclusi nell'espansione del numero 30. Questo è 2 x 3 x 5.
• Ora devi moltiplicarli per il fattore mancante, che abbiamo quando scomponiamo 42, e questo è 7. Otteniamo 2 x 3 x 5 x 7.
• Troviamo ciò che è uguale a 2 x 3 x 5 x 7 e otteniamo 210.

Di conseguenza, otteniamo che l'LCM dei numeri 30 e 42 è 210.

Per trovare il minimo comune multiplo, è necessario seguire alcuni semplici passaggi in sequenza. Consideralo usando l'esempio di due numeri: 8 e 12

1. Scomponiamo entrambi i numeri in fattori primi: 8=2*2*2 e 12=3*2*2
2. Riduciamo gli stessi moltiplicatori per uno dei numeri. Nel nostro caso, 2 * 2 match, li riduciamo per il numero 12, quindi 12 avrà un fattore: 3.
3. Trova il prodotto di tutti i fattori rimanenti: 2*2*2*3=24

Verificando, ci assicuriamo che 24 sia divisibile sia per 8 che per 12, e questo è il numero naturale più piccolo che è divisibile per ciascuno di questi numeri. Eccoci qui trova il minimo comune multiplo.

Provo a spiegare usando l'esempio dei numeri 6 e 8. Il minimo comune multiplo è il numero che può essere diviso per questi numeri (nel nostro caso, 6 e 8) e non ci sarà resto.

Quindi, iniziamo a moltiplicare i primi 6 per 1, 2, 3, ecc. e 8 per 1, 2, 3, ecc.

Il minimo comune multiplo di due numeri è direttamente correlato al massimo comune divisore di quei numeri. Questo collegamento tra GCD e NOCè definito dal seguente teorema.

Teorema.

Il minimo comune multiplo di due interi positivi aeb è uguale al prodotto di aeb diviso per il massimo comune divisore di aeb, cioè LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).

Prova.

Permettere M è un multiplo dei numeri aeb. Ovvero, M è divisibile per a, e per la definizione di divisibilità esiste un intero k tale che l'uguaglianza M=a·k sia vera. Ma anche M è divisibile per b, quindi a k ​​è divisibile per b.

Denota gcd(a, b) come d . Quindi possiamo scrivere le uguaglianze a=a 1 ·d e b=b 1 ·d, e a 1 =a:d e b 1 =b:d saranno numeri coprimi. Pertanto, la condizione ottenuta nel paragrafo precedente che ak è divisibile per b può essere riformulata come segue: a 1 dk è divisibile per b 1 d , e ciò, per le proprietà di divisibilità, è equivalente alla condizione che a 1 k è divisibile per b uno .

Abbiamo anche bisogno di scrivere due importanti corollari del teorema considerato.

I multipli comuni di due numeri sono gli stessi multipli del loro multiplo minimo comune.

Questo è vero, poiché qualsiasi multiplo comune di M numeri aeb è definito dall'uguaglianza M=LCM(a, b) t per un valore intero t .

Il minimo comune multiplo dei numeri positivi coprimi aeb è uguale al loro prodotto.

La motivazione di questo fatto è abbastanza ovvia. Poiché a e b sono coprimi, allora gcd(a, b)=1 , quindi, LCM(a, b)=a b: MCD(a, b)=a b:1=a b.

Minimo comune multiplo di tre o più numeri

Trovare il minimo comune multiplo di tre o più numeri può essere ridotto alla ricerca successiva dell'LCM di due numeri. Come ciò avvenga è indicato nel seguente teorema: a 1 , a 2 , …, a k coincidono con multipli comuni di numeri m k-1 e a k , quindi coincidono con multipli di m k . E poiché il minimo multiplo positivo del numero m k è il numero m k stesso, allora il minimo comune multiplo dei numeri a 1 , a 2 , …, a k è m k .

Bibliografia.

• Vilenkin N.Ya. ecc. Matematica. Grado 6: libro di testo per le istituzioni educative.
• Vinogradov I.M. Fondamenti di teoria dei numeri.
• Mikhelovich Sh.Kh. Teoria dei numeri.
• Kulikov L.Ya. e altri Raccolta di problemi di algebra e teoria dei numeri: Libro di testo per studenti di fiz.-mat. specialità degli istituti pedagogici.

Considera la soluzione del seguente problema. Il passo del ragazzo è di 75 cm e il passo della ragazza è di 60 cm È necessario trovare la distanza più piccola alla quale entrambi faranno un numero intero di passi.

Soluzione. L'intero percorso che percorreranno i ragazzi deve essere divisibile per 60 e 70 senza resto, poiché ciascuno deve compiere un numero intero di passi. In altre parole, la risposta deve essere un multiplo di 75 e 60.

Per prima cosa, scriveremo tutti i multipli, per il numero 75. Otteniamo:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Ora scriviamo i numeri che saranno un multiplo di 60. Otteniamo:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Ora troviamo i numeri che si trovano in entrambe le righe.

• I multipli comuni di numeri saranno numeri, 300, 600, ecc.

Il più piccolo di essi è il numero 300. In questo caso verrà chiamato il minimo comune multiplo dei numeri 75 e 60.

Tornando alla condizione del problema, la distanza minima alla quale i ragazzi fanno un numero intero di passi sarà di 300 cm, il ragazzo andrà in questo modo in 4 passi e la ragazza dovrà fare 5 passi.

Trovare il minimo comune multiplo

• Il minimo comune multiplo di due numeri naturali aeb è il più piccolo numero naturale che è un multiplo di entrambi aeb.

Per trovare il minimo comune multiplo di due numeri, non è necessario annotare tutti i multipli di questi numeri in una riga.

È possibile utilizzare il metodo seguente.

Come trovare il minimo comune multiplo

Innanzitutto, devi scomporre questi numeri in fattori primi.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Ora scriviamo tutti i fattori che sono nell'espansione del primo numero (2,2,3,5) e aggiungiamo ad esso tutti i fattori mancanti dall'espansione del secondo numero (5).

Di conseguenza, otteniamo una serie di numeri primi: 2,2,3,5,5. Il prodotto di questi numeri sarà il fattore meno comune per questi numeri. 2*2*3*5*5 = 300.

Schema generale per trovare il minimo comune multiplo

• 1. Scomponi i numeri in fattori primi.
• 2. Annota i fattori primi che fanno parte di uno di essi.
• 3. Aggiungi a questi fattori tutti quelli che sono nella scomposizione del resto, ma non in quello selezionato.
• 4. Trova il prodotto di tutti i fattori scritti.

Questo metodo è universale. Può essere usato per trovare il minimo comune multiplo di qualsiasi numero di numeri naturali.