La struttura di alcuni insiemi numerici. La struttura di alcuni insiemi numerici I paradossi del continuo di Zenone e la loro soluzione da parte di Aristotele

Terminata così la questione del continuum di una dimensione, ritengo coerente passare al continuum di due dimensioni. Prima, naturalmente, tutti pensavano che il piano contenga più punti della retta; quindi tutti furono estremamente sorpresi quando Cantor mostrò che la potenza di un continuum bidimensionale è esattamente uguale alla potenza di un continuum di una dimensione Se invece prendiamo il quadrato di co. lato 1, e invece di un segmento di lunghezza uno, si dovrebbe poi provare che è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i punti di entrambi gli insiemi (Fig. 125).

Il motivo per cui questa affermazione sembra così paradossale è probabilmente la difficoltà di disfarsi della nozione di una certa continuità di corrispondenza, e nel frattempo, in realtà, la corrispondenza che abbiamo in mente di stabilire risulta essere altamente discontinua o, se si come, inorganico. . In senso figurato, distrugge a tal punto, fatta eccezione per il "potere", tutto ciò che è caratteristico delle immagini piatte e lineari in quanto tali, come se tutti i punti del quadrato fossero versati in un sacchetto e poi mescolati nel modo più completo.

L'insieme dei punti del quadrato coincide con l'insieme di tutte le coppie di frazioni decimali della forma

che noi, come prima, supponiamo sia scritto in forma infinita. Pertanto, escludiamo quei punti di confine per i quali una delle coordinate y svanisce; in altre parole, escludiamo entrambi i lati del quadrato adiacenti all'origine O, mantenendo gli altri due lati. Ma è facile vedere che questo non cambia la cardinalità dell'insieme dei punti. E quindi l'idea principale della dimostrazione di Cantor è di unire entrambe queste frazioni decimali in una nuova frazione decimale z, dalla quale, a sua volta, sarebbe possibile determinare in modo univoco x, y e che prenderebbe esattamente una volta tutti i valori ​quando il punto una volta corre per tutta la piazza. Se consideriamo z come un'ascissa, otteniamo la corrispondenza biunivoca richiesta tra il quadrato e il segmento unitario, mentre, secondo le convenzioni relative al quadrato, questo segmento tiene conto di un solo punto finale

Per prima cosa cercheremo di ottenere una tale fusione di due coordinate y in una mettendo

infatti da questa frazione è possibile, separando i decimali pari e dispari, recuperare in modo univoco.

Ma qui, in vista del duplice modo di scrivere le frazioni decimali, sorge la seguente obiezione: tale z non percorre l'intera serie di valori quando percorre tutte le coppie di infinite frazioni decimali, cioè l'intero insieme di punti è reale, anche se in questo caso si ottiene sempre una frazione infinita per z, ma esistono frazioni infinite, come

che si ottengono solo dalla frazione finale o y, nel nostro esempio da

Il modo più semplice per aggirare questa difficoltà è con la successiva modifica del metodo di Cantor proposta da König di Budapest. Vale a dire, Koenig intende per a, b, c non singole cifre, ma noti complessi di cifre, direi "molecole" di una frazione decimale, che combinano in un tutto qualsiasi cifra significativa diversa da zero, con tutti gli zeri immediatamente precedenti; per questo motivo viene evidenziato il ruolo degli zeri. Quindi qualsiasi frazione infinita decimale deve avere un numero infinito di molecole, poiché in essa compaiono ripetutamente cifre diverse da zero e viceversa. Ad esempio, in frazioni

per tali "molecole" dovrebbero essere prese

Ora, nella regola di corrispondenza di cui sopra, lascia che i simboli e z denotino tali molecole. Quindi ogni coppia corrisponderà di nuovo in modo univoco a una frazione infinita z, che a sua volta determina x e y. Ma ora qualsiasi frazione z si divide in modo univoco in due frazioni e y con un numero infinito di "molecole" ciascuna, e in questo caso la frazione z può sorgere solo una volta, quando prendiamo come qualità tutte le possibili coppie di infinite frazioni decimali. E questo in effetti fornisce una mappatura uno-a-uno di un segmento in un quadrato; quindi hanno lo stesso potere.

Naturalmente, esattamente allo stesso modo si può dimostrare che i continui di tre, quattro dimensioni hanno la stessa potenza di un continuum unidimensionale. Ma la cosa notevole è che il continuum di infinite dimensioni - più precisamente, un insieme numerabile di dimensioni - ha lo stesso potere; un tale spazio di un numero infinitamente grande di dimensioni è ora particolarmente discusso a Gottinga. È definito come la totalità di tutti quei sistemi numerici che un insieme numerabilmente infinito di variabili può assumere.

se ciascuno di essi percorre l'intera serie dei valori reali. Questo è, a rigor di termini, solo un nuovo modo di esprimere concetti che sono stati a lungo utilizzati in matematica. Infatti, in fondo, si è sempre considerata la totalità di tutte le potenze o serie trigonometriche; l'insieme numerabilmente infinito di coefficienti di queste serie non è, in sostanza, altro che lo stesso insieme di un numero infinito di variabili indipendenti, che però sono sempre soggette alle ben note condizioni di convergenza delle serie.

Anche qui ci limitiamo a considerare il "cubo unitario" del continuum, cioè l'insieme di tutti i punti che soddisfano le condizioni, e dimostriamo che questi punti possono essere portati in corrispondenza biunivoca con i punti del segmento unitario del continuum Anche qui, per comodità, scartiamo tutti quei punti limite per i quali una delle coordinate è uguale a zero e, di conseguenza, manteniamo il resto dei punti limite. Procediamo, come prima, dall'immagine delle coordinate dei punti del continuum usando le frazioni decimali,

teorema: l'insieme dei numeri reali che si trovano nell'intervallo (0,1) non è numerabile.

Prova:

È necessario dimostrare che non si può in alcun modo stabilire una corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei numeri reali e l'insieme dei numeri naturali. Dimostreremo il teorema per assurdo.

Supponiamo che questa corrispondenza uno a uno sia in qualche modo stabilita; allora ad ogni numero reale corrisponde uno ed un solo numero naturale, e viceversa ad ogni numero naturale corrisponde uno ed un solo numero reale. Quindi, un numero reale corrisponde al numero 1 - questa è una frazione decimale 0, α 1 α 2 ...α n. Un numero reale corrisponde al numero 2 - questa frazione sarà scritta come 0, β 1 β 2 β 3 ...β n, ecc.

Ora scriviamo in sequenza i numeri reali: prima scriviamo il numero corrispondente a uno, poi il numero corrispondente a due, poi il numero corrispondente a tre e così via.

0, α 1 α 2 ...α n 0, β 1 β 2 β 3 ...β n 0, γ 1 γ 2 ....γ n

Pertanto, tutti i numeri reali vengono scritti, poiché ogni numero reale corrisponde a un numero naturale: la riga superiore contiene tutti i numeri reali dell'intervallo (0,1) e la riga inferiore contiene tutti i numeri naturali.

Costruiamo ora il numero 0, m 1 m 2 ..m n … usando la seguente legge: come m 1, prendiamo un numero naturale compreso tra 0 e 9 e diverso da α 1 , cioè m 1 ≠α 1 , 0

m 1 ≠α 1 , m 2 ≠β 2 , m 3 ≠γ 3 ,…

0

Il numero 0, m 1 m 2 …m n .. non è uguale al numero 0, α 1 α 2 ...α n .., poiché per costruzione differisce da esso per la prima cifra decimale. Il numero 0, m 1 m 2 …m n ... differisce dal numero 0, β 1 β 2 β 3 ...β n per la seconda cifra decimale. Il numero 0, m 1 m 2 …m n ... differisce dal numero 0, γ 1 γ 2 ....γ n per la terza cifra decimale, ecc. In generale, dalla costruzione segue che il numero 0, m 1 m 2 …m n ... differisce da ogni numero nella riga superiore, quindi non è tra i numeri nella riga superiore. D'altra parte, il numero 0, m 1 m 2 …m n … è un numero reale dell'intervallo (0,1) e tutti i numeri reali di questo intervallo sono nella riga superiore. Ciò significa che anche il numero 0, m 1 m 2 …m n ... deve trovarsi nella riga superiore.

Siamo giunti a una contraddizione. Pertanto, non è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei numeri reali sull'intervallo (0,1) e l'insieme dei numeri naturali, il che significa che l'insieme dei numeri reali sull'intervallo (0,1) non è numerabile .

Definizione: qualsiasi insieme equivalente all'insieme di numeri reali che giace nell'intervallo (0,1) è un insieme di cardinalità del continuo.

Ogni numero dell'intervallo (0,1) corrisponde a uno e un solo punto di questo intervallo e, al contrario, a ciascun punto dell'intervallo (0,1) corrisponde uno e un solo numero di questo intervallo. Pertanto, l'insieme dei punti che si trovano nell'intervallo (0,1) ha la cardinalità del continuo.

Abbiamo dimostrato che si può stabilire una corrispondenza biunivoca tra insiemi di punti che si trovano in un intervallo di diverse lunghezze. Pertanto, l'insieme dei punti di qualsiasi intervallo ha la cardinalità del continuo.

Abbiamo dimostrato che l'insieme dei punti sull'intera retta e l'insieme dei punti di qualsiasi intervallo sono equivalenti. Quindi, l'insieme dei punti sull'intera retta ha la cardinalità del continuo, e ne consegue che l'insieme di tutti i numeri reali ha la cardinalità del continuo.

La teoria degli insiemi ha permesso di distinguere qualitativamente tra insiemi infiniti, evidenziando insiemi numerabili e insiemi di cardinalità del continuo.

Esistono insiemi infiniti i cui elementi non possono essere rinumerati. Tali insiemi sono chiamati non numerabile.

Teorema di Cantor. L'insieme di tutti i punti di un segmento non è numerabile.

Prova.

Sia numerabile l'insieme dei punti del segmento. Ciò significa che questi punti possono essere rinumerati, cioè disposti in forma di sequenza X 1 , X 2 …xn, … .

Rompiamo il segmento in tre parti uguali. Ovunque il punto X 1 , non può appartenere a tutti i segmenti , , . Pertanto, tra loro c'è un segmento D 1 che non contiene un punto X 1 (Fig. 1.7). Prendiamo questo segmento D 1 e lo dividiamo in tre parti uguali. Tra questi c'è sempre un segmento D 2 che non contiene un punto X 2. Dividiamo questo segmento in tre parti uguali, e così via, otteniamo una successione di segmenti D 1 É D 2 É D 3 É…ÉD n E…. In virtù dell'assioma di Cantor converge ad un certo punto X in n® ¥. Per costruzione, questo punto X appartiene a ciascun segmento D 1 , D 2 , D 3 ,…, D n, …, cioè non può coincidere con nessuno dei punti X 1 , X 2 ,…xn, …, ovvero la sequenza X 1 , X 2 …xn, … non esaurisce tutti i punti del segmento , il che contraddice l'ipotesi iniziale. Il teorema è stato dimostrato.

Viene chiamato l'insieme equivalente all'insieme di tutti i punti del segmento insieme di continuità di potenza.

Poiché gli insiemi di punti di intervalli, segmenti e l'intera linea sono equivalenti tra loro, hanno tutti il ​​potere del continuo.

Per dimostrare che un dato insieme ha la cardinalità di un continuo, basta indicare una corrispondenza biunivoca tra l'insieme dato e l'insieme di punti su un segmento, intervallo o intera retta.

Esempio 1.24.

Dalla fig. 1.8 ne consegue che l'insieme dei punti della parabola y= X 2 è equivalente all'insieme dei punti sulla retta –¥< X < ¥ и, следовательно, имеет мощность континуума.

Puoi anche impostare la potenza del continuum usando quanto segue teoremi sugli insiemi di potenze del continuo(dato senza prove).

Teorema 1. L'insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme numerabile è numerabile.

Teorema 2. L'insieme dei numeri irrazionali ha la cardinalità del continuo.

Teorema 3. L'insieme di tutti i punti n- spazio dimensionale per qualsiasi n ha il potere del continuo.

Teorema 4. L'insieme di tutti i numeri complessi ha la cardinalità del continuo.

Teorema 5. L'insieme di tutte le funzioni continue definite nell'intervallo [ un, B] ha la cardinalità del continuo.

Quindi, le cardinalità di insiemi infiniti possono differire. La cardinalità del continuum è maggiore della cardinalità di un insieme numerabile. La risposta alla domanda se esistono insiemi di cardinalità superiore alla cardinalità del continuo è data dal seguente teorema (dato senza dimostrazione).

Teorema sugli insiemi di cardinalità superiore. L'insieme di tutti i sottoinsiemi di un dato insieme ha una cardinalità maggiore dell'insieme dato.

Da questo teorema consegue che non esistono insiemi con la cardinalità maggiore.

TEMA 2. RELAZIONI. FUNZIONI

Esistono insiemi infiniti i cui elementi non possono essere rinumerati. Tali insiemi sono chiamati non numerabile.

Teorema di Cantor. L'insieme di tutti i punti di un segmento non è numerabile.

Prova.

Sia numerabile l'insieme dei punti del segmento. Ciò significa che questi punti possono essere rinumerati, cioè disposti in forma di sequenza X 1 , X 2 …xn, … .

Rompiamo il segmento in tre parti uguali. Ovunque il punto X 1 , non può appartenere a tutti i segmenti , , . Pertanto, tra loro c'è un segmento D 1 che non contiene un punto X 1 (Fig. 1.7). Prendiamo questo segmento D 1 e lo dividiamo in tre parti uguali. Tra questi c'è sempre un segmento D 2 che non contiene un punto X 2. Dividiamo questo segmento in tre parti uguali, e così via, otteniamo una successione di segmenti D 1 É D 2 É D 3 É…ÉD n E…. In virtù dell'assioma di Cantor converge ad un certo punto X in n® ¥. Per costruzione, questo punto X appartiene a ciascun segmento D 1 , D 2 , D 3 ,…, D n, …, cioè non può coincidere con nessuno dei punti X 1 , X 2 ,…xn, …, ovvero la sequenza X 1 , X 2 …xn, … non esaurisce tutti i punti del segmento , il che contraddice l'ipotesi iniziale. Il teorema è stato dimostrato.

Viene chiamato l'insieme equivalente all'insieme di tutti i punti del segmento insieme di continuità di potenza.

Poiché gli insiemi di punti di intervalli, segmenti e l'intera linea sono equivalenti tra loro, hanno tutti il ​​potere del continuo.

Per dimostrare che un dato insieme ha la cardinalità di un continuo, basta indicare una corrispondenza biunivoca tra l'insieme dato e l'insieme di punti su un segmento, intervallo o intera retta.

Esempio 1.24.

Dalla fig. 1.8 ne consegue che l'insieme dei punti della parabola y= X 2 è equivalente all'insieme dei punti sulla retta –¥< X < ¥ и, следовательно, имеет мощность континуума.

Puoi anche impostare la potenza del continuum usando quanto segue teoremi sugli insiemi di potenze del continuo(dato senza prove).

Teorema 1. L'insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme numerabile è numerabile.

Teorema 2. L'insieme dei numeri irrazionali ha la cardinalità del continuo.

Teorema 3. L'insieme di tutti i punti n- spazio dimensionale per qualsiasi n ha il potere del continuo.

Teorema 4. L'insieme di tutti i numeri complessi ha la cardinalità del continuo.

Teorema 5. L'insieme di tutte le funzioni continue definite nell'intervallo [ un, B] ha la cardinalità del continuo.

Quindi, le cardinalità di insiemi infiniti possono differire. La cardinalità del continuum è maggiore della cardinalità di un insieme numerabile. La risposta alla domanda se esistono insiemi di cardinalità superiore alla cardinalità del continuo è data dal seguente teorema (dato senza dimostrazione).

Teorema sugli insiemi di cardinalità superiore. L'insieme di tutti i sottoinsiemi di un dato insieme ha una cardinalità maggiore dell'insieme dato.

Da questo teorema consegue che non esistono insiemi con la cardinalità maggiore.

Domande di sicurezza per l'argomento 1

1. Lascia unÎ UN. Ne consegue che ( un} UN?

2. In tal caso UN UNÇ V?

3. Assegna un nome a un set che è un sottoinsieme di qualsiasi set.

4. Un insieme può essere equivalente al suo sottoinsieme?

5. La potenza di quale insieme è maggiore: l'insieme dei numeri naturali o l'insieme dei punti del segmento?

TEMA 2. RELAZIONI. FUNZIONI

Relazione. Concetti e definizioni di base

Definizione 2.1.coppia ordinata<X, y> è l'insieme di due elementi X e y disposti in un certo ordine.

Due paia ordinate<X, y> e<tu, v> sono uguali tra loro se e solo se X = tu e y= v.

Esempio 2.1.

<un, B>, <1, 2>, <X, 4> sono coppie ordinate.

Allo stesso modo, possiamo considerare triple, quadruple, n- elementi ki<X 1 , X 2 ,…xn>.

Definizione 2.2.Diretto(o cartesiano)opera due set UN e Bè un insieme di coppie ordinate tale che il primo elemento di ogni coppia appartenga all'insieme UN, e il secondo - sul set B:

UN ´ B = {<un, B>, ç unÎ UN e BÏ V}.

In generale, il prodotto diretto n imposta UN 1 ,UN 2 ,…Unè chiamato insieme UN uno UN 2´ …´ Un, costituito da insiemi ordinati di elementi<un 1 , un 2 , …,un> lunghezza n, tale che io- th un io appartiene all'insieme un io,un io Î un io.

Esempio 2.2.

Permettere UN = {1, 2}, V = {2, 3}.

Poi UN ´ B = {<1, 2>, <1, 3>,<2, 2>,<2, 3>}.

Esempio 2.3.

Permettere UN= {X ç0 £ X£ 1) e B= {yç2 £ y£ 3)

Poi UN ´ B = {<X, y >, ç0 £ X£ 1 e 2 £ y£ 3).

Così, l'insieme UN ´ Bè costituito da punti che giacciono all'interno e sul bordo di un rettangolo formato da linee rette X= 0 (asse y), X= 1,y= 2e y = 3.

Il matematico e filosofo francese Descartes è stato il primo a proporre una rappresentazione coordinata dei punti su un piano. Questo è storicamente il primo esempio di opera diretta.

Definizione 2.3.binario(o Doppio)rapporto rè chiamato l'insieme delle coppie ordinate.

Se una coppia<X, y> appartiene R, allora si scrive come segue:<X, y> Î R oppure, che è lo stesso, xr y.

Esempio 2.4.

R = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>}

Allo stesso modo, si può definire n-relazione locale come insieme di ordinati n-OK.

Poiché una relazione binaria è un insieme, i modi per specificare una relazione binaria sono gli stessi dei modi per specificare un insieme (vedere Sezione 1.1). Una relazione binaria può essere specificata enumerando le coppie ordinate o specificando una proprietà comune delle coppie ordinate.

Esempio 2.5.

1. R = {<1, 2>, <2, 1>, <2, 3>) – la relazione è data dall'enumerazione di coppie ordinate;

2. R = {<X, y> ç X+ y = 7, X, y sono numeri reali) – il rapporto viene specificato specificando la proprietà X+ y = 7.

Inoltre, può essere data una relazione binaria matrice di relazioni binarie. Permettere UN = {un 1 , un 2 , …, un) è un insieme finito. matrice di relazioni binarie Cè una matrice quadrata di ordine n, i cui elementi c ij sono definiti come segue:

c ij =

Esempio 2.6.

UN= (1, 2, 3, 4). Definiamo una relazione binaria R nei tre modi elencati.

1. R = {<1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>) – la relazione è data dall'enumerazione di tutte le coppie ordinate.

2. R = {<un io, aj> ç un io < aj; un io, ajÎ UN) – la relazione viene specificata specificando la proprietà "minore di" sull'insieme UN.

3. - la relazione è data dalla matrice della relazione binaria C.

Esempio 2.7.

Consideriamo alcune relazioni binarie.

1. Relazioni sull'insieme dei numeri naturali.

a) la relazione £ vale per le coppie<1, 2>, <5, 5>, ma non è soddisfatto per la coppia<4, 3>;

b) vale per le coppie la relazione "hanno un divisore comune diverso da uno".<3, 6>, <7, 42>, <21, 15>, ma non è soddisfatto per la coppia<3, 28>.

2. Relazioni sull'insieme dei punti del piano reale.

a) la relazione "essere alla stessa distanza dal punto (0, 0)" vale per i punti (3, 4) e (–2, Ö21), ma non per i punti (1, 2) e (5, 3);

b) la relazione "essere simmetrico rispetto all'asse OY" viene eseguito per tutti i punti ( X, y) e (- X, –y).

3. Relazioni su una varietà di persone.

a) l'atteggiamento "vivere in una città";

b) l'attitudine a "studiare in un gruppo";

c) l'atteggiamento di "essere più vecchio".

Definizione 2.4. Il dominio di una relazione binaria r è l'insieme D r = (x ç c'è y tale che xr y).

Definizione 2.5. L'intervallo di una relazione binaria r è l'insieme R r = (y çesiste x tale che xr y).

Definizione 2.6. Il dominio di una relazione binaria r è l'insieme M r = D r ÈR r .

Utilizzando il concetto di prodotto diretto, possiamo scrivere:

RÎ Dott´ Rr

Se Dott= Rr = UN, allora diciamo che la relazione binaria R impostato sul set UN.

Esempio 2.8.

Permettere R = {<1, 3>, <3, 3>, <4, 2>}.

Poi D r ={1, 3, 4}, Rr = {3, 2}, Sig= {1, 2, 3, 4}.

Operazioni sulle relazioni

Poiché le relazioni sono insiemi, tutte le operazioni sugli insiemi sono valide per le relazioni.

Esempio 2.9.

R 1 = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.

R 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 4>}.

R 1 È R 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>}.

R 1Z R 2 = {<1, 2>}.

R 1 \ R 2 = {<2, 3>, <3, 4>}.

Esempio 2.10.

Permettere Rè l'insieme dei numeri reali. Considera le seguenti relazioni su questo insieme:

R 1 - "£"; R 2 – " = "; R 3 – " < "; R 4 - "³"; R 5 – " > ".

R 1 = R 2 È R 3 ;

R 2 = R 1Z R 4 ;

R 3 = R 1 \ R 2 ;

R 1 = ;

Definiamo altre due operazioni sulle relazioni.

Definizione 2.7. La relazione è chiamata inversione all'atteggiamento R(indicato R- 1) se

R- 1 = {<X, y> ç< y, x> Î R}.

Esempio 2.11.

R = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.

R- 1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>}.

Esempio 2.12.

R = {<X, y> ç X – y = 2, X, y Î R}.

R- 1 = {<X, y> ç< y, x> Î R} = R- 1 = {<X, y> ç y–X = 2, X, y Î R} = {<X, y> ç– X+ y = 2, X, y Î R}.

Definizione 2.8.Composizione di due rapporti r e s si chiama rapporto

sr= {<X, z> çc'è tale y, che cosa<X, y> Î R e< y, z> Î S}.

Esempio 2.13.

R = {<X, y> ç y = sinx}.

S= {<X, y> ç y = Ö X}.

sr= {<X, z> çc'è tale y, che cosa<X, y> Î R e< y, z> Î S} = {<X, z> çc'è tale y, che cosa y = sinx e z= Ö y} = {<X, z> ç z= Ö sinx}.

La definizione della composizione di due relazioni corrisponde alla definizione di una funzione complessa:

y = F(X), z= G(y) Þ z= G(F(X)).

Esempio 2.14.

R = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <3, 1>}.

S = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <3, 2>, <3, 3>}.

Processo di ricerca sr secondo la definizione di composizione, è conveniente rappresentarla con una tabella in cui è implementata l'enumerazione di tutti i valori possibili X, y, z. per ogni paio<X, y> Î R considera tutte le possibili coppie< y, z> Î S(Tabella 2.1).

Tabella 2.1

<X, y> Î R	< y, z> Î S	<X, z> Î sr
<1, 1> <1, 1> <1, 2> <1, 3> <1, 3> <3, 1> <3, 1>	<1, 2> <1, 3> <2, 2> <3, 2> <3, 3> <1, 2> <1, 3>	<1, 2> <1, 3> <1, 2> <1, 2> <1, 3> <3, 2> <3, 3>

Si noti che la prima, la terza e la quarta, nonché la seconda e la quinta riga dell'ultima colonna della tabella contengono coppie identiche. Quindi otteniamo:

sr= {<1, 2>, <1, 3>, <3, 2>, <3, 3>}.

Proprietà di relazione

Definizione 2.9. Atteggiamento R chiamato riflessivo sul set X, se per qualcuno XÎ X eseguita xr x.

Ne consegue dalla definizione che qualsiasi elemento<X,X > Î R.

Esempio 2.15.

a) Let Xè un insieme finito X= (1, 2, 3) e R = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 2>, <3, 1>, <3, 3>). Atteggiamento R riflessivamente. Se Xè un insieme finito, quindi la diagonale principale della matrice delle relazioni riflessive ne contiene solo uno. Per il nostro esempio

b) Let X R relazione di uguaglianza. Questa relazione è riflessiva, poiché ogni numero è uguale a se stesso.

c) Let X- molte persone e R atteggiamento "vivere in una città". Questa relazione è riflessiva, poiché ognuno vive nella stessa città con se stesso.

Definizione 2.10. Atteggiamento R chiamato simmetrico sul set X, se per qualcuno X, yÎ X a partire dal xry Dovrebbe anno x.

È ovvio che R simmetrico se e solo se R = R- 1 .

Esempio 2.16.

a) Let Xè un insieme finito X= (1, 2, 3) e R = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <3, 1>, <3, 3>). Atteggiamento R simmetrico. Se Xè un insieme finito, quindi la matrice del rapporto simmetrico è simmetrica rispetto alla diagonale principale. Per il nostro esempio

b) Let Xè l'insieme dei numeri reali e R relazione di uguaglianza. Questa relazione è simmetrica, poiché Se X equivale y, poi e y equivale X.

c) Let X- molti studenti e R l'atteggiamento di "imparare in un gruppo". Questa relazione è simmetrica, poiché Se X studiare nello stesso gruppo y, poi e y studiare nello stesso gruppo X.

Definizione 2.11. Atteggiamento R chiamato transitivo sul set X, se per qualcuno X, y,zÎ X a partire dal xry e yrz Dovrebbe xrz.

Soddisfazione simultanea delle condizioni xry, yrz, xrz significa che una coppia<X,z>appartiene alla composizione r r. Pertanto, per la transitività R necessario e sufficiente che l'insieme r r era un sottoinsieme R, cioè. r rÍ R.

Esempio 2.17.

a) Let Xè un insieme finito X= (1, 2, 3) e R = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>, <1, 3>). Atteggiamento Rè transitivo, perché insieme alle coppie<X,y> e<y,z> ha una coppia<X,z>. Ad esempio, insieme alle coppie<1, 2>, e<2, 3>c'è una coppia<1, 3>.

b) Let Xè l'insieme dei numeri reali e R relazione £ (minore o uguale). Questa relazione è transitiva, poiché Se X£ y e y£ z, poi X£ z.

c) Let X- molte persone e R l'atteggiamento di essere più vecchio. Questa relazione è transitiva, poiché Se X più vecchio y e y più vecchio z, poi X più vecchio z.

Definizione 2.12. Atteggiamento R chiamato relazione di equivalenza sul set X, se è riflessivo, simmetrico e transitivo sull'insieme X.

Esempio 2.18.

a) Let Xè un insieme finito X= (1, 2, 3) e R = {<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>). Atteggiamento Rè una relazione di equivalenza.

b) Let Xè l'insieme dei numeri reali e R relazione di uguaglianza. Questa è una relazione di equivalenza.

c) Let X- molti studenti e R l'atteggiamento di "imparare in un gruppo". Questa è una relazione di equivalenza.

Permettere R X.

Definizione 2.13. Permettere Rè la relazione di equivalenza sull'insieme X e XÎ X. Classe di equivalenza, generato dall'elemento X, è chiamato sottoinsieme dell'insieme X, costituito da tali elementi yÎ X, per cui xry. Classe di equivalenza generata dall'elemento X, denotato da [ X].

In questo modo, [ X] = {yÎ X|xry}.

Il modulo delle classi di equivalenza partizione imposta X, cioè un sistema di sottoinsiemi disgiunti a coppie non vuoti dei suoi sottoinsiemi la cui unione coincide con l'intero insieme X.

Esempio 2.19.

a) La relazione di uguaglianza sull'insieme degli interi genera le seguenti classi di equivalenza: per ogni elemento X da questo insieme [ X] = {X), cioè. ogni classe di equivalenza è composta da un elemento.

b) La classe di equivalenza generata dalla coppia<X, y> è determinato dal rapporto:

[<X, y>] = .

Ciascuna classe di equivalenza generata da una coppia<X, y> definisce un numero razionale.

c) Per la relazione di appartenenza ad un gruppo studentesco, la classe di equivalenza è l'insieme degli studenti di un gruppo.

Definizione 2.14. Atteggiamento R chiamato antisimmetrico sul set X, se per qualcuno X, yÎ X a partire dal xry e anno x Dovrebbe X = y.

Ne consegue dalla definizione di antisimmetria che ogni volta una coppia<X,y> posseduto contemporaneamente R e R- 1, l'uguaglianza X = y. In altre parole, R Ç R- 1 è costituito solo da coppie del modulo<X,X >.

Esempio 2.20.

a) Let Xè un insieme finito X= (1, 2, 3) e R = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). Atteggiamento R antisimmetrico.

Atteggiamento S= {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 3>, <3, 3>) non è antisimmetrico. Ad esempio,<1, 2> Î S, e<2, 1> Î S, ma 1 ¹2.

b) Let Xè l'insieme dei numeri reali e R relazione £ (minore o uguale). Questa relazione è antisimmetrica, poiché Se X £ y, e y £ X, poi X = y.

Definizione 2.15. Atteggiamento R chiamato relazione d'ordine parziale(o solo un ordine parziale) sul set X, se è riflessivo, antisimmetrico e transitivo sul set X. Un mucchio di X in questo caso si dice parzialmente ordinato, e la relazione indicata è spesso indicata dal simbolo £, se questo non porta a fraintendimenti.

La relazione inversa alla relazione di ordine parziale sarà ovviamente la relazione di ordine parziale.

Esempio 2.21.

a) Let Xè un insieme finito X= (1, 2, 3) e R = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>). Atteggiamento R

b) Atteggiamento UNÍ V sull'insieme dei sottoinsiemi di qualche insieme uè una relazione di ordine parziale.

c) La relazione di divisibilità sull'insieme dei numeri naturali è una relazione di ordine parziale.

Funzioni. Concetti e definizioni di base

Nell'analisi matematica, viene accettata la seguente definizione di funzione.

Variabile yè chiamata funzione di una variabile X, se, secondo una norma o legge, ogni valore X corrisponde a un valore specifico y = F(X). Area variabile Xè chiamato ambito della funzione e ambito della variabile y– intervallo di valori della funzione. Se un valore X corrisponde a diversi (e anche infiniti) valori y), allora la funzione è chiamata multivalore. Tuttavia, nel corso dell'analisi delle funzioni di variabili reali si evitano le funzioni a più valori e si considerano le funzioni a valore singolo.

Consideriamo un'altra definizione di funzione in termini di relazioni.

Definizione 2.16. Funzioneè qualsiasi relazione binaria che non contiene due coppie con componenti prime uguali e seconde diverse.

Questa proprietà di relazione viene chiamata unicità o funzionalità.

Esempio 2.22.

un) (<1, 2>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 6>) è una funzione.

B) (<X, y>: X, y Î R, y = X 2) è una funzione.

v) (<1, 2>, <1, 4>, <4, 4>, <5, 6>) è una relazione, non una funzione.

Definizione 2.17. Se Fè una funzione, quindi Df – dominio, un Rf – gamma funzioni F.

Esempio 2.23.

Ad esempio 2.22 a) Df – {1, 3, 4, 5}; Rf – {2, 4, 6}.

Ad esempio 2.22 b) Df = Rf = (–¥, ¥).

Ogni elemento X Df la funzione corrisponde l'unico elemento y Rf. Questo è indicato dalla nota notazione y = F(X). Elemento X chiamato un argomento di funzione o un elemento preimage y con la funzione F, e l'elemento y valore della funzione F sul X o immagine dell'elemento X in F.

Quindi, da tutte le relazioni, le funzioni si distinguono per il fatto che ogni elemento del dominio di definizione ha l'unico Immagine.

Definizione 2.18. Se Df = X e Rf = Y, allora diciamo che la funzione F determinato su X e ne assume i valori Y, un F chiamato mappatura dell'insieme X su Y(X ® Y).

Definizione 2.19. Funzioni F e G sono uguali se il loro dominio di definizione è lo stesso insieme D, e per qualsiasi X Î D equa uguaglianza F(X) = G(X).

Questa definizione non contraddice la definizione dell'uguaglianza delle funzioni come uguaglianza degli insiemi (dopotutto, abbiamo definito una funzione come una relazione, cioè un insieme): insiemi F e G sono uguali se e solo se sono costituiti dagli stessi elementi.

Definizione 2.20. Funzione (visualizzazione) F chiamato suriettivo o semplicemente suriezione, se per qualsiasi elemento y Y l'elemento esiste X Î X, tale che y = F(X).

Quindi ogni funzione Fè una mappatura suriettiva (surjection) Df® Rf.

Se Fè una suzione, e X e Y sono insiemi finiti, quindi ³ .

Definizione 2.21. Funzione (visualizzazione) F chiamato iniettiva o semplicemente iniezione o uno a uno se da F(un) = F(B) Dovrebbe un = B.

Definizione 2.22. Funzione (visualizzazione) F chiamato biettivo o semplicemente biiezione se è sia iniettiva che suriettiva.

Se Fè una biiezione, e X e Y sono insiemi finiti, allora = .

Definizione 2.23. Se l'intervallo della funzione Dfè costituito da un elemento F chiamato funzione costante.

Esempio 2.24.

un) F(X) = X 2 è una mappatura dell'insieme dei numeri reali sull'insieme dei numeri reali non negativi. Perché F(–un) = F(un), e un ¹ – un, allora questa funzione non è un'iniezione.

b) Per ciascuno X R= (– , ) funzione F(X) = 5 è una funzione costante. Ne mostra molti R all'insieme (5). Questa funzione è suriettiva, ma non iniettiva.

v) F(X) = 2X+ 1 è un'iniezione e una biiezione, perché da 2 X 1 +1 = 2X Segue 2+1 X 1 = X 2 .

Definizione 2.24. La funzione che implementa la visualizzazione X uno X 2 ´...´ X n ® Y chiamato n-locale funzione.

Esempio 2.25.

a) Addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione sono funzioni binarie sull'insieme R numeri reali, cioè funzioni del tipo R 2® R.

B) F(X, y) = è una funzione a due posizioni che implementa la mappatura R ´ ( R \ )® R. Questa funzione non è un'iniezione, perché F(1, 2) = F(2, 4).

c) La tabella delle vincite della lotteria definisce una funzione a due posizioni che stabilisce una corrispondenza tra le coppie da n 2 (nè l'insieme dei numeri naturali) e l'insieme dei payoff.

Poiché le funzioni sono relazioni binarie, è possibile trovare funzioni inverse e applicare l'operazione di composizione. La composizione di due funzioni qualsiasi è una funzione, ma non per tutte le funzioni F atteggiamento F-1 è una funzione.

Esempio 2.26.

un) F = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>, <4, 2>) è una funzione.

Atteggiamento F –1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>, <2, 4>) non è una funzione.

B) G = {<1, un>, <2, B>, <3, C>, <4, D>) è una funzione.

G -1 = {<un, 1>, <B, 2>, <C, 3>, <D, 4>) è anche una funzione.

c) Trova la composizione delle funzioni F dall'esempio a) e G-1 dall'esempio b). abbiamo G -1F = {<un, 2>, <B, 3>, <C, 4>, <D, 2>}.

fg-1 = Æ.

Notare che ( G -1F)(un) = F(G -1 (un)) = F(1) = 2; (G -1F)(C) = F(G -1 (C)) = F(3) = 4.

Una funzione elementare nell'analisi matematica è qualsiasi funzione F, che è una composizione di un numero finito di funzioni aritmetiche, nonché delle seguenti funzioni:

1) Funzioni frazionarie-razionali, cioè funzioni della forma

un 0 + un 1 X + ... + un n x n

B 0 + B 1 X + ... + bm x m.

2) Funzione di alimentazione F(X) = x m, dove mè un numero reale costante.

3) funzione esponenziale F(X) = ex.

4) funzione logaritmica F(X) = registro x, un >0, un 1.

5) Funzioni trigonometriche sin, cos, tg, ctg, sec, csc.

6) Funzioni iperboliche sh, ch, th, cth.

7) Funzioni trigonometriche inverse arco peccato, archi eccetera.

Ad esempio, la funzione tronco d'albero 2 (X 3 +sincos 3X) è elementare, perché è la composizione delle funzioni cosx, sinx, X 3 , X 1 + X 2 , logx, X 2 .

Un'espressione che descrive la composizione delle funzioni è chiamata formula.

Per una funzione multiposto è valido il seguente importante risultato, ottenuto da A. N. Kolmogorov e V. I. Arnold nel 1957 ed è una soluzione al 13° problema di Hilbert:

Teorema. Ogni funzione continua n le variabili possono essere rappresentate come una composizione di funzioni continue di due variabili.

Modi per impostare le funzioni

1. Il modo più semplice per impostare le funzioni sono le tabelle (Tabella 2.2):

Tabella 2.2

Tuttavia, le funzioni definite su insiemi finiti possono essere definite in questo modo.

Se una funzione definita su un insieme infinito (segmento, intervallo) viene specificata in un numero finito di punti, ad esempio sotto forma di tabelle trigonometriche, tabelle di funzioni speciali, ecc., vengono utilizzate regole di interpolazione per calcolare i valori ​​di funzioni in punti intermedi.

2. Una funzione può essere definita come una formula che descrive una funzione come una composizione di altre funzioni. La formula specifica la sequenza in cui viene calcolata la funzione.

Esempio 2.28.

F(X) = peccato(X + Ö X) è una composizione delle seguenti funzioni:

G(y) = Ö y; h(tu, v) = tu+v; w(z) = sinz.

3. La funzione può essere data nel modulo procedura ricorsiva. La procedura ricorsiva definisce una funzione definita sull'insieme dei numeri naturali, cioè F(n), n= 1, 2,... come segue: a) il valore F(1) (o F(0)); b) significato F(n+ 1) è definito attraverso la composizione F(n) e altre funzioni ben note. L'esempio più semplice di una procedura ricorsiva è il calcolo n!: a) 0! = 1; B) ( n + 1)! = n!(n+ 1). Molte procedure del metodo numerico sono procedure ricorsive.

4. Esistono modi per definire una funzione che non contengono un modo per calcolare la funzione, ma solo per descriverla. Ad esempio:

f m(X) =

Funzione f m(X) è la funzione caratteristica dell'insieme m.

Quindi, secondo il significato della nostra definizione, definiamo la funzione F- significa impostare il display X ® Y, cioè. definire un insieme X´ Y, quindi la domanda si riduce a specificare qualche insieme. Tuttavia, è possibile definire il concetto di funzione senza utilizzare il linguaggio della teoria degli insiemi, ovvero: una funzione è considerata data se è data una procedura computazionale che, dato il valore dell'argomento, trova il valore corrispondente della funzione. Viene chiamata una funzione definita in questo modo calcolabile.

Esempio 2.29.

Procedura di determinazione Numeri di Fibonacci, è data dal rapporto

F n= Fn- 1 + Fn- 2 (n³ 2) (2.1)

con valori iniziali F 0 = 1, F 1 = 1.

La formula (2.1), insieme ai valori iniziali, determina la seguente serie di numeri di Fibonacci:

n	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
F n	1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 …

La procedura di calcolo per determinare il valore di una funzione da un dato valore di argomento non è altro che algoritmo.

Domande di sicurezza per l'argomento 2

1. Specificare i modi per specificare una relazione binaria.

2. La diagonale principale della matrice di quale rapporto ne contiene solo uno?

3. Per quale relazione R condizione è sempre soddisfatta R = R- 1 ?

4. Per quale relazione R condizione è sempre soddisfatta r rÍ R.

5. Introdurre relazioni di equivalenza e di ordine parziale sull'insieme di tutte le rette del piano.

6. Specificare i modi per impostare le funzioni.

7. Quale delle seguenti affermazioni è vera?

a) Ogni relazione binaria è una funzione.

b) Ogni funzione è una relazione binaria.

Argomento 3. GRAFICI

Il primo lavoro di Eulero sulla teoria dei grafi apparve nel 1736. All'inizio, questa teoria era associata a enigmi e giochi matematici. Tuttavia, la teoria dei grafi in seguito iniziò ad essere utilizzata in topologia, algebra e teoria dei numeri. Al giorno d'oggi, la teoria dei grafi trova applicazione in un'ampia varietà di campi della scienza, della tecnologia e della pratica. Viene utilizzato nella progettazione di reti elettriche, nella pianificazione dei trasporti, nella costruzione di schemi molecolari. La teoria dei grafi è utilizzata anche in economia, psicologia, sociologia e biologia.

Una questione importante nello studio degli insiemi; è la questione di come confrontare due insiemi tra loro, intendendo il "numero" di elementi in essi contenuti. Se abbiamo due insiemi, ognuno dei quali contiene un numero finito di elementi, allora possiamo semplicemente enumerare gli elementi in questi insiemi in qualche modo. In questo caso, può risultare che il primo e il secondo set contengono lo stesso numero di elementi. Chiamiamo questi due insiemi contenenti un numero finito e uguale di elementi equivalenti a e. Se ci sono più elementi in uno degli insiemi considerati, allora diremo che ha una cardinalità maggiore dell'altro degli insiemi considerati.

Passiamo ora agli insiemi costituiti, in generale, da un numero infinito di elementi. Esempi di tali insiemi sono l'insieme dei numeri razionali o l'insieme dei numeri reali che giace sul segmento.

Chiamiamo equivalenti due insiemi A e B se c'è una corrispondenza biunivoca tra loro, cioè ogni elemento corrisponde a un singolo elemento ciascuno, l'elemento è associato a qualche elemento, e diversi elementi dell'insieme A corrispondono a differenti elementi dell'insieme B.

Una corrispondenza uno-a-uno è talvolta chiamata corrispondenza biunivoca.

In particolare, gli insiemi contenenti un numero finito di elementi sono equivalenti se e solo se contengono lo stesso numero di elementi. L'equivalenza degli insiemi A e B è indicata come segue:

Mostriamo, ad esempio, che l'insieme dei numeri razionali e l'insieme dei numeri naturali sono equivalenti. Nota prima che per ogni intero due numeri razionali sono gli stessi (qui ). Pertanto, qualsiasi numero razionale può essere scritto nella forma e la frazione può essere considerata irriducibile. Il numero 0 sarà considerato scritto in un modo:

Chiamiamo un numero l'altezza di un numero razionale: è chiaro che esistono un numero finito di numeri razionali con una data altezza. Enumereremo i numeri razionali con numeri naturali in altezza crescente, cioè prima enumereremo tutti i numeri razionali di altezza C'è solo uno di questi numeri: 0. Assegniamo l'indice 1 a questo numero razionale, cioè gli assegniamo un numero naturale 1. Quindi enumeriamo i numeri razionali numeri di altezza Ci sono due di questi numeri:

e al primo assegniamo il numero naturale 2 (cioè lo enumeriamo con l'indice 2), il secondo - il numero 3. Dopodiché enumeriamo i numeri razionali di altezza 3, ecc. È chiaro che in questo caso stabiliremo una corrispondenza biunivoca tra tutti i numeri razionali e tutti i numeri naturali, cioè

Introduciamo il concetto di insieme numerabile.

Definizione 1. Un insieme si dice numerabile se è equivalente all'insieme dei numeri naturali.

Secondo questa definizione e il ragionamento sopra, otteniamo che l'insieme dei numeri razionali è un insieme numerabile.

Dimostriamo le seguenti due semplici asserzioni sugli insiemi numerabili.

Enunciato 1. Qualsiasi sottoinsieme non vuoto di un insieme numerabile è un insieme costituito da un numero finito di elementi o un insieme numerabile.

Prova. Sia A l'insieme numerabile originale, cioè l'insieme dei numeri naturali. Ciò significa che gli elementi dell'insieme A possono essere numerati in qualche modo. Disponiamo gli elementi dell'insieme A sotto forma di una successione: Sia B un sottoinsieme non vuoto dell'insieme A. Consideriamo sequenzialmente gli elementi dell'insieme A. è soddisfatto che indichiamo anche l'elemento con , ma se poi l'elemento è denotato dall'elemento, allora si passa a considerare l'elemento: è chiaro che in questo caso può accadere che tutti gli elementi dell'insieme B siano disposti in forma di successione finita: . In questo caso, l'insieme B è costituito da un numero finito di elementi. Se ciò non accade, scriviamo tutti gli elementi dell'insieme B come una sequenza infinita di elementi, da cui segue che l'insieme B è numerabile. L'affermazione è stata provata.

Enunciato 2. La somma di qualsiasi raccolta finita o numerabile di insiemi numerabili è un insieme numerabile.

Prova. Si consideri, ad esempio, il caso in cui esiste una raccolta numerabile di insiemi numerabili. Sia un insieme di insiemi, ciascuno dei quali è numerabile. Disporre gli elementi degli insiemi sotto forma di sequenze:

Elenchiamo gli elementi a dell'insieme come segue:

Alcuni insiemi possono avere elementi comuni (per ). In questo caso, li prendiamo in considerazione solo una volta.

Pertanto, gli elementi dell'insieme A possono essere enumerati, cioè messi in corrispondenza uno a uno con l'insieme dei numeri naturali, cioè A è numerabile. L'affermazione è stata provata.

Sorge la domanda: esistono infiniti insiemi non numerabili, cioè tali insiemi infiniti che non possono essere messi in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali? La risposta è contenuta nel teorema dimostrato di seguito.

Teorema 2.2. L'insieme di tutti i punti del segmento non è numerabile.

Prova. Considera l'intervallo (0, 1). Ovviamente, se dimostriamo che l'intervallo (0,1) non è numerabile, allora anche il segmento sarà non numerabile, poiché l'insieme dei punti del segmento differisce dall'insieme dei punti dell'intervallo (0,1) di soli due punti : 0 e 1. Quindi, dimostriamo che l'insieme dei punti nell'intervallo (0, 1) non è numerabile. Supponiamo il contrario, cioè supponiamo che tutti i numeri reali nell'intervallo (0, 1) possano essere enumerati.

Scrivendo tutti i numeri nell'intervallo come infiniti: frazioni decimali, lo otteniamo

Si consideri un numero reale nell'intervallo (0,1) dove - qualsiasi cifra diversa da - qualsiasi cifra diversa da - qualsiasi cifra diversa da e 9. È sufficiente dimostrare che il numero x non corrisponde a nessuno dei numeri Il numero corrisponde non contiene dopo gli zeri e i nove decimali, cioè questo numero non appartiene alla classe

numeri razionali che possono essere rappresentati in due modi come infinite frazioni decimali. In questo caso, il numero x ammette una rappresentazione univoca sotto forma di una frazione decimale infinita ed è diverso da tutti i numeri, perché la coincidenza del numero x con qualsiasi numero significherebbe la coincidenza di e Quindi, l'intervallo (0, 1), e allo stesso tempo il segmento non è numerabile. Il teorema è stato dimostrato.

Definizione 2. L'insieme equivalente all'insieme dei punti del segmento è detto insieme di cardinalità del continuo a.

Segue dal teorema 2.2 dimostrato che gli insiemi di cardinalità del continuo e gli insiemi numerabili non sono insiemi equivalenti. In particolare, dal Teorema 2.2 segue che esistono numeri irrazionali, poiché già su un segmento non tutti i numeri sono razionali: altrimenti potrebbero essere rinumerati. Segue anche dal Teorema 2.2 che ci sono un insieme non numerabile di numeri irrazionali, poiché se ci fosse un insieme numerabile o un numero finito di essi, allora, secondo la Proposizione 2, ci sarebbe un insieme numerabile di tutti i numeri - razionale e irrazionale .

Considera due insiemi arbitrari A e B. Se questi insiemi sono equivalenti, allora diremo che hanno la stessa cardinalità o sono equivalenti in cardinalità.

Per denotare l'equivalenza degli insiemi A e B, viene utilizzato il seguente simbolismo:

Se l'insieme A è equivalente a qualche sottoinsieme dell'insieme B e, inoltre, l'insieme A non contiene un sottoinsieme equivalente all'insieme B, allora diremo che la cardinalità dell'insieme A è minore della cardinalità dell'insieme B.

Per indicare che la cardinalità dell'insieme A è minore della cardinalità di B, viene utilizzato il seguente simbolismo:

Ad esempio, dalla definizione di un insieme di cardinalità di un continuo data sopra, dal Teorema 2.2, e dalla Proposizione 1 sugli insiemi numerabili segue che la cardinalità di un insieme numerabile è minore della cardinalità dell'insieme di segmenti, cioè la cardinalità del continuum.

Quindi, abbiamo introdotto un confronto delle cardinalità di due insiemi. Sono logicamente possibili altri due casi:

a) L'insieme A contiene un sottoinsieme equivalente all'insieme B e l'insieme B contiene un sottoinsieme equivalente ad A

b) Gli insiemi A e B non sono equivalenti e nessuno dei due contiene un sottoinsieme equivalente all'altro insieme. È facile dimostrare che nel caso a) gli insiemi A e B saranno equivalenti. Il caso b) è in realtà impossibile.

Notiamo anche che la questione dell'esistenza di un insieme di cardinalità intermedie tra la cardinalità degli insiemi numerabili e la cardinalità del continuum si è rivelata un problema difficile. Si è scoperto che l'affermazione sia sull'esistenza che sull'assenza di un insieme di dimensioni intermedie non contraddice gli assiomi della teoria degli insiemi e non può essere dedotta da essi. Pertanto, questa affermazione è uno degli assiomi della teoria degli insiemi assiomatica.

In conclusione, dimostriamo che il segmento e l'intervallo (0, 1) sono equivalenti o, che è lo stesso, insiemi di uguale potenza. Per fare ciò, stabiliamo una corrispondenza uno a uno tra i loro elementi. Scegliamo sul segmento e sull'intervallo (0, 1) la sequenza di punti

Assegneremo il punto 0 del segmento al punto di intervallo (0, 1), al punto 1 del segmento associeremo il punto - intervallo (0, 1), quindi assoceremo il punto del segmento al punto dell'intervallo al punto - del segmento, associeremo il punto dell'intervallo A tutti gli altri punti del segmento (cioè punti diversi da 0.1 e non appartenenti alla sequenza selezionata) vengono assegnati gli stessi punti dell'intervallo, cioè punti aventi le stesse ascisse. Pertanto, è stata stabilita una corrispondenza biunivoca tra il segmento e l'intervallo (0, 1).