Cosa significa polinomio. Polinomio, sua forma standard, grado e coefficienti dei termini

polinomio, espressione della forma

Axkyl┘..wm + Bxnyp┘..wq + ┘┘ + Dxrts┘..wt,

dove x, y, ..., w ≈ variabili e A, B, ..., D (coefficienti M.) e k, l, ..., t (esponenti ≈ interi non negativi) ≈ costanti. Termini separati della forma Ahkyl┘..wm sono chiamati membri di M. L'ordine dei termini, così come l'ordine dei fattori in ciascun termine, possono essere modificati arbitrariamente; allo stesso modo si possono introdurre o omettere termini a coefficienti nulli, e in ogni singolo termine ≈ potenze con esponenti nulli. Nel caso in cui il M. abbia uno, due o tre membri, è chiamato un membro, due membri o tre membri. Due termini di M. si dicono simili se gli esponenti in essi contenuti per le stesse variabili sono uguali a coppie. Membri simili

A "хkyl┘..wm, B"xkyl┘..wm, ┘.., D"xkyl┘..wm

può essere sostituito da uno (riduzione di termini simili). Due metriche si dicono uguali se, dopo la riduzione di metriche simili, tutti i termini con coefficienti diversi da zero risultano identici a coppie (ma possono essere scritti in un ordine diverso), e anche se tutti i coefficienti di queste metriche risultano uguali essere uguale a zero. In quest'ultimo caso, M. è chiamato zero identico ed è indicato con il segno 0. M. in una variabile x può sempre essere scritto nella forma

P(x) = a0xn+ a1xn-1 + ... + an-1x+ an,

dove a0, a1,..., an ≈ coefficienti.

La somma degli esponenti di ogni membro di M. si chiama grado di questo membro. Se M. non è identicamente zero, allora tra i termini con coefficienti diversi da zero (si presume che tutti tali termini siano dati) ce ne sono uno o più di massimo grado; questo grado massimo è chiamato grado di M. Lo zero identico non ha grado. Il grado zero M. si riduce a un termine A (costante, diverso da zero). Esempi: xyz + x + y + z è un polinomio di terzo grado, 2x + y ≈ z + 1 è un polinomio di primo grado (lineare M.), 5x2 ≈ 2x2 ≈ 3x2 non ha grado, poiché è il zero identico. M., i cui membri sono tutti dello stesso grado, è chiamata M. omogenea, o forma; le forme del primo, secondo e terzo grado sono dette lineari, quadratiche, cubiche e, in base al numero di variabili (due, tre) binarie (binarie), trinarie (ternarie) (ad esempio x2 + y2 + z2 ≈ xy ≈ yz ≈ xz è una forma quadratica triangolare).

Per quanto riguarda i coefficienti di un metro, si presume che appartengano a un determinato campo (vedi campo algebrico), ad esempio il campo dei numeri razionali, reali o complessi. Eseguendo le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione su M. in base alle leggi commutativa, associativa e distributiva, otteniamo nuovamente M. Pertanto, la totalità di tutte le M. con coefficienti di un dato campo forma un anello (vedi Anello algebrico) ≈ un anello di polinomi su un dato campo; questo anello non ha zero divisori, cioè il prodotto di M. diverso da 0 non può dare 0.

Se per due polinomi P(x) e Q(x) si può trovare un tale polinomio R(x) che P = QR, allora si dice che P è divisibile per Q; Q è chiamato divisore e R ≈ quoziente. Se P non è divisibile per Q, allora si possono trovare polinomi P(x) e S(x) tali che P = QR + S, e il grado di S(x) è minore del grado di Q(x).

Ripetendo questa operazione, si trova il massimo comun divisore di P e Q, cioè un divisore di P e Q che è divisibile per qualsiasi divisore comune di questi polinomi (vedi l'algoritmo euclideo). Una metrica che può essere rappresentata come prodotto di metriche di gradi inferiori con coefficienti di un dato campo si dice riducibile (nel campo dato), altrimenti ≈ irriducibile. I numeri irriducibili svolgono un ruolo nell'anello dei numeri simile ai numeri primi nella teoria degli interi. Quindi, per esempio, il teorema è vero: se il prodotto PQ è divisibile per un polinomio irriducibile R, e P non è divisibile per R, allora Q deve essere divisibile per R. Ogni M. di grado maggiore di zero si decompone nel dato campo in un prodotto di fattori irriducibili in modo univoco (fino a moltiplicatori di grado zero). Ad esempio il polinomio x4 + 1, irriducibile nel campo dei numeri razionali, si scompone in due fattori

nel campo dei numeri reali e di quattro fattori ═ nel campo dei numeri complessi. In generale, ogni M. in una variabile x si scompone nel campo dei numeri reali in fattori di primo e secondo grado, nel campo dei numeri complessi ≈ in fattori di primo grado (teorema fondamentale dell'algebra). Per due o più variabili, questo non può più essere affermato; ad esempio, il polinomio x3 + yz2 + z3 è irriducibile in qualsiasi campo numerico.

Se alle variabili x, y, ..., w vengono assegnati determinati valori numerici (ad esempio, reali o complessi), anche M. riceverà un determinato valore numerico. Ne consegue che ciascuna M. può essere considerata in funzione delle variabili corrispondenti. Questa funzione è continua e differenziabile per eventuali valori delle variabili; può essere caratterizzata come un'intera funzione razionale, cioè una funzione ottenuta da variabili e alcune costanti (coefficienti) mediante addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni eseguite in un certo ordine. Intere funzioni razionali sono incluse in una classe più ampia di funzioni razionali, dove alle azioni elencate si aggiunge la divisione: qualsiasi funzione razionale può essere rappresentata come un quoziente di due M. Infine, le funzioni razionali sono contenute nella classe delle funzioni algebriche.

Tra le proprietà più importanti di M. c'è il fatto che qualsiasi funzione continua può essere sostituita da un errore arbitrariamente piccolo da parte di M. (Teorema di Weierstrass; la sua esatta formulazione richiede che la funzione data sia continua su un insieme limitato e chiuso di punti, per esempio, su un segmento dell'asse reale). Questo fatto, che può essere dimostrato per mezzo dell'analisi matematica, permette di approssimare qualsiasi relazione tra quantità studiate in qualsiasi questione di scienze naturali e di tecnologia. Le modalità di tale espressione sono studiate in sezioni speciali di matematica (vedi Approssimazione e interpolazione di funzioni, Metodo dei minimi quadrati).

Nell'algebra elementare, un polinomio è talvolta chiamato tali espressioni algebriche in cui l'ultima azione è l'addizione o la sottrazione, ad esempio

Illuminato. : Kurosh AG, Corso di Algebra Superiore, 9a ed., M., 1968; Mishina AP, Proskuryakov IV, Algebra superiore, 2a ed., M., 1965.

Dopo aver studiato i monomi, passiamo ai polinomi. Questo articolo ti parlerà di tutte le informazioni necessarie per eseguire azioni su di essi. Definiremo un polinomio con le definizioni di accompagnamento di un termine polinomiale, cioè libero e simile, considereremo un polinomio di una forma standard, introdurremo un grado e impareremo come trovarlo, lavorare con i suoi coefficienti.

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Polinomio e suoi membri - definizioni ed esempi

Era necessaria la definizione di un polinomio 7 classe dopo aver studiato i monomi. Diamo un'occhiata alla sua definizione completa.

Definizione 1

polinomio viene considerata la somma dei monomi e il monomio stesso è un caso speciale di un polinomio.

Ne consegue dalla definizione che esempi di polinomi possono essere diversi: 5 , 0 , − 1 , X, 5 a b 3, x 2 0 , 6 x (− 2) y 12 , - 2 13 x y 2 3 2 3 x x 3 y z e così via. Dalla definizione abbiamo quello 1+x, a 2 + b 2 e l'espressione x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5 , 2 · y · x sono polinomi.

Diamo un'occhiata ad alcune definizioni in più.

Definizione 2

I membri del polinomio sono chiamati i suoi monomi costituenti.

Consideriamo questo esempio, dove abbiamo un polinomio 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3 , composto da 4 membri: 3 x 4 , − 2 x y , 3 e - si 3. Un tale monomio può essere considerato un polinomio, che consiste in un termine.

Definizione 3

I polinomi che hanno 2, 3 trinomi nella loro composizione hanno il nome corrispondente - binomiale e trinomio.

Ne consegue che un'espressione della forma x+y– è un binomio e l'espressione 2 x 3 q − q x x + 7 b è un trinomio.

Secondo il curriculum scolastico, hanno lavorato con un binomio lineare della forma a x + b, dove a e b sono dei numeri e x è una variabile. Considera esempi di binomi lineari della forma: x + 1 , x · 7 , 2 − 4 con esempi di trinomi quadrati x 2 + 3 · x − 5 e 2 5 · x 2 - 3 x + 11 .

Per la trasformazione e la soluzione, è necessario trovare e portare termini simili. Ad esempio, un polinomio della forma 1 + 5 x − 3 + y + 2 x ha termini simili 1 e - 3, 5 x e 2 x. Sono suddivisi in un gruppo speciale chiamato membri simili del polinomio.

Definizione 4

Membri simili di un polinomio sono come termini nel polinomio.

Nell'esempio sopra, abbiamo che 1 e - 3 , 5 x e 2 x sono termini simili del polinomio o termini simili. Per semplificare l'espressione, trova e riduci termini simili.

Polinomio in forma standard

Tutti i monomi e i polinomi hanno i loro nomi specifici.

Definizione 5

Polinomio in forma standard Viene chiamato un polinomio in cui ogni suo membro ha un monomio della forma standard e non contiene membri simili.

Dalla definizione si evince che è possibile ridurre polinomi di forma standard, ad esempio 3 x 2 − x y + 1 e __formula__ e il record è in formato standard. Le espressioni 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x ze 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z non sono polinomi della forma standard, poiché la prima ha termini simili nella forma 3 x 2 e -x2, e il secondo contiene un monomio della forma x · y 3 · x · z 2 , che differisce dal polinomio standard.

Se le circostanze lo richiedono, a volte il polinomio viene ridotto a una forma standard. Il concetto di termine libero di un polinomio è anche considerato un polinomio di forma standard.

Definizione 6

Membro libero del polinomioè un polinomio in forma standard senza una parte letterale.

In altre parole, quando la notazione di un polinomio in forma standard ha un numero, si parla di membro libero. Allora il numero 5 è un membro libero del polinomio x 2 · z + 5 e il polinomio 7 · a + 4 · a · b + b 3 non ha alcun membro libero.

Il grado di un polinomio: come trovarlo?

La definizione del grado di un polinomio si basa sulla definizione di un polinomio in forma standard e sui gradi dei monomi che ne sono i componenti.

Definizione 7

Il grado di un polinomio in forma standard nominare il più grande dei poteri inclusi nella sua notazione.

Diamo un'occhiata a un esempio. Il grado del polinomio 5 x 3 − 4 è uguale a 3, perché i monomi inclusi nella sua composizione hanno gradi 3 e 0, e il più grande di essi è rispettivamente 3. La definizione del grado dal polinomio 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x è uguale al più grande dei numeri, cioè 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 e 1 , quindi 5 .

È necessario scoprire come si trova il grado stesso.

Definizione 8

Grado di un polinomio di un numero arbitrarioè il grado del polinomio corrispondente in forma standard.

Quando un polinomio non è scritto nella forma standard, ma è necessario trovarne il grado, è necessario ridurlo alla forma standard e quindi trovare il grado desiderato.

Esempio 1

Trova il grado di un polinomio 3 un 12 − 2 un b c un c b + y 2 z 2 − 2 un 12 − un 12.

Soluzione

Innanzitutto, presentiamo il polinomio nella forma standard. Otteniamo un'espressione come:

3 un 12 − 2 un b c un c b + y 2 z 2 − 2 un 12 − un 12 = = (3 un 12 − 2 un 12 − un 12) − 2 (un un) (b b) (c c) + y 2 z 2 = = - 2 un 2 b 2 c 2 + y 2 z 2

Quando si ottiene un polinomio della forma standard, troviamo che due di essi sono chiaramente distinti - 2 · a 2 · b 2 · c 2 e y 2 · z 2 . Per trovare i gradi, calcoliamo e otteniamo che 2 + 2 + 2 = 6 e 2 + 2 = 4 . Si può notare che il più grande di essi è pari a 6. Dalla definizione consegue che esattamente 6 è il grado del polinomio − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2, da cui il valore originario.

Risposta: 6 .

I coefficienti dei termini del polinomio

Quando tutti i termini di un polinomio sono monomi della forma standard, in questo caso hanno il nome coefficienti dei termini del polinomio. In altre parole, possono essere chiamati coefficienti di un polinomio.

Considerando l'esempio, si può notare che il polinomio della forma 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 ha 4 polinomi nella sua composizione: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x e 7 con i rispettivi coefficienti 2 , − 0 , 5 , 3 e 7 . Quindi, 2 , − 0 , 5 , 3 e 7 sono considerati i coefficienti dei termini del polinomio dato della forma 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 . Quando si converte, è importante prestare attenzione ai coefficienti davanti alle variabili.

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O, rigorosamente, una somma formale finita della forma

In particolare, un polinomio in una variabile è una somma formale finita della forma

Con l'aiuto di un polinomio si ricavano i concetti di "equazione algebrica" ​​e "funzione algebrica".

Studio e applicazione[ | ]

Lo studio delle equazioni polinomiali e delle loro soluzioni era quasi l'oggetto principale dell'"algebra classica".

Numerose trasformazioni in matematica sono associate allo studio dei polinomi: l'introduzione alla considerazione di numeri zero, negativi e quindi complessi, nonché l'emergere della teoria dei gruppi come branca della matematica e l'allocazione di classi di funzioni speciali in analisi.

La semplicità tecnica dei calcoli che coinvolgono polinomi rispetto a classi di funzioni più complesse, così come il fatto che l'insieme dei polinomi è denso nello spazio delle funzioni continue su sottoinsiemi compatti dello spazio euclideo (si veda il teorema di approssimazione di Weierstrass), ha contribuito al sviluppo di metodi di espansione in serie e interpolazione polinomiale nel calcolo.

I polinomi svolgono anche un ruolo chiave nella geometria algebrica, i cui oggetti sono insiemi, definiti come soluzioni di sistemi di polinomi.

Le proprietà speciali dei coefficienti di trasformazione nella moltiplicazione polinomiale sono utilizzate in geometria algebrica, algebra, teoria dei nodi e altri rami della matematica per codificare o esprimere proprietà polinomiali di vari oggetti.

Definizioni correlate[ | ]

• Tipo polinomio c x 1 io 1 x 2 io 2 ⋯ x n io n (\ displaystyle cx_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_(n)))) chiamato monomio o monomio multi-indice io = (io 1 , ... , io n) (\ displaystyle I=(i_(1),\punti,\,i_(n))).
• Monomio corrispondente a un multiindice I = (0 , ... , 0) (\ displaystyle I = (0, \ punti , \, 0)) chiamato membro libero.
• Laurea completa monomio (diverso da zero). c io x 1 io 1 x 2 io 2 ⋯ x n io n (\ displaystyle c_(I) x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_ (n))) chiamato un numero intero | io | = io 1 + io 2 + ⋯ + io n (\displaystyle |I|=i_(1)+i_(2)+\punti +i_(n)).
• Molti multi-indici io, per cui i coefficienti c io (\ displaystyle c_ (I)) diverso da zero, viene chiamato vettore polinomiale, e il suo scafo convesso è Il poliedro di Newton.
• Il grado del polinomioè il massimo dei poteri dei suoi monomi. Il grado di zero identico è ulteriormente definito dal valore - ∞ (\ displaystyle - \ infty ).
• Viene chiamato un polinomio che è la somma di due monomi binomiale o binomiale,
• Viene chiamato un polinomio che è la somma di tre monomi tripartito.
• I coefficienti di un polinomio sono generalmente presi da un certo anello commutativo R (\ displaystyle R)(il più delle volte campi, come campi di numeri reali o complessi). In questo caso, rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione, i polinomi formano un anello (peraltro un'algebra associativo-commutativa sull'anello R (\ displaystyle R) senza zero divisori) che è indicato R[x1,x2,…,xn]. (\ displaystyle R.)
• Per polinomio p (x) (\ displaystyle p (x)) una variabile, soluzione dell'equazione p (x) = 0 (\ displaystyle p (x) = 0)è chiamata la sua radice.

Funzioni polinomiali[ | ]

Permettere A (\ displaystyle A) c'è un'algebra su un anello R (\ displaystyle R). Polinomio arbitrario p (x) ∈ R [ X 1 , X 2 , ... , X n ] (\ displaystyle p (x) \ in R) definisce una funzione polinomiale

Il caso più frequentemente considerato A = R (\ displaystyle A = R).

Se R (\ displaystyle R)è un campo di numeri reali o complessi (così come qualsiasi altro campo con un numero infinito di elementi), la funzione f p: R n → R (\displaystyle f_(p):R^(n)\a R) determina completamente il polinomio p. Tuttavia, questo non è vero in generale, ad esempio: polinomi p 1 (x) ≡ x (\ displaystyle p_(1) (x) \ equivalente x) e p 2 (x) ≡ x 2 (\displaystyle p_(2)(x)\equiv x^(2)) da Z 2 [ x ] (\ displaystyle \ mathbb (Z) _ (2) [x]) definire funzioni identiche uguali Z 2 → Z 2 (\ displaystyle \ mathbb (Z) _(2) \ a \ mathbb (Z) _(2)).

Una funzione polinomiale di una variabile reale è chiamata funzione razionale intera.

Tipi di polinomi[ | ]

Proprietà [ | ]

Divisibilità [ | ]

Il ruolo dei polinomi irriducibili nell'anello polinomiale è simile al ruolo dei numeri primi nell'anello degli interi. Ad esempio, il teorema è vero: se il prodotto di polinomi pq (\ displaystyle pq)è divisibile per un polinomio irriducibile, quindi p o q diviso per λ (\ displaystyle \ lambda ). Ogni polinomio di grado maggiore di zero si decompone in un dato campo in un prodotto di fattori irriducibili in modo univoco (fino a fattori di grado zero).

Ad esempio, polinomio x 4 - 2 (\ displaystyle x ^ (4) -2), che è irriducibile nel campo dei numeri razionali, si scompone in tre fattori nel campo dei numeri reali e in quattro fattori nel campo dei numeri complessi.

In generale, ogni polinomio in una variabile x (\ displaystyle x) si decompone nel campo dei numeri reali in fattori di primo e secondo grado, nel campo dei numeri complessi - in fattori di primo grado (il teorema principale dell'algebra).

Per due o più variabili, questo non può più essere affermato. Su qualsiasi campo per qualsiasi n > 2 (\ displaystyle n> 2) ci sono polinomi da n (\ displaystyle n) variabili che sono irriducibili in qualsiasi estensione di questo campo. Tali polinomi sono detti assolutamente irriducibili.