Che cos'è l'inerzia? Il significato della parola "inerzia". Inerzia del corpo rigido
Forze d'inerzia e legge fondamentale della meccanica
Vasily Ruslanovich Bernikov,
ingegnere.
Prefazione
Le forze interne in alcuni casi sono la causa della comparsa di forze esterne applicate al sistema,,,. Le forze d'inerzia sono sempre esterne rispetto a qualsiasi sistema in movimento di corpi materiali,,,. Le forze di inerzia agiscono allo stesso modo delle forze di interazione, sono abbastanza reali, possono svolgere un lavoro, impartire accelerazione,,,. Con un gran numero di prerequisiti teorici in meccanica sulla possibilità di utilizzare le forze inerziali come forze di traslazione durante la creazione di strutture, non hanno portato a un risultato positivo. È possibile notare solo alcuni progetti ben noti con bassa efficienza dell'uso delle forze inerziali: l'inercoide di Tolchin, l'elica a fluido vortice di Frolov, l'elica di Thornson. Il lento sviluppo delle eliche inerziali è spiegato dalla mancanza di una giustificazione teorica fondamentale per l'effetto osservato. Sulla base dei consueti concetti classici della meccanica fisica, questo lavoro ha creato una base teorica per l'uso delle forze inerziali come traslazionali.
§1. La legge fondamentale della meccanica e le sue conseguenze.
Considera le leggi di trasformazione delle forze e delle accelerazioni in vari sistemi di riferimento. Scegliamo un sistema di riferimento inerziale arbitrariamente stazionario e accettiamo di considerare il moto relativo ad esso come assoluto. In un tale sistema di riferimento, l'equazione principale del moto di un punto materiale è l'equazione che esprime la seconda legge di Newton.
m w addominali = F, (1.1)
dove F- la forza di interazione dei corpi.
Un corpo in quiete in un sistema di riferimento in movimento è portato via da quest'ultimo nel suo moto rispetto ad un sistema di riferimento stazionario. Questo movimento è chiamato portatile. Il movimento del corpo rispetto al sistema di riferimento è chiamato relativo. Il movimento assoluto del corpo consiste nei suoi movimenti relativi e figurativi. Nei sistemi di riferimento non inerziali (sistemi di riferimento che si muovono con accelerazione), la legge di trasformazione delle accelerazioni per il moto traslatorio ha la seguente forma
w addominali = w rel + w per. (1.2)
Tenendo conto della (1.1) per le forze, scriviamo l'equazione del moto relativo per un punto materiale in un sistema di riferimento che si muove con accelerazione traslazionale
mw rel = F - mw corsia, (1.3)
dove mw ln è la forza di inerzia traslazionale, che nasce non dall'interazione dei corpi, ma dal moto accelerato del sistema di riferimento. Il movimento dei corpi sotto l'azione delle forze d'inerzia è simile al movimento nei campi di forze esterni [2, p.359]. L'impulso del centro di massa del sistema [3, p.198] può essere modificato modificando l'impulso di rotazione interno o l'impulso di traslazione interna. Le forze d'inerzia sono sempre esterne [2, p.359] in relazione a qualsiasi sistema in movimento di corpi materiali.
Supponiamo ora che il sistema di riferimento si muova in modo completamente arbitrario rispetto a un sistema di riferimento stazionario. Questo movimento può essere diviso in due: movimento traslatorio con velocità v o, uguale alla velocità di moto dell'origine, e moto rotatorio attorno all'asse istantaneo passante per tale origine. La velocità angolare di questa rotazione è indicata con w, e la distanza dall'origine del sistema di riferimento in movimento al punto in movimento in esso attraverso R... Inoltre, un punto in movimento ha una velocità relativa al sistema di riferimento in movimento v rel. Allora per l'accelerazione assoluta [2, p. 362] la relazione è nota
w addominali = w rel - 2[ v rel w] + (d v o / dt) - w 2 R ^ + [(d con / dt) R] ,. (1.4)
dove R ^ - componente del raggio vettore R perpendicolare all'asse di rotazione istantaneo. Trasferiamo l'accelerazione relativa a sinistra, e l'assoluta a destra e moltiplichiamo il tutto per la massa corporea, otteniamo l'equazione di base delle forze di moto relativo [2, p.364] di un punto materiale in un movimento arbitrario quadro di riferimento
mw rel = mw addominali + 2m [ v rel w] - m (d v o / dt) + mw 2 R ^ - m [(d con / dt) R] . (1.5)
O di conseguenza
mw rel = F + F a + F n + F c + F, (1.6)
dove: F- la forza di interazione dei corpi; F k - forza d'inerzia di Coriolis; F n - forza d'inerzia traslazionale; F c - forza centrifuga d'inerzia; F f - forza di inerzia di fase.
La direzione della forza di interazione dei corpi F coincide con la direzione di accelerazione del corpo. Forza d'inerzia di Coriolis F to è diretto secondo il prodotto vettoriale della velocità radiale e angolare, cioè perpendicolare a entrambi i vettori. Forza di inerzia in avanti F n è diretto opposto all'accelerazione del corpo. Forza centrifuga d'inerzia F q è diretto lungo il raggio dal centro di rotazione del corpo. Forza di inerzia di fase Fè diretto opposto al prodotto vettoriale di accelerazione angolare e raggio dal centro di rotazione perpendicolare a questi vettori.
Pertanto, è sufficiente conoscere l'entità e la direzione dell'azione delle forze di inerzia e di interazione per determinare la traiettoria del moto del corpo rispetto a qualsiasi sistema di riferimento.
Oltre alle forze di inerzia e all'interazione dei corpi, esistono forze di massa variabile, che sono una conseguenza dell'azione delle forze d'inerzia. Consideriamo la seconda legge di Newton in forma differenziale [2, p.77]
D P/ dt = ∑ F, (1.7)
dove: P- impulso del sistema dei corpi; ? F- la somma delle forze esterne.
È noto che la quantità di moto di un sistema di corpi nel caso generale dipende dal tempo e, di conseguenza, è pari a
P(t) = m (t) v(t), (1.8)
dove: m (t) è la massa del sistema di corpi; v(t) - velocità del sistema di corpi.
Poiché la velocità è la derivata temporale delle coordinate del sistema, allora
v(t) = d R(t) / dt, (1.9)
dove R- raggio vettore.
Nel seguito indicheremo la dipendenza dal tempo: massa, velocità e raggio vettore. Sostituendo (1.9) e (1.8) nella (1.7), si ottiene
d (m (d R/ dt)) / dt = ∑ F. (1.10)
Introduciamo la massa m sotto il segno differenziale [1, p. 295], quindi
D [ (d (m R) / dt) - R(dm / dt)] / dt = ∑ F.
La derivata della differenza è uguale alla differenza delle derivate
d [(d (m R) / dt)] dt - d [ R(dm / dt)] / dt = ∑ F.
Effettuiamo una differenziazione dettagliata di ciascun termine secondo le regole per differenziare i prodotti
m (d 2 R/ dt 2) + (dm / dt) (d R/ dt) + (dm / dt) (d R/ dt) +
+ R(d 2 m / dt 2) - R(d 2 m / dt 2)- (dm / dt) (d R/ dt) = ∑ F. (1.11)
Presentiamo termini simili e scriviamo l'equazione (1.11) nella forma seguente
m (d 2 R/ dt 2) = ∑ F- (dm / dt) (d R/ dt). (1.12)
Il membro destro dell'equazione (1.12) è la somma di tutte le forze esterne. L'ultimo termine è chiamato forza di massa variabile, cioè
F pm = - (dm / dt) (d R/ dt). (1.13)
Pertanto, alle forze esterne viene aggiunta un'altra forza esterna: la forza della massa variabile. L'espressione nella prima parentesi a destra dell'equazione (1.13) è la velocità di variazione della massa e l'espressione nella seconda parentesi è la velocità di separazione (attaccamento) delle particelle. Quindi, questa forza agisce con un cambiamento di massa (forza reattiva) [2, p.120] di un sistema di corpi con separazione (attaccamento) di particelle con una velocità appropriata rispetto a questo sistema di corpi. L'equazione (1.12) è l'equazione di Meshchersky [2, p.120], il segno meno indica che l'equazione è derivata dall'assunzione dell'azione delle forze interne (separazione delle particelle). Poiché l'equazione (1.12) è stata derivata sotto l'assunzione di un cambiamento nella quantità di moto di un sistema di corpi sotto l'influenza di forze interne che generano quelle esterne, con un metodo matematico esatto, quindi, nel derivarlo, sono apparse altre due forze nell'espressione ( 1.11) che non partecipano a una variazione della quantità di moto di un sistema di corpi, poiché si riducono quando vengono portati termini simili. Riscriviamo l'equazione (1.11), tenendo conto dell'equazione (1.13), senza cancellare termini simili, come segue
m (d 2 R/ dt 2) + R(d 2 m / dt 2) + (dm / dt) (d R/ dt) = ∑ F + F pomeriggio + R(d 2 m / dt 2) + (dm / dt) (d R/ dt). (1.14)
Indichiamo il penultimo termine nell'espressione (1.14) con F m, e l'ultimo dopo F d, allora
m (d 2 R/ dt 2) + R(d 2 m / dt 2) + (dm / dt) (d R/ dt) = ∑ F + F pomeriggio + F m + F ecc. (1.15)
Dal momento che la forza F m non partecipa alla variazione della quantità di moto, quindi può essere scritta come un'equazione separata
F m = R(d 2 m / dt 2). (1.16)
Consideriamo il significato fisico dell'equazione (1.16), per questo lo riscriviamo nella forma seguente
R = F m / (d 2 m / dt 2). (1.17)
Il rapporto tra la forza e la crescita accelerata della massa in un certo volume è un valore costante, ovvero lo spazio occupato da una certa quantità di un tipo di sostanza è caratterizzato da un volume minimo. Forza F m è statico e agisce come una pressione.
Forza F anche q non partecipa al cambiamento della quantità di moto del sistema di corpi, quindi lo scriviamo come un'equazione separata e consideriamo il suo significato fisico
F d = (dm / dt) (d R/ dt). (1.18)
Forza F d è la forza di pressione esercitata da una sostanza allo stato liquido o gassoso sullo spazio circostante. È caratterizzato dal numero, dalla massa e dalla velocità delle particelle che forniscono pressione in una certa direzione. Va notato che la forza di pressione F q coincide con la forza di massa variabile F pm e la loro distinzione è stata fatta solo per determinare la natura dell'azione in varie condizioni. Quindi, l'equazione (1.15) descrive completamente lo stato della materia. Vale a dire, considerando l'equazione (1.15), possiamo concludere che una sostanza è caratterizzata dalla massa come misura dell'inerzia, lo spazio minimo che una data quantità di sostanza può occupare senza modificarne le proprietà e la pressione esercitata da una sostanza in un liquido e gassoso sullo spazio circostante.
§2. Caratteristica dell'azione delle forze d'inerzia e della massa variabile.
Il moto traslatorio accelerato del corpo avviene sotto l'azione di una forza secondo la seconda legge di Newton. Cioè, un cambiamento nella grandezza della velocità del corpo si verifica in presenza di accelerazione e la forza che ha causato questa accelerazione.
L'uso della forza centrifuga d'inerzia per il movimento traslatorio è possibile solo con un aumento della velocità lineare delle sorgenti di queste forze, poiché con il movimento accelerato del sistema, le forze d'inerzia delle sorgenti nella direzione di aumentare la velocità del sistema diminuiscono fino a scomparire completamente. Inoltre, il campo delle forze d'inerzia dovrebbe essere disomogeneo e avere un valore massimo nella parte del sistema nella direzione del moto traslatorio.
Consideriamo il movimento di un corpo (Figura 2.1) di massa m lungo una circonferenza di raggio R.
Riso. 2.1.
Forza centrifuga F q, con cui il corpo preme sul cerchio, è determinato dalla formula
F q = m 2 R. (2.1)
Usando la nota relazione ω = v / R, dove v è la velocità lineare del corpo perpendicolare al raggio R, scriviamo la formula (2.1) nella forma seguente
F c = m v 2 / R. (2.2)
La forza centrifuga agisce nella direzione del raggio R... Ora spezzeremo istantaneamente il cerchio lungo il quale si muove il corpo. L'esperienza mostra che il corpo volerà tangenzialmente nella direzione della velocità lineare v piuttosto che nella direzione della forza centrifuga. Cioè, in assenza di supporto, la forza centrifuga scompare all'istante.
Lascia che un corpo di massa m si muova lungo un elemento di un semicerchio (Fig. 2.2) di raggio R, e il semicerchio si muova con un'accelerazione w P perpendicolare al diametro.
Riso. 2.2.
Con un movimento uniforme del corpo (la velocità lineare non cambia in grandezza) e un semicerchio accelerato, il supporto sotto forma di semicerchio scompare istantaneamente e la forza centrifuga sarà uguale a zero. Se il corpo si muove con accelerazione lineare positiva, raggiungerà il semicerchio e agirà la forza centrifuga. Troviamo l'accelerazione lineare w del corpo, alla quale agisce la forza centrifuga, cioè preme sul semicerchio. Per questo, il tempo trascorso dal corpo sul percorso tangenziale all'intersezione con la linea tratteggiata parallela al diametro e tracciata attraverso il punto B (Figura 2.2) deve essere inferiore o uguale al tempo che il semicerchio impiegherà nella direzione perpendicolare al diametro. Lascia che le velocità iniziali del corpo e del semicerchio siano zero e il tempo trascorso sia lo stesso, quindi il percorso S AC, percorso dal corpo
S AC = w t 2/2, (2.3)
e il percorso percorso dal semicerchio S AB sarà
S AB = w P t 2/2. (2.4)
Dividiamo l'equazione (2.3) per (2.4) e otteniamo
S AC / S AB = w / w P.
Quindi l'accelerazione del corpo w, tenendo conto dell'ovvio rapporto S AC / S AB = 1 / cosΨ
w = wП / cosΨ, (2.5)
dove 0 £ Ψ £ π / 2.
Pertanto, la proiezione dell'accelerazione del corpo nell'elemento del cerchio su una data direzione (Fig. 2.2) deve essere sempre maggiore o uguale all'accelerazione del sistema nella stessa direzione per mantenere la forza centrifuga in azione. Cioè, la forza centrifuga agisce come forza motrice traslazionale solo in presenza di un'accelerazione positiva, che cambia il valore della velocità lineare del corpo nel sistema
La relazione per il secondo quarto di semicerchio si ottiene in modo simile (Figura 2.3).
Riso. 2.3.
Solo il percorso percorso tangenzialmente dal corpo partirà da un punto del semicerchio che si muove con accelerazione fino ad intersecare la linea tratteggiata parallela al diametro e passante per il punto A della posizione iniziale del semicerchio. L'angolo in questo caso è determinato dall'intervallo π / 2 ³ Ψ ³ 0.
Per un sistema in cui il corpo si muove uniformemente o con decelerazione lungo la circonferenza, la forza centrifuga non provocherà il moto traslatorio accelerato del sistema, poiché l'accelerazione lineare del corpo sarà nulla o il corpo resterà indietro rispetto al moto accelerato del sistema.
Se il corpo ruota ad una velocità angolare ω e contemporaneamente si avvicina al centro del cerchio con una velocità v, allora sorge la forza di Coriolis
F k = 2m [ v ω]. (2.6)
Un tipico elemento di traiettoria è mostrato nella Figura 2.4.
Riso. 2.4.
Tutte le formule (2.3), (2.4), (2.5) e le conclusioni per mantenere in azione la forza centrifuga del mezzo circolante saranno valide anche per la forza di Coriolis, poiché durante il moto accelerato del sistema, un corpo che si muove con moto lineare positivo l'accelerazione manterrà il passo con l'accelerazione del sistema e, di conseguenza, si sposterà lungo una traiettoria curvilinea, e non lungo una retta tangente quando non c'è forza di Coriolis. La curva deve essere divisa in due metà. Nella prima metà della curva (Fig. 4), l'angolo cambia dal punto iniziale a quello inferiore nell'intervallo -π / 2 £ Ψ £ π / 2, e nella seconda metà dal punto inferiore al centro di il cerchio π / 2 ³ Ψ ³ 0. Analogamente, per la rotazione del corpo e la sua simultanea rimozione (Fig. 2.5) dal centro, la forza di Coriolis agisce come traslazionale con un'accelerazione positiva della velocità lineare del corpo.
Riso. 2.5.
L'intervallo degli angoli nella prima metà dal centro del cerchio al punto in basso è 0 £ Ψ £ π / 2, e nella seconda metà dal punto in basso al punto finale π / 2 ³ Ψ ³ -π / 2.
Considera la forza di inerzia traslazionale F n (Figura 2.6), che è determinato dalla formula
F n = -m w,(2.7)
dove w- accelerazione del corpo.
Riso. 2.6.
Con un'accelerazione positiva del corpo, agisce contro il movimento, e con un'accelerazione negativa (decelerazione), agisce nella direzione del movimento del corpo. Quando un elemento di accelerazione o decelerazione (Figura 2.6) agisce sul sistema con cui gli elementi sono collegati, l'accelerazione del corpo dell'elemento in valore assoluto deve ovviamente essere maggiore del modulo di accelerazione del sistema causato dalla forza di inerzia traslazionale di il corpo. Cioè, la forza traslazionale d'inerzia agisce come forza motrice in presenza di accelerazione positiva o negativa.
Forza di inerzia di fase F(forza d'inerzia causata dalla rotazione irregolare) è determinata dalla formula
F= -m [(d ω / dt) R]. (2.8)
Lascia che il raggio R perpendicolare al vettore velocità angolare ω , allora, in forma scalare, la formula (2.8) assume la forma
F ф = -m (dω / dt) R. (2.9)
Con un'accelerazione angolare positiva del corpo (Figura 1.7), agisce contro il movimento, e con un'accelerazione angolare negativa (decelerazione), agisce nella direzione del movimento del corpo.
Riso. 2.7.
Usando la nota relazione ω = v / R, dove v è la velocità lineare del corpo perpendicolare al raggio R, scriviamo la formula (2.9) nella forma seguente
F f = -m (dv / dt). (2.10)
Poiché dv / dt = w, dove w è l'accelerazione lineare del corpo, l'equazione (2.10) assume la forma
F ф = -m w (2.11)
Quindi, la formula (2.11) è simile alla formula (2.7) per la forza di inerzia traslazionale, solo l'accelerazione w deve essere scomposta in componenti parallele ad α II e perpendicolari ad α ┴ (Figura 2.8) rispetto al diametro del semicerchio elemento.
Riso. 2.8.
Ovviamente, la componente perpendicolare dell'accelerazione w crea una coppia, poiché nella parte superiore del semicerchio è diretta a sinistra e nella parte inferiore a destra. La componente parallela dell'accelerazione w II crea una forza traslazionale di inerzia F fII, poiché è diretta nelle parti superiore e inferiore del semicerchio in una direzione, coincidente con la direzione di w II.
F фII = -m w II. (2.12)
Usando la relazione w II = w cosΨ, otteniamo
F фII = -m w cosΨ, (2.13)
dove l'angolo Ψ è nell'intervallo -π / 2 £ Ψ £ π / 2.
Si è così ottenuta la formula (2.13) per il calcolo dell'elemento della forza di inerzia di fase per il moto traslatorio. Cioè, la forza di inerzia di fase agisce come forza motrice in presenza di accelerazione lineare positiva o negativa.
Sono stati quindi individuati quattro elementi della forza d'inerzia traslazionale: centrifuga, di Coriolis, traslazionale, di fase. Collegando i singoli elementi in un certo modo, è possibile creare sistemi di forza motrice d'inerzia traslazionale.
Considera la forza di una massa variabile definita dalla formula
F pm = - (dm / dt) (d R/ dt). (2.14)
Poiché la velocità di distacco (attaccamento) delle particelle rispetto al sistema dei corpi è
tu= d R/ dt, (2.15)
allora l'equazione (2.14) può essere scritta come
F pomeridiano = - tu(dm / dt). (2.16)
Nell'equazione (2.16), la forza di massa variabile è il valore della forza prodotta dalla particella separatrice durante il cambiamento della sua velocità da zero a tu o il valore prodotto dalla particella attaccante quando la sua velocità cambia da tu a zero. Pertanto, la forza di massa variabile agisce al momento dell'accelerazione o della decelerazione delle particelle, cioè è una forza di inerzia traslazionale, ma calcolata da altri parametri. Tenendo conto di quanto sopra, diventa necessario chiarire la derivazione della formula di Tsiolkovsky. L'equazione (1.12) può essere riscritta in forma scalare e mettere ∑ F= 0, quindi
m (d 2 r / dt 2) = - (dm / dt) (dr / dt). (2.17)
Poiché l'accelerazione del sistema
d 2 r / dt 2 = dv / dt,
dove v è la velocità del sistema, allora l'equazione (2.17), tenendo conto dell'equazione (2.15), sarà
m (dv / dt) = - (dm / dt) u. (2.18)
Moltiplicando l'equazione (2.17) per dt, otteniamo
mdv = -udm, (2.19)
cioè, conoscendo la velocità massima u = u O di separazione delle particelle, che è considerata costante, possiamo determinare la velocità finale del sistema v
v = -u O dm / m = u O ln (m O / m). (2.20)
m O / m = e v / uo. (2.21)
L'equazione (2.21) è l'equazione di Tsiolkovsky.
§3. Contorno del mezzo circolante della forza d'inerzia centrifuga.
Si consideri la circolazione di un mezzo lungo un toro (Fig. 3.1) di raggio medio R, che si muove con velocità angolare ω rispetto al centro O . Il modulo centrifugo che agisce su un elemento di flusso puntuale con massa ∆m sarà uguale a
∆ F = m ω 2 R.
In qualsiasi sezione dell'anello per elementi identici, la forza centrifuga sarà la stessa in grandezza e diretta lungo il raggio dal centro, allungando l'anello. La forza centrifuga non dipende dal senso di rotazione.
Riso. 3.1.
Calcoliamo ora la forza centrifuga totale agente perpendicolarmente al diametro del semicerchio superiore (Figura 3.2). Ovviamente, nella direzione dal centro del diametro, la proiezione perpendicolare della forza sarà massima, scendendo gradualmente ai bordi del semicerchio, a causa della simmetria della curva rispetto alla linea mediana. Inoltre, la risultante delle proiezioni delle forze centrifughe agenti parallelamente al diametro sarà nulla, poiché sono uguali e dirette in senso opposto.
Riso. 3.2.
Scriviamo la funzione elementare della forza centrifuga agente su un segmento puntuale di massa ∆ m e lunghezza ∆ ℓ:
∆ F = ∆ m ω 2 R. (3.1)
La massa di un elemento puntiforme è uguale alla densità di flusso per il suo volume
∆ m = ρ ∆ V. (3.2)
Lunghezza di metà del toro lungo la linea mediana
dove è pi greco.
Volume di mezzo toro
V = π 2 Rr 2 = πR π r 2 = ℓ π r 2,
dove r è il raggio del tubo toroidale.
Per un volume elementare, scriviamo
∆ V = ∆ π r 2.
È noto che per un cerchio
∆ = R ∆ Ψ,
∆ V = π r 2 R ∆ . (3.3)
Sostituendo l'espressione (3.3) nella (3.2) si ottiene:
∆ m = ρ π r 2 R ∆ . (3.4)
Ora sostituiamo la (3.4) nella (3.1), allora
∆ F = ρ π r 2 ω 2 R 2 ∆ Ψ.
Forza centrifuga agente in direzione perpendicolare (fig. 2)
∆ F = ∆ Fcos ((π / 2) - ).
È noto che cos ((π / 2) - Ψ) = sin Ψ, quindi
∆ F = ∆ F peccato .
Sostituisci il valore per ∆ F otteniamo
∆ F = ρ π r 2 ω 2 R 2 peccato Ψ ∆ Ψ.
Troviamo la forza centrifuga totale che agisce nella direzione perpendicolare nell'intervallo da 0 a Ψ
F ┴ = ∫ ρ π r 2 ω 2 R 2 sin ΨdΨ.
Integriamo questa espressione, quindi otteniamo
F ┴ = - ρ π r 2 ω 2 R 2 cosΨ│. (3.5)
Supponiamo che l'accelerazione w del mezzo circolante sia dieci volte maggiore dell'accelerazione del sistema w c, cioè
In questo caso, secondo la formula (2.5), si ottiene
Calcoliamo l'angolo di azione delle forze inerziali in radianti
0.467 ,
che corrisponde ad un angolo di 84 gradi.
Pertanto, il raggio d'azione angolare delle forze d'inerzia è
0 £ Ψ £ 84 ° nella metà sinistra del contorno e simmetricamente 96 ° £ Ψ £ 180 ° nella metà destra del contorno. Cioè, l'intervallo di assenza delle forze inerziali agenti nell'intero circuito è di circa il 6,7% (in realtà l'accelerazione del mezzo circolante è molto maggiore dell'accelerazione del sistema, quindi l'intervallo di assenza delle forze agenti le forze d'inerzia saranno inferiori all'1% e possono essere ignorate). Per determinare la forza centrifuga totale, in questi intervalli di angoli, è sufficiente sostituire il primo intervallo nella formula (3.5) e, per simmetria, moltiplicare per 2 si ottiene
F ┴ = - 2ρ π r 2 ω 2 R 2 cosΨ│. (3.6)
Dopo semplici calcoli, otteniamo
F ┴ = 1,8 ρ π r 2 ω 2 R 2.
È noto che la velocità angolare
F ┴ = 1,8 ρ π r 2 v 2.
Poiché il mezzo circolante deve muoversi con accelerazione affinché la forza d'inerzia agisca, quindi, esprimiamo la velocità lineare attraverso l'accelerazione, assumendo che la velocità iniziale sia nulla
F ┴ = 1,8 ρ π r 2 (w t) 2. (3.8)
Il valore medio sulla durata dell'accelerazione positiva, che si assume costante, sarà
F ┴СР = ((1,8ρ π r 2 w 2) / t) ∫t 2 dt.
Dopo i calcoli, otteniamo
F ┴СР = 0,6ρ π r 2 w 2 t 2. (3.9).
Pertanto, è stato identificato il contorno del mezzo circolante, dal quale è possibile realizzare un circuito chiuso e riassumere le loro forze centrifughe.
Facciamo un circuito chiuso di quattro profili di sezione diversa (Figura 3.3): due profili superiori di raggio R. con sezione S e due profili inferiori di raggio R 1 con sezione S 1, trascurando gli effetti di bordo quando il fluido circolante passa da una sezione ad un altro. Lascia S< S 1 и радиус
R 1< R. Плотность циркулирующей среды одинакова. Тогда согласно уравнению неразрывности отношение скоростей потока в разных сечениях обратно пропорционально их сечениям, то есть
v / v 1 = S 1 / S = r 1 2 / r 2, (3.10)
dove r 1 ed r sono i raggi del flusso del mezzo circolante della sezione corrispondente.
Inoltre, scriviamo la relazione ovvia per velocità e accelerazioni
v / v 1 = w / w 1. (3.11)
Troviamo l'accelerazione del mezzo del contorno inferiore, utilizzando per i calcoli l'equazione (3.10) e (3.11)
w 1 = w r 2 / r 1 2. (3.12)
Ora, secondo l'equazione (3.9), determiniamo la forza centrifuga per il contorno inferiore, tenendo conto dell'equazione (3.12) e dopo i calcoli otteniamo
F ┴СР1 = 0,6 ρ π r 1 2 w 1 2 = 0,6 ρ π r 2 w 2 t 2 (r 2 / r 1 2) = F ┴СР (r 2 / r 1 2) (3.13)
Confrontando l'espressione per la forza centrifuga del contorno superiore (3.9) e del contorno inferiore (3.13), ne consegue che differiscono per il valore (r 2 / r 1 2).
Cioè, per r< r 1 центробежная сила верхнего контура больше, чем нижнего.
Riso. 3.3.
Le forze centrifughe risultanti che agiscono su due circuiti nel semipiano superiore (il confine dei semipiani superiore e inferiore è mostrato da una linea sottile) sono dirette in modo opposto alle forze centrifughe risultanti che agiscono su due circuiti nel semipiano inferiore . Ovviamente, la forza centrifuga totale F C agirà nella direzione, come mostrato in Figura 3.3, prendiamo questa direzione come positiva. Calcoliamo la forza centrifuga totale F C
F Ц = 2 F ┴СР - 2F ┴СР1 = 1,2ρ π r 2 w 2 t 2 (1- (r 2 / r 1 2)) (3.14)
Come puoi vedere, la forza centrifuga totale dipende dalla densità del flusso, dalle sezioni trasversali dei contorni opposti e dall'accelerazione del flusso. La forza centrifuga totale non dipende dal raggio dei contorni. Per un sistema in cui il mezzo circolante si muove uniformemente o con decelerazione attorno alla circonferenza, la forza centrifuga non farà accelerare il sistema in traslazione.
Pertanto, è stato identificato il contorno di base del mezzo circolante, è stata mostrata la possibilità di utilizzare i contorni del mezzo circolante di diverse sezioni per riassumere la forza centrifuga in una certa direzione e modificare l'impulso totale di un sistema chiuso di corpi sotto l'azione di forze d'inerzia esterne causate da forze interne.
Sia r = 0,025 m; r1 = 0,05 m; = 1000 kg/m3; w = 5 m / s 2, t = 1s, quindi durante l'accelerazione positiva il valore medio forza centrifuga totale F 44N.
§4. Contorno medio circolante della forza di inerzia di Coriolis.
È noto che la forza d'inerzia di Coriolis nasce quando un corpo di massa m ruota attorno ad un cerchio e contemporaneamente lo muove radialmente, ed è perpendicolare alla velocità angolare ω e la velocità del movimento radiale v... Direzione della forza di Coriolis F coincide con la direzione del prodotto vettoriale nella formula F= 2m [ vw].
Riso. 4.1.
La Figura 4.1 mostra la direzione della forza di Coriolis quando il corpo ruota attorno al cerchio in senso antiorario e lo sposta radialmente al centro del cerchio nel primo semestre. e la Figura 4.2 mostra la direzione della forza di Coriolis quando il corpo ruota attorno alla circonferenza anche in senso antiorario e lo sposta radialmente dal centro del cerchio per il secondo semiperiodo.
Riso. 4.2.
Combiniamo il lato sinistro del movimento del corpo in Figura 4.1 e il lato destro in Figura 4.2. allora entriamo in fig. 4.3 variante della traiettoria di movimento del corpo per il periodo.
Riso. 4.3.
Si consideri il movimento di un mezzo circolante (liquido) attraverso tubi piegati secondo la traiettoria. Le forze di Coriolis delle curve sinistra e destra agiscono in un settore di 180 gradi nella direzione radiale quando si spostano dal punto B al punto O rispettivamente a sinistra e a destra, rispetto all'asse X. Componenti della forza di Coriolis della curva sinistra e curva destra F | | retta parallela AC si compensano, in quanto uguali, dirette in senso opposto e simmetriche rispetto all'asse X. Le componenti simmetriche della forza di Coriolis delle curve sinistra e destra F ^ perpendicolari alla retta AC si sommano, come sono diretto in una direzione.
Calcoliamo il valore della forza di Coriolis che agisce lungo l'asse X sulla metà sinistra della traiettoria. Poiché elaborare l'equazione della traiettoria è un compito difficile, stiamo cercando una soluzione per trovare la forza di Coriolis con un metodo approssimato. Sia v la costante di velocità del fluido lungo l'intera traiettoria. La velocità radiale v p e la velocità lineare di rotazione v l, secondo il teorema del parallelogramma delle velocità, esprimiamo (Fig. 3) attraverso la velocità v e l'angolo α
v p = v cosα, v l = v sinα.
La traiettoria del moto (Figura 4.3) è costruita tenendo conto del fatto che nel punto B la velocità radiale v p è zero e la velocità lineare v l è uguale a v. Al centro del cerchio O, di raggio Ro, la velocità radiale vp è uguale a v, e la velocità lineare vl è zero, e la traiettoria tangente al centro della circonferenza è perpendicolare alla traiettoria tangente all'inizio (punto B). Il raggio decresce monotonamente da R® a zero. L'angolo α cambia da 90° nel punto B a 0° al centro del cerchio. Quindi, dalle costruzioni grafiche, scegliamo la lunghezza della traiettoria 1/4 della circonferenza del cerchio di raggio R 0. Ora puoi calcolare la massa del liquido usando la formula per il volume del toro. Cioè, la massa del mezzo circolante sarà pari a 1/4 della massa del toro con raggio medio R 0 e raggio interno del tubo r
m = ρπ 2 r 2 R 0/2, (4.1)
dove è la densità del liquido.
Il modulo della proiezione della forza di Coriolis in ogni punto della traiettoria sull'asse X si trova con la formula
F ^ = 2m v p cf ω cf cos b, (4.2)
dove v p cf - il valore medio della velocità radiale; ω cf - il valore medio della velocità angolare; b è l'angolo tra la forza di Coriolis F e l'asse X (-90 ° £ b £ 90 °).
Per i calcoli tecnici, è possibile trascurare l'intervallo di assenza dell'azione delle forze d'inerzia, poiché l'accelerazione del mezzo circolante è molto maggiore dell'accelerazione del sistema. Cioè, scegliamo l'intervallo angolare tra la forza di Coriolis F e l'asse X (-90 ° £ b £ 90 °). L'angolo α cambia da 90° nel punto B a 0° al centro del cerchio, quindi il valore medio della velocità radiale
v p cf = 1 / (0 - π / 2) ∫ v cos α dα = 2 v / π. (4.3)
Il valore medio della velocità angolare sarà
ω cf = (1 / ((v π / 2Rо) - v Rо))) ∫ ω dω = (v / 2Rо) ((π / 2.) +1). (4.4)
Il limite inferiore della velocità angolare dell'integrale nella formula (4.4) è determinato nel punto iniziale B. È ovviamente uguale a v / Ro. Il valore superiore dell'integrale è definito come il limite del rapporto
im (v ë / R) = im (v sinα / R), (4.5)
v л ® 0 α ® 0
R ® 0 R ® 0
dove R è il raggio attuale.
Useremo il noto metodo [7, p.410] per trovare i limiti per funzioni di più variabili: la funzione vsinα / R nel punto (R = 0, α = 0) ha un limite su qualsiasi retta R = kα passante per l'origine. In questo caso, non c'è limite, ma c'è un limite per una certa linea retta. Trova il coefficiente k nell'equazione della retta passante per l'origine.
Per α = 0 ® R = 0, per α = π / 2 ® R = Rо (Fig. 3), quindi k = 2Rо / π, allora la formula (5) si trasforma nella forma che include il primo limite notevole
im (v π sinα / 2Rо α) = (v π / 2Rо) im sinα / α = v π / 2Rо. (4.6)
α ® 0 α ® 0
Ora, sostituendo il valore ottenuto dalle formule (4.1), (4.3) e (4.4) in (4.2), otteniamo
F ^ = ρ π r 2 v 2 ((π / 2.) +1) cos b.
Trova la somma delle proiezioni della forza di Coriolis nell'intervallo (-90 ° £ b £ 90 °) per la curva sinistra.
90 °
F ^ = ρ π r 2 v 2 ((π / 2.) +1) ∫ cos b db = 2 ρ π r 2 v 2 ((π / 2.) +1).
90 °
La somma finale delle proiezioni della forza di Coriolis per le curve sinistra e destra
∑F ^ = 4ρ r 2 v 2 ((π / 2.) +1). (4.7)
Secondo la relazione (3.7), l'equazione (4.7) può essere riscritta come
∑F ^ = 4ρ r 2 (w t) 2 ((π / 2.) +1). (4.8)
Calcoliamo il valore medio della forza di Coriolis nel tempo, assumendo che l'accelerazione sia costante
Fк = ∑F ^ cf = 4ρ r 2 w 2 ((π / 2.) +1) / t) ∫t 2 dt.
Dopo i calcoli, otteniamo
Fк ≈ 1,3ρ r 2 w 2 ((π / 2.) +1) t 2. (4.9)
Sia r = 0,02 m; w = 5m/s2; = 1000kg/m3; t = 1c, allora la forza d'inerzia media totale di Coriolis durante l'accelerazione positiva del mezzo circolante sarà Fê ≈ 33N.
C'è un'inflessione al centro del cerchio nella traiettoria (Figura 4.3), che può essere interpretata, per semplificare i calcoli, come un semicerchio di piccolo raggio. Per chiarezza, dividiamo la traiettoria in due metà e inseriamo un semicerchio nella parte inferiore e una retta nella parte superiore, come mostrato in Figura 4.4, e dirigiamo il mezzo circolante lungo un tubo di raggio r curvo a forma di la traiettoria.
Riso. 4.4.
Nella formula (3.5), impostiamo l'angolo Ψ = 180 °, quindi la forza centrifuga totale Fц, agendo in direzione perpendicolare per il circuito del fluido di ricircolo
Fц = 2 ρπ r 2 v 2. (4.10)
Pertanto, la forza centrifuga non dipende dal raggio R, ma dipende solo dall'angolo di integrazione (vedi formula (3.5)) a densità di flusso costante , raggio r e velocità del mezzo circolante v in ciascun punto della traiettoria. Poiché il raggio R può essere qualsiasi, possiamo concludere che per qualsiasi curva convessa con bordi perpendicolari alla retta AOB (Figura 3.2), la forza centrifuga sarà determinata dall'espressione (4.10). Va notato, di conseguenza, che ogni spigolo di una curva convessa può essere perpendicolare alla propria retta, le quali sono parallele e non giacciono sulla stessa retta.
La somma delle proiezioni delle forze centrifughe (Fig. 4) che agiscono contro la direzione dell'asse X, che si verificano in un semicerchio e due metà di una curva convessa (la retta non contribuisce alla forza centrifuga) su una linea spezzata e le proiezioni agenti lungo l'asse X, che sorgono in due curve convesse sottostanti, sono compensate da una linea spezzata, poiché sono uguali e dirette in direzioni opposte. Così. la forza centrifuga non contribuisce al movimento in avanti.
§5. Sistemi rotazionali allo stato solido. Forze centrifughe d'inerzia.
1. Il vettore della propria velocità angolare delle aste è perpendicolare al vettore della velocità angolare del centro di massa dell'asta e il raggio dell'asse di rotazione comune delle aste.
L'energia del moto traslatorio può essere convertita nell'energia del moto rotatorio e viceversa. Si consideri una coppia di aste opposte di lunghezza con pesi puntiformi della stessa massa alle estremità, che ruotano uniformemente attorno al proprio centro di massa e attorno a un centro comune O di raggio R con velocità angolare ω (Fig. 5.1): mezzo giro dell'asta in un giro attorno all'asse comune. Lascia Rℓ / 2. Per una descrizione completa del processo è sufficiente considerare la rotazione nell'intervallo di angoli 0£ α £ / 2. Disponiamo le forze agenti parallelamente all'asse X passanti per il centro comune O e la posizione obliqua delle asteα = 45 gradi, nel piano dell'asse X e dell'asse di rotazione comune, come mostrato in Figura 5.1.
Riso. 5.1.
L'angolo α è correlato alla frequenza e al tempo t dalla relazione
α = ωt / 2, (5.1.1)
poiché il mezzo giro dell'asta avviene in un giro attorno all'asse comune. Ovviamente le forze centrifughe inerzia ci saranno più carichi remoti dal centro rispetto a quelli vicini. Proiezioni della forza centrifuga l'inerzia sull'asse X sarà
Fц1 = mω 2 (R - (ℓ / 2) cos α) sin 2α (5.1.2)
Fц2 = mω 2 (R + (ℓ / 2) cos α) sin 2α (5.1.3)
Fц3 = - mω 2 (R + (ℓ / 2) sin α) sin 2α (5.1.4)
Fц4 = - mω 2 (R - (ℓ / 2) sin α) sin 2α (5.1.5)
Scriviamo la differenza di forza centrifuga inerzia agendo su carichi remoti. Forza centrifuga differenziale inerzia per il secondo carico
Fts2-1 = mω 2 ℓ cosα sin2α. (5.1.6)
Forza centrifuga differenziale inerzia per il terzo carico
Fц3-4 = - mω 2 ℓ sinα sin2α. (5.1.7)
Valore medio delle forze centrifughe differenziali inerzia per mezzo giro sarà
Fav c2-1 = (1 / (π / 2)) ∫mω 2 ℓ cosα sin2αdα = 4mω 2 ℓ / 3 π »0.4mω 2 ℓ, (5.1.8)
Fav c3-4 = (1 / (π / 2)) ∫mω 2 ℓ sinα sin2αdα = -4mω 2 ℓ / 3 π "-0.4mω 2 ℓ. (5.1.9)
Ha ricevuto due forze centrifughe opposte e uguali nel modulo inerzie esterne. Pertanto, possono essere rappresentati sotto forma di due corpi identici infinitamente distanti (non inclusi nel sistema), che interagiscono simultaneamente con il sistema: il secondo peso trascina il sistema verso il primo corpo, e il terzo peso allontana il sistema dal secondo corpo.
Il valore medio della forza di azione forzata sul sistema per un mezzo giro lungo l'asse X è pari alla somma delle forze di trazione Fav c2-1 e di repulsione Fav c3-4 da corpi esterni
Fp = | Fsr c2-1 | + | Fsr c3-4 | = 0,8 mω 2 . (5.1.10)
Per eliminare la coppia del sistema di due aste nel piano verticale (Figura 5.2), è necessario utilizzare una coppia di aste opposte che ruotano in modo sincrono su un piano nella direzione opposta.
Riso. 5.2.
Per eliminare la coppia del sistema lungo un asse comune con centro O, utilizziamo la stessa coppia di quattro aste, ma ruotando in senso opposto rispetto all'asse comune (Figura 5.3).
Riso. 5.3.
Infine, per un sistema di quattro coppie di aste rotanti (Figura 5.3), la forza di trazione sarà
Fт = 4Fп = 3,2 mω 2 . (5.1.11)
Sia m = 0,1 kg; ω = 2 πf, dove f = 10 giri/s; ℓ = 0,5 m, quindi Ft ≈ 632 N.
2. Il vettore della propria velocità angolare delle aste è perpendicolare al vettore della velocità angolare del centro di massa dell'asta ed è parallelo al raggio dell'asse di rotazione comune delle aste.
Si consideri una coppia di aste opposte perpendicolari tra loro di lunghezza con pesi puntiformi della stessa massa alle estremità, che ruotano uniformemente attorno al proprio centro di massa e attorno ad un comune centro O di raggio R con velocità angolare ω (Fig. 5.4): mezzo giro dell'asta in un giro attorno all'asse comune.
Riso. 5.4.
Per il calcolo selezioniamo solo m1 e m2, poiché la soluzione è simile per m3 e m4. Determiniamo le velocità angolari dei pesi rispetto al centro comune O. I moduli delle proiezioni della velocità lineare dei pesi rispetto al proprio centro di massa parallelo al piano di rotazione rispetto al centro comune O saranno ( Figura 5.5)
v1 = v2 = (ωℓ / 4) sin (Ψ / 2), (5.2.1)
dove Ψ = ωt.
Selezioniamo il modulo della proiezione della tangente di queste velocità perpendicolari ai raggi rispettivamente r1 e r2 rispetto al centro O si ottiene
v1R = v2R = (ωℓ/4) peccato ( Ψ / 2) cosB, (5.2.2)
cosB= R / r1 = R / r2 = R /Ö (R 2 + (ℓ 2/4) cos 2 (Ψ /2)), (5.2.3)
R è la distanza dal centro O al centro di massa del carico, r1, r2 è la distanza dal carico al centro O, con r1 = r2.
Riso. 5.5.
I moduli della velocità lineare dei carichi rispetto al centro comune O senza tener conto della loro velocità lineare rispetto al proprio centro di massa saranno
vR1 = r1, (5.2.4)
vR2 = r2. (5.2.5)
Troviamo la velocità angolare totale di ciascun carico rispetto all'asse di rotazione comune, tenendo conto che le velocità lineari sono dirette in senso opposto per il primo carico e uguali per il secondo, quindi
1 = (vR1 - v1R) / r1 = ω [1– (ℓR sin (Ψ / 2)) / 4 (R 2 + (ℓ 2/4) cos 2 (Ψ / 2)) ] , (5.2.6)
2 = (vR2 + v2R) / r2 = ω [1+ (ℓR] . (5.2.7)
Di conseguenza, le forze centrifughe saranno
F 1 = mω 1 2 r1
F2 = mω 2 2 r2
O in dettaglio
F 1 = mω 2 [(1– (ℓR sin (Ψ / 2)) / 4 (R 2 + (ℓ 2/4) cos 2 (Ψ / 2)) ] 2 Ö (R 2 + (ℓ 2/4) cos 2 (/ 2)), (5.2.8)
F2 = mω 2 [(1+ (ℓR sin (Ψ / 2)) / 4 (R 2 + (ℓ 2/4) cos 2 (Ψ / 2)) ] 2 Ö (R 2 + (ℓ 2/4) cos 2 (/ 2)). (5.2.9)
Considera l'opzione quando = 4R. In questo caso, perΨ = 180° frequenza angolare del primo peso 1 = 0 e non cambia direzione, il secondo carico ha ω 2 = 2ω (Figura 5.6).
Riso. 5.6.
Procediamo alla definizione delle forze centrifughe nella direzione dell'asse X a = 4R
F 1 = mω 2 R [(1+ 4cos 2 (Ψ / 2) - sin (Ψ / 2)) / (1 + 4cos 2 (Ψ / 2)) ] 2 Ö (1 + 4cos 2 (/ 2)), (5.2.10)
F2 = mω 2 R [(1+ 4cos 2 (Ψ / 2) + sin (Ψ / 2)) / (1 + 4cos 2 (Ψ / 2)) ] 2 Ö (1 + 4cos 2 (/ 2)). (5.2.11)
Va notato che con un aumento dell'angoloΨ da 0 a 180 ° al puntoΨ = b = 60 ° proiezione della forza centrifuga F 2 cambia segno da negativo a positivo.
Innanzitutto, aggiungiamo i valori medi della proiezione sull'asse X della forza centrifuga del primo peso e il valore medio della proiezione del secondo nell'intervallo angolare
0 £ Ψ £ 60°, tenendo conto dei segni, poiché sono diretti in senso opposto
Fa СР 1-2 = (1 / (π / 3)) ∫ (Fa 1 sin ( b +Ψ) - Fa 2 sin ( B -Ψ)) dΨ ≈ 0,6 mω 2 R, (5.2.12)
dove b = arco (1 / Ö (1 +4 cos 2 (Ψ / 2))) è determinato dalla formula (5.2.3).
Forza centrifuga F CP 1-2 nella formula (5.2.12) è positivo, cioè diretto lungo l'asse X. Ora sommiamo il valore medio ugualmente diretto della proiezione sull'asse X della forza centrifuga del primo peso e il valore medio della proiezione del secondo nell'intervallo angolare 60° £ Ψ £ 180°
F СР 1 + 2 = (1 / (π- (π / 3))) ∫ (F 1 sin (Ψ + B) + F 2 sin (Ψ- B)) dΨ ≈ 1,8 mω 2 R, (5.2.13)
Valore medio nell'intervallo 0° £ Ψ £ 180° sarà ovviamente
FA СР = (FA СР 1-2 + 2FA СР 1 + 2) / 3 ≈ 1,4 mω 2 R. (5.2.14)
Per m3 e m4, il valore medio della proiezione sull'asse X della forza centrifuga sarà lo stesso, ma agendo in direzione opposta.
F = 4 F СР = 5,6 mω 2 R. (5.2.15)
Sia m = 0,1 kg; ω = 2 πf, dove f = 10 giri/s; ℓ = 4R, dove R = 0,1 m, quindi F T ≈ 220 N.
3. Il vettore della velocità angolare propria delle aste è parallelo ed equamente diretto al vettore della velocità angolare del baricentro dell'asta rotante attorno all'asse comune.
Si consideri una coppia di aste opposte di lunghezza giacenti nel piano dell'acqua con pesi puntiformi della stessa massa alle estremità, che ruotano uniformemente attorno al proprio centro di massa e attorno a un centro comune O di raggio R con velocità angolare ω (Fig. 5.7): mezzo giro dell'asta in un giro attorno all'asse comune.
Riso. 5.7.
Analogamente al caso precedente, selezioniamo solo m1 e m2 per il calcolo, poiché per m3 e m4 la soluzione è simile. Faremo una stima approssimativa delle forze inerziali agenti a ℓ = 2R utilizzando i valori medi della velocità angolare relativa al centro O, nonché i valori medi della distanza dai pesi al centro O. Ovviamente la velocità angolare del primo carico all'inizio sarà 1.5ω del secondo carico 0.5ω, e per mezzo giro per entrambi . Distanza dal primo peso al centro O all'inizio 2R dal secondo peso 0, e dopo mezzo giro da ogni RÖ 2.
Riso. 5.8.
Inoltre, nell'intervallo 0° £ Ψ £ 36° (Fig.5.8) le forze centrifughe si sommano nella direzione dell'asse X, nell'intervallo 36° £ Ψ £ 72° (Fig.5.8, Fig.5.9) dalla forza del primo corpo si sottrae la forza del secondo e la loro differenza agisce lungo l'asse X, nell'intervallo 72° £ Ψ £ 90° (Fig.5.9) le forze si sommano e agiscono in senso opposto all'asse X.
Riso. 5.9.
Determiniamo i valori medi della velocità angolare e dei raggi dei carichi per un mezzo giro.
Velocità angolare media del primo carico
ω PC 1 = (ω + 0,5ω + ω) / 2 = 1,25ω. (5.3.1)
Velocità angolare media del secondo carico
ω PC 2 = (ω - 0,5ω + ω) / 2 = 0,75ω. (5.3.2)
Raggio medio del primo carico
R CP 1 = (2R + R Ö2) / 2 = R(2 + Ö2) / 2.(5.3.3)
Raggio medio del secondo carico
R СР 2 = (0 + R Ö2) / 2 = (RÖ2) / 2.(5.3.4)
La proiezione della forza centrifuga agente sul primo carico nella direzione dell'asse X sarà
F 1 = mω 2 СР 1 R СР 1 cos (Ψ / 2) sin2Ψ »2,67mω 2 R cos (Ψ / 2) sin2Ψ. (5.3.5)
La proiezione della forza centrifuga agente sul secondo peso nella direzione dell'asse X sarà
F 2 = mω 2 СР 2 R СР 2 sin (Ψ / 2) sin2Ψ »0.4mω 2 R sin (Ψ / 2) sin2Ψ. (5.3.6)
° £ Ψ £ 36° sarà
0.2
F СР 1 + 2 = (1 / 0,2 π) ∫ (F 1 + F 2) dΨ »1,47mω 2 R. (5.3.7)
Il valore medio della differenza tra le proiezioni delle forze centrifughe del primo e del secondo peso nell'intervallo 36° £ Ψ £ 72° sarà
0,4
F СР 1 - 2 = (1 / 0,2 π) ∫ (F 1 - F 2) dΨ »1,95mω 2 R. (5.3.8)
0.2
Il valore medio della somma delle proiezioni delle forze centrifughe del primo e del secondo peso nell'intervallo 72° £ Ψ £ 90° sarà
0,5
F СР- (1 + 2) = - (1 / 0,1 π) ∫ (F 1 + F 2) dΨ "-3,72 mω 2 R. (5.3.9)
0,4
Il valore medio della somma delle proiezioni delle forze centrifughe del primo e del secondo peso nell'intervallo 0° £ Ψ £ 90° sarà
F СР = (2F СР 1 + 2 + 2F СР 1 - 2 + F СР- (1 + 2)) / 5 »0,62 mω 2 R. (5.3.10)
Allo stesso modo, viene calcolata la somma delle proiezioni delle forze centrifughe per il terzo e il quarto peso.
Per eliminare la coppia è necessario utilizzare un'altra coppia di aste, ma ruotando in senso opposto rispetto al proprio baricentro e rispetto all'asse di rotazione comune, allora la forza di trazione finale sarà
F Т = 4F СР = 2,48mω 2 R. (5 .3.11)
Sia m = 0,1 kg; ω = 2 πf, dove f = 10 giri/s; R = 0,25 m, quindi F T ≈ 245 H.
§6. Forza di inerzia di fase.
Per implementare la forza di inerzia di fase come forza di traslazione, utilizziamo un quadrilatero articolato a due manovelle per convertire la rotazione uniforme del motore in una rotazione irregolare dei pesi in una certa modalità, ottimizzando la natura del movimento dei pesi per l'uso effettivo delle forze d'inerzia e scegliendo la posizione relativa dei pesi per compensare l'impulso inverso
Un collegamento a quattro bracci incernierato sarà a due manovelle se la distanza da centro a centro è AG (Fig. 6.1) sarà inferiore alla lunghezza di qualsiasi collegamento mobile e la somma della distanza da centro a centro e la lunghezza del più grande dei collegamenti mobili sarà inferiore alla somma delle lunghezze degli altri due collegamenti.
Riso. 6.1.
Il collegamento VG (leva), su cui è fissato un carico di massa m, è la manovella condotta sull'albero fisso G e il collegamento AB è quello principale. Il collegamento A è l'albero motore. Il collegamento BV è una biella. Il rapporto tra le lunghezze della biella e della manovella di comando è scelto in modo tale che quando il carico raggiunge il punto estremo D, vi sia un angolo retto tra la biella e la manovella di comando, che garantisce la massima efficienza. Quindi, con rotazione uniforme dell'albero motore A con la manovella anteriore AB con velocità angolare w, la biella BV trasferisce il moto alla manovella condotta VG, rallentandola. Pertanto, il carico rallenta dal punto E al punto D lungo il semicerchio superiore. In questo caso, la forza d'inerzia agisce nella direzione del movimento del carico. Considerare il movimento del carico nel semicerchio opposto (Fig. 6.2), dove la biella, raddrizzandosi, accelera il carico.
Riso. 6.2.
In questo caso la forza d'inerzia agisce contro la direzione di movimento del carico, coincidendo con la direzione della forza d'inerzia nel primo semicerchio. Il sistema di propulsione combinato è mostrato in Figura 6.3.
Riso. 6.3.
Le manovelle principali AB e A ¢ B ¢ sono collegate rigidamente in linea retta sull'albero del motore e le manovelle azionate (leve) ruotano indipendentemente l'una dall'altra su un albero fisso. Le componenti longitudinali delle forze d'inerzia nella direzione dal punto E al punto D del carico superiore e di quello inferiore si sommano, fornendo moto traslatorio. Non c'è impulso di ritorno, poiché i pesi ruotano nella stessa direzione e, in media, si trovano simmetricamente opposti.
Stimiamo l'attuale forza di inerzia di fase.
Sia AB = BV = r, GV = R.
Supponiamo che nella posizione di estrema destra, l'angolo Ψ tra il raggio R e la linea mediana DE sia 0 ° (Figura 6.4) e
r + r - AG = R, (6 .1)
e anche nella posizione di estrema sinistra a = 180 ° (Fig. 6.5) l'angolo
ABC = 90°. (6 .2)
Quindi, partendo da queste condizioni, è facile determinare che le ipotesi sono soddisfatte per i seguenti valori
r = 2R / (2 + Ö 2), (6 .3)
AG = (3 - 2r 2) R. (6 .4)
Ora determiniamo le velocità angolari nelle posizioni estrema destra e sinistra. Ovviamente, nella giusta posizione, le velocità angolari di AG e GW coincidono e sono uguali a w.
Riso. 6.4.
Nella posizione a sinistra, la velocità angolare w del GW sarà ovviamente uguale a
w HV = (180 ° / 225 °) w. (6 .5)
L'incremento della velocità angolare ∆w durante il tempo ∆t = 225 ° / w = 5π / 4w sarà
w = w GW - w = - 0.2w. (6 .6)
Lascia che l'accelerazione angolare sia uniformemente lenta, quindi
dω / dt = ∆w / ∆t = - 0,16w 2 / . (6 .7)
Usiamo la formula per la forza di inerzia di fase (2.8) in forma scalare
F f = -m [(dω / dt) R] = 0,16 mw 2 R / . (6.8)
Riso. 6.5.
La proiezione della forza di inerzia di fase nella direzione di ED sarà
F fED = 0,16 mw 2 RsinΨ / π. (6.9)
Valore medio della proiezione della forza di inerzia di fase per un semiperiodo
F СР = 0,16 mω 2 R / π 2) ∫ sinΨdΨ = 0,32 mω 2 R / π 2. (6.10)
Per due pesi (Figura 6.3), la forza è raddoppiata. Per eliminare la coppia è necessario applicare un'altra coppia di pesi, ma ruotando in senso opposto. Infine, la forza di trazione per i quattro pesi sarà
F T = 4F CP = 1,28 mω 2 R / π 2. (6.11)
Sia m = 0,1 kg; ω = 2 πf, dove f = 10 giri/s; R = 0,5 m, quindi F T = 25,6 H.
§7. Giroscopio. Coriolis e forza centrifuga d'inerzia.
Si consideri il moto oscillatorio di un carico di massa m lungo un semicerchio (Figura 7.1) di raggio R con velocità lineare v. La forza centrifuga d'inerzia Fc agente su un carico di massa m sarà pari a mv 2 / R, diretta lungo il raggio dal centro O. La proiezione della forza centrifuga sull'asse X sarà uguale a
F c ׀׀ = (m v 2 / R) sin α. (7.1)
Il carico deve muoversi con accelerazione w in un cerchio in modo che la forza centrifuga agisca per il moto traslatorio del sistema, e poiché v = peso, quindi
F c ׀׀ = (m w 2 t 2 / R) sin α, (7.2)
dove t è il tempo.
Riso. 7.1.
A causa dell'inerzia del carico, ai bordi del semicerchio appare un impulso inverso, che impedisce al sistema di traslare nella direzione dell'asse X.
È noto che quando una forza cambia la direzione dell'asse del giroscopio, precede sotto l'influenza della forza di Coriolis e questo movimento è inerziale. Cioè, con l'applicazione istantanea di una forza che cambia la direzione dell'asse di rotazione, il giroscopio inizia istantaneamente a precedere e altrettanto istantaneamente si ferma quando questa forza scompare. Invece di un peso, usiamo un giroscopio che ruota con una velocità angolare ω. Ora applichiamo la forza F perpendicolare all'asse di rotazione del giroscopio (Fig. 7.2) e agiremo sull'asse in modo che il supporto con il giroscopio esegua un movimento oscillatorio non inerziale (precessione) in un determinato settore (nel caso ottimale, con un valore finale di α = 180 °). L'arresto istantaneo della precessione del detentore con il giroscopio e la sua ripresa in senso opposto si verifica quando si inverte la direzione della forza F. Quindi, c'è un movimento oscillatorio senza inerzia del supporto con un giroscopio, che esclude un impulso inverso che impedisce il movimento di traslazione lungo l'asse X.
Riso. 7.2.
Velocità angolare di precessione
dα / dt = M / I Z ω, (7.3)
dove: M è il momento della forza; I Z - momento d'inerzia del giroscopio; è la velocità angolare del giroscopio.
Momento della forza (implica che è perpendicolare a F)
= ℓ F, (7.4)
dove: ℓ è la distanza dal punto di applicazione della forza F al centro di inerzia del giroscopio; F è la forza applicata all'asse del giroscopio.
Sostituendo la (7.4) nella (7.3), otteniamo
dα / dt = ℓ F / I Z ω, (7.5)
A destra della formula (7.5), le componenti , I Z, è considerato costante, e la forza F, in funzione del tempo t, la lascia variare secondo una legge lineare a tratti (Figura 7.3).
Riso. 7.3.
È noto che la velocità lineare è correlata alla velocità angolare dalla seguente relazione
v = R (dα / dt). (7.6)
Differenziando la formula (7.6) rispetto al tempo, si ottiene l'accelerazione
w = R (d 2 α / dt 2). (7.7)
Sostituendo la formula (7.5) nella formula (7.7), si ottiene
w = (R / I Zω ) (dF / dt). (7.8)
Pertanto, l'accelerazione dipende dalla velocità di variazione della forza F, che rende efficace la forza centrifuga per il moto traslatorio del sistema.
Va notato che ad alte velocità angolari e dα / dt<< ω , возникающий гироскопический момент уравновешивает момент силы F, поэтому движения в направлении воздействия этой силы не происходит .
Per compensare la proiezione perpendicolare della forza centrifuga Fц ┴, utilizziamo il secondo giroscopio dello stesso tipo, che oscilla in modo sincrono in antifase con il primo giroscopio (Figura 7.4). La proiezione della forza centrifuga Fц ┴ al secondo giroscopio sarà diretta contro la proiezione al primo. Ovviamente le componenti perpendicolari Fц ┴ sono compensate e la parallela Fц ׀׀ si somma.
Riso. 7.4.
Se il settore delle oscillazioni dei giroscopi non è più di un semicerchio, la forza centrifuga opposta non si presenterà, riducendo la forza centrifuga nella direzione dell'asse X.
Per eliminare la coppia del dispositivo derivante dalla rotazione forzata dell'asse dei giroscopi, è necessario installare un'altra coppia degli stessi giroscopi, i cui assi ruotano nella direzione opposta. I settori di movimento oscillatorio dei supporti con giroscopi in coppia, i cui assi giroscopici ruotano in una direzione, dovrebbero essere diretti simmetricamente in una direzione con settori di supporti con giroscopi, i cui assi giroscopici ruotano nell'altra direzione (Figura 7.5).
Riso. 7.5.
Calcoliamo il valore medio della proiezione Fц ׀׀ della forza centrifuga per un giroscopio (Fig. 7.2) sul supporto, oscillante nel settore di un semicerchio da 0 a e indichiamo questo valore con Fп
Fп = (1 / π) ∫ (m w 2 t 2 / R) sin α dα = 2m w 2 t 2 / Rπ. (7.9)
Per quattro giroscopi su supporti, il valore medio della forza traslazionale Fп per ogni semiperiodo sarà:
Fp = 8m w 2 t 2 / Rπ. (7.10)
Lascia che la massa del supporto sia molto inferiore alla massa del giroscopio e la massa del giroscopio m = 1 kg. Accelerazione w = 5m / s 2 e l'accelerazione del giroscopio è un ordine di grandezza maggiore dell'accelerazione del sistema, quindi è possibile ignorare il piccolo intervallo dell'assenza dell'azione della forza centrifuga nel centro. Il tempo di salita della velocità t = 1s. Il raggio (lunghezza) del supporto R = 0,5 m. Quindi, secondo la formula (7.10), la forza di traslazione sarà Fп = 8 ∙ 1 ∙ 5 2 ∙ 1 2 / 0,5 π ≈ 127N.
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Sono utilizzati in letteratura, sebbene non abbiano ancora ricevuto una distribuzione diffusa. In futuro, ci atterremo a questa terminologia, poiché ci consente di rendere la presentazione più concisa e chiara.
Nel caso generale, la forza d'inerzia di Eulero è costituita da più componenti di varia origine, a cui vengono anche assegnati nomi speciali ("portatile", "Coriolis", ecc.). Maggiori dettagli su questo sono discussi nella sezione corrispondente di seguito.
In altre lingue, i nomi usati per le forze d'inerzia indicano più chiaramente le loro proprietà speciali: in tedesco it. Scheinkräfte ("forza immaginaria", "apparente", "visibile", "falsa", "fittizia"), in inglese. pseudo forza ("pseudo-forza") o inglese. forza fittizia. Meno comunemente in inglese, vengono utilizzati i nomi "forza d'Alembert" e "forza inerziale". Nella letteratura pubblicata in russo, in relazione alle forze di Eulero e d'Alembert, vengono utilizzate anche caratteristiche simili, chiamando queste forze "fittizie", "apparente", "immaginarie" o "pseudo-forze"
Allo stesso tempo, la letteratura a volte sottolinea realtà forze d'inerzia, opponendo il significato di questo termine al significato del termine fittizi... Allo stesso tempo, tuttavia, autori diversi attribuiscono significati diversi a queste parole e le forze di inerzia risultano reali o fittizie, non a causa delle differenze nella comprensione delle loro proprietà di base, ma a seconda delle definizioni scelte. Alcuni autori considerano questo uso della terminologia un insuccesso e raccomandano semplicemente di evitarlo nel processo educativo.
Sebbene la discussione sulla terminologia non sia ancora finita, i disaccordi esistenti non influenzano la formulazione matematica delle equazioni del moto con la partecipazione delle forze d'inerzia e non portano a malintesi quando si usano le equazioni nella pratica.
Forze in meccanica classica
Infatti, una grandezza fisica chiamata forza è introdotta in considerazione dalla seconda legge di Newton, mentre la legge stessa è formulata solo per sistemi di riferimento inerziali. Di conseguenza, il concetto di forza risulta essere definito solo per tali quadri di riferimento.
Equazione della seconda legge di Newton relativa all'accelerazione a → (\ stile di visualizzazione (\ vec (a))) e m (\ stile di visualizzazione m) la massa di un punto materiale su cui agisce una forza F → (\ stile di visualizzazione (\ vec (F))), si scrive come
a → = F → m. (\ stile di visualizzazione (\ vec (a)) = (\ frac (\ vec (F)) (m)).)Segue direttamente dall'equazione che solo le forze sono la causa dell'accelerazione dei corpi, e viceversa: l'azione delle forze non compensate sul corpo provoca necessariamente la sua accelerazione.
La terza legge di Newton integra e sviluppa quanto detto sulle forze nella seconda legge.
Non vengono introdotte o utilizzate altre forze nella meccanica classica. La possibilità dell'esistenza di forze sorte indipendentemente, senza corpi interagenti, non è ammessa dalla meccanica.
Sebbene i nomi delle forze d'inerzia di Eulero e d'Alembert contengano la parola forza, queste grandezze fisiche non sono forze nel senso accettato in meccanica.
Forze d'inerzia newtoniana
Alcuni autori usano il termine "forza inerziale" per riferirsi alla reazione di forza dalla terza legge di Newton. Il concetto è stato introdotto da Newton nei suoi "Principi matematici di filosofia naturale": "La forza innata della materia è la sua intrinseca capacità di resistenza, secondo la quale ogni singolo corpo, poiché è abbandonato a se stesso, mantiene il suo stato di quiete o uniforme moto rettilineo. Dall'inerzia della materia, si verifica che ogni corpo è solo con difficoltà tolto dal suo riposo o movimento. Pertanto, la forza innata potrebbe essere chiamata in modo abbastanza comprensibile la forza d'inerzia. Questa forza è manifestata dal corpo solo quando un'altra forza applicata ad esso cambia il suo stato. La manifestazione di questa forza può essere vista in due modi: sia come resistenza che come pressione. ", E il termine" forza d'inerzia "è stato, secondo Eulero, usato per la prima volta in questo senso da Keplero (con riferimento a E. L. Nikolai).
Per designare questa forza-reazione, alcuni autori suggeriscono di utilizzare il termine "forza d'inerzia newtoniana" per evitare confusione con forze fittizie utilizzate nei calcoli in sistemi di riferimento non inerziali e quando si utilizza il principio di d'Alembert.
Un'eco della scelta di Newton della parola "resistenza" per descrivere l'inerzia è anche l'idea di una certa forza, realizzando presumibilmente questa proprietà nella forma resistenza cambiamenti nei parametri di movimento. A questo proposito Maxwell ha osservato che si potrebbe anche dire che il caffè resiste all'addolcimento, poiché non diventa dolce da solo, ma solo dopo l'aggiunta dello zucchero.
Esistenza di sistemi di riferimento inerziali
Newton partì dal presupposto che esistono sistemi di riferimento inerziali e tra questi sistemi ce n'è il più preferibile (lo stesso Newton lo collegò con l'etere, che riempie tutto lo spazio). L'ulteriore sviluppo della fisica ha mostrato che non esiste un tale sistema, ma ciò ha portato alla necessità di andare oltre i limiti della fisica classica.
Movimento in CO . inerziale
Dopo aver eseguito una banale operazione matematica nell'espressione della terza legge di Newton (5) e trasferendo il termine da destra a sinistra, otteniamo un record matematico impeccabile:
F 1 → + F 2 → = 0 (\ stile di visualizzazione (\ vec (F_ (1))) + (\ vec (F_ (2))) = 0)(6)
Da un punto di vista fisico, l'aggiunta dei vettori di forza risulta in una forza risultante.
In questo caso, l'espressione (6), letta dal punto di vista della seconda legge di Newton, significa, da un lato, che la risultante delle forze è uguale a zero e, quindi, il sistema di questi due corpi non muoversi con accelerazione. Non esistono invece divieti sul moto accelerato dei corpi stessi.
Il fatto è che il concetto di risultante sorge solo nel caso di una valutazione dell'azione congiunta di più forze su stesso corpo. In questo caso, sebbene le forze siano uguali in grandezza e opposte in direzione, ma a corpi diversi e quindi, rispetto a ciascuno degli organismi in esame separatamente, non si bilanciano, poiché solo uno di loro. L'uguaglianza (6) non indica la neutralizzazione reciproca della loro azione per ciascuno dei corpi, parla del sistema nel suo insieme.
La scrittura dell'equazione che esprime la seconda legge di Newton nel sistema di riferimento inerziale è ampiamente utilizzata:
F r → = m a r → (\ stile di visualizzazione (\ vec (F_ (r))) = m (\ vec (a_ (r)))) (7)
Se c'è una risultante di tutte le forze reali che agiscono sul corpo, allora questa espressione, che è la registrazione canonica della Seconda Legge, è semplicemente un'affermazione che l'accelerazione ricevuta dal corpo è proporzionale a questa forza e alla massa del corpo . Entrambe le espressioni in ciascuna parte di questa uguaglianza si riferiscono allo stesso corpo.
Ma l'espressione (7), come (6), può essere riscritta come:
F r → - m a r → = 0 (\ stile di visualizzazione (\ vec (F_ (r))) - m (\ vec (a_ (r))) = 0) (8)
Per un osservatore esterno in un sistema inerziale e analizzando l'accelerazione di un corpo, in base a quanto sopra, tale registrazione ha significato fisico solo se i termini a sinistra dell'uguaglianza si riferiscono a forze che sorgono contemporaneamente, ma si riferiscono a corpi diversi. E in (8), il secondo termine a sinistra rappresenta una forza della stessa grandezza, ma diretta nella direzione opposta e applicata ad un altro corpo, cioè la forza, cioè
F i 1 → = - m a r → (\ stile di visualizzazione (\ vec (F_ (i_ (1)))) = - m (\ vec (a_ (r)))) (9)
Nel caso in cui risulti opportuno dividere i corpi interagenti in accelerati e acceleranti e, per distinguere le forze che agiscono poi in base alla Terza Legge, quelle che agiscono dalla parte del corpo accelerante a quella in accelerazione si chiamano forze d'inerzia F → i 1 (\ stile di visualizzazione (\ vec (F)) _ (i_ (1))) o "Forze d'inerzia newtoniana", che corrisponde a scrivere l'espressione (5) per la Terza Legge in una nuova notazione:
F r → = - F i 1 → (\ stile di visualizzazione (\ vec (F_ (r))) = - (\ vec (F_ (i_ (1))))) (10)
È essenziale che la forza di azione del corpo accelerato su quello accelerato e la forza d'inerzia abbiano la stessa origine, e se le masse dei corpi interagenti sono così vicine tra loro che le accelerazioni che ricevono sono di grandezza paragonabile, quindi l'introduzione della denominazione speciale "forza d'inerzia" è solo una conseguenza degli accordi raggiunti. È altrettanto condizionale quanto la stessa divisione delle forze in azione e reazione.
La situazione è diversa quando le masse dei corpi interagenti sono incomparabili (una persona e un pavimento solido, a partire dal quale, se ne va). In questo caso, la divisione dei corpi in accelerante e accelerante diventa ben distinta, e il corpo accelerante può essere considerato come un collegamento meccanico che accelera il corpo, ma non accelera da solo.
In un sistema di riferimento inerziale forza d'inerzia Allegata non al corpo accelerato, ma alla connessione.
Le forze d'inerzia di Eulero
Movimento in CO . non inerziale
Differenziare entrambi i lati dell'uguaglianza due volte nel tempo r = R + r ′ (\ stile di visualizzazione r = R + r (^ (\ prime))), noi abbiamo:
A r → = a R → + ar ′ → (\ displaystyle (\ vec (a_ (r))) = (\ vec (a_ (R))) + (\ vec (a_ (r ^ (\ prime))) ))(11), dove:
a r → = r ¨ (\ stile di visualizzazione (\ vec (a_ (r))) = (\ ddot (r)))è l'accelerazione del corpo in CO inerziale, in seguito chiamata accelerazione assoluta. a R → = R ¨ (\ stile di visualizzazione (\ vec (a_ (R))) = (\ ddot (R)))è l'accelerazione della CO non inerziale nella CO inerziale, di seguito denominata accelerazione di trasferimento. a r ′ → = r ¨ ′ (\ displaystyle (\ vec (a_ (r ^ (\ prime)))) = (\ ddot (r)) (^ (\ prime)))è l'accelerazione del corpo in CO non inerziale, di seguito denominata accelerazione relativa.È essenziale che tale accelerazione dipenda non solo dalla forza agente sul corpo, ma anche dall'accelerazione del sistema di riferimento in cui questo corpo si muove, e quindi, con una scelta arbitraria di questo FR, può avere un valore corrispondentemente arbitrario .
Moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione (11) per la massa corporea m (\ stile di visualizzazione m) e prendi:
M ar → = ma R → + mar ′ → (\ displaystyle m (\ vec (a_ (r))) = m (\ vec (a_ (R))) + m (\ vec (a_ (r ^ (\ prime) ))))) (12)
In accordo con la seconda legge di Newton, formulata per i sistemi inerziali, il termine a sinistra è il risultato della moltiplicazione della massa per un vettore determinato nel sistema inerziale, e quindi ad esso può essere associata una forza reale:
M a r → = F r → (\ stile di visualizzazione m (\ vec (a_ (r))) = (\ vec (F_ (r))))... Questa è la forza che agisce sul corpo nel primo FRM (inerziale), che qui sarà chiamato "forza assoluta". Continua ad agire sul corpo con direzione e grandezza costanti in qualsiasi sistema di coordinate.
La seguente forza è definita come:
M a R → = F R → (\ stile di visualizzazione m (\ vec (a_ (R))) = (\ vec (F_ (R)))) (13)
secondo le regole adottate per denominare i movimenti in corso, dovrebbe essere chiamato "portatile".
È importante che l'accelerazione a R → (\ stile di visualizzazione (\ vec (a_ (R)))) nel caso generale, non ha nulla a che fare con il corpo studiato, poiché è causato dalle forze che agiscono solo sul corpo selezionato come sistema di riferimento non inerziale. Ma la massa inclusa nell'espressione è la massa del corpo studiato. In considerazione dell'artificiosità dell'introduzione di tale forza, essa deve essere considerata una forza fittizia.
Trasferimento di espressioni per forza assoluta e trasferibile al lato sinistro dell'uguaglianza:
M ar → - ma R → = mar ′ → (\ displaystyle m (\ vec (a_ (r))) - m (\ vec (a_ (R))) = m (\ vec (a_ (r ^ (\ prime) ))))) (14)
e applicando le designazioni introdotte, si ottiene:
F r → - FR → = mar ′ → (\ displaystyle (\ vec (F_ (r))) - (\ vec (F_ (R))) = m (\ vec (a_ (r ^ (\ prime))) )) (15)
Da ciò si può vedere che a causa dell'accelerazione nel nuovo sistema di riferimento, non l'intera forza agisce sul corpo, ma solo una parte di esso F ′ → (\ stile di visualizzazione (\ vec (F ^ (\ prime)))) rimanente dopo aver sottratto la forza trasferibile da esso F R → (\ stile di visualizzazione (\ vec (F_ (R)))) così:
F ′ → = m a r ′ → (\ displaystyle (\ vec (F ^ (\ prime))) = m (\ vec (a_ (r ^ (\ prime))))) (16)
quindi dalla (15) si ottiene:
F r → - F R → = F ′ → (\ displaystyle (\ vec (F_ (r))) - (\ vec (F_ (R))) = (\ vec (F ^ (\ prime))))) (17)
secondo l'accettato per il nome dei movimenti che si verificano, questa forza dovrebbe essere chiamata "relativa". È questa forza che fa muovere il corpo in un sistema di coordinate non inerziale.
Il risultato ottenuto nella differenza tra forze "assolute" e "relative" è spiegato dal fatto che in un sistema non inerziale, oltre alla forza F → r (\ stile di visualizzazione (\ vec (F)) _ (r)), una certa forza agiva inoltre sul corpo F → i 2 (\ stile di visualizzazione (\ vec (F)) _ (i_ (2))) affinché:
F r → + F i 2 → = F ′ → (\ displaystyle (\ vec (F_ (r))) + (\ vec (F_ (i_ (2)))) = (\ vec (F ^ (\ prime) ))) (18)
Questa forza è la forza d'inerzia applicata al movimento dei corpi nei CRM non inerziali. Non ha nulla a che fare con l'azione di forze reali sul corpo.
Allora da (17) e (18) otteniamo:
F i 2 → = - F R → (\ stile di visualizzazione (\ vec (F_ (i_ (2)))) = - (\ vec (F_ (R)))) (19)
Cioè, la forza d'inerzia in CO . non inerziale uguale in grandezza e opposto in direzione alla forza che causa il moto accelerato di questo sistema. Lei Allegata al corpo accelerato.
Questa forza non è per sua origine il risultato dell'azione dei corpi e dei campi circostanti, e sorge esclusivamente a causa del moto accelerato del secondo sistema di riferimento rispetto al primo.
Tutte le grandezze comprese nell'espressione (18) possono essere misurate indipendentemente l'una dall'altra, e quindi il segno di uguale qui messo non significa altro che il riconoscimento della possibilità di diffondere l'assiomatica newtoniana tenendo conto di tali "forze fittizie" (forze di inerzia) e moto in sistemi di riferimento non inerziali, e quindi richiede una conferma sperimentale. Nell'ambito della fisica classica, ciò è infatti confermato.
Differenza tra poteri F i 1 → (\ stile di visualizzazione (\ vec (F_ (i_ (1))))) e consiste solo nel fatto che il secondo si osserva durante il moto accelerato del corpo in un sistema di coordinate non inerziale, e il primo corrisponde alla sua immobilità in questo sistema. Poiché l'immobilità è solo un caso limite di movimento a bassa velocità, non c'è differenza fondamentale tra queste forze d'inerzia fittizie.
Esempio 2
Lascia che il secondo FRM si muova con velocità costante o semplicemente immobile nel FRM inerziale. Quindi a R → = 0 (\ stile di visualizzazione (\ vec (a_ (R))) = 0) e non c'è forza d'inerzia. Un corpo in movimento subisce un'accelerazione causata da forze reali che agiscono su di esso.
Esempio 3
Lascia che il secondo CO si muova con accelerazione a R → = a r → (\ stile di visualizzazione (\ vec (a_ (R))) = (\ vec (a_ (r)))), cioè, questo CO è effettivamente allineato con il corpo in movimento. Quindi, in questo CO non inerziale, il corpo è immobile per il fatto che la forza che agisce su di esso è completamente compensata dalla forza d'inerzia:
F i 2 → = - F r → = F i 1 → (\ stile di visualizzazione (\ vec (F_ (i_ (2)))) = - (\ vec (F_ (r))) = (\ vec (F_ (i_) (1)))))
Esempio 4
Un passeggero viaggia in un'autovettura a velocità costante. Il passeggero è il corpo, l'auto è il suo sistema di riferimento (finora inerziale), cioè F r → = 0 (\ stile di visualizzazione (\ vec (F_ (r))) = 0).
La vettura inizia a frenare e si trasforma per il passeggero nel secondo sistema non inerziale sopra considerato, al quale viene applicata una forza frenante verso il suo movimento F R → (\ stile di visualizzazione (\ vec (F_ (R))))... In questo sistema di riferimento non inerziale, sorge una forza inerziale, applicata al passeggero e diretta in senso opposto all'accelerazione dell'auto (cioè in base alla sua velocità): F i 2 → (\ stile di visualizzazione (\ vec (F_ (i_ (2)))))... La forza d'inerzia tende a provocare nel dato sistema di riferimento il movimento del corpo del passeggero verso il parabrezza.
Tuttavia, il movimento del passeggero è ostacolato dalla cintura di sicurezza: sotto l'azione del corpo del passeggero, la cintura si tende ed esercita una forza adeguata sul passeggero. Questa reazione della cinghia bilancia la forza d'inerzia e il passeggero non subisce accelerazioni nel sistema di riferimento associato all'auto, rimanendo fermo rispetto all'auto durante l'intero processo di frenata.
Dal punto di vista di un osservatore che si trova in un sistema di riferimento inerziale arbitrario (ad esempio associato a una strada), il passeggero perde velocità a causa della forza esercitata su di lui dalla cintura. A causa di questa forza, si verifica l'accelerazione (negativa) del passeggero, il suo lavoro provoca una diminuzione dell'energia cinetica del passeggero. Allo stesso tempo, è chiaro che non si verificano forze inerziali nel sistema di riferimento inerziale e non vengono utilizzate per descrivere il movimento del passeggero.
Esempi di utilizzo
In alcuni casi, durante il calcolo, è conveniente utilizzare un sistema di riferimento non inerziale, ad esempio:
- è conveniente descrivere il movimento delle parti mobili di un'auto in un sistema di coordinate associato all'auto. Quando il veicolo accelera, questo sistema diventa non inerziale;
- a volte è conveniente descrivere il moto di un corpo lungo un percorso circolare in un sistema di coordinate associato a questo corpo. Questo sistema di coordinate non è inerziale a causa dell'accelerazione centripeta.
In quadri di riferimento non inerziali, le formulazioni standard delle leggi di Newton sono inapplicabili. Quindi, quando si accelera un'auto, in un sistema di coordinate associato al corpo dell'auto, gli oggetti sciolti all'interno ricevono accelerazione in assenza di qualsiasi forza applicata direttamente su di essi; e quando un corpo si muove in un'orbita, in un sistema di coordinate non inerziale associato al corpo, il corpo è a riposo, sebbene su di esso agisca una forza gravitazionale sbilanciata, che agisce come una forza centripeta nel sistema di coordinate inerziale in cui la rotazione lungo l'orbita è stata osservata.
Per ripristinare la possibilità di applicare in questi casi le consuete formulazioni delle leggi di Newton e delle equazioni del moto ad esse associate per ciascun corpo considerato, risulta conveniente introdurre una forza fittizia - forza d'inerzia- proporzionale alla massa di questo corpo e al modulo dell'accelerazione del sistema di coordinate, e opposto al vettore di questa accelerazione.
Con l'uso di questa forza fittizia, diventa possibile descrivere brevemente gli effetti effettivamente osservati: "perché il passeggero viene premuto contro lo schienale del sedile durante l'accelerazione dell'auto?" - "il corpo del passeggero è soggetto alla forza d'inerzia". Nel sistema di coordinate inerziali associato alla strada, la forza inerziale non è necessaria per spiegare cosa sta succedendo: il corpo del passeggero accelera al suo interno (insieme all'auto) e questa accelerazione produce la forza con cui il sedile agisce sul passeggero.
La forza d'inerzia sulla superficie della Terra
lascia stare F 1 → (\ stile di visualizzazione (\ vec (F_ (1))))è la somma di tutte le forze che agiscono su un corpo in un (primo) sistema di coordinate fisso, che ne provoca l'accelerazione. Questa somma si trova misurando l'accelerazione di un corpo in questo sistema, se si conosce la sua massa.
Allo stesso modo, F 2 → (\ stile di visualizzazione (\ vec (F_ (2))))è la somma delle forze, misurate in un sistema di coordinate non inerziale (secondo), che causano l'accelerazione a 2 → (\ stile di visualizzazione (\ vec (a_ (2)))), generalmente diverso da a 1 → (\ stile di visualizzazione (\ vec (a_ (1)))) dovuto al movimento accelerato della seconda CO rispetto alla prima.
Quindi la forza di inerzia in un sistema di coordinate non inerziale sarà determinata dalla differenza:
F i 2 → = F 2 → - F 1 → (\ stile di visualizzazione (\ vec (F_ (i_ (2)))) = (\ vec (F_ (2))) - (\ vec (F_ (1))) ) (19)
F i 2 → = m (a 2 → - a 1 →) (\ stile di visualizzazione (\ vec (F_ (i_ (2)))) = m ((\ vec (a_ (2))) - (\ vec (a_ (1))))) (20)
In particolare, se il corpo è a riposo in un sistema non inerziale, cioè a 2 → = 0 (\ stile di visualizzazione (\ vec (a_ (2))) = 0), poi
F i 2 → = - F 1 → (\ stile di visualizzazione (\ vec (F_ (i_ (2)))) = - (\ vec (F_ (1)))) (21) .
Il movimento di un corpo lungo una traiettoria arbitraria in una CO . non inerziale
La posizione di un corpo materiale in un sistema convenzionalmente stazionario e inerziale è qui specificata dal vettore r → (\ stile di visualizzazione (\ vec (r))), e in un sistema non inerziale - dal vettore r ′ → (\ stile di visualizzazione (\ vec (r ^ (\ prime))))... La distanza tra l'origine è determinata dal vettore R → (\ stile di visualizzazione (\ vec (R)))... La velocità angolare di rotazione del sistema è data dal vettore ω → (\ stile di visualizzazione (\ vec (\ omega))), la cui direzione è impostata lungo l'asse di rotazione secondo la regola della vite di destra. La velocità lineare del corpo rispetto al CO rotante è fissata dal vettore v → (\ stile di visualizzazione (\ vec (v))).
In questo caso, l'accelerazione, secondo (11), sarà uguale alla somma:
A r → = d 2 R → dt 2 + d ω → dt × r ′ → + 2 ω → × v → + ω → × [ω → × r ′ →], (22) (\ displaystyle (\ vec (a_ (r))) = (\ frac (d ^ (2) (\ vec (R))) (dt ^ (2))) + (\ frac (d (\ vec (\ omega))) (dt)) \ volte (\ vec (r ")) + (2 (\ vec (\ omega)) \ volte (\ vec (v))) + (\ vec (\ omega)) \ volte \ sinistra [(\ vec (\ omega)) \ volte (\ vec (r ")) \ destra], \ qquad (22))
- il primo termine è l'accelerazione portatile del secondo sistema rispetto al primo;
- il secondo termine è l'accelerazione derivante dalla rotazione irregolare del sistema attorno al suo asse;
Il lavoro delle forze d'inerzia
Nella fisica classica, le forze d'inerzia si verificano in due diverse situazioni, a seconda del sistema di riferimento in cui viene effettuata l'osservazione. Questa è la forza applicata alla connessione quando osservata in un FR inerziale, o la forza applicata al corpo in esame, quando osservata in un sistema di riferimento non inerziale. Entrambe queste forze possono funzionare. L'eccezione è la forza di Coriolis, che non esegue lavoro, poiché è sempre diretta perpendicolarmente al vettore velocità. Allo stesso tempo, la forza di Coriolis può modificare la traiettoria del corpo e, quindi, facilitare l'esecuzione del lavoro da parte di altre forze (come la forza di attrito). Un esempio di questo è l'effetto Baire.
Inoltre, in alcuni casi è consigliabile dividere la forza di Coriolis effettiva in due componenti, ognuna delle quali funziona. Il lavoro totale svolto da questi componenti è pari a zero, ma tale rappresentazione può essere utile nell'analisi dei processi di ridistribuzione dell'energia nel sistema in esame.
In considerazione teorica, quando si riduce artificialmente il problema dinamico del moto al problema della statica, si introduce un terzo tipo di forze, dette forze di d'Alembert, che non compiono lavoro a causa dell'immobilità dei corpi su cui agiscono queste forze .
Lascia che il materiale punti m agisce un certo sistema di forze.
Le forze possono includere forze attive e reazioni di legame.
In base all'assioma di indipendenza dell'azione delle forze, il punto m sotto l'azione di queste forze, riceverà la stessa accelerazione come se agisse, una sola forza uguale alla somma geometrica delle forze date,
dove un- punto di accelerazione m; m- massa puntiforme m F ; - risultante del sistema di forze.
Sposta il vettore dal lato sinistro dell'equazione al lato destro. Dopodiché, otteniamo la somma dei vettori uguale a zero,
Introduciamo la notazione, 
allora l'equazione data può essere rappresentata come:
Pertanto, tutte le forze, inclusa la forza, devono essere bilanciate, poiché le forze e F sono uguali tra loro e diretti lungo una retta in direzioni opposte. Una forza uguale al prodotto della massa di un punto per la sua accelerazione, ma diretta nella direzione opposta all'accelerazione, si chiama forza d'inerzia.
Dall'ultima equazione segue che in un dato momento le forze applicate al punto materiale sono bilanciate dalle forze di inerzia. La conclusione di cui sopra è chiamata l'inizio di D "Alamber. Può essere applicata non solo a un punto materiale, ma anche a un corpo rigido o a un sistema di corpi. In quest'ultimo caso, è formulata come segue: se a tutti forze agenti applicate a un corpo in movimento oa un sistema di corpi, applicano forze d'inerzia, quindi il sistema di forze risultante può essere considerato in equilibrio.
Va sottolineato che le forze inerziali esistono, ma sono applicate non a un corpo in movimento, ma a quei corpi che provocano il moto accelerato.
L'uso dell'inizio di D "Alambert consente l'uso di equazioni di equilibrio nella risoluzione di problemi dinamici. Tale tecnica per risolvere problemi dinamici è chiamata metodo cinetostatico.
Consideriamo come si determina la forza d'inerzia di un punto materiale nei vari casi del suo moto.
1. Punto m messa m si muove in linea retta con accelerazione (Fig. a, b).
Nel moto rettilineo, la direzione dell'accelerazione coincide con la traiettoria. La forza d'inerzia è diretta nella direzione opposta all'accelerazione e il suo valore numerico è determinato dalla formula:
Con il moto accelerato (Fig. A), le direzioni di accelerazione e velocità coincidono e la forza d'inerzia è diretta nella direzione opposta al moto. Al rallentatore (Fig. B), quando l'accelerazione è diretta nella direzione opposta alla velocità, la forza d'inerzia agisce nella direzione del moto.
2. Punto m si muove in modo curvilineo e irregolare (Fig. c).
In questo caso, come è noto dal precedente, la sua accelerazione può essere scomposta in una normale un e tangente a componenti. Allo stesso modo, anche la forza d'inerzia di un punto è costituita da due componenti: normale e tangente.
La componente normale della forza d'inerzia è uguale al prodotto della massa del punto per l'accelerazione normale ed è diretta opposta a questa accelerazione:
La componente tangenziale della forza d'inerzia è uguale al prodotto della massa del punto per l'accelerazione tangenziale ed è diretta opposta a questa accelerazione:
Ovviamente, la forza d'inerzia totale del punto mè uguale alla somma geometrica delle componenti normale e tangente, cioè
Considerando che le componenti tangenziale e normale sono reciprocamente perpendicolari, la forza d'inerzia totale è:
3.3 Lavoro di forza costante sul movimento in linea retta
Definiamo il lavoro per il caso in cui la forza agente è costante in modulo e direzione e il punto della sua applicazione si muove lungo una traiettoria rettilinea. Si consideri un punto materiale C, al quale viene applicata una forza F, costante in valore e direzione.
Per un certo periodo di tempo T
punto INSIEME A spostato in posizione Do 1 su un percorso rettilineo a distanza S.
Opera UN forza costante F quando il punto della sua applicazione è rettilineo, è uguale al prodotto del modulo di forza F ad una distanza S e dal coseno dell'angolo tra la direzione della forza e la direzione dello spostamento, cioè 
L'angolo α tra la direzione della forza e la direzione del movimento può variare da 0 a 180 °. Per α< 90° работа положительна, при α>90 ° - negativo, ad α = 90 ° A = 0(il lavoro è zero).
Se la forza forma un angolo acuto con la direzione del moto, si chiama forza motrice, il suo lavoro è sempre positivo. Se l'angolo tra le direzioni di forza e spostamento è ottuso, la forza resiste al movimento, esegue un lavoro negativo e viene chiamata forza di resistenza. Esempi di forze di resistenza sono le forze di taglio, le forze di attrito, la resistenza dell'aria e altre, che sono sempre dirette nella direzione opposta del movimento.
Quando α = 0, cioè quando la direzione della forza coincide con la direzione della velocità, UN = Fs , perché cosα = 1. Prodotto F cosα è la proiezione della forza F sulla direzione di movimento del punto materiale. Pertanto, il lavoro della forza può essere definito come il prodotto dello spostamento S e proiezione della forza F sulla direzione di movimento del punto.
Per un'unità di lavoro nel Sistema Internazionale di Unità (SI), viene preso un joule (J), che è uguale al lavoro di una forza di un newton (N) su una lunghezza di un metro (m) che coincide con esso nella direzione del movimento:. Viene utilizzata anche un'unità di lavoro più grande: kilojoule (kJ), 1 kJ = 1000 J = 10 3 J. Nel sistema tecnico (MKGSS), il chilogrammo-forza metro (kgf m) viene preso come unità di lavoro.
Inerzia - la capacità di mantenere inalterato il suo stato, questa è una proprietà interna di tutti i corpi materiali.
Forza d'inerzia - la forza derivante dall'accelerazione o decelerazione di un corpo (punto materiale) e diretta nella direzione opposta all'accelerazione. La forza d'inerzia può essere misurata, viene applicata ai "legami" - corpi associati a un corpo in accelerazione o decelerazione.
Si calcola che la forza d'inerzia è
F in = | m * a |
Quindi, le forze che agiscono sui punti materiali m 1 e m2(fig.14.1), durante l'accelerazione le piattaforme sono rispettivamente uguali
F in1 = m1 * a; F in2 = m2 * a
Il corpo accelerante (piattaforma con massa T(Fig. 14.1)) non percepisce la forza d'inerzia, altrimenti l'accelerazione della piattaforma non sarebbe affatto possibile.
Durante il moto rotatorio (curvilineo), l'accelerazione risultante è solitamente rappresentata sotto forma di due componenti: normale un e tangente a(fig.14.2).
Pertanto, quando si considera il moto curvilineo, possono sorgere due componenti della forza d'inerzia: normale e tangenziale
a = a t + a n;
Con moto uniforme lungo l'arco si ha sempre un'accelerazione normale, l'accelerazione tangenziale è nulla, quindi agisce solo la componente normale della forza d'inerzia, diretta lungo il raggio dal centro dell'arco (Fig. 14.3).
Principio cinetostatico (principio di d'Alembert)
Il principio cinetostatico viene utilizzato per semplificare la soluzione di una serie di problemi tecnici.
In realtà, le forze d'inerzia si applicano ai corpi collegati al corpo accelerante (ai legami).
D'Alembert ha suggerito applicare condizionalmente forza d'inerzia a un corpo che accelera attivamente. Quindi il sistema di forze applicato a un punto materiale diventa equilibrato ed è possibile utilizzare le equazioni della statica quando si risolvono problemi di dinamica.
Principio di D'Alembert:
Un punto materiale è in equilibrio sotto l'azione di forze attive, reazioni di legame e una forza d'inerzia applicata convenzionalmente;
Fine del lavoro -
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Meccanica teorica
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Problemi teorici di meccanica
La meccanica teorica è la scienza del moto meccanico dei solidi materiali e della loro interazione. Il movimento meccanico è inteso come il movimento di un corpo nello spazio e nel tempo da
Terzo assioma
Senza violare lo stato meccanico del corpo, puoi aggiungere o rimuovere un sistema di forze equilibrato (il principio di far cadere un sistema di forze equivalente a zero) (Fig. 1.3). P, = P2 P, = P.
Corollario del secondo e del terzo assioma
La forza che agisce su un corpo rigido può essere spostata lungo la linea della sua azione (Fig. 1.6).
Legami e reazioni di legame
Tutte le leggi ei teoremi della statica sono validi per un corpo rigido libero. Tutti i corpi sono divisi in liberi e legati. I corpi liberi sono corpi il cui movimento non è limitato.
Asta rigida
Nei diagrammi, le aste sono rappresentate con una linea continua spessa (Fig. 1.9). Canna d'asta
Cerniera fissa
Il punto di associazione non può essere spostato. L'asta può ruotare liberamente attorno all'asse della cerniera. La reazione di un tale supporto passa attraverso l'asse della cerniera, ma
Sistema piatto di forze convergenti
Il sistema di forze, le cui linee d'azione si intersecano in un punto, è chiamato convergente (Fig. 2.1).
Risultato di forze convergenti
La risultante di due forze che si intersecano può essere determinata utilizzando un parallelogramma o un triangolo di forze (4° assioma) (Fig. 2.2).
Condizione di equilibrio per un sistema piano di forze convergenti
Quando il sistema di forze è in equilibrio, la risultante deve essere nulla; quindi, nella costruzione geometrica, la fine dell'ultimo vettore deve coincidere con l'inizio del primo. Se
Risolvere problemi di equilibrio in modo geometrico
È conveniente usare il metodo geometrico se ci sono tre forze nel sistema. Quando si risolvono problemi di equilibrio, il corpo è considerato assolutamente solido (indurito). L'ordine di risoluzione dei problemi:
Soluzione
1. Le forze che si verificano nelle aste di fissaggio sono uguali in grandezza alle forze con cui le aste supportano il carico (5° assioma della statica) (Fig. 2.5a). Determiniamo le possibili direzioni delle reazioni al legame
Proiezione della forza dell'asse
La proiezione della forza sull'asse è determinata dal segmento dell'asse, tagliato dalle perpendicolari abbassate all'asse dall'inizio e dalla fine del vettore (Fig. 3.1).
Forze in modo analitico
La grandezza della risultante è uguale alla somma vettoriale (geometrica) dei vettori del sistema di forze. Determinare la risultante in modo geometrico. Scegliamo un sistema di coordinate, definiamo le proiezioni di tutta la schiena
Forze convergenti in forma analitica
In base al fatto che la risultante è zero, si ottiene: CONL
Una coppia di forze, un momento di una coppia di forze
Una coppia di forze è un sistema di due forze di uguale grandezza, parallele e dirette in direzioni diverse. Consideriamo un sistema di forze (P; B ") che formano una coppia.
Momento di forza relativo a un punto
Una forza che non passa attraverso il punto di attacco del corpo fa ruotare il corpo attorno al punto, quindi l'azione di tale forza sul corpo è stimata come un momento. Momento di forza rel
Teorema di Poinsot sul trasferimento parallelo di forze
La forza può essere trasferita parallelamente alla linea della sua azione, mentre è necessario aggiungere una coppia di forze con un momento pari al prodotto del modulo della forza per la distanza per la quale la forza viene trasferita.
Le forze localizzate
Le linee di azione di un sistema arbitrario di forze non si intersecano in un punto, quindi, per valutare lo stato di un corpo, tale sistema dovrebbe essere semplificato. Per fare ciò, tutte le forze del sistema vengono trasferite arbitrariamente a una di esse
Impatto del punto di riferimento
Il punto di riferimento viene selezionato casualmente. Quando cambi la posizione del punto di riferimento, la grandezza del vettore principale non cambierà. La grandezza del momento principale quando il punto di riferimento viene spostato cambierà,
Sistema di forze piatto
1. All'equilibrio, il vettore principale del sistema è zero. La determinazione analitica del vettore principale porta alla conclusione:
Tipi di carichi
Secondo il metodo di applicazione, i carichi sono suddivisi in concentrati e distribuiti. Se in realtà il trasferimento del carico avviene su un'area trascurabile (in un punto), il carico si dice concentrato
Momento di forza attorno all'asse
Il momento della forza relativo all'asse è uguale al momento di proiezione della forza su un piano perpendicolare all'asse, relativo al punto di intersezione dell'asse con il piano (Fig. 7.1 a). MUGGIRE
Vettore nello spazio
Nello spazio, il vettore di forza è proiettato su tre assi coordinati reciprocamente perpendicolari. Le proiezioni del vettore formano i bordi di un parallelepipedo rettangolare, il vettore di forza coincide con la diagonale (Fig. 7.2
Sistema di forze convergente spaziale
Il sistema di forze convergente spaziale è un sistema di forze che non giacciono su un piano, le cui linee d'azione si intersecano in un punto. Il sistema spaziale risultante si
Riduzione di un sistema spaziale arbitrario di forze al centro O
Viene fornito un sistema spaziale di forze (Fig. 7.5a). Portiamolo al centro O. Le forze devono essere mosse in parallelo, formando così un sistema di coppie di forze. Il momento di ciascuna di queste coppie è
Baricentro di corpi piani omogenei
(figure piatte) Molto spesso è necessario determinare il baricentro di vari corpi piatti e figure geometriche piatte di forma complessa. Per corpi piatti, puoi scrivere: V =
Determinazione delle coordinate del baricentro di figure piane
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La quantità vettoriale, che caratterizza la velocità di variazione della velocità in grandezza e direzione, è chiamata accelerazione del punto. Velocità del punto quando ci si sposta dal punto M1
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Il moto uniforme è un moto a velocità costante: v = const. Per movimento rettilineo uniforme (Fig.10.1 a)
Moto equivalente
Il moto equivalente è un moto con accelerazione tangenziale costante: at = const. Per moto rettilineo uguale
Movimento traslatorio
Un movimento di un corpo rigido è chiamato traslazionale, in cui qualsiasi linea retta sul corpo durante il movimento rimane parallela alla sua posizione iniziale (Fig. 11.1, 11.2). In
Movimento rotatorio
Durante il movimento rotatorio, tutti i punti del corpo descrivono un cerchio attorno a un asse fisso comune. L'asse fisso, attorno al quale ruotano tutti i punti del corpo, è chiamato asse di rotazione.
Casi speciali di moto rotatorio
Rotazione uniforme (la velocità angolare è costante): ω = const L'equazione (legge) della rotazione uniforme in questo caso ha la forma:
Velocità e accelerazioni dei punti di un corpo rotante
Il corpo ruota attorno al punto O. Determiniamo i parametri di moto del punto A, situato ad una distanza RA dall'asse di rotazione (Fig. 11.6, 11.7). Modo
Soluzione
1. Sezione 1 - movimento accelerato irregolare, ω = φ '; ε = ω '2 Sezione 2 - velocità costante - movimento uniforme,. ω = cost 3.
Definizioni di base
Un movimento complesso è considerato un movimento che può essere scomposto in più movimenti semplici. I movimenti semplici sono considerati traslazionali e rotazionali. Per considerare un movimento complesso, punto
Movimento piano parallelo di un corpo rigido
Piano-parallelo, o piatto, è un moto di un corpo rigido in cui tutti i punti del corpo si muovono parallelamente ad alcuni stazionari nel sistema di riferimento considerato
Traslazionale e rotazionale
Il movimento piano-parallelo è diviso in due movimenti: traslazionale insieme a un certo polo e rotatorio rispetto a questo polo. La decomposizione viene utilizzata per determinare
Centro di velocità
La velocità di qualsiasi punto del corpo può essere determinata utilizzando il centro istantaneo delle velocità. In questo caso, un movimento complesso si presenta sotto forma di una catena di rotazioni attorno a diversi centri. Compito
Assiomi della dinamica
Le leggi della dinamica generalizzano i risultati di numerosi esperimenti e osservazioni. Le leggi della dinamica, che di solito sono considerate assiomi, furono formulate da Newton, ma anche la prima e la quarta legge furono
Concetto di attrito. Tipi di attrito
L'attrito è la resistenza che si verifica quando un corpo ruvido si muove sulla superficie di un altro. Quando i corpi scorrono, si verifica attrito radente, mentre attrito volvente - volvente. La natura della resistenza
Attrito volvente
La resistenza al rotolamento è associata alla deformazione reciproca del terreno e della ruota ed è significativamente inferiore all'attrito di scorrimento. Di solito, il terreno è considerato più morbido della ruota, quindi il terreno è principalmente deformato e
Punti gratuiti e non gratuiti
Un punto materiale, il cui movimento nello spazio non è limitato da alcuna connessione, è chiamato libero. I problemi vengono risolti utilizzando la legge fondamentale della dinamica. Materiale quindi
Soluzione
Forze attive: forza motrice, forza di attrito, forza di gravità. Reazione in appoggio R. Applicare una forza d'inerzia nella direzione opposta all'accelerazione. Secondo il principio di d'Alembert, il sistema di forze agenti sulla piattaforma
Il lavoro della forza risultante
Sotto l'azione di un sistema di forze, un punto di massa m si sposta dalla posizione M1 alla posizione M2 (Fig. 15.7). Nel caso di moto sotto l'azione di un sistema di forze si fa uso di
Potenza
Per caratterizzare l'efficienza e la velocità di lavoro è stato introdotto il concetto di potenza. Potenza - lavoro svolto per unità di tempo:
Potenza di rotazione
Riso. 16.2 Il corpo si muove lungo un arco di raggio dal punto M1 al punto M2 M1M2 = φr Forza lavoro
Efficienza
Ogni macchina e meccanismo, eseguendo il lavoro, spende parte della sua energia per superare resistenze dannose. Pertanto, la macchina (meccanismo), oltre al lavoro utile, svolge anche un'ulteriore
Teorema del cambiamento di momento
La quantità di moto di un punto materiale è una quantità vettoriale uguale al prodotto della massa di un punto per la sua velocità mv. Il vettore della quantità di moto coincide in
Il teorema sulla variazione di energia cinetica
L'energia è la capacità del corpo di svolgere un lavoro meccanico. Esistono due forme di energia meccanica: energia potenziale, o energia di posizione, ed energia cinetica,
Fondamenti della dinamica di un sistema di punti materiali
L'insieme dei punti materiali, interconnessi da forze di interazione, è chiamato sistema meccanico. Qualsiasi corpo materiale in meccanica è considerato meccanico
L'equazione di base della dinamica di un corpo rotante
Lascia che un corpo rigido sotto l'azione di forze esterne ruoti attorno all'asse di Oz con una velocità angolare
Voltaggio
Il metodo della sezione consente di determinare il valore del fattore di forza interna nella sezione, ma non consente di stabilire la legge di distribuzione delle forze interne sulla sezione. Per valutare la forza n
Fattori di potenza interni, stress. plottaggio
Avere un'idea delle forze longitudinali, delle normali sollecitazioni nelle sezioni trasversali. Conoscere le regole per la costruzione dei diagrammi delle forze longitudinali e delle sollecitazioni normali, la legge di distribuzione
Forze longitudinali
Considera una trave caricata con forze esterne lungo l'asse. La trave è fissata nel muro (fissaggio "incasso") (Fig. 20.2a). Dividiamo la trave in sezioni di carico. Sezione di caricamento con
Caratteristiche geometriche delle sezioni piane
Avere un'idea del significato fisico e della procedura per determinare i momenti di inerzia assiale, centrifugo e polare, circa gli assi centrali principali e i principali momenti di inerzia centrali.
Momento statico dell'area della sezione trasversale
Considera una sezione arbitraria (Fig. 25.1). Se dividiamo la sezione in aree infinitamente piccole dA e moltiplichiamo ciascuna area per la distanza dall'asse delle coordinate e integriamo, otteniamo
Momento d'inerzia centrifugo
Il momento d'inerzia centrifugo della sezione è la somma dei prodotti delle aree elementari per entrambe le coordinate prese dall'area:
Momenti di inerzia assiali
Il momento d'inerzia assiale di una sezione rispetto ad una certa iarda giacente sullo stesso piano è la somma dei prodotti delle aree elementari per il quadrato della loro distanza presa sull'intera area
Momento d'inerzia polare della sezione
Il momento d'inerzia polare di una sezione rispetto a un punto (polo) è la somma dei prodotti delle aree elementari per il quadrato della loro distanza da questo punto presa sull'intera area:
Momenti d'inerzia delle sezioni più semplici
Momenti di inerzia assiali di un rettangolo (Fig. 25.2) Immaginare direttamente
Momento d'inerzia polare di un cerchio
Per un cerchio si calcola prima il momento d'inerzia polare, poi quello assiale. Immaginiamo un cerchio sotto forma di un insieme di anelli infinitamente sottili (Fig. 25.3).
Deformazioni torsionali
La torsione di una barra tonda si verifica quando è caricata con coppie di forze con momenti in piani perpendicolari all'asse longitudinale. In questo caso le generatrici della trave vengono piegate e ruotate di un angolo γ,
ipotesi di torsione
1. L'ipotesi delle sezioni piane è soddisfatta: la sezione trasversale della barra, piana e perpendicolare all'asse longitudinale, dopo la deformazione rimane piana e perpendicolare all'asse longitudinale.
Fattori di forza interni durante la torsione
La torsione è un carico in cui appare un solo fattore di forza interna nella sezione trasversale della barra: la coppia. Ci sono anche due carichi esterni.
Grafici di coppia
Le coppie possono variare lungo l'asse della trave. Dopo aver determinato i valori dei momenti lungo le sezioni, costruiamo un grafico-tracciato delle coppie lungo l'asse della barra.
Sforzi torsionali
Disegniamo una griglia di linee longitudinali e trasversali sulla superficie della barra e consideriamo il motivo formato sulla superficie dopo la Fig. 27.1a deformazione (fig.27.1a). Pop
Sollecitazioni torsionali massime
Dalla formula per la determinazione delle sollecitazioni e dal diagramma di distribuzione delle sollecitazioni di taglio durante la torsione, si può vedere che le sollecitazioni massime si verificano sulla superficie. Determinare la tensione massima
Tipi di calcoli di resistenza
Esistono due tipi di calcolo della resistenza 1. Calcolo del progetto: viene determinato il diametro del legno (albero) nella sezione pericolosa:
Calcolo della rigidità
Quando si calcola la rigidità, la deformazione viene determinata e confrontata con quella ammissibile. Si consideri la deformazione di una barra tonda sull'azione di una coppia esterna di forze con momento t (Fig. 27.4).
Definizioni di base
La flessione è un tipo di carico in cui si verifica un fattore di forza interno nella sezione trasversale della trave: un momento flettente. Non posso lavorare su
Fattori di forza interni durante la flessione
Esempio 1: Consideriamo una trave, su cui agisce una coppia di forze con un momento t e una forza esterna F (Fig. 29.3a). Per determinare i fattori di forza interni, usiamo il metodo con
momenti flettenti
Una forza trasversale in una sezione è considerata positiva se tende ad espandere la sezione trasversale.
Relazioni differenziali per flessione trasversale diretta
Il grafico delle forze di taglio e dei momenti flettenti è notevolmente semplificato utilizzando relazioni differenziali tra momento flettente, forza di taglio e intensità uniforme.
Metodo di sezione L'espressione risultante può essere generalizzata
La forza trasversale nella sezione considerata è uguale alla somma algebrica di tutte le forze agenti sulla trave fino alla sezione considerata: Q = ΣFi Poiché stiamo parlando
Voltaggio
Si consideri la flessione di una trave, bloccata a destra e caricata con una forza concentrata F (Fig. 33.1).
Stato di stress in un punto
Lo stato di sollecitazione in un punto è caratterizzato da sollecitazioni normali e tangenziali che si verificano su tutte le aree (sezioni) che passano per questo punto. Di solito è sufficiente definire
Il concetto di stato deformato complesso
L'insieme delle deformazioni che si verificano in direzioni diverse e in piani diversi passanti per un punto determinano lo stato deformato in questo punto. Deformazione complicata
Calcolo di una barra tonda per piegatura con torsione
Nel caso di calcolo di una barra tonda sotto l'azione di flessione e torsione (Fig. 34.3), è necessario tenere conto delle sollecitazioni normali e tangenziali, poiché si verificano i valori massimi delle sollecitazioni in entrambi i casi
Il concetto di equilibrio stabile e instabile
Le canne relativamente corte e massicce sono progettate per la compressione. falliscono a causa di distruzione o deformazione permanente. Aste lunghe di piccola sezione sotto
Calcolo per la stabilità
Il calcolo della stabilità consiste nel determinare la forza di compressione ammissibile e, rispetto ad essa, la forza agente:
Calcolo con la formula di Eulero
Il problema della determinazione della forza critica fu risolto matematicamente da L. Eulero nel 1744. Per un'asta incernierata su entrambi i lati (Fig. 36.2), la formula di Eulero ha la forma
Stress critici
La sollecitazione critica è la sollecitazione di compressione corrispondente alla forza critica. La sollecitazione di compressione è determinata dalla formula
Limiti di applicabilità della formula di Eulero
La formula di Eulero è soddisfatta solo all'interno delle deformazioni elastiche. Pertanto, lo stress critico deve essere inferiore al limite elastico del materiale. Precedente
Sistemi di riferimento inerziali e non inerziali
Le leggi di Newton sono soddisfatte solo nei sistemi di riferimento inerziali. Rispetto a tutti i sistemi inerziali, questo corpo si muove con la stessa accelerazione $ w $. Qualsiasi sistema di riferimento non inerziale si muove rispetto ai sistemi inerziali con una certa accelerazione, quindi l'accelerazione del corpo nel sistema di riferimento non inerziale $ w "$ sarà diversa da $ w $. Indichiamo la differenza tra le accelerazioni di il corpo e i telai inerziali e non inerziali con il simbolo $ a $:
Per un sistema non inerziale traslazionale, $ a $ è lo stesso per tutti i punti dello spazio $ a = const $ e rappresenta l'accelerazione del sistema di riferimento non inerziale.
Per un sistema rotante non inerziale, $ a $ in diversi punti dello spazio sarà diverso ($ a = a (r ") $, dove $ r" $ è il raggio vettore che determina la posizione del punto rispetto al non -sistema di riferimento inerziale).
Sia la risultante di tutte le forze causate dall'azione su un dato corpo da altri corpi pari a $ F $. Quindi, secondo la seconda legge di Newton, l'accelerazione di un corpo rispetto a qualsiasi sistema di riferimento inerziale è uguale a:
L'accelerazione di un corpo rispetto a un sistema non inerziale può essere rappresentata come:
Ne segue che anche a $ F = 0 $ il corpo si muoverà rispetto al sistema di riferimento non inerziale con accelerazione $ -a $, cioè come se su di esso agisse una forza pari a $ -ma $.
Ciò significa che quando si descrive il moto in sistemi di riferimento non inerziali, le equazioni di Newton possono essere utilizzate se, insieme alle forze causate dall'azione dei corpi l'uno sull'altro, vengono prese le cosiddette forze inerziali $ F_ (in) $ in considerazione, che dovrebbe assumere essere uguale al prodotto della massa corporea per quella presa dal segno opposto è la differenza delle sue accelerazioni rispetto ai sistemi di riferimento inerziale e non inerziale:
Di conseguenza, l'equazione della seconda legge di Newton in un sistema di riferimento non inerziale avrà la forma:
Chiariamo la nostra affermazione con il seguente esempio. Considera un carrello con una staffa attaccata, a cui una palla è sospesa da un filo.
Figura 1.
Mentre il carrello è fermo o si muove senza accelerazione, il filo è verticale e la forza di gravità $ P $ è bilanciata dalla reazione del filo $ F_ (r) $. Ora mettiamo il carrello in moto traslazionale e accelerazione $ a $. Il filo devierà dalla verticale di un angolo tale che le forze risultanti $ P $ e $ F_ (r) $ impartiscano alla palla un'accelerazione pari a $ a $. La palla è ferma rispetto al sistema di riferimento connesso al carrello, nonostante la risultante delle forze $ P $ e $ F_ (r) $ sia diversa da zero. La mancanza di accelerazione della palla rispetto a questo sistema di riferimento può essere formalmente spiegata dal fatto che, oltre alle forze $ P $ e $ F_ (r) $, che sono uguali a $ ma $, la palla è agito anche dalla forza d'inerzia $ F_ (in) = -ma $.
Forze d'inerzia e loro proprietà
L'introduzione delle forze d'inerzia permette di descrivere il moto dei corpi in qualsiasi sistema di riferimento (sia inerziale che non inerziale) usando le stesse equazioni del moto.
Osservazione 1
Dovrebbe essere chiaramente compreso che le forze di inerzia non possono essere messe alla pari con forze come forze elastiche, gravitazionali e di attrito, cioè forze causate dall'azione sul corpo da altri corpi. Le forze di inerzia sono determinate dalle proprietà del sistema di riferimento in cui vengono considerati i fenomeni meccanici. In questo senso, possono essere chiamate forze fittizie.
L'introduzione delle forze d'inerzia in considerazione non è fondamentalmente necessaria. In linea di principio, ogni movimento può sempre essere considerato in relazione al sistema di riferimento inerziale. Tuttavia, in pratica è spesso il movimento dei corpi rispetto a sistemi di riferimento non inerziali, ad esempio rispetto alla superficie terrestre, che interessa.
L'uso delle forze d'inerzia permette di risolvere il problema corrispondente direttamente rispetto a tale sistema di riferimento, che spesso risulta essere molto più semplice che considerare il moto in un sistema inerziale.
Una proprietà caratteristica delle forze inerziali è la loro proporzionalità alla massa corporea. A causa di questa proprietà, le forze inerziali sono simili alle forze gravitazionali. Immaginiamo di trovarci in una cabina chiusa, lontana da tutti i corpi esterni, che si muove con accelerazione g nella direzione che chiameremo "su".
Figura 2.
Quindi tutti i corpi all'interno della cabina si comporteranno come se su di essi agisse la forza d'inerzia $ F_ (in) = -ma $. In particolare, la molla, alla cui estremità è sospeso un corpo di massa $ m $, sarà tesa in modo che la forza elastica bilanci la forza d'inerzia $ -mg $. Tuttavia, gli stessi fenomeni si osserverebbero se la cabina fosse ferma e si trovasse vicino alla superficie della Terra. Non potendo "guardare" all'esterno della cabina, nessun esperimento effettuato all'interno della cabina, non abbiamo potuto stabilire cosa abbia causato la forza $ -mg $ - il movimento accelerato della cabina o l'azione del campo gravitazionale terrestre. Su questa base, parlano dell'equivalenza delle forze di inerzia e gravità. Questa equivalenza è alla base della teoria della relatività generale di Einstein.
Esempio 1
Il corpo cade liberamente da un'altezza di $ 200 m sulla Terra. Determinare la deviazione del corpo verso est sotto l'influenza della forza d'inerzia di Coriolis causata dalla rotazione della Terra. La latitudine del luogo dell'incidente è $ 60 ^ \ circ $.
Dato: $ h = 200 $ m, $ \ varphi = 60 $ ?.
Trova: $ l- $?
Soluzione: Nel sistema di riferimento terrestre, la forza d'inerzia di Coriolis agisce su un corpo in caduta libera:
\, \]
dove $ \ omega = \ frac (2 \ pi) (T) = 7,29 \ cdot 10 ^ (- 6) $ rad / s è la velocità angolare della rotazione terrestre e $ v_ (r) $ è la velocità del corpo rispetto alla Terra.
La forza d'inerzia di Coriolis è molte volte inferiore alla forza gravitazionale del corpo sulla Terra. Pertanto, in prima approssimazione, nel determinare $ F_ (k) $, possiamo assumere che la velocità $ v_ (r) $ sia diretta lungo il raggio della Terra e sia numericamente uguale a:
dove $ t $$ $ è la durata della caduta.
Figura 3.
La figura mostra la direzione di azione della forza, quindi:
Poiché $ a_ (k) = \ frac (dv) (dt) = \ frac (d ^ (2) l) (dt ^ (2)) $,
dove $ v $ è il valore numerico della componente di velocità del corpo tangente alla superficie terrestre, $ l $ è lo spostamento verso est di un corpo in caduta libera, quindi:
$ v = \ omega gt ^ (2) \ cos \ varphi + C_ (1) $ e $ l = \ frac (1) (3) \ omega gt ^ (3) \ cos \ varphi + C_ (1) t + C_ (2) $.
All'inizio della caduta del corpo $ t = 0, v = 0, l = 0 $, quindi le costanti di integrazione sono uguali a zero e quindi abbiamo:
Durata della caduta libera di un corpo da un'altezza $ h $:
quindi la deviazione desiderata del corpo verso est:
$ l = \ frac (2) (3) \ omega h \ sqrt (\ frac (2h) (g)) \ cos \ varphi = 0.3 \ cdot 10 ^ (- 2) $ m.
Risposta: $ l = 0,3 \ cdot 10 ^ (- 2) $ m.
