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Funzione di distribuzione per la funzione di densità di probabilità. Densità di probabilità di una variabile casuale continua, sua definizione, proprietà e grafico

Vengono fornite le definizioni della funzione di distribuzione di una variabile casuale e della densità di probabilità di una variabile casuale continua. Questi concetti vengono utilizzati attivamente negli articoli sulle statistiche del sito. Esempi considerati di calcolo della funzione di distribuzione e densità di probabilità utilizzando le funzioni MS EXCEL.

Introduciamo i concetti base della statistica, senza i quali è impossibile spiegare concetti più complessi.

Popolazione generale e variabile casuale

facciamoci popolazione generale(popolazione) di N oggetti, ognuno dei quali ha un certo valore di qualche caratteristica numerica X.

Un esempio di popolazione generale (HS) può essere un insieme di pesi dello stesso tipo di parti prodotte da una macchina.

Poiché nelle statistiche matematiche, qualsiasi conclusione viene fatta solo sulla base della caratteristica X (astraendo dagli oggetti stessi), quindi da questo punto di vista popolazione generale rappresenta N numeri, tra i quali, nel caso generale, possono esserci gli stessi.

Nel nostro esempio, GS è semplicemente un array numerico di pesi delle parti. X è il peso di una delle parti.

Se da un dato GS scegliamo a caso un oggetto con caratteristica X, allora il valore X è variabile casuale... Per definizione, qualunque valore casuale Esso ha funzione di distribuzione, che di solito è indicato con F (x).

Funzione di distribuzione

Funzione di distribuzione probabilità variabile casuale X è chiamata la funzione F (x), il cui valore nel punto x è uguale alla probabilità dell'evento X

F (x) = P (X

Spieghiamoci con l'esempio della nostra macchina. Sebbene si presuma che la nostra macchina produca un solo tipo di parti, è ovvio che il peso delle parti prodotte differirà leggermente l'una dall'altra. Ciò è possibile a causa del fatto che nella fabbricazione potrebbero essere utilizzati materiali diversi e anche le condizioni di lavorazione potrebbero essere leggermente diverse, ecc. Lascia che la parte più pesante prodotta dalla macchina pesi 200 g e quella più leggera - 190 g. la parte selezionata X peserà meno di 200 g è 1. La probabilità che peserà meno di 190 g è 0. I valori intermedi sono determinati dalla forma della funzione di distribuzione. Ad esempio, se un processo è impostato per produrre parti da 195 g, è ragionevole presumere che la probabilità di scegliere una parte più leggera di 195 g sia 0,5.

Grafico tipico Funzioni di distribuzione per una variabile casuale continua è mostrato nell'immagine sottostante (curva viola, vedi file di esempio):

Nella Guida di MS EXCEL Funzione di distribuzione sono chiamati Integrante funzione di distribuzione (CumulativoDistribuzioneFunzione, CDF).

Ecco alcune proprietà Funzioni di distribuzione:

Funzione di distribuzione F (x) cambia nell'intervallo, perché i suoi valori sono uguali alle probabilità degli eventi corrispondenti (per definizione, la probabilità può essere compresa tra 0 e 1);
Funzione di distribuzione- funzione non decrescente;
La probabilità che una variabile casuale abbia preso un valore da un certo intervallo densità di probabilitàè uguale a 1 / (0,5-0) = 2. E per con il parametro lambda= 5, valore densità di probabilità nel punto x = 0,05 è 3,894. Ma, allo stesso tempo, puoi assicurarti che la probabilità su qualsiasi intervallo sarà, come al solito, da 0 a 1.

Richiama questo densità di distribuzioneè derivato da funzioni di distribuzione, cioè. "Tasso" della sua variazione: p (x) = (F (x2) -F (x1)) / Dx quando Dx tende a 0, dove Dx = x2-x1. Quelli. il fatto che densità di distribuzione> 1 significa solo che la funzione di distribuzione cresce abbastanza velocemente (questo è ovvio con un esempio).

Nota: L'area interamente racchiusa dall'intera curva raffigurante densità di distribuzione, è uguale a 1.

Nota: Ricordiamo che la funzione di distribuzione F (x) è chiamata nelle funzioni MS EXCEL funzione di distribuzione cumulativa... Questo termine appare nei parametri della funzione, ad esempio DISTRIB.NORM.ST (x; media; dev_standard; integrante). Se la funzione MS EXCEL dovesse tornare Funzione di distribuzione, quindi il parametro integrante, d.b. impostato su VERO. Se vuoi calcolare densità di probabilità, quindi il parametro integrante, d.b. GIACENTE.

Nota: Per distribuzione discreta la probabilità di una variabile casuale di assumere un certo valore è spesso chiamata anche funzione di massa di probabilità (pmf). Nella Guida di MS EXCEL densità di probabilità può anche essere chiamata "funzione di misura di probabilità" (vedi funzione DISTRIB.BINOM.()).

Calcolo della densità di probabilità utilizzando le funzioni di MS EXCEL

È chiaro che per calcolare densità di probabilità per un certo valore di una variabile casuale, è necessario conoscerne la distribuzione.

Trova densità di probabilità per N (0; 1) in x = 2. Per fare questo, devi scrivere la formula = DISTRIB.ST.NORM (2, FALSE)= 0,054 o = DISTRIB.NORM. (2, 0, 1, FALSO).

Richiama questo probabilità che cosa variabile casuale continua assumerà un valore specifico x uguale a 0. Per variabile casuale continua X può solo calcolare la probabilità di un evento che X assuma il valore racchiuso nell'intervallo (a; b).

Calcolo delle probabilità utilizzando le funzioni MS EXCEL

1) Troviamo la probabilità che la variabile casuale distribuita (vedi figura sopra) abbia assunto un valore positivo. Secondo la proprietà Funzioni di distribuzione la probabilità è F (+ ∞) -F (0) = 1-0,5 = 0,5.

DISTRIB.ST.ST STANDARD (9.999E + 307; VERO) -DIST.ST.STORM (0; VERO) =1-0,5.
Invece di + ∞, la formula ha inserito il valore 9.999E + 307 = 9.999 * 10 ^ 307, che è il numero massimo che può essere inserito nella cella MS EXCEL (per così dire, il più vicino a + ∞).

2) Troviamo la probabilità che la variabile casuale distribuita su , ha assunto un valore negativo. Secondo la definizione Funzioni di distribuzione, la probabilità è F (0) = 0,5.

In MS EXCEL, per trovare questa probabilità, usa la formula = DISTRIB.ST.NORM. (0, VERO) =0,5.

3) Troviamo la probabilità che la variabile casuale distribuita su distribuzione normale standard, assumerà il valore racchiuso nell'intervallo (0; 1). La probabilità è F (1) -F (0), cioè dalla probabilità di scegliere X dall'intervallo (-∞; 1), devi sottrarre la probabilità di scegliere X dall'intervallo (-∞; 0). In MS EXCEL usa la formula = DISTRIB.ST.ST STANDARD (1, VERO) - DISTRIB.ST.STAND. (0, VERO).

Tutti i calcoli precedenti si riferiscono a una variabile casuale distribuita su legge normale standard N (0; 1). È chiaro che i valori delle probabilità dipendono dalla distribuzione specifica. Nell'articolo, la funzione di distribuzione è trovare il punto per cui F (x) = 0,5, quindi trovare l'ascissa di questo punto. Ascissa del punto = 0, cioè la probabilità che la variabile casuale X assuma il valore<0, равна 0,5.

In MS EXCEL, utilizzare la formula = NORM.ST.OBR (0,5) = 0.

Calcola il valore senza ambiguità variabile casuale permette la proprietà di monotonicità funzioni di distribuzione.

Funzione di distribuzione inversa calcola quali vengono utilizzati, ad esempio, quando. Quelli. nel nostro caso, il numero 0 è 0.5-quantile distribuzione normale... Nel file di esempio, puoi calcolarne un altro quantile questa distribuzione. Ad esempio, 0,8-quantile è 0,84.

Nella letteratura in lingua inglese funzione di distribuzione inversa spesso indicata come funzione del punto percentuale (PPF).

Nota: Durante il calcolo quantili in MS EXCEL vengono utilizzate le seguenti funzioni: NORM.ST.INV (), LOGNORM.INV (), CHI2.INV (), GAMMA.INV (), ecc. Maggiori dettagli sulle distribuzioni presentate in MS EXCEL possono essere trovati nell'articolo.
Esercizio 1... La densità di distribuzione di una variabile casuale continua X ha la forma:
Trova:
a) parametro A;
b) la funzione di distribuzione F(x);
c) la probabilità di colpire una variabile casuale X nell'intervallo;
d) aspettativa matematica MX e varianza DX.
Tracciare le funzioni f (x) e F (x).
Compito 2... Trova la varianza di una variabile casuale X data dalla funzione integrale.
Compito 3... Trova l'aspettativa matematica di una variabile casuale X da una data funzione di distribuzione.
Compito 4... La densità di probabilità di alcune variabili casuali è data come segue: f (x) = A / x 4 (x = 1; + ∞)
Trova il coefficiente A, la funzione di distribuzione F (x), l'aspettativa matematica e la varianza e la probabilità che la variabile casuale assuma un valore nell'intervallo. Costruisci i grafici f (x) e F (x).
Compito... La funzione di distribuzione di alcune variabili casuali continue è definita come segue:
Determinare i parametri aeb, trovare un'espressione per la densità di probabilità f (x), l'aspettativa matematica e la varianza, nonché la probabilità che la variabile casuale assuma un valore nell'intervallo. Costruisci i grafici f (x) e F (x).

Troviamo la funzione di densità di distribuzione come derivata della funzione di distribuzione.
F ′ = f (x) = a
Sapendo che troveremo il parametro a:

o 3a = 1, da cui a = 1/3
Il parametro b si ricava dalle seguenti proprietà:
F (4) = a * 4 + b = 1
1/3 * 4 + b = 1 da cui b = -1/3
Pertanto, la funzione di distribuzione ha la forma: F (x) = (x-1) / 3
Valore atteso.

Dispersione.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Troviamo la probabilità che la variabile casuale assuma un valore nell'intervallo
P (2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3
Esempio 1. Viene data la densità della distribuzione di probabilità f (x) di una variabile casuale continua X. Necessario:
1. Determinare il coefficiente A.
2. trova la funzione di distribuzione F (x).
3. costruire schematicamente i grafici F (x) e f (x).
4. trovare l'aspettativa matematica e la varianza di X.
5. trova la probabilità che X prenda un valore dall'intervallo (2; 3).
f (x) = A * sqrt (x), 1 ≤ x ≤ 4.
Soluzione:
La variabile casuale X è data dalla densità di distribuzione f (x):

Troviamo il parametro A dalla condizione:

o
14/3 * LA-1 = 0
In cui si,
A = 3/14

La funzione di distribuzione può essere trovata dalla formula.

Continuo con. v. può essere specificato utilizzando una funzione chiamata densità di distribuzione o densità di probabilità o funzione di distribuzione differenziale.
Densità di distribuzione probabilità di s continuo. v. X è chiamata la funzione f (x) - la prima derivata della funzione di distribuzione F (x):
Da questa definizione segue che la funzione di distribuzione è l'antiderivata per la densità di distribuzione.
Per descrivere la distribuzione di probabilità di un discreto s. v. la densità di distribuzione non è applicabile.
Il significato probabilistico della densità di distribuzione.
Quindi, il limite del rapporto tra la probabilità che un continuo c. v. assume un valore appartenente all'intervallo (x, x + ∆x), la lunghezza di questo intervallo (a ∆x → 0) è uguale al valore della densità di distribuzione nel punto x.
La funzione di densità caratterizza separatamente ciascun valore di una variabile casuale continua e non l'intero intervallo, come nel caso della funzione di distribuzione.
Probabilità di colpire s continuo. v. ad un dato intervallo.
Secondo la formula di Newton - Leibniz:
Papà< X  b}= F(b) – F(a),
così
Trovare la funzione di distribuzione da una funzione di densità nota.
Assumendo nella formula precedente a = -∞, b = x, e sostituendo la variabile di integrazione x con t, abbiamo:
F (x) = P (X  x) = P (-∞< X  х},
quindi
Proprietà della densità di distribuzione
Proprietà 1. La densità di distribuzione è una funzione non negativa: f (x) 0 (poiché la funzione di distribuzione cumulativa è una funzione non decrescente e la densità di distribuzione è la sua prima derivata).
Proprietà 2:
Prova. Integrale improprio
esprime la probabilità di un evento che una variabile casuale assuma un valore appartenente all'intervallo (-∞, ∞). Ovviamente, un tale evento è affidabile, quindi la sua probabilità è pari a uno.
Geometricamente, ciò significa che l'intera area del trapezio curvo delimitata dall'asse 0x e dalla curva di distribuzione è uguale a uno.
V In particolare, se tutti i possibili valori della variabile casuale appartengono all'intervallo (a, b), allora
.
Possibile grafico della densità di distribuzione (esempio)
f 1 (x) - densità di distribuzione della dimensione della vincita nel 1° gioco
f 2 (x) - densità di distribuzione della dimensione della vincita nel 2° gioco
Quale gioco è preferibile?
Caratteristiche numeriche delle variabili casuali. ...
Queste caratteristiche consentono di risolvere molti problemi senza conoscere la legge di distribuzione delle variabili casuali.
Caratteristiche della posizione di una variabile casuale sull'asse dei numeri.
L'aspettativa matematica è talvolta chiamata semplicemente la media r.v.
Denominazione: m x o M [X].
Per una variabile casuale discreta
M [X] =
Per una variabile casuale continua
Designazione: 
Distinguere tra distribuzioni unimodali (hanno una modalità), distribuzioni polimodali (hanno più modalità) e animodali (non hanno una modalità)

unimodale
P (X< х m }= P{X >x m)

La mediana biseca l'area delimitata da f (x)
Se la densità di distribuzione di una variabile casuale è simmetrica e unimodale, allora M [X], e x m coincidono
М [X], , х m - quantità non casuali

Il risultato di qualsiasi esperimento casuale può essere caratterizzato qualitativamente e quantitativamente. Qualità il risultato di un esperimento casuale - accidentale evento... Qualunque caratteristica quantitativa, che, come risultato di un esperimento casuale, può assumere uno di un insieme di valori, - valore casuale. Valore casuale è uno dei concetti centrali della teoria della probabilità.

Sia uno spazio di probabilità arbitrario. Un valore casualeè detta funzione numerica reale x = x (w), w W, tale che per ogni reale X .

Evento è consuetudine scrivere nella forma x< X... Nel seguito, le variabili casuali saranno indicate con lettere greche minuscole x, h, z, ...

Il valore casuale è il numero di punti persi quando si lancia un dado o l'altezza di uno studente selezionato casualmente dal gruppo di studio. Nel primo caso abbiamo a che fare con discreto variabile casuale(prende valori da un insieme di numeri discreti M =(1, 2, 3, 4, 5, 6); nel secondo caso - con continuo variabile casuale(prende valori da un insieme di numeri continui - dall'intervallo della linea dei numeri io=).

Ogni variabile casuale è completamente determinata dalla propria funzione di distribuzione.

Se x è una variabile casuale, allora la funzione F(X) = F x(X) = P(X< X) è chiamato funzione di distribuzione variabile casuale x. Qui P(X<X) è la probabilità che la variabile casuale x assuma un valore minore di X.

È importante capire che la funzione di distribuzione è un "passaporto" della variabile casuale: contiene tutte le informazioni sulla variabile casuale e quindi lo studio di una variabile casuale consiste nello studio della sua funzioni di distribuzione, a cui spesso ci si riferisce semplicemente distribuzione.

La funzione di distribuzione di qualsiasi variabile casuale ha le seguenti proprietà:

Se x è una variabile casuale discreta che assume valori X 1 <X 2 < … <x io < … с вероятностями P 1 <P 2 < … <p io < …, то таблица вида

X 1 X 2 … x io …
P 1 P 2 … p io …
chiamato distribuzione di una variabile casuale discreta.

La funzione di distribuzione di una variabile casuale con tale distribuzione ha la forma

Una variabile casuale discreta ha una funzione di distribuzione a gradini. Ad esempio, per un numero casuale di punti caduti da un lancio di dadi, la distribuzione, la funzione di distribuzione e il grafico della funzione di distribuzione sono i seguenti:

1 2 3 4 5 6
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Se la funzione di distribuzione F x(X) è continua, allora si chiama la variabile casuale x variabile casuale continua.

Se la funzione di distribuzione di una variabile casuale continua differenziabile, quindi un'idea più chiara della variabile casuale è data da densità di probabilità di una variabile casuale p x(X), che è legato alla funzione di distribuzione F x(X) dalle formule

e .

Quindi, in particolare, ne consegue che per ogni variabile casuale.

Quando si risolvono problemi pratici, spesso è necessario trovare il valore X per cui la funzione di distribuzione F x(X) di una variabile casuale x assume un dato valore P, cioè. è necessario per risolvere l'equazione F x(X) = P... Soluzioni di tale equazione (i valori corrispondenti X) in teoria della probabilità sono chiamati quantili.

Quantile x p ( P-quantile, livello quantile P) di una variabile casuale avente una funzione di distribuzione F x(X), chiama la soluzione x p equazioni F x(X) = P, P(0, 1). Per alcuni P l'equazione F x(X) = P può avere diverse soluzioni, per alcuni nessuna. Ciò significa che per la corrispondente variabile casuale, alcuni quantili non sono definiti in modo univoco e alcuni quantili non esistono.

Proprietà della densità di distribuzione
Innanzitutto, ricordiamo qual è la densità di distribuzione:
Considera le proprietà della densità di distribuzione:
Proprietà 1: La funzione di densità di distribuzione $ \ varphi (x) $ non è negativa:
Prova.
Sappiamo che la funzione di distribuzione $ F (x) $ è una funzione non decrescente. Dalla definizione segue che $ \ varphi \ left (x \ right) = F "(x) $ e la derivata di una funzione non decrescente è una funzione non negativa.
Geometricamente, questa proprietà significa che il grafico della funzione $ \ varphi \ left (x \ right) $ della densità di distribuzione è maggiore o sull'asse $ Ox $ stesso (Fig. 1)
Figura 1. Illustrazione della disuguaglianza $ \ varphi (x) \ ge 0 $.
Proprietà 2: L'integrale improprio della funzione di densità di distribuzione nell'intervallo da $ - \ infty $ a $ + \ infty $ è uguale a 1:
Prova.
Ricordiamo la formula per trovare la probabilità che una variabile casuale rientri nell'intervallo $ (\alpha, \beta) $:

Figura 2.
Troviamo la probabilità che la variabile casuale rientri nell'intervallo $ (- \ infty, + \ infty $):
Figura 3.
Ovviamente, la variabile casuale rientrerà sempre nell'intervallo $ (- \ infty, + \ infty $), quindi la probabilità di un tale successo è pari a uno. Noi abbiamo:
Geometricamente, la seconda proprietà significa che l'area del trapezio curvilineo delimitata dal grafico della funzione di densità di distribuzione $ \ varphi (x) $ e l'asse delle ascisse è numericamente uguale a uno.

Puoi anche formulare la proprietà opposta:
Proprietà 3: Qualsiasi funzione non negativa $ f (x) \ ge 0 $ che soddisfi l'uguaglianza $ \ int \ limit ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (f \ left (x \ right) dx) = 1 $ è la funzione di densità qualche variabile casuale continua.
Il significato probabilistico della densità di distribuzione
Diamo alla variabile $ x $ un incremento di $ \ triangolo x $.
Significato probabilistico della densità di distribuzione: La probabilità che una variabile casuale continua $ X $ assuma valori dall'intervallo $ (x, x + \ triangolo x) $ è approssimativamente uguale al prodotto della densità di distribuzione di probabilità nel punto $ x $ per l'incremento $ \ triangolo x $:
Figura 4. Illustrazione geometrica del significato probabilistico della densità di distribuzione di una variabile casuale continua.
Esempi di risoluzione di problemi utilizzando le proprietà della densità di distribuzione
Esempio 1

La funzione di densità di probabilità ha la forma:

Figura 5.
1. Trova il coefficiente $ \ alfa $.
2. Tracciare la densità della distribuzione.
1. Considera l'integrale improprio $ \ int \ limit ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (\ varphi \ left (x \ right) dx) $, otteniamo:
Figura 6.

Usando la proprietà 2, otteniamo:
\ [- 2 \ alpha = 1, \] \ [\ alpha = - \ frac (1) (2). \]
Cioè, la funzione di densità di distribuzione ha la forma:

Figura 7.
1. Costruiamo il suo grafico:
Figura 8.
Esempio 2

La funzione di densità di distribuzione ha la forma $ \ varphi \ left (x \ right) = \ frac (\ alpha) (chx) $

(Ricorda che $ chx $ è un coseno iperbolico).

Trova il valore del coefficiente $ \ alfa $.

Soluzione. Usiamo la seconda proprietà:
\ [\ int \ limit ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (\ frac (\ alpha) (chx) dx) = 1, \] \ [\ alpha \ int \ limit ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (\ frac (dx) (chx)) = 1, \] \ [\ int \ limit ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (\ frac (dx) (chx)) = ( \ mathop (lim) _ (a \ to - \ infty) \ int \ limit ^ 0_a (\ frac (dx) (chx)) \) + (\ mathop (lim) _ (b \ to + \ infty) \ int \limits ^ b_0 (\frac (dx) (chx)) \) \]
Poiché $ chx = \ frac (e ^ x + e ^ (- x)) (2) $, allora
\ [\ int (\ frac (dx) (chx)) = 2 \ int (\ frac (dx) (e ^ x + e ^ (- x))) = 2 \ int (\ frac (de ^ x) ( (1 + e) ^ (2x))) = 2arctge ^ x + C \]
\ [\ int \limits ^ (+ \ infty) _ (- \ infty) (\ frac (dx) (chx)) = (\ mathop (lim) _ (a \ to - \ infty) \ left (-2arctge ^ a \ right) \) + (\ mathop (lim) _ (b \ to + \ infty) \ left (2arctge ^ b \ right) \) = \ pi \]
Quindi:
\ [\ pi \ alpha = 1, \] \ [\ alpha = \ frac (1) (\ pi) \]

Tipo