Metodo algebrico per la risoluzione delle equazioni esponenziali più semplici. Metodi per risolvere equazioni esponenziali

Nella fase di preparazione per il test finale, gli studenti senior devono migliorare le proprie conoscenze sull'argomento "Equazioni esponenziali". L'esperienza degli anni passati mostra che tali compiti causano alcune difficoltà agli scolari. Pertanto, gli studenti delle scuole superiori, indipendentemente dal loro livello di formazione, devono padroneggiare a fondo la teoria, memorizzare le formule e comprendere il principio della risoluzione di tali equazioni. Avendo imparato a far fronte a questo tipo di problemi, i laureati potranno contare su punteggi alti nel superare l'esame di matematica.

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Durante la revisione dei materiali trattati, molti studenti si trovano ad affrontare il problema di trovare le formule necessarie per risolvere le equazioni. Un libro di testo scolastico non è sempre a portata di mano e la selezione delle informazioni necessarie su un argomento su Internet richiede molto tempo.

Il portale educativo "Shkolkovo" invita gli studenti a utilizzare la nostra base di conoscenze. Stiamo implementando un metodo completamente nuovo di preparazione per il collaudo finale. Studiando sul nostro sito web, sarai in grado di identificare le lacune nella conoscenza e prestare attenzione proprio a quei compiti che causano le maggiori difficoltà.

Gli insegnanti di Shkolkovo hanno raccolto, sistematizzato e presentato tutto il materiale necessario per il superamento dell'Esame di Stato unificato nella forma più semplice e accessibile.

Le principali definizioni e formule sono presentate nella sezione "Riferimenti teorici".

Per una migliore assimilazione del materiale, ti consigliamo di esercitarti a completare i compiti. Esamina attentamente gli esempi di equazioni esponenziali con una soluzione presentati in questa pagina per comprendere l'algoritmo di calcolo. Successivamente, procedi con le attività nella sezione "Directory". Puoi iniziare con i problemi più semplici o passare direttamente alla risoluzione di equazioni esponenziali complesse con diverse incognite o. La base degli esercizi sul nostro sito Web viene costantemente integrata e aggiornata.

Gli esempi con gli indicatori che ti hanno causato difficoltà possono essere aggiunti ai tuoi Preferiti. In questo modo puoi trovarli rapidamente e discutere la soluzione con il tuo istruttore.

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L'uso delle equazioni è molto diffuso nella nostra vita. Sono utilizzati in molti calcoli, nella costruzione di edifici e persino nello sport. L'uomo ha usato le equazioni nei tempi antichi e da allora la loro applicazione è solo aumentata. Le equazioni di potenza o esponenziali sono equazioni in cui le variabili sono in potenze e la base è un numero. Per esempio:

Risolvere l'equazione esponenziale si riduce a 2 passaggi abbastanza semplici:

1. È necessario verificare se le basi dell'equazione a destra e a sinistra sono le stesse. Se i motivi non sono gli stessi, stiamo cercando opzioni per risolvere questo esempio.

2. Dopo che le basi diventano le stesse, eguagliamo i gradi e risolviamo la nuova equazione risultante.

Diciamo che è data un'equazione esponenziale della forma seguente:

Vale la pena iniziare la soluzione di questa equazione con l'analisi della base. Le basi sono diverse - 2 e 4, ma per la soluzione dobbiamo essere le stesse, quindi trasformiamo 4 secondo la seguente formula - \ [(a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]

Aggiungi all'equazione originale:

Togli le parentesi \

esprimiamo \

Poiché i gradi sono gli stessi, li scartiamo:

Risposta: \

Dove puoi risolvere l'equazione esponenziale con un risolutore online?

Puoi risolvere l'equazione sul nostro sito web https: // site. Un risolutore online gratuito ti consentirà di risolvere un'equazione online di qualsiasi complessità in pochi secondi. Tutto quello che devi fare è inserire i tuoi dati nel risolutore. Puoi anche guardare un video di istruzioni e imparare a risolvere l'equazione sul nostro sito web. E se hai ancora domande, puoi farle nel nostro gruppo Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Unisciti al nostro gruppo, siamo sempre felici di aiutarti.

Questo è il nome delle equazioni della forma in cui l'incognita si trova sia nell'esponente che nella base del grado.

Puoi indicare un algoritmo completamente chiaro per risolvere un'equazione della forma. Per questo, è necessario prestare attenzione al fatto che per Oh) non uguale a zero, uno e meno uno, l'uguaglianza dei gradi con le stesse basi (sia essa positiva o negativa) è possibile solo se gli indicatori sono uguali Cioè, tutte le radici dell'equazione saranno le radici dell'equazione f (x) = g (x) L'affermazione inversa non è vera, perché Oh)< 0 e valori frazionari f(x) e g (x) espressioni Oh) f(x) e

Oh) g (x) perdere il loro significato. Cioè, quando si va da a f (x) = g (x)(per e, possono apparire radici estranee, che devono essere eliminate verificando l'equazione originale. a = 0, a = 1, a = -1 devono essere considerati separatamente.

Quindi, per una soluzione completa dell'equazione, consideriamo i casi:

a (x) = O f(x) e g (x) sono numeri positivi, allora questa è la soluzione. Altrimenti no

a (x) = 1... Le radici di questa equazione sono anche le radici dell'equazione originale.

a (x) = -1... Se per un valore di x che soddisfa questa equazione, f(x) e g (x) sono numeri interi della stessa parità (o entrambi sono pari o entrambi sono dispari), allora questa è la soluzione. Altrimenti no

Per e, risolviamo l'equazione f (x) = g (x) e sostituendo i risultati ottenuti nell'equazione originale, tagliamo le radici estranee.

Esempi di risoluzione di equazioni esponenziali.

Esempio 1.

1) x - 3 = 0, x = 3.perché 3> 0 e 3 2> 0, quindi x 1 = 3 è la soluzione.

2) x - 3 = 1, x 2 = 4.

3) x - 3 = -1, x = 2. Entrambi gli esponenti sono pari. Questa soluzione è x 3 = 1.

4) x - 3? 0 e x? ± 1.x = x 2, x = 0 o x = 1. Per x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 -questa soluzione è corretta x 4 = 0. Per x = 1, (-2 ) 1 = (-2) 1 - questa soluzione è corretta x 5 = 1.

Risposta: 0, 1, 2, 3, 4.

Esempio n. 2.

Per definizione della radice quadrata aritmetica: x - 1? 0, x? 1.

1) x - 1 = 0 o x = 1, = 0, 0 0 non è una soluzione.

2) x - 1 = 1 x 1 = 2.

3) x - 1 = -1 x 2 = 0 non si adatta all'ODZ.

D = (-2) - 4 * 1 * 5 = 4 - 20 = -16 - senza radici.

Primo livello

Equazioni esponenziali. Guida completa (2019)

Hey! Oggi discuteremo con te come risolvere le equazioni, che possono essere sia elementari (e spero che dopo aver letto questo articolo, quasi tutte lo siano per te), sia quelle che di solito vengono date "per riempire". Apparentemente, per addormentarsi completamente. Ma cercherò di fare del mio meglio in modo che ora non ti sbagli di fronte a questo tipo di equazioni. Non mi terrò più in giro, ma vi svelerò subito un piccolo segreto: oggi studieremo equazioni esponenziali.

Prima di procedere all'analisi dei modi per risolverli, delineerò immediatamente di fronte a te una cerchia di domande (piuttosto piccola), che dovresti ripetere prima di precipitarti a prendere d'assalto questo argomento. Quindi, per il miglior risultato, per favore ripetere:

1. Proprietà e
2. Soluzione ed equazioni

ripetuto? Meraviglioso! Quindi non sarà difficile per te notare che la radice dell'equazione è un numero. Hai capito esattamente come ho fatto? Verità? Allora continuiamo. Ora rispondimi alla domanda, qual è il terzo grado? Hai assolutamente ragione: . E otto è una potenza di due? Esatto - il terzo! Perché. Bene, ora proviamo a risolvere il seguente problema: Fammi moltiplicare il numero per me stesso una volta e ottenere il risultato. La domanda è: quante volte ho moltiplicato per me stesso? Puoi ovviamente verificarlo direttamente:

\ begin (allinea) & 2 = 2 \\ & 2 \ cdot 2 = 4 \\ & 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = 8 \\ & 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = 16 \\ \ end ( allineare)

Allora puoi concludere che da solo ho moltiplicato le volte. In quale altro modo puoi controllare? Ed ecco come: direttamente per definizione della laurea:. Ma, devi ammettere, se ti chiedessi quante volte due deve essere moltiplicato per se stesso per ottenere, diciamo, mi avresti detto: non mi illuderò e moltiplicherò da solo fino al punto di blu in faccia. E avrebbe assolutamente ragione. Perché come puoi? scrivi brevemente tutte le azioni(e la brevità è sorella del talento)

dove - questi sono gli stessi "Volte" quando moltiplichi per te stesso.

Penso che tu sappia (e se non lo sai, urgentemente, molto urgentemente ripeti le lauree!) Che allora il mio problema sarà scritto nella forma:

Dove puoi trarre una conclusione pienamente giustificata che:

Quindi, impercettibilmente, ho scritto il più semplice equazione esponenziale:

E l'ho persino trovato radice... Non pensi che sia tutto completamente banale? Quindi penso esattamente lo stesso. Ecco un altro esempio per te:

Ma cosa si deve fare? Non puoi scriverlo come una potenza di un numero (ragionevole). Non disperiamo e notiamo che entrambi questi numeri sono perfettamente espressi in termini di potenza dello stesso numero. Quale? Destra: . Quindi l'equazione originale viene trasformata nella forma:

Dove, come hai già capito,. Non tiriamo più e scriviamo definizione:

Nel nostro caso con te:.

Queste equazioni si risolvono riducendole alla forma:

con la successiva soluzione dell'equazione

In effetti, lo abbiamo fatto nell'esempio precedente: abbiamo ottenuto quello. E abbiamo risolto l'equazione più semplice con te.

Sembra essere niente di complicato, giusto? Esercitiamo prima quelli più semplici. esempi:

Vediamo di nuovo che i lati destro e sinistro dell'equazione devono essere rappresentati come potenza di un numero. È vero, questo è già stato fatto a sinistra, ma c'è un numero a destra. Ma va bene, perché la mia equazione si trasformerà miracolosamente in questa:

Cosa dovevo usare qui? Qual è la regola? Regola da grado a grado che recita:

Cosa succede se:

Prima di rispondere a questa domanda, compiliamo la seguente targa:

Non è difficile per noi notare che minore è, minore è il valore, ma tuttavia tutti questi valori sono maggiori di zero. E QUESTO SARÀ SEMPRE!!! La stessa proprietà vale PER QUALSIASI BASE CON QUALSIASI INDICATORE !! (per qualsiasi e). Allora cosa possiamo concludere sull'equazione? Ed ecco cosa: it non ha radici! Nessuna equazione ha radici. Ora facciamo pratica e Risolviamo semplici esempi:

Controlliamo:

1. Non ti è richiesto nulla qui, tranne la conoscenza delle proprietà dei gradi (che, tra l'altro, ti ho chiesto di ripetere!). Di norma, tutto porta alla minima ragione:,. Quindi l'equazione originale è equivalente alla seguente: Tutto ciò di cui ho bisogno è usare le proprietà dei gradi: moltiplicando i numeri con le stesse basi si sommano le potenze e, dividendo, si sottraggono. Quindi ottengo: Bene, ora, con la coscienza pulita, passerò da un'equazione esponenziale a una lineare: \ begin (allinea)
& 2x + 1 + 2 (x + 2) -3x = 5 \\
& 2x + 1 + 2x + 4-3x = 5 \\
& x = 0. \\
\ fine (allinea)

2. Nel secondo esempio, bisogna stare più attenti: il guaio è che sul lato sinistro non potremo presentarlo sotto forma di una potenza dello stesso numero. In questo caso, a volte è utile rappresentano i numeri come prodotto di gradi con basi diverse, ma gli stessi indicatori:

Il lato sinistro dell'equazione assumerà la forma: cosa ci ha dato questo? Ecco cosa: Numeri con basi diverse, ma gli stessi indicatori possono essere moltiplicati.In questo caso, le basi vengono moltiplicate e l'indicatore non cambia:

Applicato alla mia situazione, questo darà:

\ iniziare (allineare)
& 4 \ cdot ((64) ^ (x)) ((25) ^ (x)) = 6400, \\
& 4 \ cdot (((64 \ cdot 25)) ^ (x)) = 6400, \\
& ((1600) ^ (x)) = \ frac (6400) (4), \\
& ((1600) ^ (x)) = 1600, \\
& x = 1. \\
\ fine (allinea)

Non male, vero?

3. Non mi piace quando, inutilmente, da un lato dell'equazione ci sono due termini e dall'altro nessuno (a volte, ovviamente, questo è giustificato, ma non è così ora). Sposta il termine meno a destra:

Ora, come prima, scriverò tutto in termini di potenze di una tripla:

Aggiungi le potenze a sinistra e ottieni l'equazione equivalente

Puoi facilmente trovare la sua radice:

4. Come nell'esempio tre, il termine con un meno è un posto a destra!

A sinistra, sto quasi bene, tranne per cosa? Sì, il "grado sbagliato" nel diavolo mi dà fastidio. Ma posso risolverlo facilmente scrivendo:. Eureka - a sinistra, tutte le basi sono diverse, ma tutti i gradi sono uguali! Moltiplica con urgenza!

Qui, di nuovo, è tutto chiaro: (se non hai capito come magicamente ho ottenuto l'ultima uguaglianza, prenditi una pausa per un minuto, prenditi una pausa e rileggi molto attentamente le proprietà del grado. Chi ha detto che puoi saltare un laurea con esponente negativo? beh, qui sono più o meno lo stesso che nessuno). Ora otterrò:

\ iniziare (allineare)
& ((2) ^ (4 \ sinistra ((x) -9 \ destra))) = ((2) ^ (- 1)) \\
& 4 ((x) -9) = - 1 \\
& x = \ frac (35) (4). \\
\ fine (allinea)

Ecco alcuni compiti per te da allenare, a cui darò solo le risposte (ma in una forma "mista"). Riducili, controllali e tu ed io continueremo la nostra ricerca!

Pronto? Risposte come questi:

1. qualsiasi numero

Ok, ok, stavo scherzando! Ecco uno schema delle soluzioni (alcune sono molto brevi!)

Non pensi che non sia un caso che una frazione a sinistra sia un'altra “invertita”? Sarebbe un peccato non approfittarne:

Questa regola è molto usata quando si risolvono equazioni esponenziali, ricordatela bene!

Quindi l'equazione originale sarà così:

Risolvendo questa equazione quadratica, ottieni le seguenti radici:

2. Un'altra soluzione: dividere entrambi i membri dell'equazione per l'espressione a sinistra (oa destra). Divido per ciò che è a destra, quindi ottengo:

Dove (perché?!)

3. Non voglio nemmeno ripetermi, tutto è già "masticato" così tanto.

4.uguale a un'equazione quadratica, radici

5. Devi usare la formula data nel primo problema, quindi ottieni che:

L'equazione è diventata una banale identità, il che vale per qualsiasi cosa. Allora la risposta è un qualsiasi numero reale.

Bene, quindi ti sei esercitato a risolvere le equazioni esponenziali più semplici. Ora voglio darti alcuni esempi di vita che ti aiuteranno a capire perché sono necessari in linea di principio. Farò qui due esempi. Uno di questi è abbastanza quotidiano, ma è più probabile che l'altro sia di interesse scientifico piuttosto che pratico.

Esempio 1 (mercantile) Supponi di avere rubli e di volerli trasformare in rubli. La banca ti offre di prelevare questo denaro da te a un tasso di interesse annuale con capitalizzazione mensile degli interessi (maturazione mensile). La domanda è: per quanti mesi è necessario aprire un deposito per incassare l'importo finale richiesto? Un compito piuttosto banale, non è vero? Tuttavia, la sua soluzione è associata alla costruzione della corrispondente equazione esponenziale: Sia - l'importo iniziale, - l'importo finale, - il tasso di interesse per il periodo, - il numero di periodi. Quindi:

Nel nostro caso (se la tariffa è annuale, viene addebitata al mese). Perché è diviso per? Se non conosci la risposta a questa domanda, ricorda l'argomento ""! Quindi otteniamo la seguente equazione:

Questa equazione esponenziale può già essere risolta solo con l'aiuto di una calcolatrice (il suo aspetto suggerisce questo, e ciò richiede la conoscenza dei logaritmi, che conosceremo un po 'più tardi), che farò: ... Quindi, per ottenere un milione, dobbiamo dare un contributo per un mese (non molto velocemente, giusto?).

Esempio 2 (più scientifico). Nonostante il suo, un po' di "isolamento", vi consiglio di prestargli attenzione: regolarmente "scivola all'esame!! (il problema è preso dalla versione "reale") Durante il decadimento di un isotopo radioattivo, la sua massa diminuisce secondo la legge, dove (mg) è la massa iniziale dell'isotopo, (min.) è il tempo trascorso dalla momento iniziale, (min.) è l'emivita. All'istante iniziale, la massa dell'isotopo è mg. La sua emivita è min. In quanti minuti la massa dell'isotopo sarà pari a mg? Va bene: basta prendere e sostituire tutti i dati nella formula che ci viene proposta:

Dividiamo entrambe le parti in, "nella speranza" che a sinistra otteniamo qualcosa di digeribile:

Bene, siamo molto fortunati! Si trova a sinistra, quindi passiamo all'equazione equivalente:

Dov'è il min.

Come puoi vedere, le equazioni esponenziali hanno un'applicazione molto reale nella pratica. Ora voglio discutere con te un altro (semplice) modo per risolvere le equazioni esponenziali, che si basa sull'eliminazione del fattore comune dalle parentesi, seguito dal raggruppamento dei termini. Non lasciarti intimidire dalle mie parole, ti sei già imbattuto in questo metodo in seconda media, quando studiavi i polinomi. Ad esempio, se è necessario fattorizzare l'espressione:

Raggruppiamo: il primo e il terzo termine, nonché il secondo e il quarto. È chiaro che il primo e il terzo sono la differenza dei quadrati:

e il secondo e il quarto hanno un fattore comune di tre:

Quindi l'espressione originale è equivalente a questa:

Dove eliminare il fattore comune non è più difficile:

Quindi,

Questo è approssimativamente come agiremo quando risolviamo le equazioni esponenziali: cerca "comune" tra i termini e mettilo fuori dalle parentesi, beh, allora - qualunque cosa accada, credo che saremo fortunati =)) Ad esempio:

A destra è lontano da una potenza di sette (l'ho controllato!) E a sinistra - un po 'meglio, puoi, ovviamente, "tagliare" il fattore a dal secondo dal primo termine, e poi affrontare il risultato, ma facciamolo in modo più sensato con te. Non voglio occuparmi di frazioni che derivano inevitabilmente dall'"evidenziazione", quindi non sarebbe meglio per me resistere? Allora non avrò frazioni: come si dice, i lupi si nutrono e le pecore sono al sicuro:

Conta l'espressione tra parentesi. In un modo magico, magico, si scopre che (sorprendente, anche se cos'altro possiamo aspettarci?).

Quindi cancelleremo entrambi i lati dell'equazione di questo fattore. Otteniamo:, da dove.

Ecco un esempio più complicato (un po', davvero):

Che guaio! Non abbiamo un terreno comune qui! Non è del tutto chiaro cosa fare ora. Facciamo quello che possiamo: per prima cosa spostiamo i "quattro" da una parte e i "cinque" dall'altra:

Ora spostiamo il "comune" a sinistra e a destra:

Così quello che ora? Qual è il vantaggio di un gruppo così stupido? A prima vista, non è affatto visibile, ma diamo uno sguardo più approfondito:

Bene, ora facciamo in modo che a sinistra abbiamo solo l'espressione con, e a destra - tutto il resto. Come facciamo questo? Ed ecco come: dividi prima entrambi i membri dell'equazione per (in questo modo eliminiamo il grado a destra), quindi dividi entrambi i lati per (in questo modo eliminiamo il fattore numerico a sinistra). Otteniamo infine:

Incredibile! A sinistra abbiamo un'espressione e a destra ne abbiamo una semplice. Allora concludiamo subito che

Ecco un altro esempio da consolidare:

Darò la sua breve soluzione (senza preoccuparmi troppo delle spiegazioni), prova a capire da solo tutte le "sottigliezze" della soluzione.

Ora il consolidamento finale del materiale passato. Prova a risolvere da solo i seguenti problemi. Darò solo brevi consigli e suggerimenti per risolverli:

1. Togliamo il fattore comune dalle parentesi:
2. Rappresentiamo la prima espressione nella forma:, dividi entrambe le parti in e ottieni che
3. , quindi l'equazione originale viene trasformata nella forma: Bene, ora un suggerimento: guarda dove tu ed io abbiamo già risolto questa equazione!
4. Immagina come, come e, beh, quindi dividi entrambe le parti per, in modo da ottenere l'equazione esponenziale più semplice.
5. Togli le parentesi.
6. Togli le parentesi.

EQUAZIONI ESPLORATIVE. LIVELLO MEDIO

Immagino che dopo aver letto il primo articolo che diceva cosa sono le equazioni esponenziali e come risolverle, hai acquisito le conoscenze minime necessarie per risolvere gli esempi più semplici.

Ora analizzerò un altro metodo per risolvere le equazioni esponenziali, questo è

"Metodo di introduzione di una nuova variabile" (o sostituzione). Risolve la maggior parte dei problemi "difficili" sul tema delle equazioni esponenziali (e non solo). Questo metodo è uno dei più utilizzati nella pratica. Innanzitutto, ti consiglio di familiarizzare con l'argomento.

Come hai già capito dal nome, l'essenza di questo metodo è introdurre un tale cambio di variabile che la tua equazione esponenziale si trasforma miracolosamente in una che puoi facilmente risolvere. Tutto ciò che ti rimane dopo aver risolto questa "equazione molto semplificata" è fare una "sostituzione inversa": cioè tornare da quella sostituita a quella sostituita. Illustriamo quanto appena detto con un esempio molto semplice:

Esempio 1:

Questa equazione viene risolta usando la "sostituzione semplice", come la chiamano sprezzantemente i matematici. In effetti, la sostituzione qui è la più ovvia. Basta vedere che

Quindi l'equazione originale diventa questa:

Se presentiamo inoltre come, allora è abbastanza chiaro cosa deve essere sostituito: ovviamente. In che cosa si trasformerà allora l'equazione originale? Ed ecco cosa:

Puoi facilmente trovare le sue radici da solo:. Cosa dovremmo fare adesso? È ora di tornare alla variabile originale. Cosa ho dimenticato di indicare? Vale a dire: quando si sostituisce un certo grado con una nuova variabile (cioè quando si cambia una vista), sarò interessato a solo radici positive! Tu stesso puoi facilmente rispondere al perché. Quindi, tu ed io non siamo interessati, ma la seconda radice è abbastanza adatta per noi:

Poi dove.

Risposta:

Come puoi vedere, nell'esempio precedente, la sostituzione chiedeva le nostre mani. Sfortunatamente, questo non è sempre il caso. Tuttavia, non andiamo direttamente al triste, ma facciamo pratica con un altro esempio con una sostituzione abbastanza semplice

Esempio 2.

È chiaro che molto probabilmente sarà necessario sostituire (questa è la più piccola delle potenze incluse nella nostra equazione), tuttavia, prima di introdurre la sostituzione, la nostra equazione deve essere "preparata" per essa, ovvero:,. Quindi puoi sostituire, di conseguenza ottengo la seguente espressione:

Oh horror: un'equazione cubica con formule completamente inquietanti per la sua soluzione (beh, parlando in termini generali). Ma non disperiamo subito, ma pensiamo a cosa fare. Proporrò di barare: sappiamo che per ottenere una risposta "bella" dobbiamo ottenerla sotto forma di una potenza di una tripla (perché dovrebbe essere, eh?). Proviamo a indovinare almeno una radice della nostra equazione (comincerò a indovinare con potenze di tre).

Prima ipotesi. Non è una radice. Ahimè e ah...

.
Il lato sinistro è uguale.
Parte destra: !
C'è! Hai indovinato la prima radice. Ora le cose diventeranno più facili!

Conosci lo schema di divisione "ad angolo"? Ovviamente sai che lo usi quando dividi un numero per un altro. Ma poche persone sanno che lo stesso si può fare con i polinomi. C'è un grande teorema:

Applicato alla mia situazione, questo mi dice per cosa è divisibile. Come si effettua la divisione? Ecco come:

Guardo quale monomio devo moltiplicare per ottenere È chiaro che su, allora:

Sottrai l'espressione risultante da, ottieni:

Ora per cosa devo moltiplicare per ottenere? È chiaro che su, quindi otterrò:

e sottrarre nuovamente l'espressione risultante da quella rimanente:

Bene, l'ultimo passaggio, moltiplicherò per e sottrarrò dall'espressione rimanente:

Evviva, la divisione è finita! Cosa abbiamo risparmiato in privato? Da solo: .

Quindi abbiamo ottenuto la seguente scomposizione del polinomio originale:

Risolviamo la seconda equazione:

Ha radici:

Quindi l'equazione originale:

ha tre radici:

Ovviamente scarteremo l'ultima radice, poiché è minore di zero. E i primi due dopo la sostituzione inversa ci daranno due radici:

Risposta: ..

Non volevo spaventarti con questo esempio, ma piuttosto il mio obiettivo era mostrare che sebbene avessimo una sostituzione abbastanza semplice, ha comunque portato a un'equazione piuttosto complessa, la cui soluzione ha richiesto alcune abilità speciali da parte nostra. Ebbene, nessuno è immune da questo. Ma la sostituzione in questo caso era abbastanza ovvia.

Ecco un esempio con una sostituzione leggermente meno ovvia:

Non è affatto chiaro cosa dovremmo fare: il problema è che nella nostra equazione ci sono due basi diverse e una base non può essere ottenuta dall'altra elevando a qualsiasi grado (ragionevole, naturalmente). Tuttavia, cosa vediamo? Entrambe le basi differiscono solo nel segno e il loro prodotto è la differenza dei quadrati, pari a uno:

Definizione:

Quindi, i numeri che sono le basi nel nostro esempio sono coniugati.

In questo caso, una mossa intelligente sarebbe moltiplicare entrambi i membri dell'equazione per il numero coniugato.

Ad esempio, attivato, il lato sinistro dell'equazione diventa uguale e il lato destro. Se effettuiamo una sostituzione, la nostra equazione originale diventerà così:

le sue radici, quindi, e ricordandolo, lo otteniamo.

Risposta: , .

Di norma, il metodo di sostituzione è sufficiente per risolvere la maggior parte delle equazioni esponenziali "scolastiche". I seguenti compiti sono tratti dall'esame C1 (livello di difficoltà avanzato). Sei già abbastanza competente per risolvere in modo indipendente questi esempi. Darò solo la sostituzione richiesta.

1. Risolvi l'equazione:
2. Trova le radici dell'equazione:
3. Risolvi l'equazione:. Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento:

E ora, brevi spiegazioni e risposte:

1. Qui ci basta notare che e. Quindi l'equazione originale sarà equivalente a questa: Questa equazione viene risolta sostituendo Ulteriori calcoli fai da te. Alla fine, il tuo compito sarà ridotto alla risoluzione del più semplice trigonometrico (a seconda del seno o del coseno). Analizzeremo la soluzione di tali esempi in altre sezioni.
2. Qui puoi anche fare a meno della sostituzione: basta spostare il sottratto a destra e rappresentare entrambe le basi tramite potenze di due:, quindi passare direttamente all'equazione quadratica.
3. Anche la terza equazione è risolta in maniera abbastanza standard: immaginiamo come. Quindi, sostituendo otteniamo un'equazione quadratica: quindi,

   Sai già cos'è un logaritmo? No? Quindi leggi l'argomento con urgenza!

   La prima radice, ovviamente, non appartiene al segmento, e la seconda è incomprensibile! Ma lo scopriremo molto presto! Poiché, allora (questa è una proprietà del logaritmo!) Confronta:

   Sottrai da entrambe le parti, quindi otteniamo:

   Il lato sinistro può essere rappresentato come:

   moltiplicare entrambe le parti per:

   può essere moltiplicato per, allora

   Allora confrontiamo:

   da allora:

   Quindi la seconda radice appartiene all'intervallo richiesto

   Risposta:

Come vedi, la selezione delle radici delle equazioni esponenziali richiede una conoscenza sufficientemente approfondita delle proprietà dei logaritmi quindi ti consiglio di stare il più attento possibile quando risolvi le equazioni esponenziali. Come puoi immaginare, in matematica, tutto è interconnesso! Come diceva il mio insegnante di matematica: "la matematica, come la storia, non si legge dall'oggi al domani".

Di regola, tutto la difficoltà nel risolvere i problemi C1 è proprio la selezione delle radici dell'equazione. Facciamo pratica con un altro esempio:

È chiaro che l'equazione stessa è abbastanza semplice da risolvere. Effettuando la sostituzione, ridurremo la nostra equazione originale alla seguente:

Per prima cosa, diamo un'occhiata alla prima radice. Confronta e: da allora. (proprietà della funzione logaritmica, at). Allora è chiaro che neanche la prima radice appartiene al nostro intervallo. Ora la seconda radice:. È chiaro che (poiché la funzione a è crescente). Resta da confrontare e.

da allora, allo stesso tempo. In questo modo posso "guidare un piolo" tra e. Questo piolo è un numero. La prima espressione è più piccola e la seconda è più grande. Quindi la seconda espressione è maggiore della prima e la radice appartiene all'intervallo.

Risposta: .

Per concludere, diamo un'occhiata a un altro esempio di equazione in cui la sostituzione è piuttosto non standard:

Cominciamo subito con cosa puoi fare e cosa - in linea di principio, puoi, ma è meglio non farlo. Puoi - rappresentare tutto attraverso i poteri di tre, due e sei. Dove conduce? Sì, non porterà a nulla: un miscuglio di gradi, e alcuni di essi saranno abbastanza difficili da eliminare. Cosa occorre allora? Notiamo che E cosa ci darà? E il fatto che possiamo ridurre la soluzione di questo esempio alla soluzione di un'equazione esponenziale abbastanza semplice! Per prima cosa, riscriviamo la nostra equazione come:

Ora dividiamo entrambi i membri dell'equazione risultante per:

Eureka! Ora possiamo sostituire, otteniamo:

Bene, ora tocca a te risolvere i problemi dimostrativi, e darò loro solo brevi commenti in modo che tu non vada fuori strada! Buona fortuna!

1. Il più difficile! Non è facile trovare un sostituto qui! Tuttavia, questo esempio può essere completamente risolto usando selezione di un quadrato completo... Per risolverlo è sufficiente notare che:

Allora ecco un sostituto per te:

(Si prega di notare che qui, durante la nostra sostituzione, non possiamo eliminare la radice negativa !!! E perché pensi?)

Ora, per risolvere l'esempio, devi risolvere due equazioni:

Entrambi sono risolti dalla "sostituzione standard" (ma la seconda in un esempio!)

2. Nota che e fai una sostituzione.

3. Scomporre il numero in fattori coprimi e semplificare l'espressione risultante.

4. Dividi il numeratore e il denominatore della frazione per (o, se preferisci) e sostituisci o.

5. Notare che i numeri e sono coniugati.

EQUAZIONI ESPLORATIVE. LIVELLO AVANZATO

Inoltre, consideriamo un altro modo - soluzione di equazioni esponenziali con il metodo del logaritmo... Non posso dire che la soluzione di equazioni esponenziali con questo metodo sia molto popolare, ma solo in alcuni casi è in grado di condurci alla corretta soluzione della nostra equazione. È particolarmente spesso usato per risolvere il cosiddetto " equazioni miste": Cioè quelli in cui si incontrano funzioni di tipo diverso.

Ad esempio, un'equazione della forma:

nel caso generale, può essere risolto solo prendendo il logaritmo di entrambi i membri (ad esempio per la base), in cui l'equazione originale diventa la seguente:

Diamo un'occhiata al seguente esempio:

È chiaro che secondo l'ODZ della funzione logaritmica, ci interessa solo. Tuttavia, ciò deriva non solo dall'ODZ del logaritmo, ma per un'altra ragione. Penso che non sarà difficile per te indovinare quale.

Registriamo entrambi i lati della nostra equazione alla base:

Come puoi vedere, prendere il logaritmo della nostra equazione originale abbastanza velocemente ci ha portato alla risposta corretta (e bella!). Facciamo pratica con un altro esempio:

Anche qui non c'è nulla di cui preoccuparsi: logaritmo entrambi i membri dell'equazione in base, quindi otteniamo:

Facciamo una sostituzione:

Tuttavia, ci manca qualcosa! Hai notato dove ho sbagliato? Dopotutto, allora:

che non soddisfa il requisito (pensa da dove viene!)

Risposta:

Prova a scrivere tu stesso la soluzione delle equazioni esponenziali fornite di seguito:

Ora controlla la tua soluzione rispetto a questa:

1. Logaritmo entrambi i membri in base, tenendo conto che:

(la seconda radice non ci soddisfa a causa della sostituzione)

2. Logaritmo in base:

Trasformiamo l'espressione risultante nella seguente forma:

EQUAZIONI ESPLORATIVE. BREVE DESCRIZIONE E FORMULE DI BASE

Equazione esponenziale

Equazione della forma:

chiamato la più semplice equazione esponenziale.

Proprietà di potenza

Approcci alla soluzione

• Coercizione alla stessa base
• Conversione allo stesso esponente
• Sostituzione variabile
• Semplificazione espressiva e applicativa di una delle precedenti.

Lezione: "Metodi per la risoluzione di equazioni esponenziali".

1 . Equazioni esponenziali.

Le equazioni che contengono incognite nell'esponente sono chiamate equazioni esponenziali. La più semplice è l'equazione ax = b, dove a> 0 e ≠ 1.

1) Per b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Per b> 0, usando la monotonicità della funzione e il teorema della radice, l'equazione ha un'unica radice. Per trovarlo, b deve essere rappresentato nella forma b = ac, ax = bc ó x = c o x = logab.

Le equazioni esponenziali per trasformazioni algebriche portano a equazioni standard, che vengono risolte utilizzando i seguenti metodi:

1) il metodo di riduzione ad una base;

2) metodo di valutazione;

3) metodo grafico;

4) il metodo di introduzione di nuove variabili;

5) metodo di fattorizzazione;

6) esponenziale - equazioni di potenza;

7) indicativo con parametro.

2 . Metodo di coercizione a una base.

Il metodo si basa sulla seguente proprietà dei gradi: se due gradi sono uguali e le loro basi sono uguali, allora anche i loro indici sono uguali, cioè si deve tentare di ridurre l'equazione alla forma

Esempi. Risolvi l'equazione:

1 ... 3x = 81;

Riscrivi il lato destro dell'equazione come 81 = 34 e riscrivi l'equazione che è equivalente all'originale 3 x = 34; x = 4. Risposta: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png "width =" 52 "height =" 49 "> e procedi all'equazione per gli esponenti 3x + 1 = 3 - 5x; 8x = 4; x = 0,5 Risposta: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png "larghezza =" 105 "altezza =" 47 ">

Nota che i numeri 0.2, 0.04, √5 e 25 sono potenze di 5. Usiamolo per trasformare l'equazione originale come segue:

, da cui 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, da cui troviamo la soluzione x = -1. Risposta 1.

5. 3x = 5. Per la definizione del logaritmo x = log35. Risposta: log35.

6. 62x + 4 = 33x. 2x + 8.

Riscriviamo l'equazione come 32x + 4.22x + 4 = 32x.2x + 8, ovvero..png "width =" 181 "height =" 49 src = "> Quindi x - 4 = 0, x = 4. Risposta: 4 .

7 ... 2 ∙ 3x + 1 - 6 ∙ 3x-2 - 3x = 9. Usando le proprietà dei gradi, scriviamo l'equazione nella forma 6 ∙ 3x - 2 ∙ 3x - 3x = 9 quindi 3 ∙ 3x = 9, 3x + 1 = 32, cioè x + 1 = 2, x = 1. Risposta 1.

Banca dei compiti №1.

Risolvi l'equazione:

Prova numero 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
LA3	1) 3; 1 2) -3; -1 3) 0; 2 4) senza radici
	1) 7; 1 2) senza radici 3) -7; 1 4) -1; -7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Prova numero 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
la2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
LA3	1) 2; -1 2) senza radici 3) 0 4) -2; 1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metodo di valutazione.

teorema della radice: se la funzione f (x) aumenta (diminuisce) sull'intervallo I, il numero a è un qualsiasi valore assunto da f su questo intervallo, allora l'equazione f (x) = a ha un'unica radice sull'intervallo I.

Quando si risolvono le equazioni con il metodo di stima, vengono utilizzati questo teorema e le proprietà di monotonicità della funzione.

Esempi. Risolvi equazioni: 1. 4x = 5 - x.

Soluzione. Riscrivi l'equazione come 4x + x = 5.

1.se x = 1, allora 41 + 1 = 5, 5 = 5 è vero, quindi 1 è la radice dell'equazione.

La funzione f (x) = 4x - aumenta su R, e g (x) = x - aumenta su R => h (x) = f (x) + g (x) aumenta su R, come la somma delle funzioni crescenti , quindi x = 1 è l'unica radice dell'equazione 4x = 5 - x. Risposta 1.

2.

Soluzione. Riscriviamo l'equazione come .

1.se x = -1, allora , 3 = 3-vero, quindi x = -1 è la radice dell'equazione.

2. Dimostriamo che è l'unico.

3. La funzione f (x) = - diminuisce su R, e g (x) = - x - diminuisce su R => h (x) = f (x) + g (x) - diminuisce su R, come la somma di funzioni decrescenti... Quindi, per il teorema della radice, x = -1 è l'unica radice dell'equazione. Risposta 1.

Banca dei compiti №2. Risolvi l'equazione

a) 4x + 1 = 6 - x;

B)

c) 2x - 2 = 1 - x;

4. Metodo per l'introduzione di nuove variabili.

Il metodo è descritto nella clausola 2.1. L'introduzione di una nuova variabile (sostituzione) avviene solitamente dopo le trasformazioni (semplificazione) dei termini dell'equazione. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

Esempi. R Risolvi l'equazione: 1. .

Riscriviamo l'equazione in modo diverso: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png "width =" 128 "height =" 48 src = "> ie..png" width = "210" height = "45">

Soluzione. Riscriviamo l'equazione in modo diverso:

Designiamo https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png "width =" 245 "height =" 57 "> - non si adatta.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png "width =" 268 "height =" 51 "> è un'equazione irrazionale.

La soluzione dell'equazione è x = 2,5 ≤ 4, il che significa che 2,5 è la radice dell'equazione. Risposta: 2.5.

Soluzione. Riscrivi l'equazione come segue e dividi entrambi i membri per 56x + 6 ≠ 0. Otteniamo l'equazione

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2 (x2-3x-4) +1, t..png "larghezza =" 118 "altezza =" 56 ">

Radici quadratiche - t1 = 1 e t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Soluzione . Riscriviamo l'equazione come

e si noti che è un'equazione omogenea di secondo grado.

Dividi l'equazione per 42x, otteniamo

Sostituiamo https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png "width =" 16 "height =" 41 src = ">.

Risposta: 0; 0,5.

Banca dei compiti numero 3. Risolvi l'equazione

B)

G)

Prova numero 3 con una scelta di risposta. Il livello minimo.

A1	1) -0.2; 2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x - 3 0,5x +2 = 0.	1) 2; 1 2) -1; 0 3) senza radici 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) senza radici 2) 2; 4 3) 3 4) -1; 2

Prova numero 4 con una scelta di risposta. Livello generale.

A1	1) 2; 1 2) ½; 0 3) 2; 0 4) 0
A2 2x - (0,5) 2x - (0,5) x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0; 1 4) senza radici

5. Metodo di fattorizzazione.

1. Risolvi l'equazione: 5x + 1 - 5x-1 = 24.

Solution..png "width =" 169 "height =" 69 ">, da dove

2. 6x + 6x + 1 = 2x + 2x + 1 + 2x + 2.

Soluzione. Scomponi 6x a sinistra e 2x a destra. Otteniamo l'equazione 6x (1 + 6) = 2x (1 + 2 + 4) ó 6x = 2x.

Poiché 2x> 0 per ogni x, entrambi i lati di questa equazione possono essere divisi per 2x senza timore di perdere soluzioni. Otteniamo 3x = 1ó x = 0.

3.

Soluzione. Risolviamo l'equazione con il metodo della fattorizzazione.

Seleziona il quadrato del binomio

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png "larghezza =" 500 "altezza =" 181 ">

x = -2 è la radice dell'equazione.

Equazione x + 1 = 0 "stile =" bordo-collasso: collasso; bordo: nessuno ">

LA1 5x-1 + 5x -5x + 1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x + 1 + 3x-1 = 270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x + 1 -108 = 0.x = 1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x = 4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Prova numero 6 Livello generale.

A1 (22x-1) (24x + 22x + 1) = 7.	1) ½ 2) 2 3) -1; 3 4) 0.2
la2	1) 2,5 2) 3; 4 3) log43 / 2 4) 0
A3 2x-1-3x = 3x-1-2x + 2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Indicativo - equazioni di potenza.

Le equazioni esponenziali sono adiacenti alle cosiddette equazioni esponenziali - potenza, cioè equazioni della forma (f (x)) g (x) = (f (x)) h (x).

Se è noto che f (x)> 0 e f (x) ≠ 1, allora l'equazione, come quella esponenziale, viene risolta eguagliando gli esponenti g (x) = f (x).

Se la condizione non esclude la possibilità di f (x) = 0 e f (x) = 1, allora dobbiamo considerare questi casi quando risolviamo l'equazione esponenziale - potenza.

1..png "width =" 182 "height =" 116 src = ">

2.

Soluzione. x2 + 2x-8 - ha senso per qualsiasi x, poiché è un polinomio, quindi l'equazione è equivalente a un insieme

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png "larghezza =" 137 "altezza =" 35 ">

B)

7. Equazioni esponenziali con parametri.

1. Per quali valori del parametro p l'equazione 4 (5 - 3) • 2 + 4p2–3p = 0 (1) ha una soluzione unica?

Soluzione. Introduciamo la sostituzione 2x = t, t> 0, quindi l'equazione (1) assume la forma t2 - (5p - 3) t + 4p2 - 3p = 0. (2)

Il discriminante dell'equazione (2) D = (5p - 3) 2 - 4 (4p2 - 3p) = 9 (p - 1) 2.

L'equazione (1) ha un'unica soluzione se l'equazione (2) ha una radice positiva. Ciò è possibile nei seguenti casi.

1. Se D = 0, cioè p = 1, allora l'equazione (2) assume la forma t2 - 2t + 1 = 0, quindi t = 1, quindi l'equazione (1) ha un'unica soluzione x = 0.

2. Se p1, allora 9 (p - 1) 2> 0, allora l'equazione (2) ha due radici diverse t1 = p, t2 = 4p - 3. La condizione del problema è soddisfatta dall'insieme dei sistemi

Sostituendo t1 e t2 nei sistemi, abbiamo

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png "alt =" (! LANG: no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Soluzione. lascia stare quindi l'equazione (3) assume la forma t2 - 6t - a = 0. (4)

Troviamo i valori del parametro a per cui almeno una radice dell'equazione (4) soddisfa la condizione t> 0.

Introduciamo la funzione f (t) = t2 - 6t - a. Sono possibili i seguenti casi.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png "alt =" (! LANG: http: //september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png "alt =" (! LANG: http: //september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Caso 2. L'equazione (4) ha un'unica soluzione positiva se

D = 0, se a = - 9, l'equazione (4) assume la forma (t - 3) 2 = 0, t = 3, x = - 1.

Caso 3. L'equazione (4) ha due radici, ma una di esse non soddisfa la disuguaglianza t> 0. Ciò è possibile se

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png "alt =" (! LANG: no35_17" width="267" height="63">!}

Quindi, per a 0, l'equazione (4) ha un'unica radice positiva ... Allora l'equazione (3) ha un'unica soluzione

Per un< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

se un< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
se a = - 9, allora x = - 1;

se a 0, allora

Confrontiamo i metodi per risolvere le equazioni (1) e (3). Si noti che quando si risolve l'equazione (1) è stata ridotta a un'equazione quadratica, il cui discriminante è un quadrato completo; quindi, le radici dell'equazione (2) sono state immediatamente calcolate utilizzando la formula per le radici dell'equazione quadratica, e quindi sono state tratte conclusioni su queste radici. L'equazione (3) è stata ridotta a un'equazione quadratica (4), il cui discriminante non è un quadrato perfetto, quindi, quando si risolve l'equazione (3), è consigliabile utilizzare teoremi sulla posizione delle radici di un trinomio quadratico e un modello grafico. Nota che l'equazione (4) può essere risolta usando il teorema di Vieta.

Risolviamo equazioni più complesse.

Problema 3. Risolvi l'equazione

Soluzione. ODZ: x1, x2.

Introduciamo un sostituto. Sia 2x = t, t> 0, quindi come risultato delle trasformazioni l'equazione assumerà la forma t2 + 2t - 13 - a = 0. (*) Trova i valori di a per cui almeno una radice dell'equazione (*) soddisfa la condizione t> 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png "alt =" (! LANG: http: //1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png "alt =" (! LANG: http: //september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Risposta: se a> - 13, a 11, a  5, quindi se a - 13,

a = 11, a = 5, allora non ci sono radici.

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