Calcola il volume di un calcolatore online del corpo di rotazione. Utilizzo degli integrali per trovare i volumi dei corpi di rivoluzione

Lascia che la linea sia limitata. una figura piatta è specificata in un sistema di coordinate polari.

Esempio: Calcola la circonferenza: x 2 + y 2 = R 2

Calcola la lunghezza della quarta parte del cerchio situata nel I quadrante (x≥0, y≥0):

Se l'equazione della curva è data in forma di parametro:
, le funzioni x (t), y (t) sono definite e continue insieme alle loro derivate sull'intervallo [α, β]. Derivata, quindi sostituendo nella formula:
e considerando che

ottenere
introdurre un fattore
sotto il segno della radice e otteniamo finalmente

Nota: Viene data una curva piatta, si può considerare anche la funzione data dal parametro nello spazio, quindi la funzione z = z (t) e la formula

Esempio: Calcola la lunghezza dell'astroide, che è data dall'equazione: x = a * cos 3 (t), y = a * sin 3 (t), a> 0

Calcola la lunghezza della quarta parte:

secondo la formula

La lunghezza dell'arco di una curva piatta, specificata in un sistema di coordinate polari:

Lascia che l'equazione della curva sia data nel sistema di coordinate polari:
- una funzione continua, insieme alla sua derivata sul segmento [α, ].

Formule di transizione da coordinate polari:

considerato parametrico:

ϕ - parametro, per f-le

2

Es: Calcola la lunghezza della curva:
>0

Z-ni: calcola metà della circonferenza:

Il volume del corpo, calcolato dall'area della sezione trasversale del corpo.

Sia dato un corpo, delimitato da una superficie chiusa e sia nota l'area di qualsiasi sezione di questo corpo da un piano perpendicolare all'asse del bue. Quest'area dipenderà dalla posizione del piano di taglio.

sia racchiuso tutto il corpo tra 2 piani perpendicolari all'asse del Bue, intersecandolo nei punti x = a, x = b (a

Per determinare il volume di un tale corpo, lo divideremo in strati usando piani di taglio perpendicolari all'asse del bue e intersecandolo in punti. In ogni parziale vuoto
... Scegliamo

e per ogni valore i = 1, ...., n, costruiamo un corpo cilindrico, la cui generatrice è parallela a Ox, e la guida è il contorno della sezione del corpo per il piano x = C i, il volume di un tale cilindro elementare con area di base S = C i e altezza ∆xi ... V i = S (C i) ∆x i. Il volume di tutti questi cilindri elementari sarà
... Il limite di questa somma, se esiste ed è finito a max ∆х  0, si chiama volume del corpo dato.

... Poiché V n è una somma integrale per una funzione continua S (x) su un intervallo, allora il limite indicato esiste (esistenza t-ma) ed è espresso dalla def. Integrante.

- il volume del corpo, calcolato dall'area della sezione trasversale.

Volume del corpo di rivoluzione:

Sia formato il corpo mediante rotazione attorno all'asse di bue di un trapezio curvilineo delimitato dal grafico della funzione y = f (x), l'asse di bue e le rette x = a, x = b.

Sia definita la funzione y = f (x) e continua su un segmento e non negativa su di esso, allora la sezione di questo corpo per un piano perpendicolare a Ox è una circonferenza di raggio R = y (x) = f (x ). L'area di un cerchio S (x) = Пy 2 (x) = П 2. Sostituendo la formula
otteniamo una formula per calcolare il volume di un corpo di rivoluzione attorno all'asse di bue:

Se un trapezio curvilineo ruota attorno all'asse Oy, delimitato da un grafico continuo su una funzione, allora il volume di tale corpo di rivoluzione:

Lo stesso volume può essere calcolato utilizzando la formula:
... Se la linea è definita da equazioni parametriche:

Modificando la variabile otteniamo:

Se la linea è definita da equazioni parametriche:

y (α) = c, y (β) = d. Facendo la sostituzione y = y (t) otteniamo:

Calcola corpi di rivoluzione attorno all'asse OY della parabola, .

2) Calcola V del corpo di rivoluzione attorno all'asse OX di un trapezio curvo delimitato da una retta y = 0, un arco (con un cent nel punto (1; 0), e raggio = 1), per.

Area superficiale di un corpo di rivoluzione

Lascia che la superficie data sia formata dalla rotazione della curva y = f (x) attorno all'asse Ox. È necessario determinare la S di questa superficie a.

Sia la funzione y = f (x) definita e continua, ha irrevocabile e non negativa in tutti i punti del segmento [a; b]

Tracciamo accordi di lunghezza che denotiamo, rispettivamente, (n-accordi)

per il teorema di Lagrange:

La superficie dell'intera linea tratteggiata descritta sarà uguale a

Definizione: il limite di questa somma, se è finita, quando il collegamento più grande della linea spezzata max, è chiamato l'area della superficie di rivoluzione considerata.

Si può dimostrare che cento limite della somma è uguale al limite della somma integrata per il p-th

Formula per S superficie di un corpo di rivoluzione =

S della superficie formata dalla Rotazione dell'arco della curva x = g (x) attorno all'asse Oy at

Continuo con la sua derivata

Se la curva è data parametricamente da ur-miX= x (t),sì= T(T) f-iiX’(T), sì’(T), X(T), sì(T) sono definiti sul segmento [un; B], X(un)= un, X(B)= Bquindi facendo la sostituzione cambiaX= X(T)

Se la curva è data parametricamente sostituendo nella formula, si ottiene:

Se l'equazione della curva è specificata in un sistema di coordinate polari

Sla superficie di rivoluzione attorno all'asse sarà uguale a

I. Volumi di corpi di rivoluzione. Studiare preliminarmente, secondo il libro di testo di G.M.Fikhtengolts, capitolo XII, n° n° 197, 198 * Smontare in dettaglio gli esempi riportati nel n° 198.

508. Calcola il volume del corpo formato dalla rotazione dell'ellisse attorno all'asse del Bue.

Così,

530. Trova l'area della superficie formata dalla rotazione attorno all'asse Ox dell'arco della sinusoide y = sin x dal punto X = 0 al punto X = It.

531. Calcola l'area della superficie di un cono con altezza h e raggio r.

532. Calcola l'area della superficie formata

rotazione dell'astroide x3 -) - y * - a3 attorno all'asse del bue.

533. Calcola l'area della superficie formata scorrendo il ciclo della curva 18 y - x (6 - x) g attorno all'asse del bue.

534. Trova la superficie del toro prodotta dalla rotazione del cerchio X2 - j - (y - Z) 2 = 4 attorno all'asse del bue.

535. Calcola l'area della superficie formata dalla rotazione del cerchio X = a costo, y = asint attorno all'asse del bue.

536. Calcola l'area della superficie formata dalla rotazione del ciclo della curva x = 9t2, y = St - 9t3 attorno all'asse del bue.

537. Trova l'area della superficie formata dalla rotazione dell'arco della curva x = e * sint, y = el cost attorno all'asse del bue

da t = 0 a t = -.

538. Mostra che la superficie prodotta dalla rotazione dell'arco della cicloide x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) attorno all'asse Oy, è uguale a 16 u2 o2.

539. Trova la superficie ottenuta ruotando il cardioideIntorno all'asse polare.

540. Trova l'area della superficie formata dalla rotazione del lemniscate Intorno all'asse polare.

Compiti aggiuntivi per il capitolo IV

Aree di figure piatte

541. L'intera area dell'area delimitata dalla curva E l'asse Oh.

542. Trova l'area dell'area delimitata dalla curva

E l'asse Oh.

543. Trova la parte dell'area dell'area situata nel primo quadrante e delimitata dalla curva

l coordinare gli assi.

544. Trova l'area dell'area contenuta all'interno

loop:

545. Trova l'area della regione delimitata da un anello della curva:

546. Trova l'area dell'area contenuta all'interno del ciclo:

547. Trova l'area dell'area delimitata dalla curva

E l'asse Oh.

548. Trova l'area dell'area delimitata dalla curva

E l'asse Oh.

549. Trova l'area dell'area delimitata dall'asse Oxr

dritto e curva

Come per il problema di trovare l'area, hai bisogno di abilità di disegno sicure: questa è quasi la cosa più importante (poiché gli stessi integrali saranno spesso facili). Puoi padroneggiare una tecnica competente e veloce di tracciare grafici con l'aiuto di materiali metodologici e trasformazioni geometriche dei grafici. Ma, in effetti, ho già ripetutamente parlato dell'importanza dei disegni nella lezione.

In generale, ci sono molte applicazioni interessanti nel calcolo integrale, con l'aiuto di un integrale definito puoi calcolare l'area di una figura, il volume di un corpo di rivoluzione, la lunghezza di un arco, l'area della superficie di ​rivoluzione e molto altro. Quindi sarà divertente, per favore sii ottimista!

Immagina una figura piatta sul piano delle coordinate. Ti sei presentato? ... mi chiedo chi ha presentato cosa ... =))) Abbiamo già trovato la sua area. Ma, inoltre, questa figura può anche essere ruotata e ruotata in due modi:

- intorno all'asse delle ascisse;
- intorno all'asse delle ordinate.

Questo articolo coprirà entrambi i casi. Il secondo metodo di rotazione è particolarmente interessante, causa le maggiori difficoltà, ma in effetti la soluzione è praticamente la stessa della più comune rotazione attorno all'asse delle ascisse. Come bonus, tornerò a il problema di trovare l'area di una figura, e ti dirò come trovare l'area nel secondo modo: lungo l'asse. Non è nemmeno tanto un bonus in quanto il materiale si adatta bene all'argomento.

Cominciamo con il tipo di spin più popolare.

una figura piatta attorno a un asse

Esempio 1

Calcola il volume di un solido ottenuto ruotando una forma delimitata da linee attorno a un asse.

Soluzione: Come nel problema di trovare l'area, la soluzione inizia con il disegno di una figura piatta... Cioè, su un piano è necessario costruire una figura delimitata da linee e non dimenticare che l'equazione imposta l'asse. Come realizzare un disegno in modo più efficiente e veloce, puoi scoprirlo nelle pagine Grafici e proprietà delle funzioni elementari e Integrale definito. Come calcolare l'area di una forma... Questo è un promemoria cinese e non mi fermo più a questo punto.

Il disegno qui è piuttosto semplice:

La figura piatta desiderata è ombreggiata in blu, è lei che ruota attorno all'asse.Come risultato della rotazione, si ottiene un disco volante leggermente a forma di uovo, che è simmetrico rispetto all'asse. In effetti, il corpo ha un nome matematico, ma il libro di riferimento è troppo pigro per chiarire qualcosa, quindi andiamo oltre.

Come calcolare il volume di un corpo di rivoluzione?

Il volume di un corpo di rivoluzione può essere calcolato con la formula:

Un numero deve essere sempre presente nella formula prima dell'integrale. È successo così: tutto ciò che ruota nella vita è collegato a questa costante.

Come impostare i limiti di integrazione "a" e "bh", credo, sia facile da indovinare dal disegno completato.

Funzione... cos'è questa funzione? Diamo un'occhiata al disegno. Una figura piatta è delimitata in alto da un grafico a parabola. Questa è la funzione implicita nella formula.

Negli esercizi pratici, a volte una figura piatta può essere posizionata sotto l'asse. Questo non cambia nulla - l'integrando nella formula è al quadrato: quindi l'integrale è sempre non negativo, il che è abbastanza logico.

Calcoliamo il volume del corpo di rivoluzione utilizzando questa formula:

Come ho già notato, l'integrale è quasi sempre semplice, l'importante è stare attenti.

Risposta:

Nella risposta, è necessario indicare la dimensione - unità cubiche. Cioè, nel nostro corpo di rivoluzione ci sono circa 3,35 "cubi". Perché esattamente cubico? unità? Perché la formulazione più universale. Potrebbero esserci centimetri cubi, potrebbero esserci metri cubi, potrebbero esserci chilometri cubi, ecc., ecco quanti omini verdi la tua immaginazione può mettere in un disco volante.

Esempio 2

Trova il volume del corpo formato dalla rotazione attorno all'asse della figura delimitato da linee,

Questo è un esempio di soluzione fai-da-te. Soluzione completa e risposta alla fine del tutorial.

Considera due compiti più complessi che sono anche comuni nella pratica.

Esempio 3

Calcolare il volume del corpo ottenuto ruotando la cifra delimitata dalle linee attorno all'asse delle ascisse, e

Soluzione: Disegna nel disegno una figura piana delimitata da linee,,,, senza dimenticare che l'equazione definisce l'asse:

La figura desiderata è ombreggiata in blu. Quando lo ruoti attorno all'asse, ottieni una ciambella così surreale con quattro angoli.

Il volume del corpo di rivoluzione si calcola come differenza nei volumi del corpo.

Per prima cosa, diamo un'occhiata alla forma delineata in rosso. Quando ruota attorno all'asse, si ottiene un tronco di cono. Indichiamo il volume di questo tronco di cono passante.

Considera la forma delineata in verde. Se ruoti questa figura attorno all'asse, otterrai anche un cono troncato, solo un po' più piccolo. Indichiamo il suo volume attraverso.

E, ovviamente, la differenza di volumi è esattamente il volume della nostra "ciambella".

Usiamo la formula standard per trovare il volume di un corpo di rivoluzione:

1) La figura tratteggiata in rosso è delimitata dall'alto da una linea retta, quindi:

2) La sagoma tratteggiata in verde è delimitata dall'alto da una linea retta, quindi:

3) Il volume del corpo di rivoluzione cercato:

Risposta:

È curioso che in questo caso la soluzione possa essere verificata utilizzando la formula scolastica per il calcolo del volume di un cono troncato.

La soluzione stessa viene spesso abbreviata, qualcosa del genere:

Ora riposiamoci un po' e parliamo di illusioni geometriche.

Le persone spesso hanno illusioni associate ai volumi, che Perelman (un altro) ha notato nel libro Geometria interessante... Guarda la figura piatta nel problema risolto: sembra essere piccola nell'area e il volume del corpo di rivoluzione è poco più di 50 unità cubiche, che sembra troppo grande. A proposito, la persona media in tutta la sua vita beve un liquido con un volume di una stanza di 18 metri quadrati, che, al contrario, sembra essere di volume troppo piccolo.

In generale, il sistema educativo in URSS era davvero il migliore. Lo stesso libro di Perelman, pubblicato nel lontano 1950, sviluppa molto bene, come diceva l'umorista, il ragionamento e insegna a cercare soluzioni originali non standard ai problemi. Recentemente ho riletto alcuni capitoli con molto interesse, lo consiglio, è disponibile anche per le discipline umanistiche. No, non c'è bisogno di sorridere che ho offerto un tempo libero, erudizione e una visione ampia nella comunicazione è una grande cosa.

Dopo la digressione lirica, è giusto risolvere il compito creativo:

Esempio 4

Calcola il volume di un corpo formato per rotazione attorno all'asse di una figura piana delimitata da linee, dove.

Questo è un esempio di soluzione fai-da-te. Si prega di notare che tutto avviene nella striscia, in altre parole, vengono effettivamente dati dei limiti di integrazione già pronti. Disegna correttamente i grafici delle funzioni trigonometriche, lascia che ti ricordi il materiale della lezione su trasformazioni geometriche di grafici: se l'argomento è divisibile per due:, i grafici vengono allungati lungo l'asse due volte. È desiderabile trovare almeno 3-4 punti dalle tabelle trigonometriche per completare più accuratamente il disegno. Soluzione completa e risposta alla fine del tutorial. A proposito, il compito può essere risolto razionalmente e non molto razionalmente.

Calcolo del volume di un corpo formato dalla rotazione
una figura piatta attorno a un asse

Il secondo paragrafo sarà ancora più interessante del primo. Anche il compito di calcolare il volume di un corpo di rivoluzione attorno all'asse delle ordinate è un ospite abbastanza frequente nei test. Lungo la strada, sarà considerato il problema di trovare l'area di una figura nel secondo modo: l'integrazione lungo l'asse, questo ti consentirà non solo di migliorare le tue abilità, ma ti insegnerà anche come trovare la soluzione più redditizia. C'è anche un senso pratico della vita in questo! Come ha ricordato con un sorriso la mia insegnante di didattica della matematica, molti laureati l'hanno ringraziata con le parole: "La tua materia ci ha aiutato molto, ora siamo manager efficaci e gestiamo il personale in modo ottimale". Cogliendo l'occasione, le esprimo anche la mia profonda gratitudine, soprattutto perché uso le conoscenze acquisite per lo scopo previsto =).

Lo consiglio a tutti, anche teiere complete, per la lettura. Inoltre, l'assimilazione del materiale nella seconda sezione sarà preziosa nel calcolo degli integrali doppi.

Esempio 5

Ti viene data una figura piatta delimitata da linee,,.

1) Trova l'area di una figura piatta delimitata da queste linee.
2) Trova il volume di un corpo ottenuto ruotando una figura piatta delimitata da queste linee attorno a un asse.

Attenzione! Anche se vuoi leggere solo il secondo paragrafo, prima necessariamente leggi il primo!

Soluzione: L'attività si compone di due parti. Cominciamo dal quadrato.

1) Eseguiamo il disegno:

È facile vedere che la funzione definisce il ramo superiore della parabola e la funzione definisce il ramo inferiore della parabola. Davanti a noi c'è una banale parabola che "sta dalla sua parte".

La cifra richiesta, la cui area deve essere trovata, è ombreggiata in blu.

Come faccio a trovare l'area di una forma? Può essere trovato nel modo "solito", che è stato discusso nella lezione Integrale definito. Come calcolare l'area di una forma... Inoltre, l'area della figura si trova come somma delle aree:
- sul segmento ;
- sul segmento.

Ecco perchè:

Cosa c'è di sbagliato nella solita soluzione in questo caso? Innanzitutto, ci sono due integrali. In secondo luogo, le radici sotto gli integrali, e le radici negli integrali non sono un dono, inoltre ci si può confondere nella sostituzione dei limiti dell'integrazione. In effetti, gli integrali, ovviamente, non sono mortali, ma in pratica tutto può essere molto più triste, ho appena raccolto funzioni migliori per il compito.

C'è un modo più razionale per risolverlo: consiste nel passare alle funzioni inverse e nell'integrare lungo l'asse.

Come si passa alle funzioni inverse? In parole povere, devi esprimere "x" attraverso "gioco". Affrontiamo prima la parabola:

È abbastanza, ma assicuriamoci che la stessa funzione possa essere estratta dal ramo inferiore:

Con una linea retta, tutto è più semplice:

Ora diamo un'occhiata all'asse: per favore, inclina periodicamente la testa a destra di 90 gradi mentre spieghi (non è uno scherzo!). La forma di cui abbiamo bisogno si trova sul segmento indicato dalla linea tratteggiata rossa. In questo caso, sul segmento, la retta si trova sopra la parabola, il che significa che l'area della figura dovrebbe essere trovata usando la formula che già conosci: ... Cosa è cambiato nella formula? Solo una lettera e niente di più.

! Nota: Si devono impostare i limiti di integrazione lungo l'asse rigorosamente dal basso verso l'alto!

Trova la zona:

Sul segmento, quindi:

Fate attenzione a come ho effettuato l'integrazione, questo è il modo più razionale, e nel prossimo paragrafo del compito sarà chiaro il perché.

Per i lettori che hanno dubbi sulla correttezza dell'integrazione, troverò le derivate:

Si ottiene l'integrando originale, il che significa che l'integrazione viene eseguita correttamente.

Risposta:

2) Calcoliamo il volume del corpo formato dalla rotazione di questa figura attorno all'asse.

Ridisegnerò il disegno con un design leggermente diverso:

Quindi, la forma ombreggiata in blu ruota attorno all'asse. Il risultato è una "farfalla in bilico" che ruota attorno al proprio asse.

Per trovare il volume di un corpo di rivoluzione, integreremo lungo l'asse. Per prima cosa devi andare alle funzioni inverse. Questo è già stato fatto e dettagliato nel paragrafo precedente.

Ora incliniamo di nuovo la testa a destra e studiamo la nostra figura. Ovviamente, il volume di un corpo di rivoluzione dovrebbe essere trovato come differenza di volumi.

Ruota la forma delineata in rosso attorno all'asse, ottenendo un cono troncato. Designiamo questo volume attraverso.

Ruota la forma, cerchiata in verde, attorno all'asse e denotala attraverso il volume del corpo di rivoluzione risultante.

Il volume della nostra farfalla è uguale alla differenza di volumi.

Usiamo la formula per trovare il volume di un corpo di rivoluzione:

Qual è la differenza dalla formula del paragrafo precedente? Solo nella lettera.

Ed ecco il vantaggio dell'integrazione di cui ho parlato di recente, molto più facile da trovare che elevare prima l'integrando alla quarta potenza.

Risposta:

Tuttavia, una farfalla malaticcia.

Nota che se ruoti la stessa figura piatta attorno all'asse, ottieni un corpo di rotazione completamente diverso, di volume diverso, ovviamente.

Esempio 6

Ti viene data una figura piatta delimitata da linee e un asse.

1) Vai alle funzioni inverse e trova l'area di una figura piatta delimitata da queste linee integrando su una variabile.
2) Calcolare il volume di un corpo ottenuto ruotando una figura piana delimitata da queste linee attorno ad un asse.

Questo è un esempio di soluzione fai-da-te. Chi è interessato può anche trovare l'area della figura nel modo "consueto", verificando così il punto 1). Ma se, ripeto, ruoti una figura piatta attorno a un asse, otterrai un corpo di rotazione completamente diverso con un volume diverso, tra l'altro, la risposta corretta (anche per coloro a cui piace risolvere).

La soluzione completa dei due punti proposti del compito alla fine della lezione.

Oh, e non dimenticare di inclinare la testa a destra per capire i corpi della rivoluzione e all'interno dell'integrazione!

Il volume di un corpo di rivoluzione può essere calcolato con la formula:

Un numero deve essere sempre presente nella formula prima dell'integrale. È successo così: tutto ciò che ruota nella vita è collegato a questa costante.

Come impostare i limiti di integrazione "a" e "bh", credo, sia facile da indovinare dal disegno completato.

Funzione... cos'è questa funzione? Diamo un'occhiata al disegno. Una figura piatta è delimitata in alto da un grafico a parabola. Questa è la funzione implicita nella formula.

Negli esercizi pratici, a volte una figura piatta può essere posizionata sotto l'asse. Questo non cambia nulla - la funzione nella formula è al quadrato: quindi il volume di un corpo di rivoluzione è sempre non negativo, il che è abbastanza logico.

Calcoliamo il volume del corpo di rivoluzione utilizzando questa formula:

Come ho già notato, l'integrale è quasi sempre semplice, l'importante è stare attenti.

Risposta:

Nella risposta, è necessario indicare la dimensione - unità cubiche. Cioè, nel nostro corpo di rivoluzione ci sono circa 3,35 "cubi". Perché esattamente cubico? unità? Perché la formulazione più universale. Potrebbero esserci centimetri cubi, potrebbero esserci metri cubi, potrebbero esserci chilometri cubi, ecc., ecco quanti omini verdi la tua immaginazione può mettere in un disco volante.

Esempio 2

Trova il volume del corpo formato dalla rotazione attorno all'asse della figura delimitato da linee,

Questo è un esempio di soluzione fai-da-te. Soluzione completa e risposta alla fine del tutorial.

Considera due compiti più complessi che sono anche comuni nella pratica.

Esempio 3

Calcolare il volume del corpo ottenuto ruotando la cifra delimitata dalle linee attorno all'asse delle ascisse, e

Soluzione: Disegna nel disegno una figura piatta delimitata da linee,,,, senza dimenticare che l'equazione imposta l'asse:

La figura desiderata è ombreggiata in blu. Quando lo ruoti attorno all'asse, ottieni una ciambella così surreale con quattro angoli.

Il volume del corpo di rivoluzione si calcola come differenza nei volumi del corpo.

Per prima cosa, diamo un'occhiata alla forma delineata in rosso. Quando ruota attorno all'asse, si ottiene un tronco di cono. Indichiamo il volume di questo tronco di cono passante.

Considera la forma delineata in verde. Se ruoti questa figura attorno all'asse, otterrai anche un cono troncato, solo un po' più piccolo. Indichiamo il suo volume attraverso.

E, ovviamente, la differenza di volumi è esattamente il volume della nostra "ciambella".

Usiamo la formula standard per trovare il volume di un corpo di rivoluzione:

1) La figura tratteggiata in rosso è delimitata dall'alto da una linea retta, quindi:

2) La sagoma tratteggiata in verde è delimitata dall'alto da una linea retta, quindi:

3) Il volume del corpo di rivoluzione cercato:

Risposta:

È curioso che in questo caso la soluzione possa essere verificata utilizzando la formula scolastica per il calcolo del volume di un cono troncato.

La soluzione stessa viene spesso abbreviata, qualcosa del genere:

Ora riposiamoci un po' e parliamo di illusioni geometriche.

Le persone hanno spesso illusioni associate ai volumi, che Perelman (non quello) ha notato nel libro. Geometria interessante... Guarda la figura piatta nel problema risolto: sembra essere piccola nell'area e il volume del corpo di rivoluzione è poco più di 50 unità cubiche, che sembra troppo grande. A proposito, la persona media in tutta la sua vita beve un liquido con un volume di una stanza di 18 metri quadrati, che, al contrario, sembra essere di volume troppo piccolo.

In generale, il sistema educativo in URSS era davvero il migliore. Lo stesso libro di Perelman, scritto da lui nel 1950, sviluppa molto bene, come diceva l'umorista, il ragionamento e insegna a cercare soluzioni originali non standard ai problemi. Recentemente ho riletto alcuni capitoli con molto interesse, lo consiglio, è disponibile anche per le discipline umanistiche. No, non c'è bisogno di sorridere che ho offerto un tempo libero, erudizione e una visione ampia nella comunicazione è una grande cosa.

Dopo la digressione lirica, è giusto risolvere il compito creativo:

Esempio 4

Calcola il volume di un corpo formato per rotazione attorno all'asse di una figura piana delimitata da linee, dove.

Questo è un esempio di soluzione fai-da-te. Tieni presente che tutto avviene nella striscia, in altre parole, sono dati limiti di integrazione quasi preconfezionati. Prova anche a disegnare correttamente i grafici delle funzioni trigonometriche, se l'argomento è divisibile per due:, i grafici vengono allungati lungo l'asse due volte. Prova a trovare almeno 3-4 punti dalle tabelle trigonometriche ed eseguire più accuratamente il disegno. Soluzione completa e risposta alla fine del tutorial. A proposito, il compito può essere risolto razionalmente e non molto razionalmente.

Calcolo del volume di un corpo formato per rotazione
una figura piatta attorno a un asse

Il secondo paragrafo sarà ancora più interessante del primo. Anche il compito di calcolare il volume di un corpo di rivoluzione attorno all'asse delle ordinate è un ospite abbastanza frequente nei test. Lungo la strada, sarà considerato il problema di trovare l'area di una figura nel secondo modo: l'integrazione lungo l'asse, questo ti consentirà non solo di migliorare le tue abilità, ma ti insegnerà anche come trovare la soluzione più redditizia. C'è anche un senso pratico della vita in questo! Come ha ricordato con un sorriso la mia insegnante di didattica della matematica, molti laureati l'hanno ringraziata con le parole: "La tua materia ci ha aiutato molto, ora siamo manager efficaci e gestiamo il personale in modo ottimale". Cogliendo l'occasione, le esprimo anche la mia profonda gratitudine, soprattutto perché uso le conoscenze acquisite per lo scopo previsto =).

Esempio 5

Ti viene data una figura piatta delimitata da linee,,.

1) Trova l'area di una figura piatta delimitata da queste linee.
2) Trova il volume di un corpo ottenuto ruotando una figura piatta delimitata da queste linee attorno a un asse.

Attenzione! Anche se vuoi leggere solo il secondo paragrafo, prima necessariamente leggi il primo!

Soluzione: Il compito ha due parti. Cominciamo dal quadrato.

1) Eseguiamo il disegno:

È facile vedere che la funzione definisce il ramo superiore della parabola e la funzione definisce il ramo inferiore della parabola. Davanti a noi c'è una banale parabola che "sta dalla sua parte".

La cifra richiesta, la cui area deve essere trovata, è ombreggiata in blu.

Come faccio a trovare l'area di una forma? Può essere trovato nel modo "solito", che è stato discusso nella lezione Integrale definito. Come calcolare l'area di una forma... Inoltre, l'area della figura si trova come somma delle aree:
- sul segmento;
- sul segmento.

Ecco perchè:

Cosa c'è di sbagliato nella solita soluzione in questo caso? Innanzitutto, ci sono due integrali. In secondo luogo, le radici sotto gli integrali, e le radici negli integrali non sono un dono, inoltre ci si può confondere nella sostituzione dei limiti dell'integrazione. In effetti, gli integrali, ovviamente, non sono mortali, ma in pratica tutto può essere molto più triste, ho appena raccolto funzioni migliori per il compito.

C'è un modo più razionale per risolverlo: consiste nel passare alle funzioni inverse e nell'integrare lungo l'asse.

Come si passa alle funzioni inverse? In parole povere, devi esprimere "x" attraverso "gioco". Affrontiamo prima la parabola:

È abbastanza, ma assicuriamoci che la stessa funzione possa essere estratta dal ramo inferiore:

Con una linea retta, tutto è più semplice:

Ora diamo un'occhiata all'asse: per favore, inclina periodicamente la testa a destra di 90 gradi mentre spieghi (non è uno scherzo!). La forma di cui abbiamo bisogno si trova sul segmento indicato dalla linea tratteggiata rossa. In questo caso, sul segmento, la linea retta si trova sopra la parabola, il che significa che l'area della figura dovrebbe essere trovata usando la formula che ti è già familiare:. Cosa è cambiato nella formula? Solo una lettera e niente di più.

! Nota: è necessario impostare i limiti di integrazione lungo l'asse rigorosamente dal basso verso l'alto!

Trova la zona:

Sul segmento, quindi:

Fate attenzione a come ho effettuato l'integrazione, questo è il modo più razionale, e nel prossimo paragrafo del compito sarà chiaro il perché.

Per i lettori che hanno dubbi sulla correttezza dell'integrazione, troverò le derivate:

Si ottiene l'integrando originale, il che significa che l'integrazione viene eseguita correttamente.

Risposta:

2) Calcoliamo il volume del corpo formato dalla rotazione di questa figura attorno all'asse.

Ridisegnerò il disegno con un design leggermente diverso:

Quindi, la forma ombreggiata in blu ruota attorno all'asse. Il risultato è una "farfalla in bilico" che ruota attorno al proprio asse.

Per trovare il volume di un corpo di rivoluzione, integreremo lungo l'asse. Per prima cosa devi andare alle funzioni inverse. Questo è già stato fatto e dettagliato nel paragrafo precedente.

Ora incliniamo di nuovo la testa a destra e studiamo la nostra figura. Ovviamente, il volume di un corpo di rivoluzione dovrebbe essere trovato come differenza di volumi.

Ruota la forma delineata in rosso attorno all'asse, ottenendo un cono troncato. Designiamo questo volume attraverso.

Ruota la forma, cerchiata in verde, attorno all'asse e denotala attraverso il volume del corpo di rivoluzione risultante.

Il volume della nostra farfalla è uguale alla differenza di volumi.

Usiamo la formula per trovare il volume di un corpo di rivoluzione:

Qual è la differenza dalla formula del paragrafo precedente? Solo nella lettera.

Ed ecco il vantaggio dell'integrazione, di cui ho parlato di recente, è molto più facile da trovare che elevare prima l'integrando alla quarta potenza.

Risposta:

Tuttavia, una farfalla malaticcia.

Nota che se ruoti la stessa figura piatta attorno all'asse, ottieni un corpo di rotazione completamente diverso, di volume diverso, ovviamente.

Esempio 6

Ti viene data una figura piatta delimitata da linee e un asse.

1) Vai alle funzioni inverse e trova l'area di una figura piatta delimitata da queste linee integrando su una variabile.
2) Calcolare il volume di un corpo ottenuto ruotando una figura piana delimitata da queste linee attorno ad un asse.

Questo è un esempio di soluzione fai-da-te. Chi è interessato può anche trovare l'area della figura nel modo "consueto", verificando così il punto 1). Ma se, ripeto, ruoti una figura piatta attorno a un asse, otterrai un corpo di rotazione completamente diverso con un volume diverso, tra l'altro, la risposta corretta (anche per coloro a cui piace risolvere).

La soluzione completa dei due punti proposti del compito alla fine della lezione.

Oh, e non dimenticare di inclinare la testa a destra per capire i corpi della rivoluzione e all'interno dell'integrazione!

Volevo, lo era già, finire l'articolo, ma oggi hanno portato un esempio interessante solo per trovare il volume di un corpo di rivoluzione attorno all'asse delle ordinate. Appena:

Esempio 7

Calcola il volume del corpo formato dalla rotazione attorno all'asse della figura delimitato dalle curve e. Il ramo sinistro inutilizzato della parabola corrisponde alla funzione inversa - il grafico della funzione si trova sul segmento sopra l'asse;

È logico supporre che il volume del corpo di rivoluzione va cercato già come la somma dei volumi dei corpi di rivoluzione!

Usiamo la formula:

In questo caso:

Risposta:

V il problema di trovare l'area di una figura la sommatoria delle aree viene spesso utilizzata e la sommatoria dei volumi dei corpi di rivoluzione, apparentemente, è una rarità, poiché una tale varietà è quasi uscita dal mio campo visivo. Tuttavia, è positivo che l'esempio considerato sia arrivato in modo tempestivo: siamo riusciti a tirare fuori molte cose utili.

Promozione di figure di successo!

Definizione 3. Un corpo di rivoluzione è un corpo ottenuto ruotando una figura piana attorno ad un asse che non interseca la figura e giace sullo stesso piano con essa.

L'asse di rotazione può anche intersecare la figura se è l'asse di simmetria della figura.

Teorema 2.
, asse
e segmenti di linea
e

ruota attorno ad un asse
... Quindi il volume del corpo di rivoluzione risultante può essere calcolato con la formula

(2)

Prova. Per un tale corpo, la sezione con l'ascissa È un cerchio di raggio
, si intende
e la formula (1) fornisce il risultato richiesto.

Se la figura è limitata dai grafici di due funzioni continue
e
e segmenti di linea
e
, Inoltre
e
, quindi ruotando attorno all'asse delle ascisse otteniamo un corpo il cui volume è

Esempio 3. Calcola il volume di un toro ottenuto ruotando un cerchio delimitato da un cerchio

intorno all'asse delle ascisse.

R soluzione. Il cerchio indicato sotto è delimitato dal grafico della funzione
, e dall'alto -
... Differenza dei quadrati di queste funzioni:

Volume desiderato

(il grafico dell'integrando è il semicerchio superiore, quindi l'integrale scritto sopra è l'area del semicerchio).

Esempio 4. Segmento parabolico con base
e altezza , ruota intorno alla base. Calcolare il volume del corpo risultante (il "limone" di Cavalieri).

R soluzione. Posiziona la parabola come mostrato in figura. Allora la sua equazione
, e
... Trova il valore del parametro :
... Quindi, il volume richiesto:

Teorema 3. Sia un trapezio curvilineo delimitato dal grafico di una funzione continua non negativa
, asse
e segmenti di linea
e
, Inoltre
, ruota attorno all'asse
... Quindi il volume del corpo di rivoluzione risultante può essere trovato dalla formula

(3)

L'idea della prova. Dividiamo il segmento
punti

, in parti e disegna linee rette
... L'intero trapezio si decomporrà in strisce, che possono essere considerate approssimativamente rettangoli con una base
e altezza
.

Il cilindro risultante dalla rotazione di tale rettangolo viene tagliato lungo la generatrice ed espanso. Otteniamo un "quasi" parallelepipedo con dimensioni:
,
e
... Il suo volume
... Quindi, per il volume di un corpo di rivoluzione avremo un'uguaglianza approssimata

Per ottenere l'esatta uguaglianza si deve passare al limite a
... La somma scritta sopra è la somma integrale per la funzione
, quindi, al limite, otteniamo l'integrale dalla formula (3). Il teorema è dimostrato.

Osservazione 1. Nei Teoremi 2 e 3, la condizione
si può omettere: la formula (2) è generalmente insensibile al segno
, e nella formula (3) è sufficiente
sostituito da
.

Esempio 5. Segmento parabolico (base
, altezza ) ruota intorno all'altezza. Trova il volume del corpo risultante.

Soluzione. Posiziona la parabola come mostrato in figura. E sebbene l'asse di rotazione attraversi la figura, esso - l'asse - è l'asse di simmetria. Pertanto, dovrebbe essere considerata solo la metà destra del segmento. Equazione della parabola
, e
, si intende
... Abbiamo per il volume:

Osservazione 2. Se il confine curvilineo di un trapezio curvo è dato da equazioni parametriche
,
,
e
,
quindi le formule (2) e (3) possono essere utilizzate con la sostituzione Su
e
Su
quando cambia T a partire dal
prima .

Esempio 6. La figura è delimitata dal primo arco della cicloide
,
,
, e l'ascissa. Trova il volume del corpo ottenuto ruotando questa figura attorno: 1) all'asse
; 2) assi
.

Soluzione. 1) Formula generale
Nel nostro caso:

2) Formula generale
Per la nostra figura:

Invitiamo gli studenti a eseguire tutti i calcoli da soli.

Nota 3. Sia il settore curvo delimitato da una linea continua
e raggi
,

, ruota attorno all'asse polare. Il volume del corpo risultante può essere calcolato utilizzando la formula.

Esempio 7. Parte della figura limitata dal cardioide
fuori dal cerchio
, ruota attorno all'asse polare. Trova il volume del corpo, che si ottiene in questo caso.

Soluzione. Entrambe le linee, e quindi la forma che legano, sono simmetriche rispetto all'asse polare. Pertanto, è necessario considerare solo la parte per la quale
... Le curve si intersecano a
e

a
... Inoltre, la cifra può essere considerata come la differenza tra due settori, e quindi il volume può essere calcolato come la differenza tra due integrali. Abbiamo:

Compiti per una soluzione indipendente.

1. Un segmento circolare, la cui base
, altezza , ruota intorno alla base. Trova il volume di un corpo di rivoluzione.

2. Trova il volume di un paraboloide di rivoluzione, la cui base e l'altezza è .

3. La figura limitata dall'astroide
,
ruota intorno all'asse delle ascisse. Trova il volume del corpo che si ottiene in questo caso.

4. Una figura delimitata da linee
e
ruota intorno all'asse delle ascisse. Trova il volume di un corpo di rivoluzione.