Derivata di una funzione specificata implicitamente. Derivata di una funzione definita parametricamente

La funzione può essere specificata in diversi modi. Dipende dalla regola utilizzata per specificarlo. La forma esplicita per specificare la funzione è y = f (x). Ci sono momenti in cui la sua descrizione è impossibile o scomoda. Se ci sono molte coppie (x; y) che devono essere calcolate per il parametro t nell'intervallo (a; b). Per risolvere il sistema x = 3 cost t y = 3 sin t con 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Definizione di una funzione parametrica

Da qui si ha che x = φ (t), y = ψ (t) sono definiti per un valore t ∈ (a; b) e hanno funzione inversa t = Θ (x) per x = φ (t), quindi stiamo parlando di specificare un'equazione parametrica di una funzione della forma y = ψ (Θ (x)) .

Ci sono casi in cui, per studiare una funzione, è necessario ricercare la derivata rispetto a x. Consideriamo la formula per la derivata di una funzione definita parametricamente della forma y x " = ψ " (t) φ " (t), parliamo della derivata del 2o e ennesimo ordine.

Derivazione della formula per la derivata di una funzione definita parametricamente

Abbiamo che x = φ (t), y = ψ (t), definito e differenziabile per t ∈ a; b, dove x t " = φ " (t) ≠ 0 e x = φ (t), allora esiste una funzione inversa della forma t = Θ (x).

Per cominciare, dovresti passare da un'attività parametrica a una esplicita. Per fare ciò, è necessario ottenere una funzione complessa della forma y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), dove c'è un argomento x.

In base alla regola per trovare la derivata di una funzione complessa, otteniamo che y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

Ciò dimostra che t = Θ (x) e x = φ (t) sono funzioni inverse dalla formula della funzione inversa Θ " (x) = 1 φ " (t), quindi y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Passiamo a considerare la risoluzione di diversi esempi utilizzando una tabella delle derivate secondo la regola di differenziazione.

Esempio 1

Trova la derivata della funzione x = t 2 + 1 y = t.

Soluzione

Per condizione abbiamo che φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, da qui otteniamo che φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. È necessario utilizzare la formula derivata e scrivere la risposta nella forma:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

Risposta: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Quando si lavora con la derivata di una funzione h, il parametro t specifica l'espressione dell'argomento x tramite lo stesso parametro t, in modo da non perdere la connessione tra i valori della derivata e la funzione definita parametricamente con l'argomento a cui questi valori corrispondono.

Per determinare la derivata del secondo ordine di una funzione data parametricamente, è necessario utilizzare la formula per la derivata del primo ordine sulla funzione risultante, quindi otteniamo che

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

Esempio 2

Trova le derivate di 2° e 2° ordine della funzione data x = cos (2 t) y = t 2 .

Soluzione

Per condizione otteniamo che φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

Poi dopo la trasformazione

φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

Ne consegue che y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Otteniamo che la forma della derivata del 1° ordine è x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Per risolvere è necessario applicare la formula della derivata del secondo ordine. Otteniamo un'espressione della forma

y x "" = - t peccato (2 t) φ " t = - t " · peccato (2 t) - t · (peccato (2 t)) " peccato 2 (2 t) - 2 peccato (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Quindi specificando la derivata del 2° ordine utilizzando una funzione parametrica

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Una soluzione simile può essere risolta utilizzando un altro metodo. Poi

φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 ​​​​t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2t)" = 2

Da qui lo capiamo

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Risposta: y "" x = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Le derivate di ordine superiore con funzioni definite parametricamente si trovano in modo simile.

Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio

Non sottolineiamolo, anche tutto in questo paragrafo è abbastanza semplice. Puoi scrivere la formula generale per una funzione definita parametricamente, ma per renderlo chiaro scriverò subito un esempio specifico. In forma parametrica, la funzione è data da due equazioni: . Spesso le equazioni non sono scritte tra parentesi graffe, ma in sequenza: , .

La variabile si chiama parametro e può assumere valori da “meno infinito” a “più infinito”. Considera, ad esempio, il valore e sostituiscilo in entrambe le equazioni: . O in termini umani: “se x è uguale a quattro, allora y è uguale a uno”. È possibile contrassegnare un punto sul piano delle coordinate e questo punto corrisponderà al valore del parametro. Allo stesso modo, puoi trovare un punto per qualsiasi valore del parametro “te”. Come per una funzione “regolare”, anche per gli indiani d'America di una funzione definita parametricamente, tutti i diritti sono rispettati: puoi costruire un grafico, trovare le derivate, ecc. A proposito, se hai bisogno di tracciare il grafico di una funzione specificata parametricamente, scarica il mio programma geometrico sulla pagina Formule e tabelle matematiche.

Nei casi più semplici è possibile rappresentare la funzione in modo esplicito. Esprimiamo il parametro della prima equazione: – e sostituiscilo nella seconda equazione: . Il risultato è una funzione cubica ordinaria.

Nei casi più “gravi”, questo trucco non funziona. Ma non importa, perché esiste una formula per trovare la derivata di una funzione parametrica:

Troviamo la derivata del “gioco rispetto alla variabile te”:

Tutte le regole di differenziazione e la tavola delle derivate valgono, naturalmente, per la lettera , quindi, non vi è alcuna novità nel processo di ricerca dei derivati. Sostituisci mentalmente tutte le “X” nella tabella con la lettera “Te”.

Troviamo la derivata di “x rispetto alla variabile te”:

Ora non resta che sostituire le derivate trovate nella nostra formula:

Pronto. Anche la derivata, come la funzione stessa, dipende dal parametro.

Per quanto riguarda la notazione, invece di scriverla nella formula, si potrebbe semplicemente scriverla senza pedice, trattandosi di una derivata “regolare” “rispetto a X”. Ma in letteratura c'è sempre un'opzione, quindi non mi allontanerò dallo standard.

Esempio 6

Usiamo la formula

In questo caso:

Così:

Una caratteristica speciale nel trovare la derivata di una funzione parametrica è il fatto che ad ogni passaggio è utile semplificare il più possibile il risultato. Quindi, nell'esempio considerato, quando l'ho trovato, ho aperto le parentesi sotto la radice (anche se forse non l'ho fatto). Ci sono buone probabilità che quando si sostituisce nella formula, molte cose verranno ridotte bene. Anche se, ovviamente, ci sono esempi con risposte goffe.

Esempio 7

Trova la derivata di una funzione specificata parametricamente

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo.

Nell'articolo I problemi tipici più semplici con le derivate abbiamo esaminato esempi in cui dovevamo trovare la derivata seconda di una funzione. Per una funzione definita parametricamente, puoi anche trovare la derivata seconda, e si trova utilizzando la seguente formula: . È abbastanza ovvio che per trovare la derivata seconda bisogna prima trovare la derivata prima.

Esempio 8

Trovare la derivata prima e la derivata seconda di una funzione data parametricamente

Per prima cosa troviamo la derivata prima.
Usiamo la formula

In questo caso:

Sostituisce le derivate trovate nella formula. Per semplificazione utilizziamo la formula trigonometrica:

Ho notato che nel problema di trovare la derivata di una funzione parametrica, molto spesso a scopo di semplificazione è necessario utilizzare formule trigonometriche . Ricordateli o teneteli a portata di mano e non perdete l'occasione di semplificare ogni risultato intermedio e ogni risposta. Per quello? Ora dobbiamo calcolare la derivata di , e questo è chiaramente meglio che trovare la derivata di .

Troviamo la derivata seconda.
Usiamo la formula: .

Diamo un'occhiata alla nostra formula. Il denominatore è già stato trovato nel passaggio precedente. Resta da trovare il numeratore - la derivata della derivata prima rispetto alla variabile “te”:

Resta da usare la formula:

Per rafforzare il materiale, offro un altro paio di esempi che puoi risolvere da solo.

Esempio 9

Esempio 10

Trova e per una funzione specificata parametricamente

Vi auguro il successo!

Spero che questa lezione sia stata utile e che ora sia possibile trovare facilmente le derivate di funzioni specificate implicitamente e da funzioni parametriche

Soluzioni e risposte:

Esempio 3: Soluzione:






Così:

Derivata di una funzione specificata implicitamente.
Derivata di una funzione definita parametricamente

In questo articolo esamineremo altri due compiti tipici che spesso si trovano nei test di matematica superiore. Per padroneggiare con successo il materiale, devi essere in grado di trovare derivati ​​​​almeno a livello intermedio. Puoi imparare a trovare i derivati ​​praticamente da zero in due lezioni di base e Derivata di una funzione complessa. Se le tue capacità di differenziazione vanno bene, allora andiamo.

Derivata di una funzione specificata implicitamente

O, in breve, la derivata di una funzione implicita. Cos'è una funzione implicita? Ricordiamo innanzitutto la definizione stessa di funzione di una variabile:

Funzione di una variabileè una regola secondo la quale ogni valore della variabile indipendente corrisponde ad uno ed un solo valore della funzione.

La variabile viene chiamata variabile indipendente O discussione.
La variabile viene chiamata variabile dipendente O funzione .

Finora abbiamo esaminato le funzioni definite in esplicito modulo. Cosa significa? Conduciamo un debriefing utilizzando esempi specifici.

Considera la funzione

Vediamo che a sinistra abbiamo un "giocatore" solitario, e a destra - solo "X". Cioè, la funzione esplicitamente espresso attraverso la variabile indipendente.

Consideriamo un'altra funzione:

È qui che le variabili si confondono. Inoltre impossibile in ogni caso esprimere “Y” solo tramite “X”. Quali sono questi metodi? Trasferire termini da parte a parte con un cambio di segno, spostarli fuori parentesi, eliminare i fattori secondo la regola delle proporzioni, ecc. Riscrivi l'uguaglianza e prova a esprimere esplicitamente la “y”: . Puoi girare e girare l’equazione per ore, ma non ci riuscirai.

Lascia che ti presenti: – esempio funzione implicita.

Nel corso dell'analisi matematica è stato dimostrato che la funzione implicita esiste(ma non sempre), ha un grafico (proprio come una funzione “normale”). La funzione implicita è esattamente la stessa esiste derivata prima, derivata seconda, ecc. Come si suol dire, tutti i diritti delle minoranze sessuali sono rispettati.

E in questa lezione impareremo come trovare la derivata di una funzione specificata implicitamente. Non è così difficile! Rimangono in vigore tutte le regole di differenziazione e la tavola delle derivate delle funzioni elementari. La differenza sta in un momento particolare, che esamineremo adesso.

Sì, e ti dirò la buona notizia: le attività discusse di seguito vengono eseguite secondo un algoritmo abbastanza rigoroso e chiaro senza un sasso davanti a tre tracce.

Esempio 1

1) Nella prima fase, associamo i tratti ad entrambe le parti:

2) Utilizziamo le regole di linearità della derivata (le prime due regole della lezione Come trovare la derivata? Esempi di soluzioni):

3) Differenziazione diretta.
Come differenziare è completamente chiaro. Cosa fare dove ci sono “giochi” sotto i colpi?

- fino al punto di disgrazia, la derivata di una funzione è uguale alla sua derivata: .

Come differenziare
Qui abbiamo funzione complessa. Perché? Sembra che sotto il seno ci sia solo una lettera "Y". Ma il fatto è che esiste solo una lettera "y" - È STESSO UNA FUNZIONE(vedi definizione all'inizio della lezione). Pertanto, il seno è una funzione esterna ed è una funzione interna. Usiamo la regola per differenziare una funzione complessa :

Differenziamo il prodotto secondo la solita regola :

Tieni presente che – è anche una funzione complessa, qualsiasi "gioco con campanelli e fischietti" è una funzione complessa:

La soluzione stessa dovrebbe assomigliare a questa:


Se sono presenti parentesi, espanderle:

4) Sul lato sinistro raccogliamo i termini che contengono una “Y” con un numero primo. Sposta tutto il resto sul lato destro:

5) A sinistra togliamo la derivata tra parentesi:

6) E secondo la regola delle proporzioni, trasformiamo queste parentesi nel denominatore del lato destro:

Il derivato è stato trovato. Pronto.

È interessante notare che qualsiasi funzione può essere riscritta implicitamente. Ad esempio, la funzione può essere riscritto in questo modo: . E differenziarlo utilizzando l'algoritmo appena discusso. In effetti, le frasi “funzione implicita” e “funzione implicita” differiscono in una sfumatura semantica. L’espressione “funzione implicitamente specificata” è più generale e corretta, – questa funzione è specificata implicitamente, ma qui puoi esprimere il “gioco” e presentare la funzione in modo esplicito. La frase “funzione implicita” si riferisce alla funzione implicita “classica” quando la “y” non può essere espressa.

Seconda soluzione

Attenzione! Puoi familiarizzare con il secondo metodo solo se sai come trovarlo con sicurezza derivate parziali. Principianti e manichini di calcolo, per favore non leggere e saltare questo punto, altrimenti la tua testa sarà un completo disastro.

Troviamo la derivata della funzione implicita utilizzando il secondo metodo.

Spostiamo tutti i termini a sinistra:

E consideriamo una funzione di due variabili:

Quindi la nostra derivata può essere trovata utilizzando la formula
Troviamo le derivate parziali:

Così:

La seconda soluzione consente di effettuare un controllo. Ma non è consigliabile che scrivano la versione finale del compito, poiché le derivate parziali vengono padroneggiate in seguito e uno studente che studia l'argomento "Derivata di una funzione di una variabile" non dovrebbe ancora conoscere le derivate parziali.

Diamo un'occhiata ad alcuni altri esempi.

Esempio 2

Trovare la derivata di una funzione data implicitamente

Aggiungi tratti ad entrambe le parti:

Utilizziamo le regole di linearità:

Trovare le derivate:

Aprendo tutte le parentesi:

Spostiamo tutti i termini con a sinistra, il resto a destra:

Risposta finale:

Esempio 3

Trovare la derivata di una funzione data implicitamente

Soluzione completa e progetto di esempio alla fine della lezione.

Non è raro che le frazioni sorgano dopo la differenziazione. In questi casi, è necessario eliminare le frazioni. Diamo un'occhiata ad altri due esempi.

Esempio 4

Trovare la derivata di una funzione data implicitamente

Racchiudiamo entrambe le parti sotto i tratti e utilizziamo la regola di linearità:

Differenziare utilizzando la regola per differenziare una funzione complessa e la regola della differenziazione dei quozienti :

Espansione delle parentesi:

Ora dobbiamo eliminare la frazione. Questo può essere fatto in seguito, ma è più razionale farlo subito. Il denominatore della frazione contiene . Moltiplicare SU . Nel dettaglio, sarà simile a questo:

A volte dopo la differenziazione compaiono 2-3 frazioni. Se avessimo un'altra frazione, ad esempio, l'operazione dovrebbe essere ripetuta: moltiplicare ciascun termine di ciascuna parte SU

Sul lato sinistro lo mettiamo tra parentesi:

Risposta finale:

Esempio 5

Trovare la derivata di una funzione data implicitamente

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. L'unica cosa è che prima di eliminare la frazione, dovrai prima eliminare la struttura a tre piani della frazione stessa. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Derivata di una funzione definita parametricamente

Non sottolineiamolo, anche tutto in questo paragrafo è abbastanza semplice. Puoi scrivere la formula generale per una funzione definita parametricamente, ma per renderlo chiaro scriverò subito un esempio specifico. In forma parametrica, la funzione è data da due equazioni: . Spesso le equazioni non sono scritte tra parentesi graffe, ma in sequenza: , .

La variabile è chiamata parametro e può assumere valori da “meno infinito” a “più infinito”. Considera, ad esempio, il valore e sostituiscilo in entrambe le equazioni: . O in termini umani: “se x è uguale a quattro, allora y è uguale a uno”. È possibile contrassegnare un punto sul piano delle coordinate e questo punto corrisponderà al valore del parametro. Allo stesso modo, puoi trovare un punto per qualsiasi valore del parametro “te”. Come per una funzione “regolare”, anche per gli indiani d'America di una funzione definita parametricamente, tutti i diritti sono rispettati: puoi costruire un grafico, trovare le derivate, ecc. A proposito, se devi tracciare il grafico di una funzione definita parametricamente, puoi utilizzare il mio programma.

Nei casi più semplici è possibile rappresentare la funzione in modo esplicito. Esprimiamo il parametro della prima equazione: – e sostituiscilo nella seconda equazione: . Il risultato è una funzione cubica ordinaria.

Nei casi più “gravi”, questo trucco non funziona. Ma non importa, perché esiste una formula per trovare la derivata di una funzione parametrica:

Troviamo la derivata del “gioco rispetto alla variabile te”:

Tutte le regole di differenziazione e la tavola delle derivate valgono, naturalmente, per la lettera , quindi, non vi è alcuna novità nel processo di ricerca dei derivati. Sostituisci mentalmente tutte le “X” nella tabella con la lettera “Te”.

Troviamo la derivata di “x rispetto alla variabile te”:

Ora non resta che sostituire le derivate trovate nella nostra formula:

Pronto. Anche la derivata, come la funzione stessa, dipende dal parametro.

Per quanto riguarda la notazione, invece di scriverla nella formula, si potrebbe semplicemente scriverla senza pedice, trattandosi di una derivata “regolare” “rispetto a X”. Ma in letteratura c'è sempre un'opzione, quindi non mi allontanerò dallo standard.

Esempio 6

Usiamo la formula

In questo caso:

Così:

Una caratteristica speciale nel trovare la derivata di una funzione parametrica è il fatto che ad ogni passaggio è utile semplificare il più possibile il risultato. Quindi, nell'esempio considerato, quando l'ho trovato, ho aperto le parentesi sotto la radice (anche se forse non l'ho fatto). Ci sono buone probabilità che quando si sostituisce nella formula, molte cose verranno ridotte bene. Anche se, ovviamente, ci sono esempi con risposte goffe.

Esempio 7

Trova la derivata di una funzione specificata parametricamente

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo.

Nell'articolo I problemi tipici più semplici con le derivate abbiamo esaminato esempi in cui dovevamo trovare la derivata seconda di una funzione. Per una funzione definita parametricamente, puoi anche trovare la derivata seconda, e si trova utilizzando la seguente formula: . È abbastanza ovvio che per trovare la derivata seconda bisogna prima trovare la derivata prima.

Esempio 8

Trovare la derivata prima e la derivata seconda di una funzione data parametricamente

Per prima cosa troviamo la derivata prima.
Usiamo la formula

In questo caso:

Sostituiamo le derivate trovate nella formula. Per semplificazione utilizziamo la formula trigonometrica:

Consideriamo la definizione di una linea su un piano in cui le variabili x, y sono funzioni di una terza variabile t (chiamata parametro):

Per ogni valore T da un certo intervallo corrispondono determinati valori X E sì, a, quindi, un certo punto M (x, y) del piano. Quando T attraversa tutti i valori da un dato intervallo, quindi il punto M (x, y) descrive una riga l. Le equazioni (2.2) sono chiamate equazioni parametriche di linea l.

Se la funzione x = φ(t) ha un inverso t = Ф(x), allora sostituendo questa espressione nell'equazione y = g(t), otteniamo y = g(Ф(x)), che specifica sì come una funzione di X. In questo caso diciamo che le equazioni (2.2) definiscono la funzione sì parametricamente.

Esempio 1. Permettere M(x,y)– punto arbitrario su una circonferenza di raggio R e centrato nell'origine. Permettere T– angolo tra gli assi Bue e raggio OM(vedi Fig. 2.3). Poi x, y sono espressi attraverso T:

Le equazioni (2.3) sono equazioni parametriche di una circonferenza. Escludiamo il parametro t dalle equazioni (2.3). Per fare ciò, eleviamo al quadrato ogni equazione e la sommiamo, otteniamo: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) oppure x 2 + y 2 = R 2 – l'equazione di un cerchio nel cartesiano sistema di coordinate. Definisce due funzioni: Ognuna di queste funzioni è data da equazioni parametriche (2.3), ad eccezione della prima funzione e della seconda.

Esempio 2. Equazioni parametriche

definire un'ellisse con semiassi un, b(Fig. 2.4). Escludere il parametro dalle equazioni T, otteniamo l'equazione canonica dell'ellisse:

Esempio 3. Una cicloide è una linea descritta da un punto giacente su un cerchio se questo cerchio rotola senza scorrere su una linea retta (Fig. 2.5). Introduciamo le equazioni parametriche della cicloide. Sia il raggio del cerchio rotolante UN, punto M, descrivendo la cicloide, all'inizio del movimento coincideva con l'origine delle coordinate.

Determiniamo le coordinate X, y punti M dopo che il cerchio ha ruotato di un angolo T
(figura 2.5), t = ÐMCB. Lunghezza dell'arco M.B. uguale alla lunghezza del segmento O.B. poiché il cerchio rotola quindi senza scivolare

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acosto = a(1 – costo).

Si ottengono quindi le equazioni parametriche della cicloide:

Quando si modifica un parametro T da 0 a 2π il cerchio ruota di un giro e il punto M descrive un arco di cicloide. Le equazioni (2.5) danno sì come una funzione di X. Sebbene la funzione x = a(t – sint) ha una funzione inversa, ma non è espressa in termini di funzioni elementari, quindi la funzione y = f(x) non si esprime attraverso funzioni elementari.

Consideriamo la derivazione di una funzione definita parametricamente dalle equazioni (2.2). La funzione x = φ(t) su un certo intervallo di variazione t ha una funzione inversa t = Ô(x), Poi y = g(Ô(x)). Permettere x = φ(t), y = g(t) hanno derivati ​​e x"t≠0. Secondo la regola della differenziazione delle funzioni complesse y"x=y"t×t"x. In base alla regola per differenziare la funzione inversa, quindi:

La formula risultante (2.6) permette di trovare la derivata di una funzione specificata parametricamente.

Esempio 4. Sia la funzione sì, a seconda di X, è specificato parametricamente:

Soluzione. .
Esempio 5. Trova la pendenza K tangente alla cicloide nel punto M 0 corrispondente al valore del parametro.
Soluzione. Dalle equazioni della cicloide: y" t = asint, x" t = a(1 – costo), Ecco perché

Pendenza tangente in un punto M0 pari al valore a t0 = π/4:

FUNZIONE DIFFERENZIALE

Lasciamo la funzione al punto x0 ha un derivato. A priori:
quindi, secondo le proprietà del limite (Sezione 1.8), dove UN– infinitesimo a ∆x → 0. Da qui

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Poiché Δx → 0, il secondo termine dell'uguaglianza (2.7) è un infinitesimo di ordine superiore, rispetto a , quindi Δy e f " (x 0)×Δx sono equivalenti, infinitesimi (per f "(x 0) ≠ 0).

Pertanto, l'incremento della funzione Δy è costituito da due termini, di cui il primo f "(x 0)×Δx è parte principale incremento Δy, lineare rispetto a Δx (per f "(x 0)≠ 0).

Differenziale la funzione f(x) nel punto x 0 è chiamata la parte principale dell'incremento della funzione ed è denotata: dy O df(x0). Quindi,

df(x0) =f"(x0)×Δx. (2.8)

Esempio 1. Trovare il differenziale di una funzione dy e l'incremento della funzione Δy per la funzione y = x 2 in:
1) arbitrario X e Δ X; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

Soluzione

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Se x 0 = 20, Δx = 0,1, allora Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40×0,1= 4.

Scriviamo l'uguaglianza (2.7) nella forma:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

L'incremento Δy è diverso dal differenziale dy ad un infinitesimo di ordine superiore, rispetto a Δx, quindi, nei calcoli approssimati, si utilizza l'uguaglianza approssimata Δy ≈ dy se Δx è sufficientemente piccolo.

Considerando che Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), otteniamo una formula approssimata:

f(x0 + Δx) ≈ f(x0) + dy. (2.10)

Esempio 2. Calcola approssimativamente.

Soluzione. Prendere in considerazione:

Usando la formula (2.10), otteniamo:

Quindi, ≈ 2.025.

Consideriamo il significato geometrico del differenziale df(x 0)(Fig. 2.6).

Disegniamo una tangente al grafico della funzione y = f(x) nel punto M 0 (x0, f(x 0)), sia φ l'angolo tra la tangente KM0 e l'asse Ox, quindi f"( x 0) = tanφ. Da ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Ma PN è l'incremento dell'ordinata tangente quando x cambia da x 0 a x 0 + Δx.

Di conseguenza, il differenziale della funzione f(x) nel punto x 0 è uguale all'incremento dell'ordinata della tangente.

Troviamo il differenziale della funzione
y = x. Poiché (x)" = 1, allora dx = 1×Δx = Δx. Assumeremo che il differenziale della variabile indipendente x sia uguale al suo incremento, cioè dx = Δx.

Se x è un numero arbitrario, allora dall'uguaglianza (2.8) si ottiene df(x) = f "(x)dx, da cui .
Pertanto, la derivata di una funzione y = f(x) è uguale al rapporto tra il suo differenziale e il differenziale dell'argomento.

Consideriamo le proprietà del differenziale di una funzione.

Se u(x), v(x) sono funzioni differenziabili, allora sono valide le seguenti formule:

Per dimostrare queste formule, vengono utilizzate formule derivate per la somma, il prodotto e il quoziente di una funzione. Dimostriamo, ad esempio, la formula (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Consideriamo il differenziale di una funzione complessa: y = f(x), x = φ(t), cioè y = f(φ(t)).

Allora dy = y" t dt, ma y" t = y" x ×x" t, quindi dy = y" x x" t dt. Considerando,

che x" t = dx, otteniamo dy = y" x dx =f "(x)dx.

Pertanto, il differenziale di una funzione complessa y = f(x), dove x =φ(t), ha la forma dy = f "(x)dx, la stessa del caso in cui x è una variabile indipendente. Questa proprietà è chiamato invarianza della forma del differenziale UN.

Formula per la derivata di una funzione specificata in modo parametrico. Dimostrazione ed esempi di applicazione di questa formula. Esempi di calcolo delle derivate del primo, secondo e terzo ordine.

Lasciamo che la funzione sia specificata in modo parametrico:
(1)
dove c'è una variabile chiamata parametro. E lascia che le funzioni abbiano derivate per un certo valore della variabile. Inoltre la funzione ha anche una funzione inversa in un certo intorno del punto. Quindi la funzione (1) ha una derivata nel punto che, in forma parametrica, è determinata dalle formule:
(2)

Qui e sono le derivate delle funzioni e rispetto alla variabile (parametro). Sono spesso scritti come segue:
;
.

Allora il sistema (2) può essere scritto come segue:

Prova

Per condizione, la funzione ha una funzione inversa. Indichiamolo come
.
Quindi la funzione originale può essere rappresentata come una funzione complessa:
.
Troviamo la sua derivata utilizzando le regole per differenziare le funzioni complesse e inverse:
.

La regola è stata dimostrata.

Dimostrazione nel secondo modo

Troviamo la derivata nel secondo modo, basandoci sulla definizione della derivata della funzione nel punto:
.
Introduciamo la notazione:
.
Quindi la formula precedente assume la forma:
.

Approfittiamo del fatto che la funzione ha una funzione inversa nell'intorno del punto.
Introduciamo la seguente notazione:
; ;
; .
Dividi numeratore e denominatore della frazione per:
.
A , . Poi
.

La regola è stata dimostrata.

Derivate di ordine superiore

Per trovare le derivate di ordine superiore è necessario effettuare la differenziazione più volte. Diciamo che dobbiamo trovare la derivata del secondo ordine di una funzione definita parametricamente, della forma seguente:
(1)

Utilizzando la formula (2) troviamo la derivata prima, anch'essa determinata parametricamente:
(2)

Indichiamo la derivata prima con la variabile:
.
Quindi, per trovare la derivata seconda di una funzione rispetto alla variabile, è necessario trovare la derivata prima della funzione rispetto alla variabile. La dipendenza di una variabile da un'altra è specificata anche in modo parametrico:
(3)
Confrontando la (3) con le formule (1) e (2), troviamo:

Ora esprimiamo il risultato attraverso le funzioni e . Per fare ciò, sostituiamo e applichiamo la formula della frazione derivativa:
.
Poi
.

Da qui si ottiene la derivata seconda della funzione rispetto alla variabile:

Viene fornito anche in forma parametrica. Tieni presente che la prima riga può anche essere scritta come segue:
.

Proseguendo il procedimento si possono ottenere le derivate di funzioni da una variabile di ordine terzo e superiore.

Si noti che non è necessario introdurre una notazione per la derivata. Puoi scriverlo così:
;
.

Esempio 1

Trova la derivata di una funzione definita parametricamente:

Soluzione

Troviamo le derivate rispetto a .
Dalla tabella delle derivate troviamo:
;
.
Applichiamo:

.
Qui .

.
Qui .

La derivata richiesta:
.

Risposta

Esempio 2

Trovare la derivata della funzione espressa tramite il parametro:

Soluzione

Espandiamo le parentesi utilizzando le formule per le funzioni di potenza e le radici:
.

Trovare la derivata:

.

Trovare la derivata. Per fare ciò, introduciamo una variabile e applichiamo la formula per la derivata di una funzione complessa.

.

Troviamo la derivata desiderata:
.

Risposta

Esempio 3

Trova le derivate del secondo e del terzo ordine della funzione definita parametricamente nell'Esempio 1:

Soluzione

Nell'Esempio 1 abbiamo trovato la derivata del primo ordine:

Introduciamo la designazione. Allora la funzione è derivativa rispetto a . Si specifica parametricamente:

Per trovare la derivata seconda rispetto a , dobbiamo trovare la derivata prima rispetto a .

Distinguiamo per .
.
Abbiamo trovato la derivata di nell'Esempio 1:
.
La derivata del secondo ordine rispetto a è uguale alla derivata del primo ordine rispetto a:
.

Quindi, abbiamo trovato la derivata del secondo ordine rispetto alla forma parametrica:

Troviamo ora la derivata del terzo ordine. Introduciamo la designazione. Successivamente dobbiamo trovare la derivata del primo ordine della funzione, che è specificata in modo parametrico:

Trovare la derivata rispetto a . Per fare ciò lo riscriviamo nella forma equivalente:
.
Da

.

La derivata del terzo ordine rispetto a è uguale alla derivata del primo ordine rispetto a:
.

Commento

Non è necessario inserire le variabili e , che sono derivate rispettivamente di e . Quindi puoi scriverlo in questo modo:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Risposta

Nella rappresentazione parametrica, la derivata del secondo ordine ha la seguente forma:

Derivata del terzo ordine: