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Uguaglianza dei logaritmi con le stesse basi. Ln x

proprietà di base.

logax + logay = loga (x y);
logax - logay = loga (x: y).

motivi identici

Log6 4 + log6 9.

Ora complichiamo un po' il compito.

Esempi di risoluzione di logaritmi

Cosa succede se la base o l'argomento del logaritmo si basa su un grado? Quindi l'esponente di questo grado può essere preso dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:

Ovviamente tutte queste regole hanno senso se si osserva l'ODL del logaritmo: a> 0, a 1, x>

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Passare a una nuova fondazione

Sia dato il logaritmo. Allora, per ogni numero c tale che c> 0 e c 1, vale la seguente uguaglianza:

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Guarda anche:

Proprietà di base del logaritmo

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L'esponente è 2.718281828…. Per ricordare l'esponente, puoi studiare la regola: l'esponente è 2,7 e due volte l'anno di nascita di Leo Nikolaevich Tolstoy.

Proprietà di base dei logaritmi

Conoscendo questa regola, conoscerai sia il valore esatto dell'esponente che la data di nascita di Leone Tolstoj.

Esempi per logaritmi

Espressioni logaritmiche

Esempio 1.
un). x = 10ac ^ 2 (a> 0, c> 0).

Per le proprietà 3.5 calcoliamo

4. dove .

Esempio 2. Trova x se

Esempio 3. Sia dato il valore dei logaritmi

Valuta log (x) se

Proprietà di base dei logaritmi

I logaritmi, come tutti i numeri, possono essere aggiunti, sottratti e trasformati in ogni modo. Ma poiché i logaritmi non sono esattamente numeri ordinari, ci sono regole qui, che sono chiamate proprietà di base.

È indispensabile conoscere queste regole: nessun problema logaritmico serio può essere risolto senza di esse. Inoltre, ce ne sono pochissimi: tutto può essere appreso in un giorno. Quindi iniziamo.

Addizione e sottrazione di logaritmi

Consideriamo due logaritmi con le stesse basi: logaritmo e logaritmo. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:

logax + logay = loga (x y);
logax - logay = loga (x: y).

Quindi, la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto e la differenza è il logaritmo del quoziente. Si prega di notare, il punto chiave qui è - motivi identici... Se i motivi sono diversi, queste regole non funzionano!

Queste formule ti aiuteranno a calcolare un'espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non vengono contate (vedi la lezione "Cos'è un logaritmo"). Dai un'occhiata agli esempi e vedi:

Poiché le basi dei logaritmi sono le stesse, usiamo la formula della somma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log2 48 - log2 3.

Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log3 135 - log3 5.

Anche in questo caso le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Come puoi vedere, le espressioni originali sono composte da logaritmi "cattivi", che non vengono contati separatamente. Ma dopo le trasformazioni, si ottengono numeri abbastanza normali. Molti test si basano su questo fatto. Ma quale controllo - tali espressioni in tutta serietà (a volte - praticamente invariate) sono offerte all'esame.

Rimozione dell'esponente dal logaritmo

È facile vedere che l'ultima regola segue le prime due. Ma è meglio ricordarlo lo stesso: in alcuni casi ridurrà significativamente la quantità di calcolo.

Naturalmente, tutte queste regole hanno senso se si osserva l'ODL del logaritmo: a> 0, a 1, x> 0. E un'altra cosa: impara ad applicare tutte le formule non solo da sinistra a destra, ma anche viceversa , cioè puoi inserire i numeri che precedono il segno del logaritmo nel logaritmo stesso. Questo è ciò che viene richiesto più spesso.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log7 496.

Eliminiamo il grado nell'argomento usando la prima formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Si noti che il denominatore contiene il logaritmo, la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 24; 49 = 72. Abbiamo:

Penso che l'ultimo esempio abbia bisogno di qualche chiarimento. Dove sono scomparsi i logaritmi? Fino all'ultimo momento, lavoriamo solo con il denominatore.

Formule per logaritmi. I logaritmi sono esempi di soluzioni.

Abbiamo presentato la base e l'argomento del logaritmo in piedi lì sotto forma di gradi e abbiamo messo in evidenza gli indicatori: abbiamo ottenuto una frazione di "tre piani".

Ora diamo un'occhiata alla frazione di base. Il numeratore e il denominatore contengono lo stesso numero: log2 7. Poiché log2 7 ≠ 0, possiamo cancellare la frazione - il denominatore rimane 2/4. Secondo le regole dell'aritmetica, i quattro possono essere trasferiti al numeratore, cosa che è stata fatta. Il risultato è stata la risposta: 2.

Passare a una nuova fondazione

Parlando delle regole di addizione e sottrazione dei logaritmi, ho specificamente sottolineato che funzionano solo per le stesse basi. E se i motivi fossero diversi? E se non fossero potenze esatte dello stesso numero?

Le formule per il passaggio a una nuova fondazione vengono in soccorso. Formuliamoli sotto forma di teorema:

Sia dato il logaritmo. Allora, per ogni numero c tale che c> 0 e c 1, vale la seguente uguaglianza:

In particolare, se poniamo c = x, otteniamo:

Dalla seconda formula segue che è possibile scambiare la base e l'argomento del logaritmo, ma in questo caso l'intera espressione è "rovesciata", cioè il logaritmo appare al denominatore.

Queste formule si trovano raramente nelle espressioni numeriche convenzionali. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disuguaglianze logaritmiche.

Tuttavia, ci sono compiti che generalmente non vengono risolti se non con il passaggio a una nuova fondazione. Considera un paio di questi:

Compito. Trova il valore dell'espressione: log5 16 log2 25.

Nota che gli argomenti di entrambi i logaritmi contengono gradi esatti. Prendiamo gli indicatori: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ora "capovolgiamo" il secondo logaritmo:

Poiché il prodotto non cambia dalla permutazione dei fattori, abbiamo con calma moltiplicato il quattro e il due, e poi abbiamo trattato i logaritmi.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log9 100 · lg 3.

La base e l'argomento del primo logaritmo sono gradi esatti. Scriviamo questo e liberiamoci delle metriche:

Ora sbarazziamoci del logaritmo decimale spostandoci sulla nuova base:

Identità logaritmica di base

Spesso nel processo di risoluzione è necessario rappresentare un numero come logaritmo di una data base. In questo caso, le formule ci aiuteranno:

Nel primo caso, il numero n diventa l'esponente nell'argomento. Il numero n può essere assolutamente qualsiasi cosa, perché è solo il valore del logaritmo.

La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama così:.

In effetti, cosa succede se il numero b viene elevato a una potenza tale che il numero b a questa potenza dia il numero a? Esatto: ottieni proprio questo numero a. Leggi di nuovo attentamente questo paragrafo: molte persone ci "attaccano".

Come le formule per il passaggio a una nuova base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Nota che log25 64 = log5 8 - ha appena spostato il quadrato fuori dalla base e dall'argomento logaritmo. Tenendo conto delle regole per moltiplicare i gradi con la stessa base, otteniamo:

Se qualcuno non lo sa, è stato un vero problema dall'esame 🙂

Unità logaritmica e zero logaritmico

In conclusione, darò due identità che difficilmente possono essere chiamate proprietà - piuttosto, queste sono conseguenze della definizione del logaritmo. Si incontrano costantemente nei problemi e, sorprendentemente, creano problemi anche agli studenti "avanzati".

loga = 1 è. Ricorda una volta per tutte: il logaritmo in qualsiasi base a da questa base è uguale a uno.
loga 1 = 0 è. La base a può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento è uno, il logaritmo è zero! Perché a0 = 1 è una diretta conseguenza della definizione.

Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti mettendoli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.

Guarda anche:

Il logaritmo di b in base a denota un'espressione. Calcolare il logaritmo significa trovare una tale potenza di x() alla quale l'uguaglianza

Proprietà di base del logaritmo

Le proprietà date devono essere conosciute, poiché, sulla loro base, vengono risolti quasi tutti i problemi e gli esempi associati ai logaritmi. Il resto delle proprietà esotiche può essere dedotto da manipolazioni matematiche con queste formule

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Quando si calcolano le formule per la somma e la differenza dei logaritmi (3.4) si incontrano abbastanza spesso. Gli altri sono alquanto complessi, ma in una serie di compiti sono indispensabili per semplificare espressioni complesse e calcolarne i valori.

Casi comuni di logaritmi

Alcuni dei logaritmi comuni sono quelli in cui la base è anche dieci, esponenziale o due.
Il logaritmo in base dieci è solitamente chiamato logaritmo decimale ed è semplicemente indicato con lg (x).

Si può vedere dalla registrazione che le basi non sono scritte nella registrazione. Per esempio

Il logaritmo naturale è il logaritmo basato sull'esponente (indicato con ln (x)).

L'esponente è 2.718281828…. Per ricordare l'esponente, puoi studiare la regola: l'esponente è 2,7 e due volte l'anno di nascita di Leo Nikolaevich Tolstoy. Conoscendo questa regola, conoscerai sia il valore esatto dell'esponente che la data di nascita di Leone Tolstoj.

E un altro importante logaritmo in base due è

La derivata del logaritmo della funzione è uguale a uno diviso per la variabile

L'integrale o l'antiderivata del logaritmo è determinato dalla dipendenza

Il materiale fornito è sufficiente per risolvere un'ampia classe di problemi relativi a logaritmi e logaritmi. Per assimilare il materiale, darò solo alcuni esempi comuni dal curriculum scolastico e dalle università.

Esempi per logaritmi

Espressioni logaritmiche

Esempio 1.
un). x = 10ac ^ 2 (a> 0, c> 0).

Per le proprietà 3.5 calcoliamo

2.
Per la proprietà della differenza dei logaritmi si ha

3.
Usando le proprietà 3,5 troviamo

4. dove .

Un'espressione apparentemente complessa che utilizza una serie di regole è semplificata nella forma

Trovare i valori dei logaritmi

Esempio 2. Trova x se

Soluzione. Per il calcolo applichiamo fino all'ultimo termine 5 e 13 delle proprietà

Sostituisci e addolorati

Poiché le basi sono uguali, uguagliamo le espressioni

Logaritmi. Primo livello.

Sia dato il valore dei logaritmi

Valuta log (x) se

Soluzione: logaritmo la variabile per scrivere il logaritmo attraverso la somma dei termini

È qui che inizia la conoscenza dei logaritmi e delle loro proprietà. Esercitati con i calcoli, arricchisci le tue abilità pratiche: presto avrai bisogno di questa conoscenza per risolvere equazioni logaritmiche. Dopo aver studiato i metodi di base per risolvere tali equazioni, espanderemo le tue conoscenze su un altro argomento altrettanto importante: le disuguaglianze logaritmiche ...

Proprietà di base dei logaritmi

Addizione e sottrazione di logaritmi

Consideriamo due logaritmi con le stesse basi: logaritmo e logaritmo. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:

logax + logay = loga (x y);
logax - logay = loga (x: y).

Queste formule ti aiuteranno a calcolare un'espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non vengono contate (vedi la lezione "Cos'è un logaritmo"). Dai un'occhiata agli esempi e vedi:

Compito. Trova il valore dell'espressione: log6 4 + log6 9.

Poiché le basi dei logaritmi sono le stesse, usiamo la formula della somma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log2 48 - log2 3.

Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log3 135 - log3 5.

Anche in questo caso le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
log3 135 - log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Rimozione dell'esponente dal logaritmo

Ora complichiamo un po' il compito. Cosa succede se la base o l'argomento del logaritmo si basa su un grado? Quindi l'esponente di questo grado può essere preso dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:

È facile vedere che l'ultima regola segue le prime due. Ma è meglio ricordarlo lo stesso: in alcuni casi ridurrà significativamente la quantità di calcolo.

Come risolvere i logaritmi

Questo è ciò che viene richiesto più spesso.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log7 496.

Eliminiamo il grado nell'argomento usando la prima formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Si noti che il denominatore contiene il logaritmo, la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 24; 49 = 72. Abbiamo:

Penso che l'ultimo esempio abbia bisogno di qualche chiarimento. Dove sono scomparsi i logaritmi? Fino all'ultimo momento, lavoriamo solo con il denominatore. Abbiamo presentato la base e l'argomento del logaritmo in piedi lì sotto forma di gradi e abbiamo messo in evidenza gli indicatori: abbiamo ottenuto una frazione di "tre piani".

Passare a una nuova fondazione

Le formule per il passaggio a una nuova fondazione vengono in soccorso. Formuliamoli sotto forma di teorema:

Sia dato il logaritmo. Allora, per ogni numero c tale che c> 0 e c 1, vale la seguente uguaglianza:

In particolare, se poniamo c = x, otteniamo:

Dalla seconda formula segue che è possibile scambiare la base e l'argomento del logaritmo, ma in questo caso l'intera espressione è "rovesciata", cioè il logaritmo appare al denominatore.

Queste formule si trovano raramente nelle espressioni numeriche convenzionali. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disuguaglianze logaritmiche.

Tuttavia, ci sono compiti che generalmente non vengono risolti se non con il passaggio a una nuova fondazione. Considera un paio di questi:

Compito. Trova il valore dell'espressione: log5 16 log2 25.

Nota che gli argomenti di entrambi i logaritmi contengono gradi esatti. Prendiamo gli indicatori: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ora "capovolgiamo" il secondo logaritmo:

Poiché il prodotto non cambia dalla permutazione dei fattori, abbiamo con calma moltiplicato il quattro e il due, e poi abbiamo trattato i logaritmi.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log9 100 · lg 3.

La base e l'argomento del primo logaritmo sono gradi esatti. Scriviamo questo e liberiamoci delle metriche:

Ora sbarazziamoci del logaritmo decimale spostandoci sulla nuova base:

Identità logaritmica di base

Spesso nel processo di risoluzione è necessario rappresentare un numero come logaritmo di una data base. In questo caso, le formule ci aiuteranno:

Nel primo caso, il numero n diventa l'esponente nell'argomento. Il numero n può essere assolutamente qualsiasi cosa, perché è solo il valore del logaritmo.

La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama così:.

Come le formule per il passaggio a una nuova base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Nota che log25 64 = log5 8 - ha appena spostato il quadrato fuori dalla base e dall'argomento logaritmo. Tenendo conto delle regole per moltiplicare i gradi con la stessa base, otteniamo:

Se qualcuno non lo sa, è stato un vero problema dall'esame 🙂

Unità logaritmica e zero logaritmico

loga = 1 è. Ricorda una volta per tutte: il logaritmo in qualsiasi base a da questa base è uguale a uno.
loga 1 = 0 è. La base a può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento è uno, il logaritmo è zero! Perché a0 = 1 è una diretta conseguenza della definizione.

Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti mettendoli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.

Che cos'è un logaritmo?

Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiali nella Parte Speciale 555.
Per chi è molto "non molto..."
E per chi è "molto uniforme..."

Che cos'è un logaritmo? Come si risolvono i logaritmi? Queste domande confondono molti laureati. Tradizionalmente, l'argomento dei logaritmi è considerato difficile, incomprensibile e spaventoso. Soprattutto - equazioni con logaritmi.

Questo non è assolutamente il caso. Assolutamente! Non mi credi? Bene. Ora, in circa 10 - 20 minuti, tu:

1. Capire cos'è il logaritmo?.

2. Impara a risolvere un'intera classe di equazioni esponenziali. Anche se non ne hai sentito parlare.

3. Impara a calcolare semplici logaritmi.

E per questo avrai solo bisogno di conoscere la tabellina, ma come si eleva un numero a una potenza ...

Sento che sei in dubbio ... Bene, guarda l'ora! Andare!

Inizia risolvendo la seguente equazione nella tua testa:

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Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test di convalida istantaneo. Imparare - con interesse!)

puoi familiarizzare con funzioni e derivati.

Man mano che la società si sviluppava e la produzione diventava più complessa, si sviluppava anche la matematica. Passare dal semplice al complesso. Dalla solita contabilità con il metodo dell'addizione e della sottrazione, con la loro ripetizione ripetuta, siamo giunti al concetto di moltiplicazione e divisione. Ridurre l'operazione ripetitiva di moltiplicazione è diventato il concetto di elevazione a potenza. Le prime tavole della dipendenza dei numeri dalla base e del numero di elevazione a potenza furono compilate nell'VIII secolo dal matematico indiano Varasen. Da loro, e puoi contare il tempo di occorrenza dei logaritmi.

Schizzo storico

La rinascita dell'Europa nel XVI secolo stimolò anche lo sviluppo della meccanica. T ha richiesto una grande quantità di calcolo relative alla moltiplicazione e divisione di numeri a più cifre. I tavoli antichi hanno reso un ottimo servizio. Hanno permesso di sostituire operazioni complesse con quelle più semplici: addizione e sottrazione. Un grande passo avanti fu il lavoro del matematico Michael Stiefel, pubblicato nel 1544, in cui realizzò l'idea di molti matematici. Ciò ha permesso di utilizzare le tabelle non solo per i gradi sotto forma di numeri primi, ma anche per quelli razionali arbitrari.

Nel 1614, lo scozzese John Napier, sviluppando queste idee, introdusse per la prima volta il nuovo termine "logaritmo di un numero". Sono state compilate nuove tabelle complesse per calcolare i logaritmi di seno e coseno, nonché le tangenti. Ciò ha notevolmente ridotto il lavoro degli astronomi.

Cominciarono ad apparire nuove tabelle, che furono utilizzate con successo dagli scienziati per tre secoli. Ci volle molto tempo prima che la nuova operazione in algebra acquisisse la sua forma definitiva. È stata data la definizione del logaritmo e ne sono state studiate le proprietà.

Solo nel XX secolo, con l'avvento della calcolatrice e del computer, l'umanità ha abbandonato le antiche tavole che funzionavano con successo dal XIII secolo.

Oggi chiamiamo la base un logaritmo del numero x, che è una potenza di a, per formare il numero b. Questo è scritto sotto forma di una formula: x = log a (b).

Ad esempio, log 3 (9) sarà 2. Questo è ovvio se segui la definizione. Se 3 viene elevato alla potenza di 2, otteniamo 9.

Quindi, la definizione formulata pone una sola restrizione, i numeri aeb devono essere reali.

Varietà di logaritmi

La definizione classica è chiamata logaritmo reale ed è in realtà una soluzione dell'equazione a x = b. L'opzione a = 1 è borderline e non interessa. Nota: 1 è uguale a 1 in qualsiasi grado.

Valore reale del logaritmo definito solo quando radice e argomento sono maggiori di 0 e radice non deve essere uguale a 1.

Un posto speciale nel campo della matematica riproduci i logaritmi, che saranno nominati in base alla grandezza della loro base:

Regole e restrizioni

La proprietà fondamentale dei logaritmi è la regola: il logaritmo del prodotto è uguale alla somma logaritmica. log abp = log a (b) + log a (p).

Come variante di questa affermazione sarà: log c (b / p) = log c (b) - log c (p), la funzione quoziente è uguale alla differenza delle funzioni.

Dalle due regole precedenti è facile vedere che: log a (b p) = p * log a (b).

Altre proprietà includono:

Commento. Non commettere un errore comune: il logaritmo della somma non è uguale alla somma dei logaritmi.

Per molti secoli, l'operazione di ricerca del logaritmo è stata un compito piuttosto laborioso. I matematici usarono la ben nota formula della teoria della decomposizione polinomiale logaritmica:

ln (1 + x) = x - (x ^ 2) / 2 + (x ^ 3) / 3 - (x ^ 4) / 4 +… + ((-1) ^ (n + 1)) * (( x ^ n) / n), dove n è un numero naturale maggiore di 1, che determina l'accuratezza del calcolo.

I logaritmi con altre basi sono stati calcolati utilizzando il teorema sulla transizione da una base all'altra e la proprietà del logaritmo del prodotto.

Poiché questo metodo richiede molto tempo e quando si risolvono problemi pratici difficile da implementare, abbiamo quindi utilizzato tabelle di logaritmi precompilate, che hanno accelerato notevolmente l'intero lavoro.

In alcuni casi sono stati utilizzati grafici di logaritmi appositamente compilati, che hanno fornito meno precisione, ma hanno accelerato significativamente la ricerca del valore desiderato. La curva della funzione y = log a (x), costruita su più punti, consente di utilizzare un righello regolare per trovare i valori della funzione in qualsiasi altro punto. Per molto tempo, gli ingegneri hanno utilizzato la cosiddetta carta millimetrata per questi scopi.

Nel XVII secolo apparvero le prime condizioni computazionali analogiche ausiliarie, che nel XIX secolo acquisirono una forma completa. Il dispositivo di maggior successo si chiama regolo calcolatore. Con tutta la semplicità del dispositivo, il suo aspetto ha notevolmente accelerato il processo di tutti i calcoli ingegneristici ed è difficile sopravvalutarlo. Al giorno d'oggi, poche persone hanno già familiarità con questo dispositivo.

L'avvento di calcolatrici e computer ha reso inutile l'utilizzo di qualsiasi altro dispositivo.

Equazioni e disuguaglianze

Per risolvere varie equazioni e disuguaglianze usando i logaritmi, vengono applicate le seguenti formule:

Il passaggio da una base all'altra: log a (b) = log c (b) / log c (a);
Come conseguenza della versione precedente: log a (b) = 1 / log b (a).

Per risolvere le disuguaglianze è utile sapere:

Il valore del logaritmo sarà positivo solo quando la base e l'argomento sono entrambi maggiori o minori di uno; se viene violata almeno una condizione, il valore del logaritmo sarà negativo.
Se la funzione logaritmica viene applicata ai lati destro e sinistro della disuguaglianza e la base del logaritmo è maggiore di uno, il segno di disuguaglianza viene preservato; altrimenti cambia.

Esempi di compiti

Consideriamo diverse opzioni per l'utilizzo dei logaritmi e delle loro proprietà. Esempi con la risoluzione di equazioni:

Considera l'opzione di mettere il logaritmo al potere:

Problema 3. Calcola 25 ^ log 5 (3). Soluzione: nelle condizioni del problema, il record è simile al seguente (5 ^ 2) ^ log5 (3) o 5 ^ (2 * log 5 (3)). Scriviamolo diversamente: 5^ log 5 (3 * 2), ovvero il quadrato di un numero come argomento di una funzione può essere scritto come il quadrato della funzione stessa (5 ^ log 5 (3)) ^ 2. Usando le proprietà dei logaritmi, questa espressione è 3 ^ 2. Risposta: come risultato del calcolo, otteniamo 9.

Uso pratico

Essendo uno strumento puramente matematico, sembra lontano dalla vita reale che il logaritmo abbia improvvisamente acquisito una grande importanza per descrivere gli oggetti nel mondo reale. È difficile trovare una scienza in cui non sia applicata. Ciò si applica pienamente non solo ai campi della conoscenza naturali, ma anche umanitari.

Dipendenze logaritmiche

Ecco alcuni esempi di dipendenze numeriche:

Meccanica e Fisica

Storicamente, la meccanica e la fisica si sono sempre sviluppate utilizzando metodi di ricerca matematica e allo stesso tempo sono servite da incentivo per lo sviluppo della matematica, compresi i logaritmi. La teoria della maggior parte delle leggi della fisica è scritta nel linguaggio della matematica. Daremo solo due esempi della descrizione delle leggi fisiche usando il logaritmo.

È possibile risolvere il problema del calcolo di una quantità così complessa come la velocità di un razzo usando la formula di Tsiolkovsky, che ha posto le basi per la teoria dell'esplorazione dello spazio:

V = I * ln (M1 / M2), dove

V è la velocità finale dell'aereo.
I è l'impulso specifico del motore.
M 1 è la massa iniziale del razzo.
M2 è la massa finale.

Un altro esempio importante- questo è l'uso nella formula di un altro grande scienziato Max Planck, che serve a valutare lo stato di equilibrio in termodinamica.

S = k * ln (Ω), dove

S - proprietà termodinamica.
k è la costante di Boltzmann.
è il peso statistico dei diversi stati.

Chimica

Meno ovvio sarebbe l'uso di formule in chimica contenenti il rapporto dei logaritmi. Daremo anche solo due esempi:

Equazione di Nernst, condizione del potenziale redox del mezzo in relazione all'attività delle sostanze e alla costante di equilibrio.
Anche il calcolo di costanti come l'indice di autoprolisi e l'acidità della soluzione non è completo senza la nostra funzione.

Psicologia e biologia

Ed è completamente incomprensibile cosa c'entri la psicologia con questo. Risulta che la forza della sensazione è ben descritta da questa funzione come il rapporto inverso del valore dell'intensità dello stimolo al valore inferiore dell'intensità.

Dopo gli esempi precedenti, non sorprende più che l'argomento dei logaritmi sia ampiamente utilizzato in biologia. Si possono scrivere volumi sulle forme biologiche corrispondenti a spirali logaritmiche.

Altre aree

Sembra che l'esistenza del mondo sia impossibile senza connessione con questa funzione, e governa tutte le leggi. Soprattutto quando le leggi della natura sono associate a una progressione geometrica. Vale la pena fare riferimento al sito Web MatProfi e ci sono molti esempi di questo tipo nelle seguenti aree di attività:

L'elenco può essere infinito. Avendo padroneggiato le leggi di base di questa funzione, puoi immergerti nel mondo della saggezza infinita.

In relazione con

il problema può essere impostato per trovare uno qualsiasi dei tre numeri dagli altri due dati. Se a è dato e allora si trova N per l'azione dell'elevamento a potenza. Se si danno N e si trova a estraendo una radice di potenza x (o elevando a potenza). Consideriamo ora il caso in cui dati a e N è necessario trovare x.

Sia il numero N positivo: il numero a è positivo e non uguale a uno:.

Definizione. Il logaritmo del numero N in base a è l'esponente a cui deve essere elevato a per ottenere il numero N; il logaritmo si indica con

Quindi, nell'uguaglianza (26.1), l'esponente si trova come logaritmo di N in base a. Registrazioni

hanno lo stesso significato. L'uguaglianza (26.1) è talvolta chiamata l'identità di base della teoria dei logaritmi; esprime infatti la definizione del concetto di logaritmo. Secondo questa definizione, la base del logaritmo a è sempre positiva e diversa da uno; il numero del logaritmo N è positivo. I numeri negativi e lo zero non hanno logaritmi. Si può dimostrare che qualsiasi numero per una data base ha un logaritmo ben definito. Quindi l'uguaglianza implica. Nota che la condizione è essenziale qui, altrimenti la conclusione non sarebbe giustificata, poiché l'uguaglianza è vera per qualsiasi valore di x e y.

Esempio 1. Trova

Soluzione. Per ottenere un numero, eleva quindi la base 2 alla potenza.

Puoi registrare quando risolvi tali esempi nel seguente modulo:

Esempio 2. Trova.

Soluzione. Abbiamo

Negli esempi 1 e 2, abbiamo trovato facilmente il logaritmo desiderato, rappresentando il logaritmo come potenza della base con un esponente razionale. Nel caso generale, ad esempio, per, ecc., Ciò non può essere fatto, poiché il logaritmo ha un significato irrazionale. Prestiamo attenzione a una domanda relativa a questa affermazione. Nella Sezione 12, abbiamo dato il concetto della possibilità di determinare qualsiasi potenza reale di un dato numero positivo. Ciò è stato necessario per introdurre i logaritmi, che, in generale, possono essere numeri irrazionali.

Consideriamo alcune proprietà dei logaritmi.

Proprietà 1. Se il numero e la base sono uguali, il logaritmo è uguale a uno e, al contrario, se il logaritmo è uguale a uno, allora il numero e la base sono uguali.

Prova. Sia Per la definizione del logaritmo abbiamo e da dove

Viceversa, sia Allora, per definizione

Proprietà 2. Il logaritmo di uno in qualsiasi base è zero.

Prova. Per definizione di logaritmo (il grado zero di qualsiasi base positiva è uguale a uno, vedi (10.1)). Da qui

Q.E.D.

Vale anche l'affermazione inversa: se, allora N = 1. Infatti, abbiamo.

Prima di formulare la seguente proprietà dei logaritmi, concordiamo nel dire che due numeri a e b giacciono dalla stessa parte del terzo numero c se sono entrambi maggiori di c o minori di c. Se uno di questi numeri è maggiore di c e l'altro è minore di c, allora diremo che giacciono sui lati opposti di c.

Proprietà 3. Se il numero e la base giacciono sullo stesso lato di uno, allora il logaritmo è positivo; se il numero e la base sono sui lati opposti di uno, allora il logaritmo è negativo.

La dimostrazione della proprietà 3 si basa sul fatto che il grado a è maggiore di uno se la base è maggiore di uno e l'esponente è positivo, oppure la base è minore di uno e l'esponente è negativo. Il grado è minore di uno se la base è maggiore di uno e l'esponente è negativo, oppure la base è minore di uno e l'esponente è positivo.

Ci sono quattro casi da considerare:

Ci limiteremo all'analisi del primo di essi, il lettore valuterà da solo il resto.

Allora lascia che l'esponente in uguaglianza non sia né negativo né uguale a zero, quindi è positivo, cioè come richiesto da dimostrare.

Esempio 3. Trova quali dei seguenti logaritmi sono positivi e quali negativi:

Soluzione, a) poiché il numero 15 e la base 12 si trovano da un lato di uno;

b), poiché 1000 e 2 si trovano sullo stesso lato dell'unità; non è essenziale che la base sia maggiore del logaritmo;

c), poiché 3.1 e 0.8 giacciono su lati opposti dell'unità;

G) ; perché?

e); perché?

Le seguenti proprietà 4-6 sono spesso chiamate regole del logaritmo: consentono, conoscendo i logaritmi di alcuni numeri, di trovare i logaritmi del loro prodotto, quoziente, il grado di ciascuno di essi.

Proprietà 4 (regola per prendere il logaritmo del prodotto). Il logaritmo del prodotto di più numeri positivi in una data base è uguale alla somma dei logaritmi di questi numeri nella stessa base.

Prova. Siano dati numeri positivi.

Per il logaritmo del loro prodotto, scriviamo l'uguaglianza (26.1) che definisce il logaritmo:

Da qui troviamo

Confrontando gli esponenti della prima e dell'ultima espressione, otteniamo l'uguaglianza richiesta:

Nota che la condizione è essenziale; il logaritmo del prodotto di due numeri negativi ha senso, ma in questo caso otteniamo

Nel caso generale, se il prodotto di più fattori è positivo, il suo logaritmo è uguale alla somma dei logaritmi dei valori assoluti di questi fattori.

Proprietà 5 (regola per prendere il logaritmo del quoziente). Il logaritmo del quoziente dei numeri positivi è uguale alla differenza tra i logaritmi del dividendo e del divisore, presi sulla stessa base. Prova. Troviamo costantemente

Q.E.D.

Proprietà 6 (regola per prendere il logaritmo del grado). Il logaritmo della potenza di qualsiasi numero positivo è uguale al logaritmo di quel numero moltiplicato per l'esponente.

Prova. Riscriviamo l'identità di base (26.1) per il numero:

Q.E.D.

Conseguenza. Il logaritmo della radice di un numero positivo è uguale al logaritmo della radice diviso per l'esponente della radice:

È possibile dimostrare la validità di questo corollario presentando come e utilizzando la Proprietà 6.

Esempio 4. Logaritmo in base a:

a) (si assume che tutte le quantità b, c, d, e siano positive);

b) (si presume che).

Soluzione, a) È conveniente passare in questa espressione alle potenze frazionarie:

Sulla base delle uguaglianze (26,5) - (26,7), possiamo ora scrivere:

Notiamo che le operazioni sono più semplici sui logaritmi dei numeri che sui numeri stessi: quando si moltiplicano i numeri si sommano i loro logaritmi, quando si dividono si sottraggono, ecc.

Ecco perché i logaritmi hanno trovato applicazione nella pratica computazionale (vedi punto 29).

L'azione inversa al logaritmo si chiama potenziamento, cioè: il potenziamento è l'azione per cui questo numero si ricava da un dato logaritmo di un numero. In sostanza, il potenziamento non è un'azione speciale: si riduce ad elevare la base a una potenza (uguale al logaritmo di un numero). Il termine "potenziamento" può essere considerato sinonimo del termine "elevazione a potenza".

Quando si potenzia, è necessario utilizzare le regole inverse alle regole del logaritmo: sostituire la somma dei logaritmi con il logaritmo del prodotto, la differenza tra i logaritmi - il logaritmo del quoziente, ecc. gradi sotto il segno del logaritmo.

Esempio 5. Trova N se è noto che

Soluzione. In connessione con la regola del potenziamento appena enunciata, i fattori 2/3 e 1/3, posti davanti ai segni dei logaritmi a destra di questa uguaglianza, vengono trasferiti agli esponenti sotto i segni di questi logaritmi; ottenere

Ora sostituiamo la differenza dei logaritmi con il logaritmo del quoziente:

per ottenere l'ultima frazione di questa catena di uguaglianze, abbiamo liberato la frazione precedente dall'irrazionalità al denominatore (p. 25).

Proprietà 7. Se la base è maggiore di uno, allora il numero maggiore ha un logaritmo maggiore (e quello minore è minore), se la base è minore di uno, allora il numero maggiore ha un logaritmo minore (e quello minore è più grandi).

Questa proprietà è anche formulata come regola per prendere il logaritmo delle disuguaglianze, i cui lati sono entrambi positivi:

Quando le disuguaglianze sono portate a base maggiore di uno, il segno della disuguaglianza si conserva, e quando la diseguaglianza è portata a base minore di uno, il segno della disuguaglianza è invertito (vedi anche punto 80).

La dimostrazione si basa sulle proprietà 5 e 3. Consideriamo il caso in cui Se, allora e, prendendo il logaritmo, otteniamo

(a e N / M giacciono sullo stesso lato dell'unità). Da qui

Caso a segue, il lettore se ne occuperà da solo.

Uno degli elementi dell'algebra primitiva è il logaritmo. Il nome deriva dalla lingua greca dalla parola "numero" o "grado" e indica il grado a cui è necessario elevare il numero in base per trovare il numero finale.

Tipi di logaritmi

log a b - logaritmo del numero b in base a (a> 0, a 1, b> 0);
lg b - logaritmo decimale (logaritmo in base 10, a = 10);
ln b - logaritmo naturale (logaritmo in base e, a = e).

Come si risolvono i logaritmi?

Il logaritmo in base a di b è un esponente, che richiede che la base a sia elevata a b. Il risultato si pronuncia così: “logaritmo di b in base a”. La soluzione ai problemi logaritmici è che è necessario determinare il grado dato dai numeri dai numeri indicati. Ci sono alcune regole di base per determinare o risolvere il logaritmo, oltre a trasformare la voce stessa. Usandoli, viene eseguita la soluzione delle equazioni logaritmiche, vengono trovate le derivate, vengono risolti gli integrali e vengono eseguite molte altre operazioni. Fondamentalmente, la soluzione al logaritmo stesso è la sua notazione semplificata. Di seguito sono riportate le formule e le proprietà di base:

Per qualsiasi a; a> 0; a 1 e per ogni x; y> 0.

a log a b = b - identità logaritmica di base
log a 1 = 0
log a a = 1
log a (x y) = log a x + log a y
log a x / y = log a x - log a y
log a 1 / x = -log a x
log a x p = p log a x
log a k x = 1 / k log a x, per k ≠ 0
log a x = log a c x c
log a x = log b x / log b a - la formula per il passaggio a una nuova base
log a x = 1 / log x a

Come risolvere i logaritmi: istruzioni passo passo per la risoluzione

Per prima cosa, scrivi l'equazione richiesta.

Nota: se il logaritmo in base è 10, la voce viene troncata, si ottiene il logaritmo decimale. Se esiste un numero naturale e, allora scriviamo, riducendo al logaritmo naturale. Significa che il risultato di tutti i logaritmi è la potenza a cui viene elevato il numero di base fino a ottenere il numero b.

Direttamente, la soluzione sta nel calcolare questo grado. Prima di risolvere un'espressione con un logaritmo, deve essere semplificata secondo la regola, ovvero usando le formule. Puoi trovare le identità principali tornando un po' indietro nell'articolo.

Quando si aggiungono e si sottrae logaritmi con due numeri diversi, ma con le stesse basi, sostituire con un logaritmo con prodotto o divisione di b e c, rispettivamente. In questo caso, puoi applicare la formula di transizione a un'altra base (vedi sopra).

Se usi le espressioni per semplificare il logaritmo, ci sono alcune limitazioni da considerare. E cioè: la base del logaritmo a è solo un numero positivo, ma non uguale a uno. Il numero b, come a, deve essere maggiore di zero.

Ci sono casi in cui semplificando l'espressione non è possibile calcolare il logaritmo numericamente. Succede che un'espressione del genere non abbia senso, perché molti gradi sono numeri irrazionali. Con questa condizione, lasciare la potenza del numero sotto forma di notazione logaritmica.