Dominio delle serie funzionali di convergenza convergenza uniforme Proprietà del test di Weierstrass delle serie di funzioni uniformemente convergenti. Serie funzionali e loro convergenza: esempi di convergenza di serie funzionali uniformi e non uniformi con soluzione

Righe funzionali. Serie di potenze.
Regione di convergenza della serie

La risata senza motivo è segno di d'Alembert

L'ora delle file funzionali è suonata. Per padroneggiare con successo l'argomento e, in particolare, questa lezione, devi essere esperto nelle solite serie di numeri. Dovresti capire bene cos'è una serie, essere in grado di usare i segni di confronto per studiare la serie per la convergenza. Quindi, se hai appena iniziato a studiare l'argomento o sei una teiera in matematica superiore, necessario lavorare attraverso tre lezioni in sequenza: Righe per manichini,segno D'Alembert. Segni cauchy e Righe alternate. Il segno di Leibniz... Tutti e tre sono obbligatori! Se hai conoscenze e abilità di base nella risoluzione dei problemi con le serie numeriche, sarà abbastanza facile far fronte alle serie funzionali, poiché non c'è molto nuovo materiale.

In questa lezione considereremo il concetto di serie funzionale (che cos'è in generale), faremo conoscenza con le serie di potenze che si trovano nel 90% delle attività pratiche e impareremo come risolvere un problema tipico comune di trovare il raggio di convergenza, intervallo di convergenza e regione di convergenza di una serie di potenze. Successivamente, ti consiglio di considerare il materiale su espansione delle funzioni in serie di potenze, e un'ambulanza sarà fornita al principiante. Dopo aver ripreso fiato, passa al livello successivo:

Anche nella sezione delle righe funzionali ce ne sono numerose. applicazioni per approssimare il calcolo, e la serie di Fourier, che, di regola, ha un capitolo separato nella letteratura educativa, va un po' a parte. Ho solo un articolo, ma lungo e molti, molti altri esempi!

Quindi, i punti di riferimento sono impostati, andiamo:

Il concetto di serie funzionale e di serie di potenze

Se il limite risulta essere infinito, quindi anche l'algoritmo risolutivo termina il suo lavoro e diamo la risposta finale al compito: "La serie converge a" (oa uno dei due"). Vedi caso n. 3 del paragrafo precedente.

Se al limite risulta non zero e non infinito, allora abbiamo il caso più comune in pratica numero 1 - la serie converge su un certo intervallo.

In questo caso, il limite è. Come trovare l'intervallo di convergenza di una serie? Compondiamo la disuguaglianza:

V QUALSIASI compito di questo tipo sul lato sinistro della disuguaglianza dovrebbe essere risultato calcolo limite, e sul lato destro della disuguaglianza - rigorosamente unità... Non spiegherò perché c'è una tale disuguaglianza e perché ce n'è una a destra. Le lezioni sono di orientamento pratico, ed è già molto positivo che il corpo docente non si sia impiccato dalle mie storie, e alcuni teoremi siano diventati più chiari.

La tecnica di lavorare con il modulo e risolvere le doppie disuguaglianze è stata discussa in dettaglio nel primo anno nell'articolo Ambito della funzione, ma per comodità, cercherò di commentare tutte le azioni nel modo più dettagliato possibile. Rivelare la disuguaglianza con il modulo secondo la regola della scuola ... In questo caso:

A metà dietro.

Nella seconda fase, è necessario studiare la convergenza della serie agli estremi dell'intervallo trovato.

Per prima cosa, prendiamo l'estremità sinistra dell'intervallo e la sostituiamo nella nostra serie di potenze:

In

Si è ottenuta una serie numerica, e occorre esaminarla per la convergenza (problema già noto dalle lezioni precedenti).

1) La riga è alternata a segni.
2) - i membri della serie diminuiscono in valore assoluto. Inoltre, ogni termine successivo della serie è inferiore in valore assoluto rispetto al precedente: , quindi, la diminuzione è monotona.
Conclusione: la serie converge.

Utilizzando una serie di moduli, scopriremo esattamente come:
- converge (serie "di riferimento" dalla famiglia delle serie armoniche generalizzate).

Pertanto, la serie di numeri risultante converge assolutamente.

a - converge.

! Ricordare che ogni serie positiva convergente è anche assolutamente convergente.

Quindi, la serie di potenze converge, e assolutamente, ad entrambe le estremità dell'intervallo trovato.

Risposta: la regione di convergenza della serie di potenze indagata:

Ha il diritto alla vita e un altro disegno della risposta: la serie converge se

A volte nella dichiarazione del problema è necessario indicare il raggio di convergenza. Ovviamente, nell'esempio considerato.

Esempio 2

Trova la regione di convergenza di una serie di potenze

Soluzione: si trova l'intervallo di convergenza della serie usando segno d'Alembert (ma non per caratteristica! - per le serie funzionali tale caratteristica non esiste):

La serie converge in

Sinistra dobbiamo andarcene soltanto, quindi moltiplichiamo entrambi i lati della disuguaglianza per 3:

- La riga è alternata.
– - i membri della serie diminuiscono in valore assoluto. Ogni termine successivo della serie è inferiore in valore assoluto rispetto al precedente: , quindi, la diminuzione è monotona.

Conclusione: la serie converge.

Esaminiamolo per il carattere di convergenza:

Confrontiamo questa riga con la riga divergente.
Usiamo il criterio di confronto limite:

Si ottiene un numero finito diverso da zero, il che significa che la serie diverge insieme alla serie.

Quindi, la serie converge condizionatamente.

2) Quando - diverge (come dimostrato).

Risposta: La regione di convergenza delle serie di potenze indagate:. In, la serie converge condizionatamente.

Nell'esempio considerato, il dominio di convergenza della serie di potenze è un semiintervallo e in tutti i punti dell'intervallo la serie di potenze converge assolutamente, e al punto, come si è scoperto - condizionatamente.

Esempio 3

Trova l'intervallo di convergenza della serie di potenze e studia la sua convergenza agli estremi dell'intervallo trovato

Questo è un esempio di soluzione fai-da-te.

Diamo un'occhiata a un paio di esempi che sono rari ma si verificano.

Esempio 4

Trova la regione di convergenza della serie:

Soluzione: usando il test di d'Alembert, troviamo l'intervallo di convergenza di questa serie:

(1) Componiamo il rapporto tra il prossimo membro della serie e il precedente.

(2) Liberarsi della frazione di quattro piani.

(3) I cubi e, secondo la regola dell'azione con gradi, si sommano sotto un unico grado. Nel numeratore, espandiamo abilmente il grado, ad es. espandere in modo tale da ridurre la frazione di al passaggio successivo. Descriviamo i fattoriali in dettaglio.

(4) Sotto il cubo, dividi il numeratore per il denominatore termine per termine, indicandolo. In una frazione, riduciamo tutto ciò che può essere ridotto. Il fattore viene tolto dal segno limite, può essere tolto, poiché non c'è nulla in esso che dipenda dalla variabile "dinamica" "en". Si prega di notare che il segno del modulo non viene disegnato - per il motivo che assume valori non negativi per qualsiasi "x".

Nel limite si ottiene zero, il che significa che la risposta finale può essere data:

Risposta: La serie converge in

Ma all'inizio sembrava che questa riga con un "terribile ripieno" sarebbe stata difficile da risolvere. Zero o infinito al limite è quasi un regalo, perché la soluzione si riduce notevolmente!

Esempio 5

Trova la regione di convergenza della serie

Questo è un esempio di soluzione fai-da-te. Fai attenzione ;-) Risposta alla soluzione completa alla fine del tutorial.

Consideriamo qualche altro esempio che contiene un elemento di novità in termini di utilizzo delle tecniche.

Esempio 6

Trova l'intervallo di convergenza della serie e studia la sua convergenza agli estremi dell'intervallo trovato

Soluzione: Il termine comune della serie di potenze include un fattore che prevede l'alternanza di segni. L'algoritmo della soluzione è completamente preservato, ma durante la compilazione del limite, ignoriamo (non scriviamo) questo fattore, poiché il modulo elimina tutti i "svantaggi".

Troviamo l'intervallo di convergenza della serie usando il test di d'Alembert:

Componiamo la disuguaglianza standard:
La serie converge in
Sinistra dobbiamo andarcene solo modulo, quindi moltiplichiamo entrambi i lati della disuguaglianza per 5:

Ora apriamo il modulo in modo familiare:

Nel mezzo della doppia disuguaglianza, dovrebbe essere lasciato solo "x", a questo scopo sottraiamo 2 da ciascuna parte della disuguaglianza:

- l'intervallo di convergenza delle serie di potenze indagate.

Indaghiamo la convergenza della serie agli estremi dell'intervallo trovato:

1) Sostituire il valore nella nostra serie di potenze :

Fate molta attenzione, il moltiplicatore non prevede l'alternanza di caratteri, per nessun "en" naturale. Spostiamo il meno risultante al di fuori della serie e ce ne dimentichiamo, poiché (come qualsiasi moltiplicatore costante) non influisce in alcun modo sulla convergenza o divergenza della serie di numeri.

Nota di nuovo che in corso di sostituzione del valore nel termine comune della serie di potenze, il fattore è stato ridotto. Se ciò non accadesse, significherebbe che abbiamo calcolato il limite in modo errato o ampliato in modo errato il modulo.

Quindi, è necessario studiare la convergenza di una serie di numeri. Qui è più semplice utilizzare il criterio di confronto limite e confrontare questa serie con la serie armonica divergente. Ma, ad essere onesti, sono terribilmente annoiato dall'ultimo segno di confronto, quindi aggiungerò un po' di varietà alla soluzione.

Quindi la serie converge per

Moltiplica entrambi i lati della disuguaglianza per 9:

Estraiamo la radice da entrambe le parti, ricordando la battuta della vecchia scuola:


Espandi il modulo:

e aggiungi uno a tutte le parti:

- l'intervallo di convergenza delle serie di potenze indagate.

Indaghiamo la convergenza della serie di potenze agli estremi dell'intervallo trovato:

1) Se, allora si ottiene la seguente serie numerica:

Il moltiplicatore è scomparso senza lasciare traccia, perché a qualsiasi valore naturale "en".

4.1. Serie funzionale: concetti di base, area di convergenza

Definizione 1... Una serie i cui membri sono funzioni di uno o
si chiama più variabili indipendenti definite su un insieme gamma funzionale.

Consideriamo una serie di funzioni i cui membri sono funzioni di una variabile indipendente NS... La somma dei primi n membri di una serie è una somma parziale di una data serie funzionale. Membro comune c'è una funzione da NS definito in una determinata area. Consideriamo una serie funzionale al punto ... Se la serie di numeri corrispondente converge, cioè c'è un limite di somme parziali di questa serie
(dove è la somma di una serie di numeri), allora il punto è chiamato punto di convergenza gamma funzionale ... Se la serie di numeri diverge, allora il punto si chiama punto di divergenza gamma funzionale.

Definizione 2. Regione di convergenza gamma funzionale è l'insieme di tutti questi valori NS per cui converge la serie funzionale. La regione di convergenza, costituita da tutti i punti di convergenza, si denota ... Notare che R.

La gamma funzionale converge nell'area se per qualsiasi converge come una serie di numeri, mentre la sua somma sarà una qualche funzione ... Questo è il cosiddetto funzione limite sequenze : .

Come trovare la regione di convergenza di una serie funzionale ? Puoi usare un tratto simile al tratto d'Alembert. Per un numero trucco e considerare il limite a un fisso NS:
... Quindi è una soluzione alla disuguaglianza e risolvendo l'equazione (prendiamo solo quelle soluzioni dell'equazione in
cui convergono le corrispondenti serie numeriche).

Esempio 1... Trova la regione di convergenza della serie.

Soluzione... indichiamo , ... Componiamo e calcoliamo il limite, quindi la regione di convergenza della serie è determinata dalla disuguaglianza e l'equazione ... Indaghiamo ulteriormente la convergenza della serie originale nei punti che sono le radici dell'equazione:

cosa succede se , , allora otteniamo una serie divergente ;

b) se , , quindi la serie converge condizionalmente (by

Il criterio di Leibniz, esempio 1, lezione 3, sez. 3.1).

Quindi, la regione di convergenza la riga assomiglia a: .

4.2. Serie di potenze: concetti base, teorema di Abele

Consideriamo un caso particolare di una serie funzionale, la cosiddetta serie di potenze , dove
.

Definizione 3. serie di potenze si chiama serie funzionale della forma,

dove - numeri costanti chiamati coefficienti della serie.

La serie di potenze è un "polinomio infinito" situato in gradi crescenti ... Qualsiasi serie di numeri è un
un caso speciale di una serie di potenze per .

Consideriamo un caso speciale di una serie di potenze per :
... Scopriamo che forma ha
regione di convergenza di una data serie .

Teorema 1 (teorema di Abele)... 1) Se la serie di potenze converge nel punto , allora converge assolutamente in qualsiasi NS per cui la disuguaglianza .

2) Se la serie di potenze diverge a , quindi diverge ad ogni NS, per cui .

Prova... 1) Per ipotesi, la serie di potenze converge nel punto ,

cioè, la serie di numeri converge

(1)

e per il necessario criterio di convergenza, il suo termine comune tende a 0, cioè ... Pertanto, esiste un tale numero che tutti i membri della serie sono limitati a questo numero:
.

Considera ora qualsiasi NS, per cui , e comporre una serie di valori assoluti:.
Scriviamo questa serie in una forma diversa: poiché , quindi (2).

Dalla disuguaglianza
otteniamo, cioè riga

è costituito da membri più grandi dei corrispondenti membri della serie (2). Riga è una serie geometrica convergente con denominatore , e , perché ... Di conseguenza, la serie (2) converge per ... Quindi, la serie di potenze converge assolutamente.

2) Lascia che la serie diverge a , in altre parole,

la serie numerica diverge ... Dimostriamolo per qualsiasi NS () la serie diverge. La prova è per assurdo. Lascia per un po'

fisso ( ) la serie converge, quindi converge per tutti (si veda la prima parte di questo teorema), in particolare, for, che contraddice la condizione 2) del Teorema 1. Il teorema è dimostrato.

Conseguenza... Il teorema di Abele ci permette di giudicare la posizione del punto di convergenza della serie di potenze. Se punto è il punto di convergenza della serie di potenze, quindi l'intervallo pieno di punti di convergenza; se il punto di divergenza è il punto , poi
intervalli infiniti riempito con punti di divergenza (Fig. 1).

Riso. 1. Intervalli di convergenza e divergenza della serie

Si può dimostrare che esiste un tale numero quello per tutti
serie di potenze converge assolutamente, e per - diverge. Assumeremo che se la serie converge solo in un punto 0, allora , e se la serie converge per tutti , poi .

Definizione 4. Intervallo di convergenza serie di potenze questo intervallo si chiama quello per tutti questa serie converge e, inoltre, assolutamente, e per tutti NS trovandosi al di fuori di questo intervallo, la serie diverge. Numero R chiamato raggio di convergenza serie di potenze.

Commento... Alla fine dell'intervallo la questione della convergenza o divergenza delle serie di potenze è risolta separatamente per ciascuna serie specifica.

Mostriamo uno dei modi per determinare l'intervallo e il raggio di convergenza di una serie di potenze.

Considera le serie di potenze e denotare .

Componiamo una serie di valori assoluti dei suoi membri:

e applicagli il segno di d'Alembert.

Lascia che ci sia

.

Per la caratteristica di d'Alembert, la serie converge se , e diverge se ... Quindi, la serie converge a, quindi l'intervallo di convergenza: ... A, la serie diverge, poiché .
Usando la notazione , otteniamo una formula per determinare il raggio di convergenza di una serie di potenze:

,

dove Sono i coefficienti della serie di potenze.

Se si scopre che il limite , allora assumiamo .

Per determinare l'intervallo e il raggio di convergenza di una serie di potenze si può utilizzare anche il criterio radicale di Cauchy, il raggio di convergenza della serie è determinato dalla relazione .

Definizione 5. Serie di potenze generalizzate chiamato una serie della forma

... Si chiama anche serie per gradi .
Per tale serie, l'intervallo di convergenza ha la forma: , dove È il raggio di convergenza.

Mostriamo come si trova il raggio di convergenza per le serie di potenze generalizzate.

quelli. , dove .

Se , poi , e la regione di convergenza R; Se , poi e la regione di convergenza .

Esempio 2... Trova la regione di convergenza della serie .

Soluzione... indichiamo ... poniamo un limite

Risolviamo la disuguaglianza: , , quindi, l'intervallo

la convergenza ha la forma: , e R= 5. Inoltre, studiamo gli estremi dell'intervallo di convergenza:
un) , , otteniamo la serie che diverge;
B) , , otteniamo la serie che converge
condizionalmente. La regione di convergenza è quindi: , .

Risposta: regione di convergenza .

Esempio 3. Riga diverge per tutti , perché a , raggio di convergenza .

Esempio 4. La serie converge per ogni R, il raggio di convergenza .

- forse il complesso non sarà così difficile;) E anche il titolo di questo articolo è in malafede - le serie, di cui parleremo oggi, sono più probabilmente non complesse, ma "terre rare". Tuttavia, anche gli studenti part-time non sono assicurati contro di loro, e quindi questa occupazione apparentemente aggiuntiva dovrebbe essere presa con la massima serietà. Dopotutto, dopo averlo elaborato, sarai in grado di affrontare quasi tutte le "bestie"!

Cominciamo con i classici del genere:

Esempio 1

Innanzitutto, nota che questa NON è una serie di potenze (ti ricordo che sembra)... E, in secondo luogo, qui salta subito all'occhio il significato, che ovviamente non può entrare nella regione di convergenza della serie. E questo è già un piccolo successo di ricerca!

Ma ancora, come ottenere un grande successo? Mi affretto a farti piacere: tali righe possono essere risolte allo stesso modo di potere-legge- affidarsi al segno d'Alembert o al segno radicale Cauchy!

Soluzione: il valore non è compreso nell'intervallo di convergenza della serie. Questo è un fatto essenziale, e va notato!

L'algoritmo di base funziona in modo standard. Utilizzando il test di d'Alembert, troviamo l'intervallo di convergenza della serie:

La serie converge a. Alziamo il modulo:

Controlliamo subito il punto “cattivo”: il valore non è entrato nella regione di convergenza della serie.

Indaghiamo la convergenza della serie agli estremi "interni" degli intervalli:
se poi
se poi

Entrambe le serie numeriche divergono, poiché non è soddisfatta criterio di convergenza necessario.

Risposta: area di convergenza:

Facciamo un piccolo controllo analitico. Sostituiamo un valore dall'intervallo corretto nella serie di funzioni, ad esempio:
- converge in d'Alembert.

Nel caso di sostituzione di valori dall'intervallo di sinistra, si ottengono anche serie convergenti:
se poi.

E infine, se, allora la serie - diverge davvero.

Un paio di semplici esempi per riscaldarsi:

Esempio 2

Trova la regione di convergenza di una serie funzionale

Esempio 3

Trova la regione di convergenza di una serie funzionale

Sii particolarmente bravo con il "nuovo" modulo- si incontrerà 100.500 volte oggi!

Brevi soluzioni e risposte alla fine della lezione.

Gli algoritmi utilizzati sembrano essere universali e affidabili, ma in realtà non è così: per molte serie funzionali spesso "scivolano" o addirittura portano a conclusioni errate (e prenderò in considerazione anche questi esempi).

La rugosità inizia già a livello di interpretazione dei risultati: si consideri, ad esempio, una serie. Qui, al limite, otteniamo (controllalo tu stesso), e in teoria è necessario dare una risposta che la serie converge in un unico punto. Tuttavia, il punto è "esagerato", il che significa che il nostro "paziente" diverge ovunque!

E per una serie, la soluzione "ovvia" "secondo Cauchy" non dà proprio nulla:
- per QUALSIASI valore "x".

E sorge spontanea la domanda, cosa fare? Usiamo il metodo a cui sarà dedicata la parte principale della lezione! Può essere formulato come segue:

Analisi diretta di serie numeriche a valori diversi

In effetti, abbiamo già iniziato a farlo nell'Esempio 1. In primo luogo, analizzeremo alcune "x" specifiche e la serie di numeri corrispondente. Si prega di prendere il valore:
- la serie numerica risultante diverge.

E questo fa subito venire l'idea: e se succede la stessa cosa in altri punti?
Controlliamo un criterio necessario per la convergenza di una serie per arbitrario valori:

Il punto è spiegato sopra, per tutte le altre "x" organizziamo un appuntamento standard secondo meraviglioso limite:

Produzione: la serie diverge lungo tutta la retta numerica

E questa soluzione è l'opzione più funzionante!

In pratica, la gamma funzionale deve spesso essere confrontata con serie armonica generalizzata :

Esempio 4

Soluzione: prima di tutto ci occupiamo di scopo: in questo caso, l'espressione radicale deve essere strettamente positiva e, inoltre, devono esistere tutti i membri della serie, a partire dal 1°. Ne consegue che:
... Con questi valori si ottengono serie condizionalmente convergenti:
eccetera.

Altre "x" non sono adatte, quindi, ad esempio, quando otteniamo un caso illegale in cui i primi due membri della serie non esistono.

Va tutto bene, è tutto chiaro, ma rimane un'altra domanda importante: come elaborare correttamente una decisione? Propongo uno schema che si può chiamare in gergo "frecce di trasferimento" a serie numeriche:

Tener conto di arbitrario significato e studiare la convergenza della serie di numeri. Routine Il segno di Leibniz:

1) Questa riga è alternata.

2) - i membri della serie diminuiscono in valore assoluto. Ogni termine successivo della serie è inferiore in valore assoluto rispetto al precedente: , quindi, la diminuzione è monotona.

Conclusione: la serie converge sulla base di Leibniz. Come già notato, la convergenza qui è condizionata - per il motivo che la serie - diverge.

Proprio così - in modo ordinato e corretto! Perché dietro l'"alfa" abbiamo abilmente nascosto tutte le serie di numeri ammissibili.

Risposta: la serie funzionale esiste e converge condizionatamente a.

Un esempio simile per una soluzione stand-alone:

Esempio 5

Esplora la convergenza di una serie funzionale

Un esempio approssimativo di completamento del compito alla fine della lezione.

Alla faccia della tua "ipotesi di lavoro"! - la serie funzionale converge sull'intervallo!

2) Con un intervallo simmetrico, tutto è trasparente, consideriamo arbitrario valori e si ottiene: - serie numeriche assolutamente convergenti.

3) E, infine, il "mezzo". Anche qui è conveniente selezionare due intervalli.

Tener conto di arbitrario valore dall'intervallo e otteniamo una serie di numeri:

! Di nuovo - se difficile , sostituire qualsiasi numero specifico, ad esempio. Tuttavia, ... volevi difficoltà =)

Per tutti i valori di "en" , si intende:
- così, da criterio di confronto la serie converge con progressione infinitamente decrescente.

Per tutti i valori di "x" dall'intervallo otteniamo - serie numeriche assolutamente convergenti.

Tutte le X sono state esaminate, le X sono sparite!

Risposta: area di convergenza della serie:

Devo dire che un risultato inaspettato! E va anche aggiunto che l'uso dei segni d'Alembert o Cauchy qui sarà sicuramente fuorviante!

La valutazione diretta è l'"acrobazia" dell'analisi matematica, ma questo, ovviamente, richiede esperienza e da qualche parte anche intuizione.

Forse qualcuno troverà la strada più facile? Scrivi! A proposito, ci sono dei precedenti: più volte i lettori hanno suggerito soluzioni più razionali e le ho pubblicate con piacere.

Atterraggio riuscito :)

Esempio 11

Trova la regione di convergenza di una serie funzionale

La mia versione della soluzione è molto vicina.

Ulteriori hardcore possono essere trovati su Sezione VI (righe) collezione di Kuznetsov (Problemi 11-13). Ci sono soluzioni già pronte su internet, ma qui te lo devo avvisare- molti di essi sono incompleti, errati o anche generalmente errati. E, a proposito, questo è stato uno dei motivi per cui è nato questo articolo.

Riassumiamo tre lezioni e organizziamo la nostra cassetta degli attrezzi. Così:

Per trovare l'intervallo di convergenza (s) di una serie funzionale, si può usare:

1) Segno di D'Alembert o segno di Cauchy... E se la riga non lo è sedare- prestiamo molta attenzione nell'analizzare il risultato ottenuto per sostituzione diretta di vari valori.

2) Il criterio per la convergenza uniforme di Weierstrass... Non dimentichiamo!

3) Confronto con serie numeriche tipiche- regole nel caso generale.

Quindi esplora le estremità degli intervalli trovati (se necessario) e otteniamo la regione di convergenza della serie.

Ora hai a tua disposizione un arsenale piuttosto serio che ti permetterà di far fronte a quasi tutti i compiti tematici.

Ti auguro successo!

Soluzioni e risposte:

Esempio 2: Soluzione: il valore non è compreso nell'intervallo di convergenza della serie.
Usiamo il segno di d'Alembert:


La serie converge per:

Pertanto, gli intervalli di convergenza della serie funzionale sono: .
Studiamo la convergenza della serie agli estremi:
se poi ;
se poi .
Entrambe le serie numeriche divergono, tk. il criterio di convergenza richiesto non è soddisfatto.

Risposta : area di convergenza:

La regione di convergenza Una serie funzionale è una serie di membri i cui membri sono funzioni / definiti su un insieme E dell'asse numerico. Ad esempio, i termini della serie sono definiti su un intervallo, e i termini della serie sono definiti su un intervallo La serie funzionale (1) si dice convergente nel punto X0 € E se la SERIE FUNZIONALE converge Dominio di convergenza Convergenza uniforme Weierstrass test Proprietà delle serie funzionali uniformemente convergenti serie numeriche Se la serie (1) converge in ogni punto x dell'insieme DCE e diverge in ogni punto che non appartiene all'insieme D, allora si dice che la serie converge sull'insieme D, e D è detto dominio di convergenza della serie. La serie (1) si dice assolutamente convergente sull'insieme D se la serie converge su questo insieme. Nel caso di convergenza della serie (1) sull'insieme D, la sua somma S sarà una funzione definita su D, La regione di la convergenza di alcune serie funzionali può essere trovata utilizzando i criteri noti sufficienti stabiliti per le serie con termini positivi, ad esempio il test di Dupambert, il test di Cauchy. Esempio 1. Trovare la regione di convergenza della serie M Poiché la serie numerica converge per p> 1 e diverge per p> 1, allora, ponendo p - Igx, otteniamo questa serie. che convergerà a Igx> Ц i.e. se x> 10, e divergono a Igx ^ 1, cioè a 0< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х > 0 riga diverge, poiché =. La divergenza della serie in x = 0 è ovvia. Esempio 3. Trovare il dominio di convergenza di una serie I termini di una data serie sono definiti e continui sull'insieme. Applicando il criterio Kosh e, troviamo per qualsiasi. Di conseguenza, la serie diverge per tutti i valori di x. Indichiamo con Sn (x) l'ennesima somma parziale della serie funzionale (1). Se questa serie converge sull'insieme D e la sua somma è uguale a 5 (g), allora può essere rappresentata come dove è la somma della serie convergente sull'insieme D, che è detto resto n-esimo della serie funzionale (1 ). Per tutti i valori di х € D vale la relazione e quindi. cioè, il resto Rn (x) di una serie convergente tende a zero come n oo, qualunque sia x 6 D. Convergenza uniforme Tra tutte le serie funzionali convergenti, un ruolo importante è svolto dalla cosiddetta serie uniformemente convergente. Sia data una serie funzionale convergente sull'insieme D la cui somma è uguale a S (x). Prendi la sua n-esima somma parziale Definizione. Serie funzionale SERIE FUNZIONALE Regione di convergenza Convergenza uniforme Test di Weierstrass Le proprietà delle serie funzionali uniformemente convergenti si dicono uniformemente convergenti sull'insieme С1) se per qualsiasi numero e> 0 esiste un numero λ> 0 tale che la disuguaglianza vale per tutti i numeri n> N e per ogni x dall'insieme fI. Commento. Qui il numero N è lo stesso per tutti x 10€, cioè non dipende da z, ma dipende dalla scelta del numero e, quindi scrivono N = N (e). La convergenza uniforme della serie funzionale / n (®) alla funzione S (x) sull'insieme ft è spesso indicata come segue: La definizione della convergenza uniforme della serie / n (x) sull'insieme ft può essere scritta più breve con l'aiuto di simboli logici: Spieghiamo il significato geometrico dell'intervallo funzionale di convergenza uniforme. Prendiamo come insieme ft il segmento [a, 6] e costruiamo i grafici delle funzioni. Disuguaglianza |, che vale per i numeri n> N e per ogni a; G [a, b], si può scrivere nella forma seguente Le disuguaglianze ottenute mostrano che i grafici di tutte le funzioni y = Sn (x) con numeri n> N saranno interamente racchiusi nella banda delimitata dalle curve y = S (x) - e e y = 5 (g) + e (Fig. 1). Esempio 1 converge uniformemente sul segmento Questa serie è alternata a segni, soddisfa le condizioni del test di Leibniz per ogni x € [-1,1] e, quindi, converge sul segmento (-1,1]. Sia S (x ) sia la sua somma, e Sn (x) - la sua n-esima somma parziale Il resto della serie in valore assoluto non supera il valore assoluto del suo primo termine: e poiché Prendi qualsiasi e. Allora la disuguaglianza | sarà soddisfatta se . Da questo troviamo che n> 1. Se prendiamo un numero (qui [a] denota l'intero più grande non superiore a a), allora la disuguaglianza | f vale per tutti i numeri n> N e per tutti x € [-1,1). Ciò significa che questa serie converge uniformemente sul segmento [-1,1). I. Non tutte le serie di funzioni convergenti sull'insieme D convergono uniformemente sull'Esempio 2. Mostriamo che la serie converge su un segmento, ma non uniformemente. 4 Calcoliamo l'ennesima somma parziale £ „(*) della serie. Abbiamo Dove Questa serie converge su un segmento e la sua somma se il valore assoluto della differenza S (x) - 5 „(x) (il resto della serie) è uguale a. Prendi un numero e tale che. Risolviamo la disuguaglianza rispetto a N. Abbiamo, da dove (poiché, e dividendo per Inx, il segno della disuguaglianza è invertito). La disuguaglianza sarà soddisfatta per. Pertanto, un tale numero N (e) indipendente da x in modo che la disuguaglianza vale per ciascuno) contemporaneamente per tutti gli x dal segmento. , non esiste. Se sostituiamo il segmento 0 con un segmento più piccolo, dove, allora in quest'ultimo la serie data convergerà uniformemente alla funzione S0. Infatti, per, e quindi per una volta per tutte x §3. Test di Weierstrass Un criterio sufficiente per la convergenza uniforme di una serie di funzioni è dato dal teorema di Weierstrass. Teorema 1 (test di Weierstrass). Sia per ogni dell'insieme Q i termini della serie funzionale in valore assoluto non superino i corrispondenti termini della serie numerica convergente = 1 con termini positivi, cioè per ogni х ∈ Q. Allora la serie funzionale (1) su l'insieme converge assolutamente ed uniformemente... E Tek, come per l'ipotesi del teorema, i termini della serie (1) soddisfano la condizione (3) sull'intero insieme Q, quindi per il criterio di confronto la serie 2 \ fn (x) \ converge per ogni x ∈ U , e, quindi, la serie (1) converge su Absolutely. Dimostriamo la convergenza uniforme della serie (1). Indichiamo con Sn (x) e an le somme parziali delle serie (1) e (2), rispettivamente. Si ha Prendi un qualsiasi numero (arbitrariamente piccolo) e> 0. Allora la convergenza della serie numerica (2) implica l'esistenza di un numero N = N (e) tale che, di conseguenza, -e per tutti i numeri n> N (e ) e per tutti xbN , cioè la serie (1) converge uniformemente sull'insieme P. Osservazione. La serie numerica (2) è spesso chiamata maggiorante, o maggiorante, per le serie funzionali (1). Esempio 1. Studiare la serie per la convergenza uniforme La disuguaglianza vale per tutti. e per tutti. La serie dei numeri converge. In virtù del criterio di Weierstrass, la serie funzionale considerata converge in modo assoluto ed uniforme su tutto l'asse. Esempio 2. Indagare una serie per convergenza uniforme I termini della serie sono definiti e continui sull'intervallo [-2,2 |. Poiché sull'intervallo [-2,2) per ogni n naturale, allora la disuguaglianza vale per. Poiché la serie numerica converge, allora secondo il criterio di Weierstrass, la serie funzionale originaria converge in modo assoluto e uniforme su un segmento. Commento. La serie funzionale (1) può convergere uniformemente sull'insieme Piv nel caso in cui non ci siano serie maggiori numeriche (2), cioè il test di Weierstrass è solo un criterio sufficiente per la convergenza uniforme, ma non è necessario. Esempio. Come mostrato sopra (esempio), la serie converge uniformemente sul segmento 1-1,1]. Tuttavia, non esiste una serie convergente maggioritaria (2) per esso. Infatti, per ogni n naturale e per ogni x [-1,1), vale la disuguaglianza, e si ottiene l'uguaglianza a. Pertanto, i termini della serie maggiorente richiesta (2) devono certamente soddisfare la condizione ma la serie numerica SERIE FUNZIONALE Regione di convergenza Convergenza uniforme Test di Weierstrass Le proprietà delle serie funzionali uniformemente convergenti divergono. Ciò significa che divergerà anche la serie £ op. Proprietà delle serie funzionali uniformemente convergenti Le serie funzionali uniformemente convergenti hanno una serie di importanti proprietà. Teorema 2. Se tutti i termini di una serie convergente uniformemente sull'intervallo [a, b] vengono moltiplicati per la stessa funzione g (x) limitata su [a, 6], allora la serie funzionale risultante converge uniformemente su. Supponiamo che sull'intervallo [a, b \ la serie £ fn (x) converga uniformemente alla funzione 5 (x), e la funzione g (x) sia limitata, cioè esista una costante C> 0 tale che Per la definizione della convergenza uniforme della serie per ogni numero e> 0, esiste un numero N tale che per ogni n> N e per ogni x ∈ [a, b] vale la disuguaglianza dove 5n (ar) è il parziale somma delle serie in esame. Pertanto, lo avremo per chiunque. la serie converge uniformemente su [a, b | ad una funzione Teorema 3. Supponi che tutti i termini fn (x) di una serie funzionale siano continui e che la serie converga uniformemente sull'intervallo [a, b \. Allora la somma S (x) della serie è continua su questo segmento. M Prendi due punti arbitrari rig + Ax sul segmento [o, b]. Poiché questa serie converge uniformemente sull'intervallo [a, b], allora per ogni numero e> 0 esiste un numero N = N (e) tale che per ogni n> N valgono le disuguaglianze dove 5n (x) sono le somme parziali della serie fn (x). Queste somme parziali Sn (x) sono continue sull'intervallo [a, 6] come le somme di un numero finito di funzioni fn (x) continue su [a, 6). Pertanto, per un numero fisso no> N (e) e un dato numero e, esiste un numero 6 = 6 (e)> 0 tale che per l'incremento Ax che soddisfa la condizione |, vale la disuguaglianza. L'incremento AS della la somma S (x) può essere rappresentata nella forma seguente: da dove. Tenendo conto delle disuguaglianze (1) e (2), per gli incrementi Ax che soddisfano la condizione |, si ottiene Ciò significa che la somma Sei) è continua nel punto x. Poiché x è un punto arbitrario del segmento [a, 6], allora 5 (x) è continuo su | a, 6 |. Commento. Una serie funzionale i cui termini sono continui sul segmento [a, 6), ma converge su (a, 6] in modo non uniforme, può avere una somma discontinua come Esempio 1. Si consideri una serie funzionale sul segmento | 0,1) . Calcoliamo la sua somma parziale n-esima, quindi è discontinua su un segmento, sebbene i termini della serie siano continui su di esso. In virtù del teorema dimostrato, questa serie non converge uniformemente su un intervallo. Esempio 2. Consideriamo la serie Come mostrato sopra, questa serie converge per, la serie convergerà uniformemente secondo il criterio di Weierstrass, poiché 1 e la serie numerica convergono. Pertanto, per ogni x> 1, la somma di questa serie è continua. Commento. La funzione è chiamata funzione di Roma su (questa funzione svolge un ruolo importante nella teoria dei numeri). Teorema 4 (sull'integrazione termine per termine di una serie funzionale). Supponiamo che tutti i termini fn (x) della serie siano continui e che la serie converga uniformemente sull'intervallo [a, b] alla funzione S (x). Allora vale l'uguaglianza: per la continuità delle funzioni fn (x) e la convergenza uniforme di questa serie sull'intervallo [a, 6], la sua somma S (x) è continua e, quindi, integrabile su. Consideriamo la differenza Dalla convergenza uniforme della serie su [o, b] segue che per ogni e> 0 esiste un numero N (e)> 0 tale che per tutti i numeri n> N (e) e per ogni x ∈ [a, 6] Se la serie fn (0 non è uniformemente convergente, allora, in generale, non può essere integrata termine per termine, cioè Teorema 5 (sulla differenziazione termine per termine di una serie funzionale). i termini della serie convergente 00 hanno derivate continue e una serie composta da queste derivate converge uniformemente sull'intervallo [a, b] Allora in ogni punto vale l'uguaglianza, cioè la serie data può essere differenziata termine per termine. Prendiamo due punti qualsiasi, quindi, in virtù del Teorema 4, abbiamo che la funzione o- (x) è continua come somma di una serie uniformemente convergente di funzioni continue.Quindi, differenziando l'uguaglianza, otteniamo Esercizi Trovare le regioni di convergenza di queste serie di funzioni: Utilizzando il test di Weierstrass, dimostrare la convergenza uniforme di queste serie di funzioni sugli intervalli indicati:

Gamma funzionale è un'espressione formalmente scritta

tu1 (X) + tu 2 (X) + tu 3 (X) + ... + tu n ( X) + ... , (1)

dove tu1 (X), tu 2 (X), tu 3 (X), ..., tu n ( X), ... - sequenza di funzioni della variabile indipendente X.

Notazione abbreviata di una serie funzionale con sigma:.

Esempi di serie funzionali sono :

(2)

(3)

Dando la variabile indipendente X qualche significato X0 e sostituendolo nella serie funzionale (1), otteniamo la serie numerica

tu1 (X 0 ) + tu 2 (X 0 ) + tu 3 (X 0 ) + ... + tu n ( X 0 ) + ...

Se la serie numerica risultante converge, allora si dice che la serie funzionale (1) converge per X = X0 ; se diverge, che si dice che la serie (1) diverge a X = X0 .

Esempio 1. Indagare la convergenza di una serie funzionale(2) per i valori X= 1 e X = - 1 .
Soluzione. In X= 1 otteniamo una serie di numeri

che converge sulla base di Leibniz. In X= - 1 otteniamo una serie di numeri

,

che diverge come prodotto di una serie armonica divergente per - 1. Quindi, la serie (2) converge per X= 1 e diverge a X = - 1 .

Se tale controllo per la convergenza della serie funzionale (1) viene effettuato rispetto a tutti i valori della variabile indipendente dal dominio di definizione dei suoi membri, allora i punti di questo dominio vengono divisi in due insiemi: per i valori X preso in uno di essi, la serie (1) converge e nell'altro - diverge.

L'insieme dei valori della variabile indipendente per cui converge la serie funzionale si chiama suo dominio di convergenza .

Esempio 2. Trova la regione di convergenza di una serie funzionale

Soluzione. I membri della serie sono definiti sull'intera retta numerica e formano una progressione geometrica con il denominatore Q= peccato X... Pertanto, la serie converge se

e diverge se

(i valori non sono possibili). Ma per i valori e per altri valori X... Di conseguenza, la serie converge per tutti i valori X, tranne . L'area della sua convergenza è l'intera linea numerica, ad eccezione di questi punti.

Esempio 3. Trova la regione di convergenza di una serie funzionale

Soluzione. I membri della serie formano una progressione geometrica con il denominatore Q= ln X... Pertanto, la serie converge, se, o, da dove. Questa è la regione di convergenza di questa serie.

Esempio 4. Indagare la convergenza di una serie funzionale

Soluzione. Prendiamo un valore arbitrario. Con questo valore, otteniamo una serie di numeri

(*)

Trova il limite del suo termine comune

Di conseguenza, la serie (*) diverge per una scelta arbitrariamente, ad es. per qualsiasi valore X... Il suo dominio di convergenza è un insieme vuoto.

Convergenza uniforme di una serie funzionale e sue proprietà

Passiamo al concetto convergenza uniforme della serie funzionale ... lascia stare S(X) è la somma di questa serie, e Sn ( X) - somma n i primi membri di questa serie. Gamma funzionale tu1 (X) + tu 2 (X) + tu 3 (X) + ... + tu n ( X) + ... si dice convergente uniformemente sul segmento [ un, B], se per qualsiasi numero arbitrariamente piccolo ε > 0 esiste un tale numero n quello per tutti n ≥ n la disuguaglianza

|S(X) − S n ( X)| < ε

per chiunque X dal segmento [ un, B] .

La proprietà di cui sopra può essere geometricamente illustrata come segue.

Considera il grafico della funzione sì = S(X) ... Costruiamo una striscia di larghezza 2 attorno a questa curva. ε n, cioè costruiremo le curve sì = S(X) + ε n e sì = S(X) − ε n(nella foto sotto sono verdi).

Allora per qualsiasi ε n grafico delle funzioni Sn ( X) giacerà interamente nella striscia considerata. La stessa fascia conterrà i grafici di tutte le successive somme parziali.

Qualsiasi serie funzionale convergente che non possiede la caratteristica sopra descritta è convergente non uniformemente.

Consideriamo un'altra proprietà delle serie funzionali uniformemente convergenti:

la somma di una serie di funzioni continue convergenti uniformemente su un segmento [ un, B], è una funzione continua su questo segmento.

Esempio 5. Determina se la somma di una serie funzionale è continua

Soluzione. Trova l'importo n i primi membri di questa serie:

Se X> 0, quindi

,

Se X < 0 , то

Se X= 0, quindi

E quindi .

La nostra ricerca ha mostrato che la somma di questa serie è una funzione discontinua. Il suo grafico è mostrato nella figura sottostante.

Test di Weierstrass per la convergenza uniforme di serie di funzioni

Ci avviciniamo al criterio di Weierstrass attraverso il concetto maggiorizzabilità delle serie funzionali ... Gamma funzionale

tu1 (X) + tu 2 (X) + tu 3 (X) + ... + tu n ( X) + ...