Numeri razionali: definizioni, esempi. Elementi di logica matematica e Analisi del ragionamento mediante l'algebra dei predicati

10 - Logica matematica e) xy → x ∨ x (y ∨ z); a) * xy ∨ xz; j) (x | y) → (x | z); b) x ~ y; l) (x ∨ y) (x ∨ z) ∨ xy; c) * xy; m) (x ∨ y) x ∨ z; d) xyz; e) x (y ∨ z) → (xy ∨ z); n) (x ↓ y) ~ (x ⊕ y); o) (x ~ y) ~ (x ~ z); g) (x ⊕ y → c) ↓ c; n) (x ~ y) ⊕ (x ~ z); h) * x → (y → x); p) (x ∨ y) (x ∨ z) (x ∨ w). 17. Ottieni SDNF, quindi vai a SKNF: b) * (x → y) → (y → x); 18. * Sia data una funzione f (asserzione complessa) di tre argomenti (asserzioni elementari) x, y, z e f (x, y, z) = x. Costruisci SDNF per la funzione data. 19. Ottieni SKNF, quindi vai a SDNF: d) * (x | y) xy; 20. Ottieni il MDNF per le formule: a) * ((x ⊕ y) ~ z) → x; b) * ((1 ⊕ xy) ⊕ xz) ∨ (z → y); c) * (x ⊕ y) → z ∨ y; d) * ((LA → SI) ~ (DO ~ RE)) ∨ SI → LA ⋅ (DO ~ RE); e) * (A B ∨ C ∨ D) (A ∨ B ∨ C ∨ D); f) * x ∨ yz ∨ xz; g) * (x → y) → z ∨ x; h) * xy ∨ xy ∨ xz; 22. * Dai contatti x, y, z fare un circuito in modo che si chiuda se e solo se due dei tre contatti x, y, z sono chiusi. 24. * Semplificare i diagrammi di Fig. 1, a e b. a) b) Fig. 1 - 11 - Logica matematica 25. * Annotare in linguaggio predicativo: a) tutti gli studenti studiano; b) alcuni studenti sono ottimi studenti; c) per qualsiasi numero, puoi trovare un numero maggiore; d) x + y = z; e) ogni oggetto ha la proprietà A; f) qualcosa ha la proprietà A; g) qualsiasi oggetto non possiede la proprietà A; h) qualcosa non ha la proprietà A; i) ogni numero razionale è un numero reale; j) alcuni numeri reali sono razionali; k) nessun numero razionale è reale; l) alcuni numeri razionali non sono reali. 26. * Cerca di spiegare perché negli esercizi 25a e 25i è stata usata l'implicazione e negli esercizi 25b e 25k la congiunzione. 27. * Scrivere nella lingua dei predicati: a) è vietato l'ingresso ai minori di 16 anni (D (x)) ea un robot (R (x)) (B (x)); b) tutti i minori di 16 anni (D (x)) e un robot (R (x)) devono ottenere un certificato (C (x)). 28. * Scrivi nel linguaggio dei predicati: a) ogni N divisibile per 12 è divisibile per 2, 4 e 6; b) ogni studente ha svolto almeno un lavoro di laboratorio; c) una sola retta passa per due punti diversi. 29. Scrivi nel linguaggio predicato: e) * ogni studente (C (x)) - atleta (S (x)) ha un idolo (y) (B (x, y)) tra gli attori cinematografici (K (y)) ; f) * se alcuni computer mainframe (B (x)) sono collegati (C (x, y)) con un altro mainframe (B (y)), allora non c'è minicomputer (M (x)) che abbia mezzi di interfaccia ( S(x)); trenta. * A quali condizioni: a) ∀x P (x) ≡ ∃x P (x); b) x P (x) ≡ O, a ∀x P (x) ≡ 1; 33. * Questo è ora un classico esempio che illustra le ulteriori complessità associate alla negazione: è noto che la frase “L'attuale re di Francia è calvo” non è vera. Come scriverlo nel linguaggio dei predicati. SOLUZIONI E RISPOSTE. - 12 - Logica matematica 1a. Scegliamo le affermazioni elementari in modo di servizio: A - lo studente è un grande studente; B - lo studente è impegnato nel lavoro sociale; C - lo studente ha delle violazioni; D - lo studente riceve una borsa di studio. Allora la forma simbolica di un'affermazione complessa avrà la forma A ⋅B⋅C → D. 1b. La notazione simbolica può essere: П⋅З → С⋅Р → P. () 3. Nella logica delle affermazioni, le affermazioni del tipo "Non è vero che Petya è andato al college" dovrebbero essere considerate corrette, poiché le affermazioni non lo sono divisibile. 8. A ∨ B ≡ A → B ≡ (A → B) → B, A & B ≡ A → B. 11.a ABC ∨ A BC ∨ ABC ∨ ABC o uguale, ma in una forma più semplice AB ∨ AC ∨ BC. 11b. А В ∨ ВС ∨ АС. 13a. xyz. 13c. La formula è già in DNF. Come mai? 14a. (x ∨ z) (y ∨ z). 14b. La formula è già nel CNF. Come mai? 15a. xyz ∨ x yz ∨ xyz ∨ xyz. 15b. xyz ∨ xyz ∨ x yz ∨ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ xyz. 15d. xy ∨ x y ∨ xy ∨ x y (≡ 1). 16a. () () () xy ∨ xy ≡ xy ∨ x (xy ∨ z) ≠ x ∨ xx ∨ y (x ∨ z) (y ∨ z) ≡ (x ∨ y ∨ zz) (x ∨ z ∨ yy) ( y ∨ z ∨ xx) ≡ (x ∨ y ∨ z) (x ∨ y ∨ z) (x ∨ y ∨ z) (x ∨ y ∨ z). 16c. (x ∨ y) (x ∨ z) (x ∨ y). 16h. SKNF è assente, perché è una tautologia. - 13 - Logica matematica 17b. Questa è una tautologia, quindi non c'è SKNF per questo. 18.xyz xy z ∨ x yz ∨ x yz. 19 g. Questa è una contraddizione, quindi non c'è SKNF per questo. 20a. ((x ⊕ y) ~ z) → x ≡ (x ⊕ y) z ∨ (x ⊕ y) z ∨ x ≡ () (x ⊕ y) z ⋅ (x ⊕ y) z ∨ x ≡ (x ⊕ y ∨ z) x ⊕ y ∨ z ∨ x ≡ (xy ∨ xy ∨ z) (xy ∨ xy ∨ z) ∨ x ≡ xyz ∨ x yz ∨ xy z ∨ xyz ∨ x yz ∨ xy z - SDNF x ∨ yz ∨ yz - SKDNF e MDNF. 20b. ((1 ⊕ xy) ⊕ xz) ∨ (z → y) ≡ (xy ⊕ xz) ∨ yz ≡ xyxz ∨ xy xz ∨ yz ≡ () () xyz ∨ x ∨ yx ∨ z ∨ yz ≡ xyz ∨ x ∨ yz yz ≡ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ xyz ∨ xyz ∨ xyz ∨ x yz - SDNF x ∨ y ∨ z - MDNF. 20c. xyz ∨ xyz ∨ x yz ∨ x yz ∨ x yz - SDNF xy ∨ x y ∨ yz - MDNF. 20 g. A BCD ∨ A BCD ∨ ABCD ∨ A BCD ∨ ABCD ∨ A BCD ∨ ABCD ∨ ABCD ∨ A BCD ∨ A BCD - SKNF A B ∨ CD ∨ CD - MDNF. 20d. A∨C∨ D. 20s. x∨z. 20 g. x∨z. 20h. xy ∨ x y ∨ xz o xy ∨ x y ∨ yz. 21c. xy ∨ xz. 21 g. 1. 22. Vedi fig. 2. - 14 - Logica matematica Fig. 2 23a. Vedi fig. 3. a) b) Fig. 3 23. Gli schemi semplificati saranno quelli mostrati in fig. 4.a) b) Fig. 4 25a. x (C (x) → Y (x)), dove C (x) è "x è uno studente" e Y (x) è "x è uno studente". 25b. x (C (x) e O (x)). 25c. Scriviamo il doppio predicato nella forma di una relazione ordinaria: ∀х ∃y (x< y) . 25г. Запишем в виде трехместного предиката: ∀x,y ∃z S(x,y,z) . Предикат S принимает значение “истинно”, когда x + y = z , и «ложь» в противном случае. При навешивании соответствующих кванто- ров поучается утверждение о том, что для любых x и y существует сумма. 25д. ∀x A(x). 25e. ∃x A(x). 25ж. ∀x ¬ A(x). 25з. ∃x ¬ A(x). - 15 - Математическая логика 25и. ∀x (Q(x) →R(x)). 25к. ∃x (Q(x) & R(x)) 25л. ∀x (Q(x) → ¬ R(x)). 25м. ∃x (Q(x) & ¬ R(x)). 26. В теоретико-множественной интерпретации обычно импликация соот- ветствует включению, а конъюнкция - пересечению. Например, ∀х (Q(x) → R(x)). Справедливо, поскольку Q ⊆ R ; а ∃x (Q(x) & R(x)) справедливо, поскольку Q ∩ R не пусто. Ошибкой было бы 25к запи- сать как ∃x (R(x) →Q(x)), поскольку это равносильно ∃x (¬R(x) ∨ Q(x)), а это высказывание будет истинным для любого х, не являющимся дей- ствительным числом. 27. Здесь несколько перефразированы упражнения известного логика С.Клини, который предлагает следующие решения: а) ¬∃x ((D(x) ∨ R(x)) & B(x) , что равносильно ∀x ((Dx) ∨ R(x)) → ¬ B(x)) ; б) ошибкой была бы запись ∀x (D(x) & R(x) → C(x)) , так как D(x) & R(x) – пусто. Правильным решением будет ∀x (D(x) → C(x)) & ∀x (R(x) → C(x)) или ∀x (D(x) ∨ R(x) → C(x)) . 28a. ∀x (А(х) → Д(х) & Ч(х) & Ш(х)). 28б. ∀x ∃y B(x,y) . 28в. ∀x,y (¬(x=y) → ∃p ((x∈p) & (y∈p) & ∀q ((x∈q) & (y∈q) → (p=q)) . 29д. ∀x (C(x) & S(x)) → ∃y (B(x,y) & K(y)) . 29е. ∃x Б(х) & ∀y (C(x,y) → Б(y)) → ¬ ∃x (M(x) & S(x)) . 30а. Когда х определён на предметной области из одного элемента. 30б. Когда предметная область пуста (но здесь можно и возразить). 31. Отрицаниями будут предложения в и г. Ответ можно получить фор- мально, если для предиката ∀х ∃y B(x,y) взять отрицание и совершить равносильное преобразования: ¬∀x ∃y B(x,y)≡∃x ¬∃y B(x,y)≡∃x ∀y ¬B(x,y) 32. Само исходное предложение на языке предикатов запишется как: ∃x K(x) & ∀x (K(x)→Л(х)) . В литературе обычно не обсуждается вариант «огульного» отрицания, т.е. ¬(∃x K(x) & ∀x (Kx)→Л(х)) , поскольку здесь следовало уточнить, что всё таки отрицается: факт лысости короля или факт существования короля во Франции. В связи с этим предлагается два варианта отрицания: - 16 - Математическая логика ∃х К(х) & ∀x (K(x) → ¬ Л(х)) ; ¬ ∃х К(х) & ∀x (K(x) → Л(х)) . СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 1. Клини С. Математическая логика. – М. : Мир, 1973, с. 11 – 126. 2. Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. – М. : Просве- щение, 1968, с. 71 – 93, 108 – 132. 3. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. – М. : МГУ, 1982, с. 1 – 95. 4. Гильберг Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. – М. : Наука, т. 1, с. 23 – 45, 74 – 141. 5. Новиков П.С. Элементы математической логики. – М. : Наука, 1973, с 36 – 65, 123 – 135. 6. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. – М. : Наука, 1972.

Compiti pratici per la sezione 3

Il concetto di predicato e le operazioni su di esso.

3.1. Quali delle seguenti espressioni sono predicati:

un) " NSè divisibile per 5 "( NS Î n);

b) "Fiume NS sfocia nel lago Baikal "( NS attraversa molti nomi di tutti i tipi di fiumi);

v)" x2 + 2NS+ 4 "( NSÎ R) ;

G) "( NS + a)2 = x2 + 2NSsì + sì 2 "( X, sìÎ R);

e)" NS avere un fratello a» ( x, y molte persone attraversano);

F) " NS e a» ( X, a attraversano molti di tutti gli studenti di questo gruppo);

G) " NS e a sdraiarsi sui lati opposti di z» ( X, a percorrere l'insieme di tutti i punti, e z - tutte le linee dello stesso piano);

h) "ctg 45° = 1";

e) " NS perpendicolare a» ( NS, a percorre l'insieme di tutte le rette dello stesso piano).

3.2. Per ciascuna delle seguenti affermazioni, trova un predicato (singolo o multiplo) che si trasforma in un'istruzione data quando le variabili soggetto vengono sostituite con valori appropriati dai campi corrispondenti:

a) "3 + 4 = 7";

b) "Fede e Speranza sono sorelle";

c) "Oggi è martedì";

d) “La città di Saratov si trova sulle rive del fiume Volga;

e) "peccato 30° = 1/2";

f) “- il grande poeta russo”;

g) “32 + 42 = 52;

h) "Il fiume Indigirka sfocia nel lago Baikal";

Avendo costruito un tale predicato, prova a indicare con precisione la sua area di verità o in qualche modo a delinearla.

Soluzione. i) Si possono specificare tre predicati, ognuno dei quali si trasforma in una data affermazione con l'opportuna sostituzione. Il primo predicato è singolo:

"Https://pandia.ru/text/78/081/images/image003_46.png" larghezza = "181" altezza = "48">. Si trasforma in una data affermazione quando viene sostituita. L'affermazione risultante è vera. value non esaurisce l'insieme la verità del predicato costruito. Come è facile stabilire, questo insieme è il seguente: ... Anche il secondo predicato è singolo: "" (sìÎ R)... Si trasforma in una data affermazione quando viene sostituito y = 1. È chiaro che questo valore esaurisce l'insieme di verità di questo predicato..png "width =" 240 "height =" 48 ">. Si trasforma in questa affermazione quando viene sostituito, a= 1. Il suo campo di verità è un insieme di coppie ordinate, la cui totalità è rappresentata graficamente come un'infinita famiglia di curve chiamate tangenoidi.

3.3. Leggi le seguenti affermazioni e determina quali di esse sono vere e quali sono false, assumendo che tutte le variabili passino attraverso un insieme di numeri reali:

a) https://pandia.ru/text/78/081/images/image010_35.png "width =" 135 "height =" 21 src = ">

c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image012_34.png "width =" 136 "height =" 21 src = ">

e) https://pandia.ru/text/78/081/images/image014_28.png "width =" 232 "height =" 24 src = ">

g) https://pandia.ru/text/78/081/images/image016_23.png "width =" 204 "height =" 24 src = ">

i) https://pandia.ru/text/78/081/images/image018_18.png "width =" 201 "height =" 24 src = ">

k) https://pandia.ru/text/78/081/images/image020_17.png "width =" 101 height = 21 "height =" 21 ">" relativo alla variabile X che attraversa l'insieme R. Si dice che nella ricezione di un'espressione, la variabile aè legato e la variabile NS gratuito. Invece di una variabile a non possiamo più sostituire nulla, mentre invece di NS i numeri reali possono essere sostituiti, di conseguenza, un singolo predicato si trasformerà in istruzioni. Ad esempio, la dichiarazione " "Si può leggere così:" C'è un numero reale a, tale che NS) ($ a) ( NS+ a= 7) "è vero. Può essere letto come segue: "Per ogni numero reale esiste un tale numero reale, la cui somma con il primo è uguale a 7". Nell'espressione "(" NS) ($ a) ( NS+ a= 7) ”non ci sono variabili libere. Entrambe le variabili NS e a stanno sotto i segni dei quantificatori e sono quindi correlati. L'espressione stessa non è più un predicato, è un'affermazione, vera, come abbiamo stabilito. Tuttavia, se vogliamo, quindi, sviluppando il concetto di predicato, possiamo assumere che un'istruzione sia un predicato a 0 posti, cioè un predicato senza variabili. Ma dobbiamo essere consapevoli che una transizione quantitativa da un predicato unario a un predicato 0-posto porta a un salto di qualità, così che un predicato 0-posto è un oggetto qualitativamente diverso dal predicato un posto, sebbene sia condizionatamente sussunto da noi sotto il concetto di "predicato".

b) La dichiarazione "($ y) (" NS)(NS+ a= 7) "può essere letto come segue:" Esiste un tale numero reale che, aggiunto a qualsiasi numero reale, aggiunge fino a 7 ". Non è difficile vedere che questa affermazione è falsa. Infatti, si consideri il predicato monoposto "(" NS)(NS+ a= 7) "rispetto alla variabile si, l'applicazione a cui il quantificatore esistenziale è l'affermazione data. È chiaro che non importa quale numero reale viene sostituito per la variabile soggetto si, Per esempio "(" NS)(NS+ 4 = 7) ”, il predicato si trasformerà in una falsa dichiarazione. (Il detto "(" NS)(NS+ 4 = 7) "è falso, poiché il predicato unario" ( NS+ 4 = 7) "si trasforma in un'affermazione falsa, ad esempio, quando si sostituisce al posto di una variabile NS numero 5.) Pertanto, l'istruzione "($ y) (" NS)(NS+ a= 7)", che si ricava dal predicato unario" (" NS)(NS+ a= 7) "usando l'operazione di prendere il quantificatore esistenziale per si, falso.

i) Questa affermazione può essere letta così: "Qualsiasi numero reale è uguale a se stesso se e solo se è maggiore di 1 o minore di 2." Per scoprire se questa affermazione è vera o falsa, proveremo a cercare un numero così reale x0, che trasformerebbe il predicato unario

in una falsa dichiarazione. Se riusciamo a trovare un tale numero, allora l'affermazione data, che si ottiene da questo predicato "sospendendo" (cioè usando l'operazione di prendere) il quantificatore di generalità, è falsa. Se arriviamo a una contraddizione, assumendo ciò che è x0 esiste, allora l'affermazione è vera.

È chiaro che il predicato “ x = x"Si trasforma in un'affermazione vera quando viene sostituita al posto di NS qualsiasi numero reale, cioè è identicamente vero. La domanda è: è possibile indicare un numero reale che trasformerebbe il predicato" "In una falsa dichiarazione? No, perché qualunque sia il numero reale che prendiamo, o è maggiore di 1 o minore di 2 (o contemporaneamente maggiore di 1 e minore di 2, cosa che non è affatto vietata nel nostro caso). Pertanto, il predicato " »È identicamente vero. Allora il predicato

E questo significa che la dichiarazione data

dalla definizione dell'operazione di prendere un quantificatore comunitario è vero.

3.4. Siano P (x) e Q (x) predicati unari definiti sull'insieme M tali che l'istruzione https://pandia.ru/text/78/081/images/image027_14.png "width =" 63 height = 23 " altezza =" 23 "> è falso.

3.5. Determina se uno dei predicati dati sull'insieme dei numeri reali è una conseguenza dell'altro:

a) «| x |< - 3», « x2 - 3x + 2 = 0 »;

b) "x4 = 16", "x2 = - 2";

c) "x - 1> 0", "(x - 2) (x + 5) = 0";

d) "peccato x = 3", "x2 + 5 = 0";

e) "x2 + 5x - 6> 0", "x + 1 = 1 + x";

f) "x2 £ 0", "x = sin p";

g) "x3 - 2x2 - 5h + 6 = 0", "| x - 2 | = 1".

Soluzione. g) Il secondo predicato si trasforma in un'affermazione vera solo con due sostituzioni: x = 1 e x = 3. È facile verificare che queste sostituzioni trasformano anche il primo predicato in un'affermazione vera (sono le radici dell'equazione cubica data ). Pertanto, il primo predicato è una conseguenza del secondo.

3.6. Specificare l'insieme M di valori della variabile soggetto in modo che su questo insieme il secondo predicato sia una conseguenza del primo:

un) " NS multiplo di 3 "," NS anche ";

B) " X 2 = 1 "," X-1 = 0 ";

v)" X strano "," NS- quadrato del numero naturale";

G) " X- rombo "," X- parallelogramma ";

e)" X- parallelogramma "," X- rombo";

F) " X- Scienziato russo "," X- matematico";

G) " X- quadrato", " X- parallelogramma”.

Soluzione. g) Poiché ogni quadrato è un parallelogramma, l'insieme di tutti i quadrangoli può essere assunto come l'insieme su cui il secondo predicato è conseguenza del primo.

3.7. Dimostrare che la congiunzione di un predicato identicamente vero con qualsiasi altro predicato che dipende dalle stesse variabili è equivalente a quest'ultimo.

3.8. Dimostrare che l'implicazione di due predicati dipendenti dalle stesse variabili con una conseguenza identicamente falsa equivale a negare la sua premessa.

RECORD NELLA LINGUA DELL'ALGEBRA DEI PREDICATI

e Analisi del ragionamento mediante l'algebra dei predicati

Esempio 1... Cosa significa l'affermazione "Le linee aeb non sono parallele"?

Per rivelare il significato della formula Ø (a || b), è necessario trovare la negazione della formula $ a (a Ì a & b Ì a) & (a Ç b = Æ Ú a = b). Abbiamo Ø (a || b) = Ø ($ a (a Ì a & b Ì a) & (a Ç b = Æ Ú a = b)) = Ø $ a (a Ì a & b Ì a) Ú Ø (a Ç b = Æ Ú a = b)) = Ø $ a (a Ì a & b Ì a) Ú a Ç b ¹ Æ & a ¹ b.

Ma la formula Ø $ a (a Ì a & b Ì a), che significa in russo "Non esiste un piano contenente entrambe le linee a e b", trasmette il rapporto tra le linee che si incrociano e la formula a Ç b ¹ Æ & a ¹ b, tradotto in russo con la frase "Le linee aeb hanno punti comuni, ma non coincidono", esprime la relazione di intersezione delle linee rette.

Pertanto, il non parallelismo delle linee rette significa la loro intersezione o incrocio. Esempio 2... Annota nel linguaggio dell'algebra dei predicati i cosiddetti "giudizi categorici aristotelici" spesso usati nel ragionamento: "Tutti S l'essenza R", "Alcuni S l'essenza R"," Nessuno S non è il punto R", "Alcuni S non è il punto R».

Il record è riportato in tabella. 1.1. La prima colonna di questa tabella indica il tipo di giudizio che nasce quando si classificano i giudizi categorici secondo un criterio complesso, tenendo conto della quantità (giudizi generali e particolari), espressa nella formulazione dalle parole quantificatori "tutti", "alcuni" , e qualità (giudizi affermativi e negativi), che trasmessi dai fasci "essenza", "non essenza", "è".

La seconda colonna fornisce la formulazione verbale standard dei giudizi nella logica tradizionale, e la quinta - la loro notazione nel linguaggio dell'algebra dei predicati, mentre S (x) deve essere inteso come "x ha la proprietà S", un P (x)- come "x ha la proprietà R».

La quarta colonna mostra la relazione tra i volumi Vs e VР dei concetti S e R, se le sentenze sono intese nella forma più generale, quando forniscono informazioni esaurienti solo sull'oggetto. Ad esempio, dalla sentenza “All S l'essenza R»È chiaro che stiamo parlando di tutti S, lo scope del predicato non è definito: stiamo parlando di tutti gli oggetti che hanno la proprietà P, o solo alcuni; solo se S l'essenza P, o altri oggetti sono anche R... A volte questa ambiguità sulla portata del predicato R rimuove il contesto, a volte questa eliminazione non è richiesta. Per enfatizzare il rapporto tra il volume VР e il volume Vs, utilizzare la formulazione più specifica “All S e non solo S l'essenza R"o tutto S e solo loro lo sono R". La seconda formulazione è chiamata generico giudizio affermativo. Al primo giudizio risponde il diagramma di Venn mostrato in Fig. 1, a, il secondo, in Fig. 1, b. Detto questo, la sentenza “Alcuni S l'essenza R"È generalmente inteso come" Some S e non solo lo sono R», che corrisponde al diagramma di Fig. 2, a, ma può anche significare “Alcuni” S e solo loro lo sono S"(Fig. 2, b). Il giudizio "All S non è il punto R», Inteso in termini generali, corrisponde allo schema di Fig. 3, a. Lo stesso giudizio nella forma distintiva “All S e solo loro non lo sono R”Risponde allo schema di fig. 3, B. Questa formulazione è coerente con la descrizione della relazione tra concetti contrastanti , cioè quelli i cui volumi non si intersecano ed esauriscono il volume di un concetto generico più generale. Infine, la sentenza “Alcuni S non mangiare R»In forma generale corrisponde allo schema di fig. 4, a, e nella forma evidenziata "Alcuni" S e solo loro non lo sono R»- diagramma in fig. 4, B. Tabella 3.1

Tipo di giudizio	Scrivere nella logica tradizionale delle formulazioni verbali	Scrivere nel linguaggio dell'algebra dei predicati	Il rapporto tra i volumi Vs e VR
Generalmente affermativo	Tutto quanto S l'essenza P		Fig. 1
Parzialmente affermativo	Alcuni S l'essenza R		Riso. 2
Generalmente negativo	Nessuno S non è il punto R
spesso negativo	Alcuni S non è il punto R		Fig. 4

Esempio 3... Analizza il ragionamento “Tutte le persone sono mortali; Socrate è un uomo; perciò Socrate è mortale». La prima premessa del ragionamento è un giudizio generalmente affermativo (vedi esempio 2). Introduciamo la notazione: H (x): x - persona; C (x): x - mortale; c - Socrate.

Struttura del ragionamento:

"x (H (x) ÞC (x)), H (s) ├ C (s). (3.1)

Lascia che la seguente (3.1) fallisca. Allora in qualche dominio Do deve esistere un insieme (a, li (x), lj (x)) per (c, H (x), C (x)), in base al quale saranno soddisfatte le seguenti condizioni:

"x (li (x) Þ lj (x)) = И; li (a) = И; lj (a) = L.

Ma allora l'implicazione li (a) Þ lj (a) ha valore A, e quindi, per la definizione del quantificatore generale, "x (li (x) Þ lj (x)) = A, che contraddice la prima condizione Quindi, il Corollario 2.8 è vero, e il ragionamento originale è corretto.

Esempio 4... Analizza il ragionamento: “Qualsiasi squadra di hockey che può battere il CSKA è una squadra di major league. Nessuna squadra della Major League può battere il CSKA. Quindi il CSKA è invincibile".

Sulle designazioni: P (x): la squadra x può battere il CSKA; B (x): squadra della Major League x.

Struttura del ragionamento:

"x (P (x) Þ B (x))," x (B (x) Þ ØP (x)) ├ Ø $ xP (x).

Stabiliamo se la conseguenza ottenuta è corretta utilizzando il metodo delle trasformazioni equivalenti. Usando il corollario b) della generalizzazione della Proposizione 1.10, trasformiamo la formula "x (P (x) Þ B (x)) &" x (B (x) Þ tP (x)) Þ t $ xP (x).

Abbiamo: "x (P (x) Þ B (x)) &" x (B (x) Þ ØP (x)) Þ Ø $ xP (x) = "x ((P (x) Þ B (x) ) ) & (B (x) Þ ØP (x))) Þ Ø $ xP (x) = Ø ("x ((ØP (x) Ú B (x)) & (ØB (x) Ú ØP (x)) ) ) & $ xP (x)) =

= Ø ("x (ØP (x) Ú (B (x) & ØB (x)))) e $ xP (x) = ØL = I.

In queste formazioni equivalenti, la proprietà di congiunzione A & ØA = A è stata utilizzata due volte e la proprietà di disgiunzione A Ú A = A è stata utilizzata una volta.

Pertanto, la formula originale è generalmente valida, il che significa che il ragionamento è corretto.

Esempio 5... Analizza il ragionamento: “Se qualsiasi squadra potesse battere il CSKA, allora potrebbe farlo anche qualche squadra della Major League. La Dynamo Minsk è una squadra della Major League e non può battere il CSKA. Quindi il CSKA è invincibile".

Legenda: P (x): la squadra x può battere il CSKA; B (x): squadra x della massima serie; d - Dinamo (Minsk).

Struttura del ragionamento:

"NS NS( NS) Þ $ NS(V( NS)& NS( NS)), B (d) & ØP (d) ├ Ø $ NS NS( NS). (3.2)

Commento. Nel formalizzare il ragionamento, va tenuto presente che nel linguaggio naturale, al fine di evitare ripetizioni frequenti delle stesse parole o frasi, sono ampiamente utilizzate frasi sinonimiche. È chiaro che una volta tradotti, devono essere veicolati dalla stessa formula. Nel nostro esempio, tali sinonimi sono i predicati “comando NS può battere il CSKA "e" squadra NS può vincere il CSKA", ed entrambi sono veicolati dalla formula P ( NS).

La seguente (3.2) non è corretta. Per dimostrarlo, è sufficiente indicare almeno un'interpretazione delle formule che esprimono le premesse e la conclusione, in cui le premesse assumeranno il valore E, e la conclusione - il valore L. Tale interpretazione, ad esempio, è il seguente: D = (1, 2, 3, 4) ... In questa interpretazione, abbiamo, dopo i calcoli,

I Þ I, I & ØL ├ ØI, oppure I, I ├ L.

Quindi, in questa interpretazione, entrambe le premesse hanno il significato di I, e la conclusione ha il significato di L. Ciò significa che la (3.2) seguente è sbagliata, e il ragionamento è sbagliato.

3.9. Introducendo opportuni predicati unari sui domini corrispondenti, tradurre le seguenti affermazioni nel linguaggio dell'algebra dei predicati:

a) Tutti i numeri razionali sono reali.

b) Nessun numero razionale è reale.

c) Alcuni numeri razionali sono reali.

d) Alcuni numeri razionali non sono reali.

Soluzione. Introduciamo i seguenti predicati unari

Q(x): « NS- un numero razionale";

R (x): « NS- numero reale ".

Quindi la traduzione delle affermazioni di cui sopra nel linguaggio dell'algebra dei predicati sarà la seguente:

a) https://pandia.ru/text/78/081/images/image038_14.png "width =" 144 "height =" 21 src = ">

c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image040_13.png "width =" 137 "height =" 21 src = ">

3.10. Immettere predicati unari sui domini corrispondenti e utilizzarli per scrivere le seguenti istruzioni sotto forma di formule di algebra dei predicati:

a) Ogni numero naturale divisibile per 12 è divisibile per 2, 4 e 6.

b) I residenti in Svizzera parlano necessariamente francese, italiano o tedesco.

c) Una funzione continua su un segmento conserva il segno o assume valore zero.

d) Alcuni serpenti sono velenosi.

e) Tutti i cani hanno un buon senso dell'olfatto.

3.11. Negli esempi seguenti, fai lo stesso del problema precedente, non limitandoti necessariamente ai predicati unari:

a) Se a è radice di un polinomio in una variabile a coefficienti reali, allora anche radice di questo polinomio.

b) Tra due punti qualsiasi su una retta c'è almeno un punto che non coincide con essi.

c) Una sola retta passa per due punti diversi.

d) Ogni studente ha completato almeno un lavoro di laboratorio.

e) Se il prodotto dei numeri naturali è divisibile per un numero primo, allora almeno uno dei fattori è divisibile per esso.

f) Un solo piano passa per tre punti che non giacciono su una retta.

g) Massimo comun divisore di numeri un e B divisibile per qualsiasi comun divisore.

h) Per ogni numero reale NS c'è così a cosa per tutti? z se la somma z e 1 in meno a, quindi la somma NS e 2 è minore di 4.

e) NS- Numero primo.

j) Ogni numero pari maggiore di quattro è la somma di due numeri primi (congettura di Goldbach).

3.12. Scrivi le seguenti affermazioni nel linguaggio dell'algebra dei predicati:

a) Ce n'è esattamente uno NS tale che P (x).

b) Ce ne sono almeno due differenti NS tale che P (x).

c) Non sono più di due NS tale che P(x).

d) Ce ne sono esattamente due differenti NS tale che P(x).

3.13. Cosa si può dire dell'insieme M se per qualsiasi predicato B(x) l'affermazione è vera sull'insieme M?

3.14. lascia stare P (x) si intende " X- Numero primo", E (x) si intende " NS- numero pari", Oh) - « NSè un numero dispari ", D ( X,sì) - « NS divide a" o " a diviso per NS". Tradurre in russo le seguenti notazioni simboliche nel linguaggio dell'algebra dei predicati, tenendo conto che le variabili NS e a eseguire su un insieme di numeri naturali:

un) P ( 7) ;

B) E ( 2) & P ( 2) ;

c) https://pandia.ru/text/78/081/images/image044_13.png "width =" 136 "height =" 21 src = ">;

e) https://pandia.ru/text/78/081/images/image046_14.png "width =" 237 "height =" 23 src = ">;

g) https://pandia.ru/text/78/081/images/image048_12.png "width =" 248 "height =" 23 src = ">;

i) https://pandia.ru/text/78/081/images/image050_10.png "width =" 109 "height =" 21 src = ">. png" larghezza = "127" altezza = "23">. png "larghezza =" 108 "altezza =" 23 "> ?

La verifica della correttezza di quanto segue può essere effettuata utilizzando i diagrammi di Venn, se le premesse e le conclusioni sono predicati unari dipendenti da una variabile. Per i giudizi categorici, che nel nostro esempio sono premesse e conclusioni, il rapporto tra i volumi dei concetti S e R sono descritti nell'esempio 2. Useremo questa descrizione.

Il metodo del diagramma di Venn per il caso con una premessa è il seguente. Rappresentiamo con diagrammi tutti i possibili casi di relazioni tra i volumi di concetti S e R corrispondente al pacco.

Se su ciascuno dei diagrammi ottenuti la conclusione risulta essere vera, quanto segue è corretto. Se la conclusione è falsa in almeno uno dei diagrammi, allora è sbagliato quanto segue..

(a) Poiché la premessa è un giudizio negativo, i diagrammi mostrati in Fig. 5.

In nessuno di questi diagrammi il giudizio https://pandia.ru/text/78/081/images/image030_13.png "width =" 108 "height =" 23 "> è un giudizio in parte affermativo, quindi i possibili diagrammi per esso sono mostrati in Fig. 6.

16. Quale delle seguenti frasi è un'affermazione:

a) il ferro è più pesante del piombo;

b) porridge - un piatto delizioso;

c) la matematica è una materia interessante;

d) il tempo è brutto oggi.

17. Quale delle seguenti frasi è un'affermazione falsa:

a) il ferro è più pesante del piombo;

b) ossigeno - gas;

c) l'informatica è una materia interessante;

d) il ferro è più leggero del piombo.

18. Quale delle affermazioni precedenti è la negazione dell'affermazione: "Tutti i numeri primi sono dispari":

a) "C'è un numero primo pari";

b) “C'è un numero primo dispari”;

c) "Tutti i numeri primi sono pari";

d) "Tutti i numeri dispari sono primi"?

19. A quale operazione logica corrisponde la seguente tabella di verità:

a) congiunzione;

b) disgiunzioni;

c) implicazioni;

d) equivalenza.

20. A quale operazione logica corrisponde la seguente tabella di verità:

a) equivalenza;

b) congiunzione;

c) implicazioni;

d) disgiunzioni.

21. Sia A l'affermazione "Questo triangolo è isoscele", e sia

B - il detto "Questo triangolo è equilatero". Indica il vero detto:

22. Se esiste un insieme di proposizioni A 1, A 2, ... A n, che trasforma la formula dell'algebra delle proposizioni F (X 1, X 2, ..., X n) in una proposizione vera, allora questa formula si chiama:

a) fattibile;

b) tautologia;

c) una contraddizione;

d) confutabile.

23. Una tautologia è una formula dell'algebra proposizionale F (X 1, X 2,…, X n):

a) che si trasforma in un'affermazione vera per tutti gli insiemi di variabili;

b) per cui esiste un insieme di affermazioni che trasforma la formula in un'affermazione vera;

c) che si trasforma in un'affermazione falsa per tutti gli insiemi di variabili;

d) per cui esiste un insieme di affermazioni che trasforma la formula in un'affermazione falsa.

24. Quale delle formule è confutabile:

25. Quale delle formule è fattibile:

26. A quale affermazione corrisponde l'affermazione: "Per ogni numero esiste un numero tale che":

27. Quale affermazione corrisponde all'affermazione:

a) “Ci sono numeri e tali che;

b) “L'uguaglianza è giusta per tutti;

c) “C'è un numero tale che per tutti i numeri”;

d) "Per ogni numero esiste un numero tale che".

28. Quale delle affermazioni è falsa:

29. Indicare l'insieme di verità del predicato” X multiplo di 3" definito sull'insieme M = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9):

a) TP = (3, 6, 9);

c) TP = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9);

d) TP = (3, 6, 9, 12).

30. Indicare l'insieme di verità del predicato” X multiplo di 3" definito sull'insieme M = (3, 6, 9, 12):

a) TP = (3, 6, 9, 12); b) TP = (3, 6, 9);

c) TP = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9); d) TP = Æ.

31. Indicare l'insieme di verità del predicato" x 2 + x + 6 = 0"Imposta sull'insieme dei numeri reali:

a) TP = Æ; b) TP = (1, 6); c) TP = (- 2, 3); d) TP = (- 3, 2).

32. Indicare l'insieme di verità del predicato:

33. Indicare l'insieme di verità del predicato:

38. Introduciamo i seguenti predicati unari:

Q(x): « X- un numero razionale";

R (x): « X- numero reale ".

Allora il predicato può essere considerato come una traduzione nel linguaggio dell'algebra dei predicati della seguente affermazione:

a) alcuni numeri razionali sono reali;

b) alcuni numeri razionali non sono reali;

c) nessun numero razionale è reale;

d) tutti i numeri razionali sono reali.

Problema 2.1

Esprimi le seguenti affermazioni simboliche in parole se P (x) è un predicato unario definito sull'insieme M:

Problema 2.2

Cosa succede all'estensionale del predicato A (x), che è definito come la disuguaglianza x * x<2*x-1, если обе стороны этого неравенства умножить на k, где k:

Problema 2.3

Sia R (x) un "x -numero reale",

Q (x) è un "x -numero razionale". Usando questi simboli, scrivi la formula:

1.tutti i numeri razionali sono reali

2. nessun numero razionale è reale

3.alcuni numeri razionali sono reali

4.alcuni numeri razionali non sono validi

Problema 2.4

Sono stati introdotti i seguenti predicati:

J (x) - "x è un giudice",

L (x) - "x è un avvocato",

S (x) - "x è un ladro",

Q (x) - "x è un vecchio",

V (x) - "x - allegro",

P (x) - "x - politico",

C (x) - "x è un membro del parlamento",

W (x) - "x è una donna",

U (x) - "x è una casalinga",

A (x, y) - "x ammira y",

j - Jones.

Trova una corrispondenza tra la descrizione verbale e le formule:

Tutti i giudici sono avvocati

Alcuni avvocati sono dei truffatori

Nessun giudice è un truffatore

Alcuni giudici sono vecchi, ma allegri

Il giudice Jones non è né vecchio né allegro

Non tutti gli avvocati sono giudici

Certi avvocati che sono politici, parlamentari

Nessun parlamentare è sveglio

Tutti i vecchi parlamentari sono avvocati

Alcune donne sono sia avvocati che parlamentari

Nessuna donna è sia un politico che una casalinga.

Alcune donne avvocate sono anche casalinghe

Tutte le donne sono avvocati, ammira una specie di giudice

Alcuni avvocati ammirano solo i giudici

Alcuni avvocati ammirano le donne

Alcuni truffatori non ammirano un solo avvocato

Il giudice Jones non ammira i truffatori

Ci sono sia avvocati che truffatori che ammirano il giudice Jones

Solo i giudici ammirano i giudici

un. $ x $ y (L (x) / \ S (y) / \ A (x, j) / \ A (y, j) / \ J (j))

B. "x (J (x) ®" y (A (x, y) ®J (y)))

C. "x (C (x) ® ù" (x))

D. "x (C (x) / \ Q (x) ®L (x))

e. $ x (L (x) / \ L (x) / \ C (x))

F. $ x (L (x) / \ L (x) / \ U (x))

G. "x (W (x) ® ù (P (x) / \ U (x)))

h. "x (W (x) / \ L (x) ® $ y (J (y) / \ A (x, y)))

J. "x (J (x) ®L (x))

K. $ x (L (x) / \ $ y (W (y) / \ A (x, y)))

l. $ x (L (x) / \ S (x))

m. $ x (S (x) / \ "y (L (y) / \ ù A (x, y)))

n. "x (J (x) ® ù S (x))

o. "x (J (j) / \ ù A (j, x) / \ S (x))

P. $ x (J (x) / \ Q (x) / \ "(x))

Q. $ x (L (x) / \ $ y (W (y) / \ A (x, y)))

R. J (i) / \ ù Q (j) / \ ù "(j)

S. ù "x (L (x) ®J (x))

T. $ x (L (x) / \ P (x) / \ C (x))

Problema 2.5

Traduci le seguenti frasi nel linguaggio delle formule:

se un numero è divisibile per qualsiasi numero, allora è pari

per ogni numero reale x esiste y tale che per ogni k, se la somma di k e 1 è minore di y, allora la somma di x e 2 è minore di 4

c'è un numero pari che è divisibile per qualsiasi numero, se è un numero qualsiasi - primo

il massimo comun divisore dei numeri aeb è divisibile per uno qualsiasi dei loro comun divisori

perché un qualsiasi numero sia primo, è necessario che non sia divisibile per nessun numero dispari

per ogni numero reale c'è un numero reale più grande

esistono numeri reali x, y, k tali che la somma dei numeri x e y è maggiore del prodotto dei numeri x e k.

se il prodotto di un numero finito di fattori è 0, allora almeno uno dei fattori è 0

Compito 2.6

Sono stati introdotti i seguenti predicati:

P (x) - "x è un numero primo"

E (x) - "x è un numero pari"

O (x) - "x è un numero dispari"

D (x, y) - "y è divisibile per x"

Traduci le formule in russo:

3. "x (D (2, x) ®E (x))

4. $ x (E (x) / \ D (x, 6))

5. "x (ù E (x) ® ù D (2, x))

6. "x (E (x) / \" y (D (x, y) ®E (y)))

7. "x (P (x) ® $ y (E (y) / \ D (x, y)))

8. "x (O (x) ® * y (P (y) ® ù D (x, y)))

Compito 2.7

Dimostrare le seguenti equivalenze:

1. = $ x (A (x) ®B (x)) ¬® "x (A (x) ® $ x B (x))

2. = $ x (A (x) ¬®B (x)) ¬® "x (A (x) \ / B (x)) ® $ x (A (x) / \ B (x))

Compito 2.8

Dimostrare le seguenti tautologie:

1. = "x A (x) ® $ x A (x)

2. = ù "x A (x) ¬® $ x ù A (x)

3. = $ x A (x) ¬® ù "x ù A (x)

Problema 2.9

Ottieni le espressioni del predicato nella forma normale corretta:

1. "x ((" y F (x, y) / \ "y G (x, y, z)) \ /" y $ z H (x, y, z))

2. $ x (ù ($ y P (x, y) ® $ z Q (z) ®R (x)))

Problema 2.10

Porta l'espressione alla forma normale congiuntiva:

"x (P (x) ® (" y (P (y) ® P (f (x, y)))) / \

/ \ ù ("" y (Q (x, y) ®P (y))))

Problema 2.11

Costruisci tabelle di verità per le seguenti formule (i predicati sono definiti su un insieme di due elementi):

1. "x (P (x) ®Q) \ / (Q / \ P (y))

2. "x (S (x) ®L) ¬® $ x (S (x) ®L)

3. "x $ y ((B (x) / \ D (y)) \ / (B (x) ®C))

4. "x P (x) ¨S) / \ (P (y) \ / S)

5. ($ x D (x) / \ A) ¨ ($ x E (x) \ / A)

6. ("x A (x) ®Q) \ / (Q® $ x A (x))

7. (A (y) \ / Q) ¨ ($ x A (x) / \ Q)

Problema 2.12

Dato: D = (a, b), P (a, a) = u, P (a, b) = l, P (b, a) = l, P (b, b) = e Determina i valori di verità ​delle formule:

1. "x $ y P (x, y)

2. $ x "y P ​​​​(x, y)

3. "x" y (P (x, y) ®P (y, x))

4. "x" y P (x, y)

5. $ y ù P (a, y)

7. "x $ y (P (x, y) / \ P (y, x))

8. $ x "y (P (x, y) ®P (y, x)) \ / P (x, y)

Problema 2.13

Verificare la coerenza del seguente ragionamento:

Ogni studente è onesto. Giovanni non è onesto. Quindi John non è uno studente.

San Francesco è amato da tutti coloro che amano qualcuno. Tutti amano qualcuno. Perciò tutti amano san Francesco.

Nessun animale è immortale. I gatti sono animali. Ciò significa che alcuni gatti non sono immortali.

Solo gli uccelli hanno le piume. Nessun mammifero è un uccello. Quindi, tutti i mammiferi sono privi di piume.

Tutti i politici sono attori. Alcuni attori sono ipocriti. Ciò significa che alcuni politici sono ipocriti.

Uno sciocco ne sarebbe capace. Non sono capace di questo. Quindi non sono uno stupido.

Se qualcuno può risolvere questo problema, allora potrebbe farlo qualche matematico. Sasha è un matematico, ma non può. Ciò significa che il problema non è risolvibile.

Qualsiasi matematico può risolvere questo problema se qualcuno può risolverlo. Sasha è un matematico, ma non riesce a risolvere. Quindi, il problema è irrisolvibile.

Chiunque possa risolvere questo problema è un matematico. Sasha non può risolverlo. Pertanto, Sasha non è un matematico.

Chiunque possa risolvere questo problema è un matematico. Nessun matematico può risolvere questo problema. Pertanto, è insolubile.

Se un qualsiasi numero compreso tra 1 e 101 divide 101, allora un numero primo minore di 11 divide 101. Nessun numero primo minore di 11 divide 101. Quindi, nessun numero compreso tra 1 e 101 divide 101...

Se ogni antenato dell'antenato di un dato individuo è anche un antenato dello stesso individuo e nessun individuo è un antenato di se stesso, allora deve esserci qualcuno che non ha antenati.

Per ogni persona, c'è una persona che è più vecchia di lui. Se - x è un discendente di y, allora x non è più vecchio di y. Tutte le persone sono discendenti di Adamo. Pertanto, Adamo non è umano.

Per ogni insieme x, esiste un insieme y tale che la cardinalità di y è maggiore della cardinalità di x. Se x è incluso in y, allora la cardinalità di x non è maggiore della cardinalità di y. Qualsiasi insieme è incluso in V. Pertanto, V non è un insieme.

Tutti i rettili hanno 4 zampe o non ne hanno affatto. La rana ha 4 zampe. Quindi è un rettile.

Ogni studente che supera la sessione in tempo riceve una borsa di studio. Petrov non riceve una borsa di studio. Pertanto, non è uno studente.

Tutti gli uccelli depongono le uova. Nessun coccodrillo è un uccello. Di conseguenza, i coccodrilli non depongono le uova.

L'insegnante è felice se tutti i suoi studenti superano l'esame al primo tentativo. Nessuno può superare la logica al primo tentativo. Di conseguenza, un insegnante di logica è sempre infelice.

Ogni studente del quinto anno riceve un diploma se ha superato tutti gli esami. Non tutti hanno ricevuto il diploma. Significa che qualcuno non ha superato tutti gli esami.

A nessun uomo piacciono gli insetti. I ragni non sono insetti. Quindi qualcuno li ama.

Tutti gli insegnanti di disegno sono uomini. Tutte le lezioni delle classi inferiori sono impartite da donne. Pertanto, nelle classi inferiori, il disegno non viene insegnato.

Chiunque si sia diplomato al liceo può parlare inglese. Nessuno nella famiglia Mueller parla inglese. Le persone senza istruzione secondaria non sono ammesse all'istituto. Di conseguenza, nessuno dei Müller studia presso l'istituto.

Tutte le stazioni di servizio sono convenienti. Tutti i punti di accettazione dei piatti non sono redditizi. Un'impresa non può essere allo stesso tempo redditizia e non redditizia. Di conseguenza, le bottiglie non sono accettate in nessuna stazione di servizio.

Chiunque sano di mente può capire la matematica. Nessuno dei figli di Tom può capire la matematica. I pazzi non possono votare. Di conseguenza, nessuno dei figli di Tom può votare.

Ogni parrucchiere in N rade tutti quelli e solo quelli che non si rade da solo. Quindi, non c'è un solo parrucchiere in N.

Ogni atleta è forte. Tutti coloro che sono forti e intelligenti raggiungono il successo nella vita. Peter è un atleta. Pietro è intelligente. Quindi, raggiungerà il successo nella vita.

Problema 2.14

Ricostruisci le premesse o la conclusione omesse in modo che il seguente ragionamento sia logico:

Solo i coraggiosi sono degni di amore. È fortunato in amore. Non è coraggioso.

Gli adulti erano ammessi solo con i bambini. Mi hanno fatto entrare. Significa che o sono un bambino o sono venuto con un bambino.

Problema 2.15

Le seguenti affermazioni sono vere:

la conoscenza della struttura dati è necessaria per migliorare la disciplina della mente;

solo l'esperienza di programmazione può creare una mente disciplinata;

per scrivere un compilatore, devi essere in grado di analizzare le attività;

una mente indisciplinata non può analizzare i compiti;

chiunque abbia scritto programmi strutturati può essere considerato un programmatore esperto.

È possibile da queste ipotesi determinare la validità delle seguenti affermazioni:

6. L'esperienza nella scrittura di programmi strutturati è necessaria per essere in grado di scrivere un compilatore;

7. la conoscenza delle strutture dati fa parte dell'esperienza di programmazione;

8. l'analisi dei compiti non è possibile per coloro che ignorano le strutture dati;

9.Un programmatore esperto che ha scritto programmi strutturati, è in grado di analizzare i problemi e ha una mente disciplinata, è un programmatore che potrebbe scrivere un compilatore.

Problema 2.16

Scrivi le premesse sotto forma di formule e applica tutti i metodi noti per dimostrare la correttezza delle conclusioni.

Pacchi: 1. Il drago è felice se tutti i suoi figli possono volare;

2. il drago verde può volare;

3. Il drago è verde se almeno uno dei suoi genitori è verde, altrimenti è rosa brillante.

Conclusioni: 1. I draghi verdi sono felici.

2. I draghi senza figli sono felici (potresti aver bisogno di alcune premesse ovvie perse qui).

3. Cosa dovrebbe fare un drago rosa brillante per essere felice?

Problema 2.17

Utilizzando i simboli introdotti per predicati e segni aritmetici (ad esempio, "+" e "<"), перевести на язык формул:

1. Se il prodotto di un numero finito di fattori è zero, allora almeno uno dei fattori è zero (Px sta per "x è il prodotto di un numero finito di fattori" e Fxy - "x è uno dei fattori del numero y").

2. Il massimo comun divisore dei numeri aeb è divisibile per uno qualsiasi dei loro comun divisori (Fxy sta per "x è uno dei divisori del numero y", e Gxyz - "z è il massimo comun divisore dei numeri x e y").

3. Per ogni numero reale x esiste un numero reale maggiore y (Rx).

4. Esistono numeri reali x, y, z tali che la somma dei numeri x e y è maggiore del prodotto dei numeri x e z.

5. Per ogni numero reale x esiste y tale che per ogni z, se la somma di z e 1 è minore di y, allora la somma di x e 2 è minore di 4.

Problema 2.18

Sia A0, A1, ..., An, ... una sequenza di numeri reali. Usa quantificatori limitati per simboleggiare:

1. L'affermazione che a è il limite di questa sequenza; 2. L'affermazione che questa sequenza ha un limite; 3. L'affermazione che questa sequenza è una sequenza di Cauchy (cioè, se dato ε> 0, allora esiste un numero positivo k tale che n, m> k implica úAn - Amú< e).

Scrivi la negazione di ciascuna delle formule.

Problema 2.19

Trarre conclusioni che corrispondano al seguente ragionamento:

Nessun repubblicano o democratico è socialista. Norman Thomas è un socialista. Quindi non è repubblicano.

Ogni numero razionale è un numero reale. Esiste un numero razionale. Quindi, c'è un numero reale.

A nessuna matricola piacciono gli studenti del secondo anno. Tutti quelli che vivono a Duscombe sono studenti del secondo anno. Di conseguenza, nessuna matricola ama chi vive a Duscombe.

Alcune matricole amano tutti gli studenti del secondo anno. A nessuna matricola piacciono i penultimi studenti. Di conseguenza, nessuno studente del secondo anno è uno studente dal penultimo anno.

Ad alcune persone piace Elvis. Ad alcune persone non piace nessuno a cui piace Elvis. Di conseguenza, alcuni non sono amati da tutti.

Nessuno spacciatore è un tossicodipendente. Alcuni tossicodipendenti sono stati perseguiti. Di conseguenza, alcune delle persone perseguite non sono spacciatori di droga.

Tutte le matricole si incontrano con tutti gli studenti del secondo anno. Nessuna matricola incontra nessuno studente dal secondo all'ultimo anno. Ci sono studenti del secondo anno. Di conseguenza, nessuno studente del secondo anno è uno studente dal penultimo anno.

Tutti i numeri razionali sono numeri reali. Alcuni numeri razionali sono interi. Pertanto, alcuni numeri reali sono interi.

Questo articolo è dedicato allo studio dell'argomento "Numeri razionali". Di seguito sono riportate le definizioni dei numeri razionali, vengono forniti esempi e come determinare se un numero è razionale o meno.

Numeri razionali. Definizioni

Prima di dare una definizione di numeri razionali, ricordiamo cosa sono gli altri insiemi di numeri e come sono correlati tra loro.

I numeri naturali, insieme al loro opposto e al numero zero, formano un insieme di numeri interi. A sua volta, la raccolta di numeri interi frazionari forma un insieme di numeri razionali.

Definizione 1. Numeri razionali

I numeri razionali sono numeri che possono essere rappresentati come una frazione positiva a b, una frazione negativa a b o zero.

Quindi, possiamo lasciare una serie di proprietà dei numeri razionali:

1. Qualsiasi numero naturale è un numero razionale. Ovviamente, ogni numero naturale n può essere rappresentato come una frazione 1 n.
2. Qualsiasi numero intero, compreso il numero 0, è un numero razionale. In effetti, qualsiasi intero positivo e intero negativo può essere facilmente rappresentato rispettivamente come frazione ordinaria positiva o negativa. Ad esempio, 15 = 15 1, - 352 = - 352 1.
3. Qualsiasi frazione comune positiva o negativa a b è un numero razionale. Ciò deriva direttamente dalla definizione data sopra.
4. Qualsiasi numero misto è razionale. In effetti, dopotutto, un numero misto può essere rappresentato come una frazione impropria ordinaria.
5. Qualsiasi frazione decimale finale o periodica può essere rappresentata come frazione ordinaria. Pertanto, ogni frazione decimale periodica o finale è un numero razionale.
6. I decimali infiniti e non periodici non sono numeri razionali. Non possono essere rappresentati sotto forma di frazioni ordinarie.

Diamo esempi di numeri razionali. I numeri 5, 105, 358, 1100055 sono numeri naturali, positivi e interi. Quindi, questi sono numeri razionali. I numeri - 2, - 358, - 936 sono numeri interi negativi e sono anche razionali secondo la definizione. Anche le frazioni comuni 3 5, 8 7, - 35 8 sono esempi di numeri razionali.

La precedente definizione di numeri razionali può essere formulata in modo più succinto. Ancora una volta, risponderemo alla domanda, che cos'è un numero razionale.

Definizione 2. Numeri razionali

I numeri razionali sono numeri che possono essere rappresentati come una frazione ± z n, dove z è un intero e n è un numero naturale.

Si può dimostrare che questa definizione è equivalente alla precedente definizione di numeri razionali. Per fare ciò, ricorda che una barra di una frazione è equivalente a un segno di divisione. Tenendo conto delle regole e delle proprietà della divisione degli interi, puoi scrivere le seguenti disuguaglianze eque:

0 n = 0 ÷ n = 0; - m n = (- m) ÷ n = - m n.

Quindi, possiamo scrivere:

z n = z n, n p e z> 0 0, n p e z = 0 - z n, n p e z< 0

In realtà, questa voce è una prova. Diamo esempi di numeri razionali basati sulla seconda definizione. Considera i numeri - 3, 0, 5, - 7 55, 0, 0125 e - 1 3 5. Tutti questi numeri sono razionali, poiché possono essere scritti come una frazione con un numeratore intero e un denominatore naturale: - 3 1, 0 1, - 7 55, 125 10000, 8 5.

Diamo un'altra forma equivalente per la definizione dei numeri razionali.

Definizione 3. Numeri razionali

Un numero razionale è un numero che può essere scritto come una frazione decimale periodica finita o infinita.

Questa definizione segue direttamente dalla prima definizione di questa clausola.

Riassumiamo e formuliamo un riassunto su questo punto:

1. I numeri frazionari e interi positivi e negativi costituiscono l'insieme dei numeri razionali.
2. Ogni numero razionale può essere rappresentato come una frazione ordinaria, il cui numeratore è un intero e il denominatore è un numero naturale.
3. Ogni numero razionale può essere rappresentato anche come frazione decimale: periodico finito o infinito.

Quale numero è razionale?

Come abbiamo già scoperto, qualsiasi numero naturale, numero intero, frazione ordinaria giusta e sbagliata, frazione decimale periodica e finale sono numeri razionali. Armati di questa conoscenza, puoi facilmente determinare se un numero è razionale.

Tuttavia, in pratica, spesso hai a che fare non con numeri, ma con espressioni numeriche che contengono radici, gradi e logaritmi. In alcuni casi, la risposta alla domanda "è un numero razionale?" è tutt'altro che ovvio. Considera i metodi per rispondere a questa domanda.

Se un numero viene specificato come un'espressione contenente solo numeri razionali e operazioni aritmetiche tra di essi, il risultato dell'espressione è un numero razionale.

Ad esempio, il valore dell'espressione 2 · 3 1 8 - 0,25 0, (3) è un numero razionale ed è uguale a 18.

Pertanto, semplificare un'espressione numerica complessa consente di determinare se il numero da essa fornito è razionale.

Ora affrontiamo il segno della radice.

Risulta che il numero m n, dato come radice di grado n del numero m, è razionale solo se m è l'n-esima potenza di qualche numero naturale.

Facciamo un esempio. Il numero 2 non è razionale. Mentre 9, 81 sono numeri razionali. 9 e 81 sono quadrati pieni di numeri 3 e 9, rispettivamente. I numeri 199, 28, 15 1 non sono numeri razionali, poiché i numeri sotto il segno della radice non sono quadrati perfetti di nessun numero naturale.

Ora prendiamo un caso più complesso. 243 5 è razionale? Se elevi 3 alla quinta potenza, ottieni 243, quindi l'espressione originale può essere riscritta come segue: 243 5 = 3 5 5 = 3. Pertanto, questo numero è razionale. Ora prendiamo il numero 121 5. Questo numero è irrazionale, poiché non esiste un numero naturale, elevandolo alla quinta potenza darà 121.

Per scoprire se il logaritmo di un numero a in base b è un numero razionale, è necessario applicare il metodo per assurdo. Ad esempio, scopri se il registro numerico 2 5 è razionale. Supponiamo che il numero dato sia razionale. Se è così, allora può essere scritta come una frazione ordinaria log 2 5 = m n Secondo le proprietà del logaritmo e le proprietà del grado, sono vere le seguenti uguaglianze:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Ovviamente, l'ultima uguaglianza è impossibile, poiché ci sono numeri pari e dispari, rispettivamente, sui lati sinistro e destro. Pertanto, questa ipotesi è falsa e il numero log 2 5 non è un numero razionale.

Vale la pena notare che quando si determina la razionalità e l'irrazionalità dei numeri, non si dovrebbero prendere decisioni improvvise. Ad esempio, il prodotto di numeri irrazionali non è sempre un numero irrazionale. Un esempio illustrativo: 2 2 = 2.

Esistono anche numeri irrazionali, elevando il quale a potenza irrazionale si ottiene un numero razionale. Nelle potenze della forma 2 log 2 3, la base e l'esponente sono numeri irrazionali. Tuttavia, il numero stesso è razionale: 2 log 2 3 = 3.

Se noti un errore nel testo, selezionalo e premi Ctrl + Invio