Come trovare la prima progressione aritmetica. Attività per l'applicazione della formula per un membro

Progressioni aritmetiche e geometriche

Informazioni teoriche

Informazioni teoriche

	Progressione aritmetica	Progressione geometrica
Definizione	Progressione aritmetica un si chiama una sequenza, ogni membro della quale, a partire dal secondo, è uguale al membro precedente, sommato con lo stesso numero d (d- differenza di progressione)	progressione geometrica b n si chiama una sequenza di numeri diversi da zero, ogni termine dei quali, partendo dal secondo, è uguale al termine precedente moltiplicato per lo stesso numero q (q- denominatore di progressione)
Formula ricorrente	Per qualsiasi naturale n un n + 1 = un n + d	Per qualsiasi naturale n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
formula all'ennesimo termine	un n = un 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
proprietà caratteristica
Somma dei primi n termini

Esempi di attività con commenti

Esercizio 1

In progressione aritmetica ( un) un 1 = -6, un 2

Secondo la formula dell'ennesimo termine:

un 22 = un 1+ d (22 - 1) = un 1+ 21 gg

Per condizione:

un 1= -6, quindi un 22= -6 + 21 gg.

È necessario trovare la differenza di progressioni:

d= un 2 – un 1 = -8 – (-6) = -2

un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Risposta : un 22 = -48.

Compito 2

Trova il quinto termine della progressione geometrica: -3; 6;....

1a via (usando la formula a n termini)

Secondo la formula dell'n-esimo membro di una progressione geometrica:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Perché b 1 = -3,

2a via (usando la formula ricorsiva)

Poiché il denominatore della progressione è -2 (q = -2), allora:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Risposta : b 5 = -48.

Compito 3

In progressione aritmetica ( a n) a 74 = 34; un 76= 156. Trova il settantacinquesimo termine di questa progressione.

Per una progressione aritmetica, la proprietà caratteristica ha la forma .

Perciò:

.

Sostituisci i dati nella formula:

Risposta: 95.

Compito 4

In progressione aritmetica ( a n) a n= 3n - 4. Trova la somma dei primi diciassette termini.

Per trovare la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica, vengono utilizzate due formule:

.

Quale dentro questo caso più comodo da usare?

Per condizione è nota la formula dell'ennesimo membro della progressione originaria ( un) un= 3n - 4. Può essere trovato immediatamente e un 1, e un 16 senza trovare d . Pertanto, utilizziamo la prima formula.

Risposta: 368.

Compito 5

In progressione aritmetica un) un 1 = -6; un 2= -8. Trova il ventiduesimo termine della progressione.

Secondo la formula dell'ennesimo termine:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = un 1+ 21 gg.

A condizione, se un 1= -6, quindi un 22= -6 + 21 gg. È necessario trovare la differenza di progressioni:

d= un 2 – un 1 = -8 – (-6) = -2

un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Risposta : un 22 = -48.

Compito 6

Sono registrati diversi termini consecutivi di una progressione geometrica:

Trova il termine della progressione, indicato dalla lettera x .

Quando risolviamo, utilizziamo la formula per l'ennesimo termine b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 per progressioni geometriche. Il primo membro della progressione. Per trovare il denominatore della progressione q, devi prendere uno di questi termini della progressione e dividerlo per il precedente. Nel nostro esempio, puoi prendere e dividere per. Otteniamo q \u003d 3. Invece di n, sostituiamo 3 nella formula, poiché è necessario trovare il terzo termine di una data progressione geometrica.

Sostituendo i valori trovati nella formula, otteniamo:

.

Risposta : .

Compito 7

Tra le progressioni aritmetiche date dalla formula dell'ennesimo termine, scegli quella per cui la condizione è soddisfatta un 27 > 9:

Poiché la condizione specificata deve essere soddisfatta per il 27° termine della progressione, sostituiamo 27 invece di n in ciascuna delle quattro progressioni. Nella 4a progressione otteniamo:

.

Risposta: 4.

Compito 8

In progressione aritmetica un 1= 3, d = -1,5. Specificare il valore massimo di n per il quale vale la disuguaglianza un > -6.

Qualcuno tratta la parola "progresso" con cautela, come un termine molto complesso tratto dalle sezioni della matematica superiore. Nel frattempo, la progressione aritmetica più semplice è il lavoro dello sportello taxi (dove ancora rimangono). E capire l'essenza (e in matematica non c'è niente di più importante che "capire l'essenza") di una sequenza aritmetica non è così difficile, dopo aver analizzato alcuni concetti elementari.

Sequenza numerica matematica

È consuetudine chiamare una sequenza numerica una serie di numeri, ognuno dei quali ha un proprio numero.

e 1 è il primo membro della sequenza;

e 2 è il secondo membro della sequenza;

e 7 è il settimo membro della sequenza;

e n è l'ennesimo membro della sequenza;

Tuttavia, nessun insieme arbitrario di cifre e numeri ci interessa. Concentreremo la nostra attenzione su una sequenza numerica in cui il valore dell'ennesimo membro è correlato al suo numero ordinale da una dipendenza che può essere chiaramente formulata matematicamente. In altre parole: il valore numerico dell'ennesimo numero è una qualche funzione di n.

a - valore di un membro della sequenza numerica;

n è il suo numero di serie;

f(n) è una funzione in cui l'ordinale nella sequenza numerica n è l'argomento.

Definizione

Una progressione aritmetica è solitamente chiamata sequenza numerica in cui ogni termine successivo è maggiore (minore) del precedente dello stesso numero. La formula per l'ennesimo membro di una sequenza aritmetica è la seguente:

a n - il valore del membro corrente della progressione aritmetica;

a n+1 - la formula del numero successivo;

d - differenza (un certo numero).

È facile determinare che se la differenza è positiva (d>0), allora ogni membro successivo della serie in esame sarà maggiore del precedente e tale progressione aritmetica sarà crescente.

Nel grafico sottostante, è facile capire perché la sequenza numerica è chiamata "crescente".

Nei casi in cui la differenza è negativa (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Il valore del membro specificato

A volte è necessario determinare il valore di qualche termine arbitrario a n di una progressione aritmetica. Puoi farlo calcolando successivamente i valori di tutti i membri della progressione aritmetica, dal primo a quello desiderato. Tuttavia, questo modo non è sempre accettabile se, ad esempio, è necessario trovare il valore del cinquemillesimo o dell'ottomilionesimo termine. Il calcolo tradizionale richiederà molto tempo. Tuttavia, una specifica progressione aritmetica può essere studiata utilizzando determinate formule. Esiste anche una formula per l'ennesimo termine: il valore di un qualsiasi membro di una progressione aritmetica può essere determinato come somma del primo membro della progressione con la differenza della progressione, moltiplicato per il numero del membro desiderato, meno uno .

La formula è universale per aumentare e diminuire la progressione.

Un esempio di calcolo del valore di un determinato membro

Risolviamo il seguente problema di trovare il valore dell'n-esimo membro di una progressione aritmetica.

Condizione: è presente una progressione aritmetica con parametri:

Il primo membro della sequenza è 3;

La differenza nella serie numerica è 1,2.

Compito: è necessario trovare il valore di 214 termini

Soluzione: per determinare il valore di un dato membro, utilizziamo la formula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Sostituendo i dati dall'istruzione del problema nell'espressione, abbiamo:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Risposta: Il 214° membro della sequenza è pari a 258,6.

I vantaggi di questo metodo di calcolo sono evidenti: l'intera soluzione non richiede più di 2 righe.

Somma di un determinato numero di membri

Molto spesso, in una data serie aritmetica, è necessario determinare la somma dei valori di alcuni suoi segmenti. Inoltre non è necessario calcolare i valori di ogni termine e poi sommarli. Questo metodo è applicabile se il numero di termini la cui somma deve essere trovata è piccolo. In altri casi, è più conveniente utilizzare la seguente formula.

La somma dei membri di una progressione aritmetica da 1 a n è uguale alla somma del primo e dell'ennesimo membro, moltiplicata per il numero del membro n e divisa per due. Se nella formula il valore dell'n-esimo membro è sostituito dall'espressione del paragrafo precedente dell'articolo, otteniamo:

Esempio di calcolo

Ad esempio, risolviamo un problema con le seguenti condizioni:

Il primo termine della sequenza è zero;

La differenza è 0,5.

Nel problema è necessario determinare la somma dei termini della serie da 56 a 101.

Soluzione. Usiamo la formula per determinare la somma della progressione:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Innanzitutto, determiniamo la somma dei valori di 101 membri della progressione sostituendo le condizioni date del nostro problema nella formula:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Ovviamente, per conoscere la somma dei termini della progressione dal 56° al 101°, è necessario sottrarre S 55 da S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Quindi la somma della progressione aritmetica per questo esempio è:

s 101 - s 55 \u003d 2.525 - 742,5 \u003d 1.782,5

Esempio di applicazione pratica della progressione aritmetica

Alla fine dell'articolo, torniamo all'esempio della sequenza aritmetica data nel primo paragrafo: un tassametro (contatore taxi). Consideriamo un esempio del genere.

Prendere un taxi (che include 3 km) costa 50 rubli. Ogni chilometro successivo viene pagato al tasso di 22 rubli / km. Distanza di percorrenza 30 km. Calcola il costo del viaggio.

1. Scartiamo i primi 3 km, il cui prezzo è compreso nel costo di atterraggio.

30 - 3 = 27 km.

2. Ulteriori calcoli non sono altro che l'analisi di una serie di numeri aritmetici.

Il numero socio è il numero di chilometri percorsi (meno i primi tre).

Il valore del membro è la somma.

Il primo termine in questo problema sarà uguale a 1 = 50 rubli.

Differenza di progressione d = 22 p.

il numero che ci interessa è il valore del (27 + 1)esimo membro della progressione aritmetica - la lettura del contatore alla fine del 27esimo chilometro è 27.999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

I calcoli dei dati del calendario per un periodo arbitrariamente lungo si basano su formule che descrivono determinate sequenze numeriche. In astronomia, la lunghezza dell'orbita dipende geometricamente dalla distanza del corpo celeste dal luminare. Inoltre, varie serie numeriche vengono utilizzate con successo nella statistica e in altri rami applicati della matematica.

Un altro tipo di sequenza numerica è geometrica

Una progressione geometrica è caratterizzata da un ampio tasso di variazione rispetto a un aritmetico. Non è un caso che in politica, sociologia, medicina, spesso, per mostrare l'elevata velocità di diffusione di un determinato fenomeno, ad esempio una malattia durante un'epidemia, si dice che il processo si sviluppa in modo esponenziale.

L'N-esimo membro della serie numerica geometrica differisce dal precedente in quanto viene moltiplicato per un numero costante: il denominatore, ad esempio, il primo membro è 1, il denominatore è 2, rispettivamente, quindi:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - il valore del membro corrente della progressione geometrica;

b n+1 - la formula del prossimo membro della progressione geometrica;

q è il denominatore di una progressione geometrica (numero costante).

Se il grafico di una progressione aritmetica è una linea retta, quella geometrica disegna un'immagine leggermente diversa:

Come nel caso dell'aritmetica, una progressione geometrica ha una formula per il valore di un membro arbitrario. Ogni n-esimo termine di una progressione geometrica è uguale al prodotto del primo termine e al denominatore della progressione alla potenza di n ridotta di uno:

Esempio. Abbiamo una progressione geometrica con il primo termine uguale a 3 e il denominatore della progressione uguale a 1,5. Trova il 5° termine della progressione

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

La somma di un determinato numero di membri viene calcolata anche utilizzando una formula speciale. La somma dei primi n membri di una progressione geometrica è uguale alla differenza tra il prodotto dell'ennesimo membro della progressione e del suo denominatore e il primo membro della progressione, diviso per il denominatore ridotto di uno:

Se b n viene sostituito con la formula sopra discussa, il valore della somma dei primi n membri della serie numerica considerata assumerà la forma:

Esempio. La progressione geometrica inizia con il primo termine uguale a 1. Il denominatore è posto uguale a 3. Troviamo la somma dei primi otto termini.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Qual è l'essenza della formula?

Questa formula ti permette di trovare qualunque CON IL SUO NUMERO" n" .

Naturalmente, è necessario conoscere il primo termine un 1 e differenza di progressione d, beh, senza questi parametri, non puoi scrivere una progressione specifica.

Non basta memorizzare (o imbrogliare) questa formula. È necessario assimilare la sua essenza e applicare la formula in vari compiti. Sì, e non dimenticare al momento giusto, sì ...) Come non dimenticare- Non so. Ma come ricordare Se necessario, ti do un suggerimento. Per coloro che padroneggiano la lezione fino alla fine.)

Quindi, affrontiamo la formula dell'n-esimo membro di una progressione aritmetica.

Che cos'è una formula in generale - immaginiamo.) Cos'è una progressione aritmetica, un numero di membro, una differenza di progressione - è chiaramente affermato nella lezione precedente. Dai un'occhiata se non l'hai letto. Tutto è semplice lì. Resta da capire cosa ennesimo membro.

La progressione in generale può essere scritta come una serie di numeri:

un 1 , un 2 , un 3 , un 4 , un 5 , .....

un 1- denota il primo termine di una progressione aritmetica, un 3- terzo membro un 4- quarto, e così via. Se siamo interessati al quinto mandato, diciamo con cui stiamo lavorando un 5, se centoventesimo - da un 120.

Come definire in generale qualunque membro di una progressione aritmetica, s qualunque numero? Molto semplice! Come questo:

un

Ecco cos'è n-esimo membro di una progressione aritmetica. Sotto la lettera n sono nascosti tutti i numeri dei membri contemporaneamente: 1, 2, 3, 4 e così via.

E cosa ci dà un record del genere? Pensa, invece di un numero, hanno scritto una lettera ...

Questa notazione ci offre un potente strumento per lavorare con le progressioni aritmetiche. Usando la notazione un, possiamo trovare rapidamente qualunque membro qualunque progressione aritmetica. E un sacco di compiti da risolvere in progressione. Vedrai più avanti.

Nella formula dell'ennesimo membro di una progressione aritmetica:

a n = a 1 + (n-1)d

un 1- il primo membro della progressione aritmetica;

n- Numero membro.

La formula collega i parametri chiave di qualsiasi progressione: un ; un 1 ; d e n. Intorno a questi parametri, tutti i puzzle ruotano in progressione.

La formula dell'ennesimo termine può essere utilizzata anche per scrivere una progressione specifica. Ad esempio, nel problema si può dire che la progressione è data dalla condizione:

un n = 5 + (n-1) 2.

Un problema del genere può persino confondere ... Non ci sono serie, nessuna differenza ... Ma, confrontando la condizione con la formula, è facile capire che in questa progressione a 1 \u003d 5 e d \u003d 2.

E può essere ancora più arrabbiato!) Se prendiamo la stessa condizione: un n = 5 + (n-1) 2, si, apri le parentesi e dai simili? Otteniamo una nuova formula:

an = 3 + 2n.

esso Solo non generale, ma per una progressione specifica. È qui che sta la trappola. Alcune persone pensano che il primo termine sia un tre. Anche se in realtà il primo membro è un cinque... Un po' più in basso lavoreremo con una formula così modificata.

Nelle attività per la progressione, c'è un'altra notazione - n+1. Questo è, hai indovinato, il termine "n più il primo" della progressione. Il suo significato è semplice e innocuo.) Questo è un membro della progressione, il cui numero è maggiore del numero n di uno. Ad esempio, se in qualche problema prendiamo per un quinto mandato, quindi n+1 sarà il sesto membro. Eccetera.

Molto spesso la designazione n+1 si verifica nelle formule ricorsive. Non abbiate paura di questa parola terribile!) Questo è solo un modo per esprimere un termine di una progressione aritmetica attraverso il precedente. Supponiamo di avere una progressione aritmetica in questa forma, usando la formula ricorrente:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Dal quarto - al terzo, dal quinto - al quarto e così via. E come contare subito, diciamo il ventesimo termine, un 20? Ma niente da fare!) Mentre il 19° termine non è noto, il 20° non può essere contato. Questa è la differenza fondamentale tra la formula ricorsiva e la formula dell'ennesimo termine. Ricorsivo funziona solo attraverso precedente termine e la formula dell'ennesimo termine - attraverso il primo e permette immediamente trova qualsiasi membro in base al suo numero. Senza contare l'intera serie di numeri in ordine.

In una progressione aritmetica, una formula ricorsiva può essere facilmente trasformata in una normale. Conta una coppia di termini consecutivi, calcola la differenza d, trovare, se necessario, il primo termine un 1, scrivi la formula nella forma usuale e lavora con essa. Nel GIA si trovano spesso tali compiti.

Applicazione della formula dell'n-esimo membro di una progressione aritmetica.

Per prima cosa, diamo un'occhiata all'applicazione diretta della formula. Alla fine della lezione precedente si è verificato un problema:

Data una progressione aritmetica (a n). Trova un 121 se a 1 =3 e d=1/6.

Questo problema può essere risolto senza alcuna formula, semplicemente basandosi sul significato della progressione aritmetica. Aggiungi, sì aggiungi ... Un'ora o due.)

E secondo la formula, la soluzione richiederà meno di un minuto. Puoi cronometrarlo.) Decidiamo.

Le condizioni forniscono tutti i dati per l'utilizzo della formula: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Resta da vedere cosa n. Nessun problema! Abbiamo bisogno di trovare un 121. Qui scriviamo:

Per favore presta attenzione! Invece di un indice nè apparso un numero specifico: 121. Il che è abbastanza logico.) Siamo interessati al membro della progressione aritmetica numero centoventuno. Questo sarà il nostro n.È questo significato n= 121 sostituiremo ulteriormente nella formula, tra parentesi. Sostituisci tutti i numeri nella formula e calcola:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Questo è tutto ciò che c'è da fare. Altrettanto rapidamente si potrebbe trovare il cinquecentodecimo membro, e il milleterzo qualsiasi. Noi invece mettiamo n il numero desiderato nell'indice della lettera " un" e tra parentesi, e consideriamo.

Lascia che ti ricordi l'essenza: questa formula ti permette di trovare qualunque termine di una progressione aritmetica CON IL SUO NUMERO" n" .

Risolviamo il problema in modo più intelligente. Diciamo che abbiamo il seguente problema:

Trova il primo termine della progressione aritmetica (a n) se a 17 =-2; d=-0,5.

In caso di difficoltà, suggerirò il primo passo. Scrivi la formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica! Si si. Scrivi a mano, direttamente sul tuo taccuino:

a n = a 1 + (n-1)d

E ora, guardando le lettere della formula, capiamo quali dati abbiamo e cosa manca? A disposizione d=-0,5, c'è un diciassettesimo membro... Tutto? Se pensi che sia tutto, allora non puoi risolvere il problema, sì ...

Abbiamo anche un numero n! Nella condizione un 17 =-2 nascosto due opzioni. Questo è sia il valore del diciassettesimo membro (-2) che il suo numero (17). Quelli. n=17. Questa "piccola cosa" spesso scivola oltre la testa, e senza di essa (senza la "piccola cosa", non la testa!) il problema non può essere risolto. Anche se ... e anche senza testa.)

Ora possiamo semplicemente sostituire stupidamente i nostri dati nella formula:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Oh si, un 17 sappiamo che è -2. Ok, inseriamolo:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Questo, in sostanza, è tutto. Resta da esprimere il primo termine della progressione aritmetica dalla formula e calcolare. Ottieni la risposta: un 1 = 6.

Tale tecnica - scrivere una formula e sostituire semplicemente i dati noti - aiuta molto in compiti semplici. Bene, devi, ovviamente, essere in grado di esprimere una variabile da una formula, ma cosa fare!? Senza questa abilità, la matematica non può essere affatto studiata ...

Un altro problema popolare:

Trova la differenza della progressione aritmetica (a n) se a 1 =2; un 15 =12.

Cosa stiamo facendo? Sarai sorpreso, scriviamo la formula!)

a n = a 1 + (n-1)d

Considera ciò che sappiamo: a 1 =2; a 15 =12; e (evidenziazione speciale!) n=15. Sentiti libero di sostituire nella formula:

12=2 + (15-1)d

Facciamo l'aritmetica.)

12=2 + 14 gg

d=10/14 = 5/7

Questa è la risposta corretta.

Quindi, compiti un n , un 1 e d deciso. Resta da imparare come trovare il numero:

Il numero 99 è un membro di una progressione aritmetica (a n), dove a 1 =12; d=3. Trova il numero di questo membro.

Sostituiamo le quantità note nella formula dell'ennesimo termine:

un n = 12 + (n-1) 3

A prima vista, ci sono due incognite qui: una n e n. Ma unè un membro della progressione con il numero n... E questo membro della progressione lo conosciamo! È il 99. Non sappiamo il suo numero. n, quindi è necessario trovare anche questo numero. Sostituisci il termine di progressione 99 nella formula:

99 = 12 + (n-1) 3

Esprimiamo dalla formula n, pensiamo. Otteniamo la risposta: n=30.

E ora un problema sullo stesso argomento, ma più creativo):

Determina se il numero 117 sarà un membro di una progressione aritmetica (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Riscriviamo la formula. Cosa, non ci sono parametri? Hm... Perché abbiamo bisogno degli occhi?) Vediamo il primo membro della progressione? Vediamo. Questo è -3,6. Puoi tranquillamente scrivere: a 1 \u003d -3.6. Differenza d può essere determinato dalla serie? È facile se sai qual è la differenza di una progressione aritmetica:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Sì, abbiamo fatto la cosa più semplice. Resta da affrontare un numero sconosciuto n e un incomprensibile numero 117. Nel problema precedente, almeno si sapeva che era il termine della progressione che si dava. Ma qui non lo sappiamo nemmeno... Come essere!? Bene, come essere, come essere... Accendi le tue capacità creative!)

Noi supponiamo quel 117 è, dopo tutto, un membro della nostra progressione. Con un numero sconosciuto n. E, proprio come nel problema precedente, proviamo a trovare questo numero. Quelli. scriviamo la formula (sì-sì!)) e sostituiamo i nostri numeri:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Ancora una volta esprimiamo dalla formulan, contiamo e otteniamo:

Ops! Il numero è risultato frazionario! Centouno e mezzo. E numeri frazionari nelle progressioni non può essere. Quale conclusione traiamo? Sì! Numero 117 non è membro della nostra progressione. È da qualche parte tra il 101° e il 102° membro. Se il numero risultasse naturale, ad es. intero positivo, allora il numero sarebbe un membro della progressione con il numero trovato. E nel nostro caso, la risposta al problema sarà: no.

Compito basato su una versione reale del GIA:

La progressione aritmetica è data dalla condizione:

a n \u003d -4 + 6,8 n

Trova il primo e il decimo termine della progressione.

Qui la progressione è impostata in modo insolito. Una specie di formula ... Succede.) Tuttavia, questa formula (come ho scritto sopra) - anche la formula dell'n-esimo membro di una progressione aritmetica! Lei permette anche trova qualsiasi membro della progressione in base al suo numero.

Stiamo cercando il primo membro. Quello che pensa. che il primo termine sia meno quattro, è fatalmente sbagliato!) Perché la formula nel problema è modificata. Il primo termine di una progressione aritmetica in esso nascosto. Niente, lo troveremo ora.)

Proprio come nelle attività precedenti, sostituiamo n=1 in questa formula:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Qui! Il primo termine è 2,8, non -4!

Allo stesso modo, stiamo cercando il decimo termine:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Questo è tutto ciò che c'è da fare.

E ora, per chi ha letto fino a queste righe, il bonus promesso.)

Supponiamo, in una difficile situazione di combattimento del GIA o dell'esame di stato unificato, di aver dimenticato l'utile formula dell'n-esimo membro di una progressione aritmetica. Qualcosa mi viene in mente, ma in qualche modo incerto... Se n lì, o n+1, o n-1... Come essere!?

Calma! Questa formula è facile da ricavare. Non molto rigoroso, ma sicuramente sufficiente per la fiducia e la decisione giusta!) Per la conclusione, basta ricordare il significato elementare della progressione aritmetica e avere un paio di minuti di tempo. Hai solo bisogno di disegnare un'immagine. Per chiarezza.

Disegniamo un asse numerico e segniamo il primo su di esso. secondo, terzo, ecc. membri. E nota la differenza d tra i membri. Come questo:

Osserviamo l'immagine e pensiamo: a cosa corrisponde il secondo termine? Secondo uno d:

un 2 =a 1 + 1 d

Qual è il terzo termine? Terzo termine è uguale al primo termine più Due d.

un 3 =a 1 + 2 d

Lo capisci? Non metto alcune parole in grassetto per niente. Ok, un altro passo.)

Qual è il quarto termine? Il quarto termine è uguale al primo termine più tre d.

un 4 =a 1 + 3 d

È tempo di rendersi conto che il numero di lacune, ad es. d, sempre uno in meno rispetto al numero del membro che stai cercando n. Cioè, fino al numero n, numero di lacune sarà n-1. Quindi, la formula sarà (nessuna opzione!):

a n = a 1 + (n-1)d

In generale, le immagini visive sono molto utili per risolvere molti problemi in matematica. Non trascurare le immagini. Ma se è difficile disegnare un'immagine, allora ... solo una formula!) Inoltre, la formula dell'ennesimo termine ti consente di collegare l'intero potente arsenale della matematica alla soluzione: equazioni, disuguaglianze, sistemi, ecc. Non puoi mettere un'immagine in un'equazione...

Compiti per decisione indipendente.

Per il riscaldamento:

1. In progressione aritmetica (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Trova un 3 .

Suggerimento: secondo l'immagine, il problema viene risolto in 20 secondi ... Secondo la formula, risulta più difficile. Ma per padroneggiare la formula, è più utile.) Nella Sezione 555, questo problema è risolto sia dall'immagine che dalla formula. Senti la differenza!)

E questo non è più un riscaldamento.)

2. In progressione aritmetica (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. Trova un 3 .

Cosa, riluttanza a disegnare un'immagine?) Ancora! È meglio nella formula, sì ...

3. La progressione aritmetica è data dalla condizione:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Trova il centoventicinquesimo termine di questa progressione.

In questo compito, la progressione è data in modo ricorrente. Ma contando fino al centoventicinquesimo termine... Non tutti possono fare un'impresa del genere.) Ma la formula dell'ennesimo termine è alla portata di tutti!

4. Data una progressione aritmetica (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Trova il numero del termine positivo più piccolo della progressione.

5. Secondo la condizione del compito 4, trova la somma dei membri più piccoli positivi e più grandi negativi della progressione.

6. Il prodotto del quinto e del dodicesimo termine di una progressione aritmetica crescente è -2,5 e la somma del terzo e dell'undicesimo termine è zero. Trova un 14 .

Non è il compito più semplice, sì ...) Qui il metodo "sulle dita" non funzionerà. Devi scrivere formule e risolvere equazioni.

Risposte (in disordine):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Accaduto? È carino!)

Non tutto funziona? Succede. A proposito, nell'ultimo compito c'è un punto sottile. Sarà richiesta attenzione durante la lettura del problema. E logica.

La soluzione a tutti questi problemi è discussa in dettaglio nella Sezione 555. E l'elemento fantasy per il quarto, e il momento sottile per il sesto, e gli approcci generali per risolvere qualsiasi problema per la formula dell'ennesimo termine: tutto è dipinto. Raccomando.

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O aritmetica: questo è un tipo di sequenza numerica ordinata, le cui proprietà vengono studiate in un corso di algebra scolastica. Questo articolo discute in dettaglio la questione di come trovare la somma di una progressione aritmetica.

Qual è questa progressione?

Prima di procedere alla considerazione della domanda (come trovare la somma di una progressione aritmetica), vale la pena capire di cosa si parlerà.

Qualsiasi sequenza di numeri reali ottenuta sommando (sottraendo) un valore da ogni numero precedente è chiamata progressione algebrica (aritmetica). Questa definizione, tradotta nel linguaggio della matematica, assume la forma:

Qui i è il numero ordinale dell'elemento della serie a i . Pertanto, conoscendo un solo numero iniziale, puoi facilmente ripristinare l'intera serie. Il parametro d nella formula è chiamato differenza di progressione.

Si può facilmente dimostrare che la seguente uguaglianza vale per la serie di numeri in esame:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Cioè, per trovare il valore dell'n-esimo elemento in ordine, aggiungi la differenza d al primo elemento a 1 n-1 volte.

Qual è la somma di una progressione aritmetica: formula

Prima di dare la formula per l'importo indicato, vale la pena considerare un semplice caso speciale. Data una progressione di numeri naturali da 1 a 10, devi trovare la loro somma. Poiché ci sono pochi termini nella progressione (10), è possibile risolvere il problema frontalmente, ovvero sommare tutti gli elementi in ordine.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Vale la pena considerare una cosa interessante: poiché ogni termine differisce dal successivo per lo stesso valore d \u003d 1, la somma a coppie del primo con il decimo, del secondo con il nono e così via darà lo stesso risultato . Veramente:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Come puoi vedere, ci sono solo 5 di queste somme, cioè esattamente due volte meno del numero di elementi della serie. Quindi moltiplicando il numero di somme (5) per il risultato di ciascuna somma (11), si arriva al risultato ottenuto nel primo esempio.

Se generalizziamo questi argomenti, possiamo scrivere la seguente espressione:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Questa espressione mostra che non è necessario sommare tutti gli elementi in una riga, è sufficiente conoscere il valore del primo a 1 e dell'ultimo a n , nonché il numero totale di termini n.

Si ritiene che Gauss abbia pensato per la prima volta a questa uguaglianza quando stava cercando una soluzione al problema posto dal suo insegnante di scuola: sommare i primi 100 numeri interi.

Somma di elementi da m a n: formula

La formula data nel paragrafo precedente risponde alla domanda su come trovare la somma di una progressione aritmetica (dei primi elementi), ma spesso nei compiti è necessario sommare una serie di numeri a metà della progressione. Come farlo?

Il modo più semplice per rispondere a questa domanda è considerare il seguente esempio: sia necessario trovare la somma dei termini dal mesimo all'ennesimo. Per risolvere il problema, un dato segmento da m a n della progressione dovrebbe essere rappresentato come una nuova serie numerica. In questa rappresentazione, l'm-esimo membro a m sarà il primo e a n sarà numerato n-(m-1). In questo caso, applicando la formula standard per la somma, si ottiene la seguente espressione:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Esempio di utilizzo di formule

Sapendo come trovare la somma di una progressione aritmetica, vale la pena considerare un semplice esempio di utilizzo delle formule di cui sopra.

Di seguito è riportata una sequenza numerica, dovresti trovare la somma dei suoi membri, a partire dal 5° e termina con il 12°:

I numeri indicati indicano che la differenza d è uguale a 3. Usando l'espressione per l'ennesimo elemento, puoi trovare i valori del 5° e 12° termine della progressione. Si scopre:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Conoscendo i valori dei numeri agli estremi della progressione algebrica considerata, e sapendo anche quali numeri della serie occupano, puoi utilizzare la formula per la somma ottenuta nel paragrafo precedente. Ottenere:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Vale la pena notare che questo valore potrebbe essere ottenuto in modo diverso: prima trova la somma dei primi 12 elementi usando la formula standard, poi calcola la somma dei primi 4 elementi usando la stessa formula, quindi sottrai il secondo dalla prima somma .

Istruzione

Una progressione aritmetica è una sequenza della forma a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Passo numero d progressioni.Ovviamente, il totale di un arbitrario ennesimo termine dell'aritmetica progressioni ha la forma: An = A1+(n-1)d. Poi conoscendo uno dei membri progressioni, membro progressioni e passo progressioni, può essere , ovvero il numero del termine di progressione. Ovviamente sarà determinato dalla formula n = (An-A1+d)/d.

Che ora sia noto il m-esimo termine progressioni e qualche altro membro progressioni- n-esimo, ma n , come nel caso precedente, ma è noto che n e m non corrispondono.Step progressioni può essere calcolato con la formula: d = (An-Am)/(n-m). Quindi n = (An-Am+md)/d.

Se la somma di più elementi di un'aritmetica progressioni, oltre al primo e all'ultimo , è possibile determinare anche il numero di questi elementi. La somma dell'aritmetica progressioni sarà uguale a: S = ((A1+An)/2)n. Allora n = 2S/(A1+An) sono chdenov progressioni. Utilizzando il fatto che An = A1+(n-1)d, questa formula può essere riscritta come: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Da questo si può esprimere n risolvendo un'equazione quadratica.

Una sequenza aritmetica è un tale insieme ordinato di numeri, ogni membro del quale, tranne il primo, differisce dal precedente della stessa quantità. Questa costante è chiamata differenza della progressione o suo passo e può essere calcolata dai membri noti della progressione aritmetica.

Istruzione

Se dalle condizioni del problema sono noti i valori del primo e del secondo o di qualsiasi altra coppia di termini vicini, per calcolare la differenza (d), è sufficiente sottrarre il termine precedente dal termine successivo. Il valore risultante può essere positivo o negativo, dipende dal fatto che la progressione sia in aumento. In forma generale, scrivi la soluzione per una coppia arbitraria (aᵢ e aᵢ₊₁) di membri vicini della progressione come segue: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Per una coppia di membri di tale progressione, uno dei quali è il primo (a₁), e l'altro è qualsiasi altro scelto arbitrariamente, si può anche fare una formula per trovare la differenza (d). Tuttavia, in questo caso, deve essere noto il numero di serie (i) di un membro scelto arbitrariamente della sequenza. Per calcolare la differenza, somma entrambi i numeri e dividi il risultato per il numero ordinale di un termine arbitrario ridotto di uno. In generale, scrivi questa formula come segue: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Se, oltre a un membro arbitrario della progressione aritmetica con numero ordinale i, è noto un altro membro con numero ordinale u, modificare di conseguenza la formula del passaggio precedente. In questo caso, la differenza (d) della progressione sarà la somma di questi due termini divisa per la differenza dei loro numeri ordinali: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

La formula per calcolare la differenza (d) diventa alquanto più complicata se, nelle condizioni del problema, il valore del suo primo membro (a₁) e la somma (Sᵢ) di un dato numero (i) dei primi membri del vengono fornite le sequenze aritmetiche. Per ottenere il valore desiderato, dividere la somma per il numero di termini che la compongono, sottrarre il valore del primo numero della sequenza e raddoppiare il risultato. Dividere il valore risultante per il numero di termini che compongono la somma ridotto di uno. In generale, scrivi la formula per calcolare il discriminante come segue: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).